Toán học - Tin tức 3.1 lũy thừa

Bài 1 (2,0đ) 1-Thực hiện phép tính :   12 75 48 : 3   2-Trục căn thức ở mẫu : 1 5 15 5 3 1     Bài 2 (2,5đ) 1-Giải phương trình : 2x 2 – 5x – 3 = 0 2-Cho hệ phương trình ( m là tham số ) :        mx y = 3 x + 2my = 1 a. Giải hệ phương trình khi m = 1. b.Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 3 (2,0đ ). Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, cho parabol (P): y= 2 x 2 và đường thẳng (d): 3 2 y x    1.Bằng phép tính, hãy tìm tọa độ giaođ của (P) và (d) . 2.Tìm m để đường thẳng (d’) :y= mx – m tiếp xúc với parabol (P) Bài 4 (3,5đ). Cho đường tròn (O;r) và hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau.Trên cung nhỏ DB, lấyđ N ( N khác B và D).Gọi M là giaođ của CN và AB. 1-Chứng minh ODNM là tứ giác nội tiếp. 2-Chứng minh AN.MB =AC.MN. 3-Cho DN= r .Gọi E là giaođ của AN và CD.Tính theo r độ dài các đoạn ED, EC . CHUYÊN ĐỀ MŨ - LOGARIT Bài LŨY THỪA A - KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa lũy thừa  Cho số thực b số nguyên dương n (n  2) Số a gọi bậc n số b a n  b  Chú ý:   Với n lẻ b   : Có bậc n b , kí hiệu n b Với n chẵn:  b  : Không tồn bậc n b  b  : Có bậc n b số  b  : Có hai bậc n a hai số đối nhau, có giá trị dương ký hiệu n b , có giá trị âm kí hiệu  n b Số mũ  Cơ số a Lũy thừa a α a a  a n  a  a  a ( n thừa số a )   n  *  0 a0 a  a  1 a  a  n  n    n, ( n   * ) a0 a m m   , ( m  , n   * ) a0 a  a n  n a m , ( n a  b  a  b n ) n   lim rn , (rn  , n  * ) a0 a  lim a rn Một số tính chất lũy thừa  Giả thuyết biểu thức xét có nghĩa    a a  a  a b a  a  a ;   a   ; (a )  a  ; (ab)  a  b ;     ;       a b b b a      Nếu a  a  a     ; Nếu  a  a  a      Với  a  b , ta có: a m  b m  m  ; a m  b m  m   Chú ý:  Các tính chất trường hợp số mũ nguyên không nguyên  Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác  Khi xét lũy thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương     Một số tính chất bậc n:  Với a, b  ; n  * , ta có:   2n a n  a a ;  2n ab  2n a 2n b , ab  ;  a n a  , ab  0, b  ; b n b  Với a, b  , ta có:     2n n  n 1 a n1  aa n 1 ab  n 1 a  n 1 b a, b n 1 a  b n 1 n 1 a  a , b  b m a m   n a  , a  , n nguyên dương, m nguyên n m a  nm a , a  , n , m nguyên dương p q Nếu  n a p  m a q , a  0; m, n nguyên dương, p, q nguyên n m Đặc biệt: n a  mn a m http://megabook.vn/ B - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Khẳng định sau : m n A a xác định với a   \ 0 ; n   B a  n a m ; a   n m C a  1; a   Câu D Tìm x để biểu thức  x  1 A x  2 n a m  a n ; a  ; m, n   có nghĩa B x  1  C x   ;  2  D x  Câu Câu Tìm x để biểu thức  x  1 có nghĩa A x   ;1  1;   B x   ; 1  1;   C x   1;1 D x   \ 1 