Bài giảng xử lí tín hiệu số - Chương 2

Công nghệ xử lý tín hiệu số là công nghệ bùng nổ nhanh chóng trong ngành công nghiệp điện tử và viễn thông hiện nay. Xử lý tín hiệu số có nhiều ứng dụng đa dạng, ví dụ như trong lĩnh vực điện t

Chương 2: BIẾN ĐỔI Z VÀ ỨNG DỤNG VÀO

HỆ THỐNG LTI RỜI RẠC

Bài 1 BIẾN ĐỔI Z

Bài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z

Bài 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

Bài 4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠC

Bài 5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA

Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)

Ký hiệu:

x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}

X(z) x(n) hay x(n) = Z -1 {X(z)}

BÀI 1 BIẾN ĐỔI Z

1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z:

Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phía

Biến đổi Z của dãy x(n):

Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):

Miền hội tụ của biến đổi Z - ROC (Region Of Convergence)

là tập hợp tất cả các giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao cho X(z) hội tụ.

2 MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)

1 ( )

0 ( )

(

0

x x

x n

x

n

1 )

( lim x n 1n 

tiêu chuẩn Cauchy

Tiêu chuẩn Cauchy:

Một chuỗi có dạng :

hội tụ nếu:

Ví dụ 1: Tìm biến đổi Z & ROC của:

a z

az

n n

) ( )

) 1 (

) (n  a u  n 

 m

m

z a

1 lim

z a

z a

BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z

1) Tuyến tính

R ROC

: ) ( )

R ROC

: ) ( )

) ( )

( )

( )

) ( )

Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:

11

1)

n u

1

1 )

R1 : 

b z

a R

2) Dịch theo thời gian

a az

n u

) 1 (

) ( n  a u n 

) 1 (

) ( n  a u n 

az

azZ

: ) ( )

R'ROC

: )()

3) Nhân với hàm mũ a n

) ( )

z a X n

u a n

()

()

R ROC

: ) ( )

R

ROC :

) (

( )

( )

; 1

4) Đạo hàm X(z) theo z

) ( )

( n na u n

a az

z X n

u a n

( )

( )

R ROC

: ) ( )

R ROC

: )

dz

dX(z) z

n x

dz

z

dX z

z G n

nx n

z X n

u a n

( )

( )

R ROC

: ) ( )

R X

n

x (  )   Z (z-1) : ROC  1

 1  ( ) ( ) ( ) )

z ( X )

6) Liên hiệp phức

R ROC

: ) ( )

R X

n

x * ( )   Z * (z*) : ROC 

7) Tích 2 dãy

R R

ROC :

d )

( 2

1 )

( )

2 1

n x n x

RROC

: )()

2 n   X z 

RROC

: )()

Ví dụ 7: Tìm x(0), biết X(z)=e 1/z và x(n) nhân quả

Giải:

X(z) lim

) 0

9) Tích chập 2 dãy

RROC

: )()

2 n   X z 

RROC

: )()

)()

()

(

*)

1 n x n X z X z

x  Z ;ROC có chứa R1  R2

1 e

5 0 :

; 5

0 1

1 )

( )

( )

5 0 ( )

u n

2 :

; 2

1

1 )

( )

1 (

2 )

u n

2 5

, 0 :

; ) 2

1 (

1

) 5

0 1

(

1 )

( ) ( )

z H z X z

Y

2 5

, 0 :

; ) 2

1 (

1

3

4 )

5 0 1

(

1

) 1 (

2 3

4 )

( )

5 0

( 3

1 )

(

* ) ( )

5 0 ( )

Giải:

z X

v

X

j C

1 2

1 ( ) 2

BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG

nan u(n) /z/ > /a/ -nan u(-n-1) /z/ < /a/ cos( on)u(n) (1-z-1cos o)/(1-2z-1cos o+ z-2) /z/ >1 sin( on)u(n) (z-1sin o)/(1-2z-1cos o+ z-2) /z/ >1

1

) 1



 az az

BÀI 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

1 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Z NGƯỢC

X j

) n (

 Trên thực tế, biểu thức (*) ít được sử dụng do tính chất phức tạp của phép lấy tích phân vòng

Các phương pháp biến đổi Z ngược:

 Khai triển thành chuỗi luỹ thừa

 Phân tích thành tổng các phân thức tối giản

(*)

2 PHƯƠNG PHÁP THẶNG DƯ

b) Phương pháp:

Theo lý thuyết thặng dư, biểu thức biến đổi Z ngược theo tích phân vòng (*) được xác định bằng tổng các thặng dư tại tất cả các điểm cực của hàm X(z)z n-1 :

Thặng dư tại điểm cực Z ci bội r của F(z) được định nghĩa:

ci r

1)

(

) 1 (

Thặng dư tại điểm cực đơn Z ci của F(z) được định nghĩa:

a) Khái niệm thặng dư của 1 hàm tại điểm cực:

- Khái niệm điểm cực, điểm không

 



C

n dz z

z

X j

n

2

1)

(



Z ci – các điểm cực của X(z)zn-1 nằm trong đường cong C

Res[X(z)z n-1]z=z ci - thặng dư của X(z)zn-1 tại điểm cực zci

z

X j

n

2

1)

z j

1

)2(

n0:

)2(

z X

n n

có 1 điểm cực đơn Zc1=2Thặng dư tại Zc1=2:

2

)2(

()2

z z





)2(

1)

1Res

()

2(

()!

