Toán học - Tin tức CỰC TRỊ SỐ PHỨC

Trang 1

CONG THUC VA THU THUAT TINH NHANH BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (*) cho trước Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của |+|

Phuong phap chung:

+ Bước 1: Tìm tập hợp (H) các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện (*)

+ Bước 2; Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M e(H) sao cho khoảng cách OM lớn nhất, nhỏ nhất VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt y \

phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun lớn nhất của số phức z là 1 A || =1 max BỊ2|_ =~ max 2 o} a! „ ty le] = v2 D a = 22, r , 2 08 2 lz|, bằng nửa độ dài đường chéo của hình vuông cạnh bằng 2 => Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt Phụ phẳng tọa độ là hình vuông tô đậm như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất của số phức z là A.|z[ =0 B.|z|_ =1 “E—0‡—r v2 2 v- C.|„„=2 = Lời giải: lz|.„ =0, điểm biểu diễn là điểm O=> Chọn đáp án A

Trang 2

a8 oy \_/ tS ie WAS AS \ oH ZF

Ví dụ 4: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là phần tô đậm (kể cả đường viền) Môđun nhỏ nhất của số phức z là A.|a| =1 BỊ||„ =- C.]2|„„ =5: D.|l| = *e9 + *s Tam giác OAB có góc OBA là góc tù nên OA >OB=|z|> OB =1 Vậy lx| s =1=> Chọn đáp án A

Ví dụ 5: Biết các số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt 4 phẳng tọa độ là đường elip như hình vẽ bên Môđun nhỏ nhất của số phức z là #” Ï % A Iz ~ C lz B |, „ =2 X 3 1 1 an >" D lz] = 5 Loi giai: Elip có độ dài trục nhỏ bằng 2b=2 = lz =1=> Chon dap an A

Vi dụ 6: Biết số phức z có tập hợp điểm biểu diễn trên mặt ví

phẳng tọa độ là hình elip tô đậm như hình vẽ bên Môđun lớn nhất của số phức z là ` A lz =1 SA) 2 1 3 C |z]_ == 2 a „=>: 2 Loi giai:

Elip có độ dài trục lớn bằng 2z=4=>|z| =2=> Chon dép dn B

Trang 3

MỘT SỐ BÀI TOÁN QUAN TRỌNG THƯỜNG GẶP Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn |z=(a+b¡)| =c, (c>0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của lz- Lời giải:

|z—(a+bi)|=c, (c>0)=> Tập hợp các điểm M biểu diễn số yA

phức z là đường tròn có tam I(a;b) và bán kính R=c : M;

|z|=OM max|z|=OM, =OI + R= a? +b? +e b ¢ - “tI

Khi d6: —

min|z|=OM, =O1-R= Va? +b? -c|

Tim toa d6 diém M,, M, (tức là, tìm số phức z có môđun nhỏ

nhất, lớn nhất) O

+ Phương trình đường tròn (C) quỹ tích của diém M biéu dién sé phite z là:

(C):(x-a} +(y-b) =¢

+ Phương trình đường thắng đ đi qua hai điểm O, | 1a: d: Ax+By+C =0 Khi đó, M,, M, là giao điểm của (C) và đ M;, ie eee yw a _ py =,2 Giai hé phuong trinh: (x a) +(y b) c= hai nghiệm => tọa độ hai điểm Ax+ Bụ+C =0

So sánh khoảng cách từ hai điểm vừa tìm được tới O, khoảng cách nào nhỏ hơn thì điểm đó

ứng với điểm M, và điểm còn lại là điểm M,

Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn |z,.z+z;|=r, (r >0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của |z| z,| fr max|z| = |—4| + — = ' z,| Giai Zl ¥ min|z|=l#2|-r” 2 z,| Vi DU MINH HOA Ví dụ 1: Nếu các số phức z thỏa mãn |z—2—4i|= V5 thi |z| có giá trị lớn nhất bang A 3V5 B 5 C.5 D 413 Lời giải: Tập hợp các điểm M(z) 1a đường tròn có tâm 1(2;4) va ban yh kính R=5 M Vậy max|z|=OM =Ol + R=2? +4? +5 =3V5 J5 = Chọn đáp án A { sles l

Câu hỏi bổ sưng 1: |z| có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? 3\ /5/1

Trả lời: min|z|=ON =OlI -R=2? +4? -J5 = 45 2| “AN

Câu hỏi bổ sung 2: Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, lớn nhất 1L? | v

Trang 4

Tọa độ hai diém M, N 1a nghiém cua hé phuong trinh: = -% bọt oe 1 2 (x-2)'+(y-4}' =5” Ì(x-2Ÿ'+(ax-4Ÿ =5” Ì#-4x+3=0 7 - 6

+ S6phirc z c6 médun I6n nhat la z =3+6i tng voi diém M(3;6) + Số phức z có môđun nhỏ nhất là z=1+2¡ ứng với điểm N(1;2) Ví dụ 2 [Trích đề thi thử chuyên KHTN - Lần 1]: Nếu các số phức z thỏa mãn \(1 +i)z+1 -7i| = V2 thi lz| có giá trị lớn nhất bằng A 4 B 3 C7, D 6 Lời giải: (+)[z+ 7| =2 141 ,