Tìm x để biểu thức  x  x  1 A x   Câu Câu  có nghĩa B Khơng tồn x Các bậc hai A 2 B C x  D x   \ 0 C 2 D 16 Cho a   n  2k (k  * ) , a n có bậc n n Câu C a B | a | A a D a Cho a   n  2k  1(k  * ) , a n có bậc n n A a n 1 Câu D a Phương trình x 2016  2017 có tập nghiệm  A T={  2017 2016} Câu C a B | a | B T={  2016 2017} Các bậc bốn 81 A B 3 C T={2016 2017} D T={  2016 2017} C 3 D 9 Câu 10 Khẳng định sau sai? 1 bậc  243 A Có bậc n số B  C có bậc hai D Các bậc viết  0,75  1 1 Câu 11 Tính giá trị biểu thức      , ta :  16  8 A 12 B 16 C 18 Câu 12 Viết biểu thức D 24 a a  a   dạng lũy thừa a , ta được: A a http://megabook.vn/ B a C a D a Câu 13 Viết biểu thức A  13 23 dạng lũy thừa 2m với giá trị m 160,75 13 B C 6 Câu 14 Các bậc bảy 128 A 2 B 2 D  C D m Câu 15 Viết biểu thức A 15 b3a a ,  a, b   dạng lũy thừa   , với giá trị m a b b 2 B C D 15 15 2 Câu 16 Cho a  ; b  Viết biểu thức a a dạng a m biểu thức b : b dạng b n Ta có mn ? 1 A B 1 C D 4 Câu 17 Cho x  ; y  Viết biểu thức x x x dạng x m biểu thức y : y y dạng y n Giá trị biểu thức m  n 11 11 A  B 6 Câu 19 D  8 2 x dạng biểu thức dạng y Ta có x  y  ? Câu 18 Viết biểu thức A C 2017 567 B 11 C 53 24 D 2017 576 Cho f ( x )  x x f (0, 09) : A 0, 09 B 0,9 x x2 Câu 20 Cho f  x   C 0, 03 D 0,3 C 0, 013 D 13 C 2, D 27 C 9a 2b D 3a b C x  x  1 D x x  f 1,3 bằng: x A 0,13 B 1, Câu 21 Cho f  x   x x 12 x Khi f (2, 7) A 0, 027 Câu 22 B 0, 27 81a 4b , ta được: Đơn giản biểu thức A 9a b B 9a b Câu 23 Đơn giản biểu thức A x  x  1 Câu 24 Đơn giản biểu thức A  x  x  1 http://megabook.vn/ x8  x  1 , ta được: B  x  x  1 x3  x  1 , ta được: B x  x  1 C x  x  1 D x  x  1 Câu 25 Khẳng định sau đúng? 1 B a   a  A a  1, a   Câu 26 Nếu  a 2 C  1 1 D      4  4 C a  1 D a  1   A a  1 B a  Câu 27 Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A  0, 01   10   C  0, 01   10     10  B  0, 01 D a  1, a   Câu 28 Trong khẳng định sau đây, khẳng định đúng?    2   C        A   Câu 29 Nếu A m  3  D   m 3     11   2    2 11  B    B m  C m  D m  Câu 30 Cho n nguyên dương thở mãn n  2, khẳng định sau khẳng định đúng? 1 A a n  n a a  B a n  n a a  C a n  n a a  D a n  n a a   Câu 31 Khẳng định sau khẳng định sai? A C 2n ab  a b a, b B 2n a n  a , n nguyên dương  n  1 a n  a a , n nguyên dương  n  1 D a  a a  Câu 32 Cho a  0, b  , khẳng định sau khẳng định sai? A a b  ab B a 3b3  ab Câu 33 Tìm điều kiện a để khẳng định A a   a 2b  ab C a 4b  a 2b D (3  a )2  a  khẳng định ? B a  C a  D a  Câu 34 Cho a số thực dương, m, n tùy ý Phát biểu sau phát biểu sai ? A a m a n  a m  n B an  a n m m a n 1 Câu 35 Bạn An trình biến đổi làm sau: sai ... Hội Toán Học Việt Nam THÔNG TIN TOÁN HỌC Tháng 3 