1(

1Res

1)!

1(

m

z z z

dz d m

3 PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN THÀNH CHUỖI LUỸ THỪA

Giả thiết X(z) có thể khai triển: 

X ( ) ( )

(*) (**)

2 1

)

(

n

nz n x

Suy ra:

Ví dụ 3: Tìm x(n) biết: : 2

2 1

1 )

Do ROC của X(z) là /z/>2, nên x(n) sẽ là dãy nhân quả và

sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:

2

1 1

0 a z a z a

Để có dạng (*), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:

(

n

n

n z z

X

) ( 2

0 :

2 )



Ví dụ 4: Tìm x(n) biết: : 2

2 1

1 )

Do ROC của X(z) là /z/<2, nên x(n) sẽ là dãy phản nhân quả và

sẽ được khai triển thành chuỗi có dạng:

2 2

1

1z a z a z a

Để có dạng (**), thực hiện phép chia đa thức dưới đây:

(**)

2 2

(

n

n

n z z

X

) 1 (

2 0

: 2 )

4 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH

TỔNG CÁC PHÂN THỨC TỐI GIẢN

Xét X(z) là phân thức hữu tỉ có dạng:

) (

)

( )

(

z B

z

D z

0 1

1 1

0 1

1 1

b z

b z

b z

b

d z

d z

d z

d

N N

N N

K K

K K

)

( )

(

z B

z

D z

) (

)

( )

(

z B

z

A z



0 1

1 1

0 1

1 1

b z

b z

b

a z

a z

a z

a z

N

N N

M M

M M

Ta được C(z) là đa thức và phân thức A(z)/B(z) có bậc MN

Nếu KN, thì X(z) có dạng giống phân thức A(z)/B(z)

Việc lấy biến đổi Z ngược đa thức C(z) là đơn giản, vấn

đề phức tạp là tìm biến đổi Z ngược A(z)/B(z) có bậc

Xét X(z)/z là phân thức hữu tỉ có bậc MN :

) (

) ( )

(

z B

z

A z

z

X



Xét đén các điểm cực của X(z)/z, hay nghiệm của B(z) là

đơn, bội và phức liên hiệp

0 1

1 1

0 1

1 1

b z

b z

b z

b

a z

a z

a z

a

N N

N N

M M

M M

) ( )

(

z B

z

A z

z

X



)(

))(

(

)(

) (

) ( )

(

z B

z

A z

z

X



)(

)(

)

2 1

1

cN

N c

K z

z

K z

K

1 ( )Với hệ số K i xác định bởi:

ci

Z Z





Suy ra X(z) có biểu thức:

)1

()

1()

1(

)

2

2 1

K z

z

K z

z

K z

X

cN

N c

K

) 1

K z

X

ci

i i

i n x n

x

1

) ( )

(

Xét:

Ví dụ 5.: Tìm x(n) biết:

6 5

5

2 )

z

z z

X

Giải:

với các miền hội tụ: a) /z/>3, b) /z/<2, c) 2</z/<3

) 3 )(

2 (

z

) 3 (

) 2 (

2 1

K

6 5

5 2

z z

z

X

)3(

52

z

X

)2(

52

) 3 (

1 )

2 (

1 )

z

z

X

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

z X

Với các miền hội tụ:

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

b) Xét X(z)/z có điểm cực Z c1 bội r và các điểm cực đơn:

Z c(r+1) , …, Z cN ,

) (

) ( )

(

z B

z

A z

z

X



)(

)(

)(

)(

) 1 (

r c

K z

z

K z

z

K z

z

X

)(

)(

)(

)(

1

2 1

2 1

i

z z

K z

Z Z

r 1 c )

i r (

) i r (

z

)z(

Xdz

d)!

ir(

1K





)(

c

r

z z

K z

Vậy ta có biểu thức biến đổi Z ngược là:

Với giả thiết ROC của X(z): /z/ > max{ /z ci / }: i=1N,

biến đổi Z ngược của thành phần K i /(z-z ci ) r sẽ là:

) 2 ) (

a i

n n

n a

)

( )!