<>|1+illz-(3+ 47) = V2 ©v2|z-(3+4i|=2 ©|z-(3+4i)|=1 Tập hợp các điểm M(z) là đường tròn có tâm I(3;4) và bán kính R =1 Vậy max|z|=OlI +R =3? +4? +1=6 = Chon dap án D Ta có: (i+¡)z+1-7|=2 Ví dụ 3: Nếu các số phức z thỏa mãn vui =1 tì lx| có giá trị nhỏ nhất bằng Ach B 2 C 42 D 3 Lời giải: Ta có: HH =1©|-iz+1|=1©|-i| z+— =1©|z+i|=1©|z-(-i)|=1

Tập hợp các điểm M(z}) là đường tròn có tâm /(0;-1) và bán kính R=1

Vậy max|z| =Ol + R= J0 +(-1Ÿ +1=2=> Chon dap an B Bài toán 2: Trong các số phức z thỏa mãn |z—z,|= r,„(r, >0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P=lz-z| Lời giải: Goi I(z,), A(z,), M(z) yA -_ : max P = AM, =",+r, A Khi đó: IA =|z,-z,|=1, > para a “SM

Muốn tìm các số phức sao cho P_ ux’ P.„„ thì ta đi tìm hai giao ( I

điểm M,, M, cua dudng tròn (I,r,) với đường thẳng AI Ø7 M, x

Trang 5

Vi DU MINH HOA Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z—3+2¡|=2 Giá trị nhỏ nhất của |z+1—¡| lần lượt là A 7 B 3 eo D 5 Lời giải Ta có: |z—3+2i|=|z—(3-2i]|=2=r, và |z+1-i|=|z-(-1+i ——— ¬— 2 <2 =>|z, -z,|=|(3-2i)-(-1+i)}=5=r, = min|z+1-i|=5-2=3= Chọn đáp án B Ví dụ 2: Trong các số phức z thỏa mãn |z -5ï| <3, số phức có lz| nhỏ nhất thì có phần ảo bằng bao nhiêu? A 4 B 0 c3 D: 2: Tập hợp các diém M(z) 1a dudng tron có tâm 1(0;5) và bán kính R =3 Vì z=2¡ ứng với điểm M, (0;2) => Chọn đáp án C z|=OM nên số phức z có môđun nhỏ nhất là > 4324797 1234

Ví dụ 3 [Trích đề thi HK 2 - THPT Phan Đình Phùng - HN]: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z—2+2i|=1, gọi z=a+bi, (a,be 8) là số phức có |z+4i| đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị biểu thức P=a(b+2) 1 1 1 1 Ä P=x3B—+ v2 2 B.P= 2-2 v2 2 ¢ p=5+ 2 27 p p=-1-V2 2 ⁄2 ` V PP Ta có: |z~2+2i|=|z=(2-2i)Ì|=1= I(2;-2) và |z+ 4|=|z-(-4i)|= A(0;-4) ——— — z, ^

Tập hợp các điểm M(z) là đường tròn có tâm !{2;-2) và bán kính r, = 1 Phương trình đường thang JA là: x-/-4=0

Tọa độ hai điểm AM, N là nghiệm của hệ phương trình:

Trang 6

_ 1 1 AM, =| 2+—=;2+—= “trưng, AM, -|2 ;2-] V2 = AM, > AM, = M, là điểm biểu diễn số phức cần tìm 1 _ |a=2-— =z-2 +|-2-T- th, & =P=a(b+2)=2~5= Chọn đáp án A b=-2——> 2 Bài toán 3: Trong số phức z thỏa mãn |z—z,|+|z—z„|= k, (k >0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P=|| Lời giải: Goi M(z), M,(z,), M,(z,) Khi đó: |z—z,|+|z—z,| =k <> MM, +MM, =k <> M eelip (E) nhan M,, M, lam tiéu diém va c6 độ dài trục lớn bằng k= 24

Vì ở chương trình Toán 10, chỉ được học elip có hai tiêu điểm la F, (-c;0), F (c;0) nên thường

đề bài sẽ cho đưới dạng: |z—c|+|z—c| = k, (0<e,ke R) = Merlip (E) nhận F (-c;0) lz F.(c;0) lam tiéu diém va c6é độ dài trục lớn bằng k=2a “1 a bax lb] =p= Se —4e nin 2 Tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn |z,.z+z;|+|z,.z—z;|=k, (k>0) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của P =|z| kK? -4|z,[ Giải: max|z| = và min|z| " — 2| m[ - 1 2|5¡| VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn |z+4|+|z—4|= 10, gọi M, m lần lượt là giá trị lớn

Trang 7

Bài toán 4: Cho hai số phức z,,z, thoa man z,+z,=m+ni va lz, —z,| =p>0 Tìm giá trị lớn nhất của P =|z,|+|z;| Lời giải: Giả sử: , REM +2, =a+ct(bd)i=m+ni| 15” - z,=c+di c+d=n Ta cé: z,-z, =a—c+(b-d)i=>|z, -z,) =(a—c) +(b-d) =p Khi dé: P=|z,|+|z,|= Va? +b? +Ve? +d “((£ +P)| (a +b°)+(c? +đ?)| = J2(z +b’ +c? +d’) i (a+c} +(b+d) +(a—c) +(b-d) _ MẺ+n?+pÌ Mà a +b*+c? +a 2 2 Suy ra: 2(a’ th +c” +d°)=m° +n +p’ => P< Jn tn +p’ => max P= fm? +n +p’ | Vi DU MINH HOA

Ví dụ [Trích đề thỉ thử chuuên KHTN - Lần 4]: Với hai số phức phức z,,z, thỏa mãn