Năm 2008 Tập 12 Số 1 GS Hoàng Tụy tại Hội thảo khoa học: “Một số thành tựu về Lý thuyết tối ưu của Việt Nam” Lưu hành nội bộ Thông Tin Toán Học Tổng biên tập: Lê Tuấn Hoa Ban biên tập: Phạm Trà Ân Nguyễn Hữu D Lê Mậu Hải Nguyễn Lê Hơng Nguyễn Thái Sơn Lê Văn Thuyết Đỗ Long Vân Nguyễn Đông Yên Bản tin Thông Tin Toán Học nhằm mục đích phản ánh các sinh hoạt chuyên môn trong cộng đồng toán học Việt nam và quốc tế. Bản tin ra thờng kì 4- 6 số trong một năm. Thể lệ gửi bài: Bài viết bằng tiếng việt. Tất cả các bài, thông tin về sinh hoạt toán học ở các khoa (bộ môn) toán, về hớng nghiên cứu hoặc trao đổi về phơng pháp nghiên cứu và giảng dạy đều đợc hoan nghênh. Bản tin cũng nhận đăng các bài giới thiệu tiềm năng khoa học của các cơ sở cũng nh các bài giới thiệu các nhà toán học. Bài viết xin gửi về toà soạn. Nếu bài đợc đánh máy tính, xin gửi kèm theo file (chủ yếu theo phông chữ unicode, hoặc .VnTime). Mọi liên hệ với bản tin xin gửi về: Bản tin: Thông Tin Toán Học Viện Toán Học 18 Hoàng Quốc Việt, 10307 Hà Nội e-mail: hthvn@math.ac.vn â Hội Toán Học Việt Nam 1 Vài nét về hoạt động khoa học của Giáo sư Hoàng Tụy Ngô Việt Trung (Viện Toán học) Giáo sư Hoàng Tụy sinh ngày 17 tháng 12 năm 1927 tại làng Xuân Đài, Điện Bàn, Quảng Nam trong một gia đình nho học yêu nước. Ông nội ông là em ruột Hoàng Diệu, tổng đốc thành Hà Nội, đã anh dũng chiến đấu chống quân Pháp và tự vẫn khi thành thất thủ. Ông nổi tiếng học giỏi khi còn nhỏ. Năm 1945 ông thi đỗ tú tài tại Huế và quay trở về quê tham gia cách mạng. Thời gian đầu cuộc kháng chiến chống Pháp ông dạy toán tạ i trường trung học Lê Khiết ở vùng kháng chiến Liên khu 5 từ năm 1947-1951. Ông đã viết cuốn sách giáo khoa toán học đầu tiên cho Liên Khu 5, được nhiều học sinh sử dụng vào thời kỳ này. Năm 1951, ông được chính phủ kháng chiến cử đi học ở vùng giải phóng Việt Bắc. Do ông đã học xong chương trình trước đó nên ông được Bộ giáo dục cử đi dạy ở Trường sư phạm trung cấp. Thời gian này ông tham gia tích cực vào việc nâng cao chất lượng giáo dục trung học trong vùng giải phóng. Kháng chiến thành công, ông được phân công dạy toán tại trường Đại học Khoa học, sau này là Đại học Tổng hợp Hà Nội. Năm 1955 ông được cử làm trưởng ban trù bị cải cách giáo dục phổ thông và tham gia viết những cuốn sách giáo khoa về toán đầu tiên. Năm 1957 ông là một trong 9 cán bộ giảng dạy đại học Việt Nam đầu tiên được cử sang thực tập nâng cao trình độ tại Liên Xô. Chỉ sau một năm ông đã hoàn thành một số công trình nghiên cứu đủ cho một luận án tiến sĩ. Ông bảo vệ luận án tiến sĩ năm 1959 và là một trong hai tiến sĩ toán-lý bảo vệ đầu tiên của Việt Nam tại Liên Xô. Từ năm 1961 đến 