Bài giảng Xử lý tín hiệu số - Chương 4: Tín hiệu và hệ thống trong miền tần số cung cấp cho người học các kiến thức: Phân tích tần số của tín hiệu LTTG, phân tích tần số của tín hiệu RRTG, các tính chất của BĐ Fourier cho các tín hiệu RRTG, đặc trưng miền tần số của hệ LTI, bộ lựa chọn tần số. Mời các bạn cùng tham khảo.
dce 2011 Chương Tín hiệu hệ thống miền tần số BK TP.HCM ©2011, TS Đinh Đ ức Anh Vũ dce 2011 Nội dung • Phân tích tần số t/h LTTG • Phân tích tần số t/h RRTG • Các tính chất BĐ Fourier cho t/h RRTG • Đặc trưng miền tần số hệ LTI • Bộ lựa chọn tần số DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 Tại miền tần số ? Tần số t/h hình SIN: F0 F t/h hình SIN: F1 Tín hiệu F t/h hình SIN: F2 … Cơng cụ phân tích tần số - Chuỗi Fourier – tín hiệu tuần hồn - Biến đổi Fourier – tín hiệu lượng, khơng tuần hồn (J.B.J Fourier: 1768 - 1830) F Tín hiệu X F-1 F-1 Tín hiệu X Công cụ tổng hợp tần số - Chuỗi Fourier ngược – tín hiệu tuần hồn - Biến đổi Fourier ngược – tín hiệu lượng, khơng tuần hồn DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 Đáp ứng hệ LTI với t/h sin T/h hình Sin Ae jω0 n Biên độ: Pha: Tần số: T/h hình Sin Aαe j (ω0n +θ ) Co/giãn lượng α Lệch lượng θ Khơng đổi ω0 DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 Phân tích h/t miền tần số Tần số Tín hiệu t/h hình SIN: F0 F t/h hình SIN: F1 t/h hình SIN: F2 Phổ Phổ (spectrum): Nội dung tần số tín hiệu Phân tích phổ: Xác định phổ t/h dựa vào công cụ toán học Ước lượng phổ: Xác định phổ t/h dựa phép đo t/h Tần số x1(t): F0 F-1 x0(t): x(t) x-1(t):-F0 Phổ Tổng hợp tần số: Xác định t/h ban đầu từ phổ tần số DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 T/h LTTG tuần hồn (1) • Chuỗi Fourier – x(t): LTTG, tuần hoàn với chu kỳ Tp = 1/F0 (F0: tần số) x(t ) = +∞ ∑c e k = −∞ – Đặt j 2πkF0t Phương trình tổng hợp k xk (t ) = ck e j 2πkF0t • xk(t) tuần hoàn với chu kỳ Tk=Tp/k (kF0: tần số) x(t ) = +∞ ∑ x (t ) k = −∞ k • Đóng góp cho x(t) lượng ck (Tần số kF0 có đóng góp lượng ck) – Hệ số chuỗi Fourier ck = Đóng góp biên độ Tp − j 2πkF0t ( ) x t e dt ∫ Phương trình phân tích Tp ck = ck e DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số jθ k Đóng góp pha ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 T/h LTTG tuần hồn (2) • Đ/k Dirichlet: bảo đảm chuỗi Fourier hội tụ x(t) ∀t – x(t) có số hữu hạn điểm gián đoạn chu kỳ – x(t) có số hữu hạn điểm cực đại cực tiểu chu kỳ – x(t) khả tích phân tuyệt đối chu kỳ, tức • Đ/k Dirichlet đ/k đủ • Nếu x(t) t/h thực ∫ x(t ) dt < ∞ Tp – T/h biểu diễn chuỗi Fourier chưa thỏa đ/k Dirichlet – ck c-k liên hợp phức – Biểu diễn rút gọn chuỗi F – Do ( ck = ck e j∞θ k ) x(t ) = c0 + 2∑ ck cos(2πkF0t + θ k ) k =1 cos(2πkF0t + θk) = cos2πkF0t cosθk – sin2πkF0t