1 (

) 2 ) (

1

( )

(

1

1 1

n u z

K n

u i

a i

n n

n K n

r l

n cl l

i n r

) 2 (

4 5

2 )

2 3

z z

z z

Giải:

) 1 (

) 2 (

4 5

2 )

z

z z

z

X

) 1 (

) 2 (

) 2 (

3 2

2 1

K z

K

Vậy X(z)/z có biểu thức là:

Với các hệ số được tính bởi:

)1(

1)

2(

2)

2(

1)

z z

z

X

1 )

1 (

4 5

z

z dz

d

2

2 )

1 2 (

) 1 2 (

)!

1 2

z

X dz

d K

2 )

1 (

4 5

2

2 )

2 2 (

) 2 2 (

)!

2 2

z

X dz

d K

z

X

) 2 (

4 5

2

1 2

) 1

(

1 )

2 1 (

2 )

2 1 (

1 )

z z

z

) ( )

( 2

) ( 2

)



c) Xét X(z) có cặp điểm cực Z c1 và Z* c1 liên hợp phức, các

điểm cực còn lại đơn: Z c3 , …, Z cN ,

) (

) ( )

(

z B

z

A z

z

X



)(

))(

)(

(

)(

3

* 1

)(

)(

)(

)(

3

3

* 1

2 1

1

cN

N c

c

K z

z

K z

z

K z

z

K z

K z

z

K z

z

K z

z X

3

* 1

2 1

1

)(

)(

)(

)(

Với các hệ số K 1 , K i được tính giống điểm cực đơn:

N i

: )

z z

( z

) z ( X

Xét :

Do các hệ số A(z), B(z) là thực, nên K 2 =K 1 *

)(

*)

(

)

(

* 1

1 1

1 1

c

c z z

K z

z

K z

(

*)

1(

)

1

1 1

K z

z

K z

X

c c

Nếu gọi:



j

e K

K1  1



j c

n cos(

z K )

n (

i

n ci i

n c

Vậy:

: ) 1 )(

2 2

z

z z

X

Ví dụ 7: Tìm x(n) biết:

Giải:

)1)(

22

(

1)

z z

z j

z

3

* 1 1

z

K j

z

K

1 )

1 (

) 1

z j

z

) 2 2

z K

1 )

1 ( 1

2 /

1 )

1 ( 1

2 /

1 )

j z

j z

BÀI 4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ THỐNG TTBB

h(n) Z H(z): gọi là hàm truyền đạt H(z)=Y(z)/X(z)

2 Hàm truyền đạt được biểu diễn theo các hệ số PTSP

x b k

n y

a

0 0

) (

r k

N k

k

a z

Y

0 0

) ( )

(

Z

) (

)

( )

(

z X

z

Y z

k k

M r

r

b

0 0

Ví dụ 1: Tìm H(z) và h(n) của hệ thống nhân quả cho bởi:

Giải: y(n) - 5y(n-1) + 6y(n-2) = 2x(n) - 5x(n-1)

2 1

1

65

1

5

2)

(

)

()

z z

X

z

Y z

H

) 3 (

) 2 (

2 1

K

) 3

1 (

1 )

2 1

(

1 )

5

22

z z

) 3 )(

2 (

5 2

z z

z

H

1 2

) 3 (

z

3 )

2 (

z K

3 Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối

3 Hàm truyền đạt của các hệ thống ghép nối (tiếp)

4 Tính nhân quả và ổn định của hệ TTBB rời rạc

))(

(

)

()

z n

Ví dụ: 1: Tìm h(n) của hệ thống, biết:

Giải:

) 2 (

) 2 / 1 (

2 1

K

1)

2/1(1

1)

z

H

2 5

2

5

4 )

z

z z

H

) 2 )(

2 / 1 (

2

5 4

z z

1 )

2 / 1 (

b Hệ thống ổn định (1/2</z/<2): h(n)=(1/2) n u(n) - 2 n u(-n-1)

c Hệ thống nhân quả và ổn định:

BÀI 5 GIẢI PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA

Tổng quát, biến đổi Z 1 phía của y(n-k):

) ( n k

kY z y r z

z

1

) (

) (

Z

1 phía

) 1 (  n

0 ( )

1 ( )

1 ( z 1Y z

1 ( )

2 ( )

1 ( )

Ví dụ 1: Hãy giải PTSP dùng biến đổi Z 1 phía

y(n) – 3y(n–1) +2 y(n-2) = x(n) : n0

biết: x(n)=3n-2u(n) và y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9

Giải:

Lấy biến đổi Z 1 phía hai vế PTSP:

Y(z) - 3[y(-1)+z-1Y(z)] + 2[y(-2)+y(-1)z-1+z-2Y(z)] = X(z) (*)

Thay y(-1)=-1/3; y(-2)= -4/9 và X(z)=3-2/(1-3z-1) vào (*), rút ra:

)3(

1

2

1)

1(

1

2

1)

3)(

1(

1)

z z

z

z

Y

) 3

1 (

1

2

1 )

1 (

1

2

1 )

z

Y

 3 1  ( )

1 )