1968 ông là Chủ nhiệm Khoa Toán của Đại học Tổng hợp Hà Nội. Sau đó ông được c ử sang Ủy ban khoa học và kỹ thuật nhà nước làm trưởng ban toán lý, tiền thân của Viện Toán học và Viện Vật lý sau này. Ông là Viện trưởng Viện Toán học Việt Nam từ năm 1980 đến 1989. Trong toán học GS Hoàng Tụy đã viết hơn 150 công trình và được giới toán học thế giới coi là một trong những chuyên gia hàng đầu về vận trù học. Năm 1964, ông đã phát minh ra phương pháp "lát cắt Tụy" được coi là cột mốc đ ánh dấu sự ra đời của một chuyên ngành toán học mới: Lý thuyết tối ưu toàn cục. Ông luôn luôn cố gắng đưa Toán học vào thực tiễn. Ngoài ra, ông còn dồn nhiều nỗ lực của mình vào việc đóng góp ý kiến cho chính phủ về các lĩnh vực giáo dục, khoa học và kinh tế. Năm 1995, GS Hoàng Tụy được trao tặng bằng Tiến sĩ danh dự trường Đại học Linköping, Thụy Điển. 2 Năm 1996, ông được trao tặng Giải thưởng Hồ Chí Minh đợt I về Các công trình Héi To¸n Häc ViÖt Nam th«ng tin to¸n häc Th¸ng 3 N¨m 2007 TËp 11 Sè 1 Robert P. Langlands (sinh năm 1936) L−u hµnh néi bé Thông Tin Toán Học Tổng biên tập: Lê Tuấn Hoa Ban biên tập: Phạm Trà Ân Nguyễn Hữu D Lê Mậu Hải Nguyễn Lê Hơng Nguyễn Thái Sơn Lê Văn Thuyết Đỗ Long Vân Nguyễn Đông Yên Bản tin Thông Tin Toán Học nhằm mục đích phản ánh các sinh hoạt chuyên môn trong cộng đồng toán học Việt nam và quốc tế. Bản tin ra thờng kì 4- 6 số trong một năm. Thể lệ gửi bài: Bài viết bằng tiếng việt. Tất cả các bài, thông tin về sinh hoạt toán học ở các khoa (bộ môn) toán, về hớng nghiên cứu hoặc trao đổi về phơng pháp nghiên cứu và giảng dạy đều đợc hoan nghênh. Bản tin cũng nhận đăng các bài giới thiệu tiềm năng khoa học của các cơ sở cũng nh các bài giới thiệu các nhà toán học. Bài viết xin gửi về toà soạn. Nếu bài đợc đánh máy tính, xin gửi kèm theo file (đánh theo ABC, chủ yếu theo phông chữ .VnTime, hoặc unicode). Mọi liên hệ với bản tin xin gửi về: Bản tin: Thông Tin Toán Học Viện Toán Học 18 Hoàng Quốc Việt, 10307 Hà Nội e-mail: hthvn@math.ac.vn â Hội Toán Học Việt Nam 1 MẬT MÃ KHOÁ CÔNG KHAI Một sự kết hợp tuyệt vời giữa Toán học và Tin học Phạm Trà Ân (Viện Toán học) Thân tặng Đỗ Long Vân, nhân dịp Bạn tròn 65 tuổi. Về lịch sử, mật mã đã có từ thời rất xa xưa. Theo truyền thuyết thì người đầu tiên dùng mật mã trong truyền tin quân sự chính là Julius Caesar, một danh tướng thời La mã cổ đại. Có điều bất ngờ thú vị là ngày nay, xét về mặt cấu trúc toán học, tất cả các hệ mật mã có từ thời cổ đại cho đến tận nă m 1976, đều có cùng một cấu trúc với hệ mật mã của Caesar và đều dựa trên sơ đồ hoạt động sau: Các hệ mật mã này có chung một đặc điểm là hễ biết khoá lập mã e, thì cũng biết luôn khoá giải mã