Bài toán thực tế liên quan đến hình học

Bài toán thực tế liên quan đến hình học tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả c...

Header Page of 258 Bài toán thực tế liên quan đến hình học A Nội dung kiến thức Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính toán để đường ngắn nhất, tính toán để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật… Ta ý số kiến thức sau: Công thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình   Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a  BC, b  CA, c  AB, h  AH A Chu vi tam giác là: P  a  b  c Diện tích tam giác là: 1 S  ah  ab.sin C  p( p  a)( p  b)( p  c) 2 B H P (với p  ) Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm  (tính theo radian)   P   R 2   S   R2 Diện tích hình quạt là: S  2 R 2 C B Chu vi hình quạt là: P  2 R  α O A Hình nón, khối nón: Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường tròn đáy r có đọ dài đường sinh l là: S xq   rl Diện tích toàn phần hình nón tròn xoay diện tích xung quanh r h l hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp   rl   r  Thể tích khối nón tròn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: V   r h Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq  2 rl r Diện tích toàn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp  2 rl  2 r h Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V   r h Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) h  l Footer Page of 258 Page | Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 l Header Pagecầu, of khối 258 cầu:  Mặt Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2 Khối cầu bán kính R tích là: V   R3 R Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau: b x    Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị nhỏ 2a b  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị lớn x   2a  Với a, b số thực dương ta có: AM GM  ab ab ( a  b)  ab  Đẳng thức xảy a  b  Với a, b, c số thực dương ta có: AM GM abc  abc ( a  b  c )3  abc  Đẳng thức 27 xảy a  b  c Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay  Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b diện tích S hình phẳng giới hạn b đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b S   f ( x) dx a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng b x  a, x  b S   f ( x)  g ( x) dx a  Cho hàm số y  f ( x) liên tục  a; b Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b, quay xung quanh trục hoành tính theo b công thức : V    f ( x)dx a  Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  g ( x), (0  f ( x)  g ( x); f, g liên tục đoạn  a; b), x  a, x  b, quay xung quanh trục Ox b tính theo công thức : V     g ( x)  f ( x) dx a Footer Page of 258 Page | Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 Header Page of 258 B Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện A 3, 25 km B km C km D 1,5 km Lời giải Giả sử AS  x,0  x   BS   x Tổng chi phí mắc đường dây điện là: f ( x)  300 x  500  (4  x) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn f ( x) (0; 4) Cách 1: Ta có: 13  x  f '( x)   300  500    (4  x)  5(4  x)  ( x  4)    16  (4  x)  x  19  13 So sánh với điều kiện ta có x   3, 25 Đáp án A Cách 2: Ta có: f (3, 25)  1600; f (1)  1881,13883; f (2)  1718,033989; f (1,5)  1796, 291202 Như ta tìm A đáp án Bình luận: Không bạn đọc Bài tốn thực tế liên quan đến hình học A Nội dung kiến thức Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính tốn để đường ngắn nhất, tính tốn để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật… Ta ý số kiến thức sau: Cơng thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình   Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a  BC, b  CA, c  AB, h  AH A Chu vi tam giác là: P  a  b  c Diện tích tam giác là: 1 S  ah  ab.sin C  p( p  a)( p  b)( p  c) 2 B H P (với p  ) Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm  (tính theo radian)   P   R 2   S   R2 Diện tích hình quạt là: S  2 R 2 C B Chu vi hình quạt là: P  2 R  α O A Hình nón, khối nón: Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường tròn đáy r có đọ dài đường sinh l là: S xq   rl Diện tích tồn phần hình nón tròn xoay diện tích xung quanh r h l hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp   rl   r  Thể tích khối nón tròn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: V   r h Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq  2 rl r Diện tích tồn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp  2 rl  2 r Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V   r h Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) h  l h l  Mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2 Khối cầu bán kính R tích là: V   R3 R Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau: b  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị nhỏ x   2a b  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị lớn x   2a  Với a, b số thực dương ta có: AM GM  ab ab ( a  b)  ab  Đẳng thức xảy a  b  Với a, b, c số thực dương ta có: AM GM abc  abc ( a  b  c )3  abc  Đẳng thức 27 xảy a  b  c Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay  Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b diện tích S hình phẳng giới hạn b đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b S   f ( x) dx a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng b x  a, x  b S   f ( x)  g ( x) dx a  Cho hàm số y  f ( x) liên tục  a; b Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b, quay