sinθk ⇒ Cách biểu diễn khác chuỗi F ∞ x(t ) = a0 + 2∑ (ak cos 2πkF0t − bk sin 2πkF0t ) Với a0 = c0 ak = │ck│cosθk bk = │ck│sinθk DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số k =1 ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 T/h LTTG tuần hồn (3) • Ví dụ 1: Phân tích tín hiệu sau thành phần tần số x(t) = 3Cos(100πt – π/3) x(t ) = e j (100πt − π3 ) = e − π3 j 3 e + e j (100πt ) − j (100πt − π3 ) π + e e − j (100πt ) j Đồng với PT tổng hợp c1 = e ⇒ π 3j c−1 = e − π3 j Tín hiệu miền thời gian DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số F 50Hz đóng góp c1 -50Hz đóng góp c-1 Phổ tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 T/h LTTG tuần hoàn (4) |Ck| Phổ biên độ 3/2 Tần số k Tín hiệu F 50Hz (c1) -1 |θk| π/3 - 50Hz (c-1) -1 Phổ pha DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số k -π/3 ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 T/h LTTG tuần hoàn (5) • Ví dụ 2: Cho biết t/h x(t) tuần hoàn, tần số bản: 100Hz, gồm tần số hệ số đóng góp chúng sau 100 Hz, -100 Hz, 200 Hz, -200Hz, đóng góp: đóng góp: đóng góp: đóng góp: Xác định công thức x(t) Theo PT tổng hợp: 200Hz : x(t ) = 2e j 2π 100t + 2e − j 2π 100t + 5e j 2π 200t + 5e − j 2π 200t = cos(200πt ) + 10 cos(400πt ) x(t) 100Hz : -100Hz : F-1 -200Hz : DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 10 dce 2011 Hệ LTI lọc • Ví dụ 2: thiết kế lọc lowpass, thoả: Một điểm pole: p Một zero tại: Đáp ứng lượng tần số đỉnh cho qua (ω=0) Đáp ứng lượng tần số ω=π/2 0.5 e jω z H (ω ) = G jω H ( z) = G =G z=ejω −1 e −p − pz z− p – – – – S xx (ω ) = G (1 − pe − jω )(1 − pe jω ) = G2 − p cos ω + p 2 p = 2− G = ± 2( − (bỏ qua G2 =1 S xx (0) = 1− p + p G S ( π ) = = xx 2 1+ p p = 2+ hệ khơng ổn định) 3) DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 74 dce 2011 Hệ LTI lọc 2( − ) S xx (ω ) = − 2(2 − ) cos ω + (2 − ) G h( z ) = − pz −1 x(n) G y(n) + p DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số z–1 ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 75 dce 2011 Hệ LTI lọc • Ví dụ 3: xác định tham số lọc hình để thoả yêu cầu phổ mật độ lượng hình x(n) G y(n) + 2a z–1 –a2 z–1 + + (Hình 1) DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số (Hình 2) ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 76 dce 2011 Hệ LTI lọc Bộ lọc bandpass • – Nguyên tắc: thực tương tự lowpass highpass – Có nhiều cặp pole liên hợp phức gần vòng tròn đơn vị, vùng lân cận dải tần số cho phép – Ví dụ 4: thiết kế lọc bandpass thoả: • Tâm passband = π/2 Đáp ứng tần số tâm = • Đáp ứng tần số = tần số: 0, π • Đáp ứng biên độ = tần số: 4π/9 A x(n) y(n) + z-1 B D + z-1 + C p1, = re Zero z1, = ±1 ± j π2 z-1 ( z − 1)( z + 1) z −1 H ( z) = G =G ( z − jr )( z + jr ) z + r2 z-1 π H ( ) = 4π H ( ) = + E Pole DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số G = 0.15 ⇒ r = ± 0.7 − z −2 H ( z ) = 0.15 + 0.7 z − ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 77 dce 2011 Hệ LTI lọc − z −2 H ( z ) = 0.15 + 0.7 z − DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 78 dce 2011 Hệ LTI lọc • Biến đổi đơn giản từ lọc lowpass sang lọc highpass – Tạo lọc highpass cách dịch Hlp(ω) đoạn π (nghĩa thay ω ω – π Hhp(ω) = Hlp(ω – π) – Trong miền thời gian hhp(n) = (ejπ)nhlp(n) = (-1)nhlp(n) N M y (n) = −∑ ak y (n − k ) + ∑ bk x(n − k ) k =1 k =0 M H lp (ω ) = ∑ bk e M y (n) = −∑ (−1) ak y (n − k ) + ∑ (−1) k bk x(n − k ) k k =1 + ∑ a k e − j ωk DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số k =0 M − j ωk k =0 N k =1 N H hp (ω ) = k − jωk − b e ( ) ∑ k k =0 N + ∑ (−1) k ak e − jωk k =1 ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 79 dce 2011 Hệ LTI lọc • Bộ cộng hưởng số – – – – Bộ lọc bandpass pole liên hợp phức gần vòng trịn đơn vị Vị trí góc pole xác định tần số cộng hưỏng Chọn pole liên hợp phức p1,2 = re±jω0 (0 < r < 1) Có thể chọn thêm tối đa zero • Hoặc zero gốc tọa độ • Hoặc zero ±1 • Cho phép loại bỏ đáp ứng lọc ω = ω = π – Giả sử zero chọn gốc H ( z ) = b0 (1 − re jω z −1 )(1 − re − jω z −1 ) • Do |H(ω)| có đỉnh (hoặc gần) ω = ω0, nên b0 H (ω ) = =1 jω − jω − jω − jω (1 − re e )(1 − re e ) b0 = (1 − r ) + r − 2r cos 2ω DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 80 dce 2011 Hệ LTI lọc • Phổ biên độ phổ pha trường hợp ω0 = p1 = rej r ω0 –ω0 r p2 = re–j • SV khảo sát trường hợp zero chọn ±1 so sánh phổ biên độ phổ pha với trường hợp zero DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 81 dce 2011 Hệ LTI lọc • Bộ lọc khe V (notch) – Chứa nhiều khe sâu, có đáp ứng tần số – Đặt cặp zero liên hợp phức vòng tròn đơn vị, góc ω0, tức ± jω ω0 = π/4 z1, = e – Hàm h/t H ( z) = b0 (1 − e jω z −1 )(1 − e − jω z −1 ) = b0 (1 − cos ω z −1 + z − ) – Nhược điểm • Khe có độ rộng lớn • Thành phần tần số xung quanh ω0 bị suy hao • P/p khắc phục: ad-hoc (nhiều p/p khác trình bày chương 8) DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 82 dce 2011 • Hệ LTI lọc P/p khắc phục lọc notch – Đặt cặp pole liên hợp phức ω0 để cộng hưởng vùng lân cận ω0 ± jω p1, = re – Hàm h/t H ( z ) = b0 − cos ω z + z − 2r cos ω z −1 + r z − −1 −2 ω0 = π/4 – Nhược điểm: • Ngồi việc giảm băng thơng khe, pole tạo lăn tăn (ripple) bandpass lọc (do việc cộng hưởng) • Khắc phục ripple cách thêm zero và/hoặc pole → thử sai DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 83 dce 2011 Hệ LTI lọc • Bộ lọc lược (comb) – Là lọc notch với khe xuất tuần hoàn – Hàm h/t M H ( z ) = ∑ h( k ) z −k z=ejω k =0 M H (ω ) = ∑ h(k )e − jkω k =0 – Thay z zL (L>0) M H L ( z ) = ∑ h( k ) z M − kL z=ejω H L (ω ) = ∑ h(k )e − jkLω = H ( Lω ) k =0 k =0 – Đáp ứng tần số HL(ω) việc lặp bậc L đáp ứng tần số H(ω) khoảng [0, 2π] • Nếu H(ω) có phổ khơng tần số ω0 đó, HL(ω) có phổ khơng lược ωk = ω0+2πk/L (k=0, 1, 2, …, L-1) H4(ω) H(ω) ω -2π 2π DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ω π/2 π 3π/2 2π ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 84 dce 2011 Hệ LTI lọc M • Ví dụ: lọc trung bình y (n) = M + ∑ x(n − k ) k =0 e − jωM / sin ω ( M2+1 ) H (ω ) = M +1 sin ω2 − ( M +1) M −k 1− z H ( z) = z = ∑ M + k =0 M + 1 − z −1 z=ejω ω k = 2πk /( M + 1) z k = e j 2πk /( M +1) k = 1,2,3, , M 1 − z − L ( M +1) H L ( z) = M + 1 − z −L e − jωLM / sin Lω ( M2+1 ) H L (ω ) = sin L2ω M +1 M=10 & L=3 M=10 x(n) z-1 z-1 h(0) L=3 & M=3 z-1 z-1 h(1) + DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số z-1 z-1 z-1 h(2) + z-1 z-1 h(3) + y(n) ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 85 dce 2011 Hệ LTI lọc • Bộ lọc Allpass – |H(ω)| = (0 ≤ ω ≤ π) – Loại đơn giản nhất: N – Loại khác ak z − N + k ∑ H ( z ) = k =0N −k a z ∑ k N A( z ) = ∑ ak z H(z) = z–k a0 ≡ 1, ak real k =0 −k a0 ≡ k =0 H ( z) = z −N A( z −1 ) A( z ) • Nếu z0 pole H(z), 1/z0 zero H(z) (r–1,ω0) (r,ω0) a a-1 ω0 –ω0 (r,–ω0) DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số (r–1,–ω0) ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 86 dce 2011 Hệ LTI lọc a + z −1 H1 ( z ) = + az −1 r + 2r cos ω z −1 + z −2 H ( z) = − 2r cos ω z −1 + r z − a = 0.6 r = 0.9 ω0 = π/4 θ2(ω) θ1(ω) DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 87 dce 2011 Hệ LTI lọc • Bộ dao động sin số – Bộ cộng hưởng pole, pole nằm vịng trịn đơn vị a1 = −2r cos ω = a r b0 r n ± jω = re đáp ứng xung đơn vị h( n) = sin( n + 1)ω 0u (n) sin ω b0 H ( z) = + a1 z −1 + a2 z − – Pole p1, – Nếu pole nằm vòng tròn đơn vị: r = b0 = Asinω0 h( n) = A sin( n + 1)ω 0u ( n) x(n)=(Asinω0)δ(n) y(n) = –a1y(n–1) – a2y(n–2) + b0δ(n) y(n)=Asin(n+1)ω0 + + –a1 z-1 z-1 –a2 DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số a1= –2cosω0 a2= ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 88 ... – Tín hiệu hệ thống miền tần số S xx ( F ) = S xx (− F ) ©2011, Đinh Đức Anh Vũ 20 dce 2011 T/h LTTG khơng tuần hồn (6) F/F-1 F/F-1 DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh Vũ. .. F-1 Tín hiệu X Công cụ tổng hợp tần số - Chuỗi Fourier ngược – tín hiệu tuần hồn - Biến đổi Fourier ngược – tín hiệu lượng, khơng tuần hồn DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số ©2011, Đinh Đức Anh. .. hoàn (4) |Ck| Phổ biên độ 3/2 Tần số k Tín hiệu F 50Hz (c1) -1 |θk| π/3 - 50Hz (c-1) -1 Phổ pha DSP – Tín hiệu hệ thống miền tần số k -? ?/3 ©2011, Đinh Đức Anh Vũ dce 2011 T/h LTTG tuần hồn (5) •