d và ngược lại. Chính vì vậy các hệ mã kiểu này còn được gọi là các hệ mã đối xứng hay các hệ mã hai chiều. Thí dụ ta hãy xét hệ mật mã mà chính Ceasar đã dùng. Công thức l ập mã như sau : Ký tự rõ + k (môdulô 26) = Ký tự mã, với k là một hằng số, nguyên và nhỏ hơn 26. Chẳng hạn, khi lấy k = 3 thì khoá lập mã e = + k = + 3. Khi lập mã, chữ A dịch chuyển thành chữ D, chữ B thành E,…chữ Z chuyển thành C. Bây giờ giả sử có bản rõ là “ TAN CONG VIEN TOAN ”, sau khi mã hoá, ta sẽ nhận được bản mã là “ WDQ FRQJ YLHQ WRDQ ”. Khoá giải mã d = -e = - k =-3. Khi áp khoá giải mã này vào bản mã “ WDQ FRQJ YLHQ WRDQ”, ta được lại bản rõ “ TAN CONG VIEN TOAN”. Để thám mã, chỉ cần thử lần lượt d = - k = -1, -2, . . . , -26 vào bản mã, ta chắc chắn sẽ tìm được một bản có nghĩa. Đó chính là bản rõ vậy. Các hệ mã khác như hệ mã biến đổi aphin, hệ mã Vigenère, mã tự điển, mã khoá ngẫu nhiên,… chỉ là các cải tiến, nhằm làm tăng độ mật của hệ mã, không làm thay đổi nguyên lý hoạt động của hệ. Các hệ mã tuân theo sơ đồ trên được xếp vào lớp Hệ mật mã cổ điển. Các hệ mật mã cổ điển có ưu điểm là đơn giản, dễ dùng, nhưng có nhược điểm là độ mật không cao và để tăng độ mật người ta thường phải không ngừng thay đổi khoá mã, do đó phải liên tục trao đổi khoá. Hình ảnh tiêu biểu cho “giai đoạn mật mã cổ đi ển” này là “Điệp viên 007”, mặc áo khoác chùm kín cổ, đội mũ phớt, đeo kính dâm, gặp nhau ở chỗ vắng vẻ trao đổi khoá cho nhau. Dưới con mắt của các nhà toán học, hình ảnh này không 2 lấy gì làm đẹp và thường đi liền với các hoạt động tiêu cực như gián điệp, tội ác, chiến tranh, Các nhà toán học vốn yêu hòa bình, ghét bạo lực. Vì vậy trong cả một thời gian dài của giai đoạn này, hầu hết các nhà toán học đã từ chối tham gia nghiên cứu lý thuyết mật mã. Chưa mời được “Nữ hoàng Toán học” vào nhà mình, Lý thuyết mật mã chưa thể trở thành một ngành khoa họ c theo đúng nghĩa của nó. Nó tạm dừng lại ở mức độ của một “nghệ thuật”, hiểu theo nghĩa hiệu quả của việc lập mã và thám mã còn phụ thuộc nhiều vào “tài lẻ” của ... Câu 12 Viết biểu thức D 24 a a  a   dạng lũy thừa a , ta được: A a http://megabook.vn/ B a C a D a Câu 13 Viết biểu thức A  13 23 dạng lũy thừa 2m với giá trị m 160,75 13 B C 6 Câu... số thực dương Biểu thức A – C x b2 b D x viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ b b B – C Câu 64 Cho x số thực dương Biểu thức D viết dạng lũy thừa với x x x x x x x x số mũ hữu tỉ A x 256 255 ... http://megabook.vn/ B a C 23 D 25 a8 viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ C a D a Câu 62 Cho x số thực dương Biểu thức x x viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ A x 12 12 B x Câu 63 Cho b số