xung quanh trục hồnh tính theo b cơng thức : V    f ( x)dx a  Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  g ( x), (0  f ( x)  g ( x); f, g liên tục đoạn  a; b), x  a, x  b, quay xung quanh trục Ox b tính theo cơng thức : V     g ( x)  f ( x) dx a B Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện A 3, 25 km B km C km D 1,5 km Lời giải Giả sử AS  x,0  x   BS   x Tổng chi phí mắc đường dây điện là: f ( x)  300 x  500  (4  x) Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn f ( x) (0; 4) Cách 1: Ta có: 13  x  f '( x)   300  500    (4  x)  5(4  x)  ( x  4)    16  (4  x)  x  19  13 So sánh với điều kiện ta có x   3, 25 Đáp án A Cách 2: Ta có: f (3, 25)  1600; f (1)  1881,13883; f (2)  1718,033989; f (1,5)  1796, 291202 Như ta tìm A đáp án Bình luận: Khơng bạn đọc cho cách giải thứ hai không khoa học làm vẻ đẹp toán học Quan điểm tác giả Cách Cách sau:  Cả hai cách phải tìm giá trị lớn f ( x) (0; 4) (4  x)  Cách 1: Chúng ta giải cách khảo sát hàm số f ( x) khoảng (0; 4) để tìm  giá trị x mà f ( x) đạt giá trị lớn nhất; tiếp theo, so sánh kết tìm với đáp án A, B, C, D để tìm câu trả lời cho câu hỏi Cách 2: Sau lập hàm số f ( x) Cách 1, tính f (3, 25), f (1), f (2), f (1,5); số  lớn bốn số tính giá trị lớn f ( x) Từ đó, hiển nhiên, dễ dàng tìm câu trả lời cho câu hỏi Có thể thấy, rõ ràng Cách giúp ta tìm đáp án nhanh cách Sự khác biệt Cách Cách nêu nằm quan niệm tình đặt Với Cách 1, ta coi phương án A, B, C, D liệu đưa để đối chiếu; với Cách 2, ta coi phương án A, B, C, D giả thiết tình đặt  Có lẽ tập trắc nghiệm làm theo Cách đơi phần hạn chế việc kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm, nhiên trình làm thi câu hỏi người đề ngầm ấn định khoảng thời gian làm bài, theo tác giả gặp câu hỏi phòng thi học sinh nên làm theo Cách Ví dụ Một sổ có dạng hình vẽ, bao gồm: hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm nằm cạnh hình chữ nhật Biết chu vi cho phép của sổ m Hỏi diện tích lớn cửa sổ A m2 4 B m2 4 C m D m2  3 Lời ...Bài toán thực tế liên quan đến hình học A Nội dung kiến thức Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính toán để đường ngắn nhất, tính toán để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật… Ta ý số kiến thức sau: Công thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình   Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a  BC, b  CA, c  AB, h  AH A Chu vi tam giác là: P  a  b  c Diện tích tam giác là: 1 S  ah  ab.sin C  p( p  a)( p  b)( p  c) 2 B H P (với p  ) Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm  (tính theo radian)   P   R 2   S   R2 Diện tích hình quạt là: S  2 R 2 C B Chu vi hình quạt là: P  2 R  α O A Hình nón, khối nón: Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường tròn đáy r có đọ dài đường sinh l là: S xq   rl Diện tích toàn phần hình nón tròn xoay diện tích xung quanh r h l hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp   rl   r  Thể tích khối nón tròn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: V   r h Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq  2 rl r Diện tích toàn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp  2 rl  2 r h Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V   r h Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) h  l Page | Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 l  Mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2 Khối cầu bán kính R tích là: V   R3 R Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau: b  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị nhỏ x   2a b  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị lớn x   2a  Với a, b số thực dương ta có: AM GM  ab ab ( a  b)  ab  Đẳng thức xảy a  b  Với a, b, c số thực dương ta có: AM GM abc  abc ( a  b  c )3  abc  Đẳng thức 27 xảy a  b  c Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay  Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b diện tích S hình phẳng giới hạn b đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b S   f ( x) dx a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng b x  a, x  b S   f ( x)  g ( x) dx a  Cho hàm số y  f ( x) liên tục  a; b Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b, quay xung quanh trục hoành tính theo b công thức : V    f ( x)dx a  Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  g ( x), (0  f ( x)  g ( x); f, g liên tục đoạn  a; b), x  a, x  b, quay xung quanh trục Ox b tính theo công thức : V     g ( x)  f ( x) dx a Page | Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 B Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện A 3, 25 km B km C km D 1,5 km Lời giải Giả sử AS  x,0  x   BS   x Tổng chi phí mắc đường dây điện là: f ( x) www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Bài toán thực tế liên quan đến hình học oc 01 A Nội dung kiến thức D H Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính toán để đường ngắn nhất, tính toán để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật… Ta ý số kiến thức sau: Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a  BC, b  CA, c  AB, h  AH nT A Chu vi tam giác là: P  a  b  c Diện tích tam giác là: 1 S  ah  ab.sin C  p( p  a)( p  b)( p  c) 2 B H P (với p  ) Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm  (tính theo radian)   P   R 2   S   R2 Diện tích hình quạt là: S  2 R 2 O om /g A Hình nón, khối nón: Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường tròn đáy r có đọ dài đường sinh l là: S xq   rl .c  B α ro Chu vi hình quạt là: P  2 R C up s/  Ta iL ie uO  hi Công thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình ok Diện tích toàn phần hình nón tròn xoay diện tích xung quanh r h l bo hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp   rl   r fa ce Thể tích khối nón tròn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: V   r h Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq  2 rl w w w  r Diện tích toàn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp  2 rl  2 r h Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V   r h Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) h  l Page | Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 l www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2 Khối cầu bán kính R tích là: V   R3 R Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Với a, b số thực dương ta có:  ab ab ( a  b)  ab  Đẳng thức xảy nT  AM GM hi D H oc Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau: b x    Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị nhỏ 2a b  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị lớn x   2a 01  Với a, b, c số thực dương ta có: AM GM abc xảy a  b  c Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc  abc ( a  b  c )3  abc  Đẳng thức 27 Ta iL ie  uO a  b Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b diện tích S hình phẳng giới hạn ro  up s/ Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay b  om /g đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b S   f ( x) dx Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục đoạn b x  a, x  b S   f ( x)  g ( x) dx .c  a; b hai đường thẳng a Cho hàm số y  f ( x) liên tục  a; b Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới ok  a bo hạn đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b, quay xung quanh trục hoành tính theo b a Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  g ( x), fa  ce công thức : V    f ( x)dx b tính theo công thức : V     g ( x)  f ( x) dx a w w w (0  f ( x)  g ( x); f, g liên tục đoạn  a; b), x  a, x  b, quay xung quanh trục Ox Page | Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 B Ví dụ minh hoạ A 3, 25 km B km C km Giả sử AS  x,0  x   BS   x D 1,5 km Ta iL ie Lời giải uO nT hi D H oc 01 Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện Tổng chi phí mắc đường dây điện là: f ( x)  300 x  500  (4  x) up s/ Bài toán trở thành tìm giá trị lớn f ( x) (0; 4) Cách 1: Ta có: Bài toán thực tế liên quan đến hình học A Nội dung kiến thức Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính toán để đường ngắn nhất, tính toán để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật… Ta ý số kiến thức sau: Công thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình   Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a  BC, b  CA, c  AB, h  AH A Chu vi tam giác là: P  a  b  c Diện tích tam giác là: 1 S  ah  ab.sin C  p( p  a)( p  b)( p  c) 2 B H P (với p  ) Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm  (tính theo radian)   P   R 2   S   R2 Diện tích hình quạt là: S  2 R 2 C B Chu vi hình quạt là: P  2 R  α O A Hình nón, khối nón: Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường tròn đáy r có đọ dài đường sinh l là: S xq   rl Diện tích toàn phần hình nón tròn xoay diện tích xung quanh r h l hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp   rl   r  Thể tích khối nón tròn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: V   r h Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq  2 rl r Diện tích toàn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp  2 rl  2 r h Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V   r h Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) h  l Page | Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 l  Mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2 Khối cầu bán kính R tích là: V   R3 R Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau: b x    Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị nhỏ 2a b  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị lớn x   2a  Với a, b số thực dương ta có: AM GM  ab ab ( a  b)  ab  Đẳng thức xảy a  b  Với a, b, c số thực dương ta có: AM GM abc  abc ( a  b  c )3  abc  Đẳng thức 27 xảy a  b  c Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay  Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b diện tích S hình phẳng giới hạn b đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b S   f ( x) dx a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng b x  a, x  b S   f ( x)  g ( x) dx a  Cho hàm số y  f ( x) liên tục  a; b Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b, quay xung quanh trục hoành tính theo b công thức : V    f ( x)dx a  Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  g ( x), (0  f ( x)  g ( x); f, g liên tục đoạn  a; b), x  a, x  b, quay xung quanh trục Ox b tính theo công thức : V     g ( x)  f ( x) dx a Page | Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 B Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện A 3, 25 km B km C km D 1,5 km Lời giải Bài toán thực tế liên quan đến hình học A Nội dung kiến thức Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính toán để đường ngắn nhất, tính toán để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật… Ta ý số kiến thức sau: Công thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình   Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a  BC, b  CA, c  AB, h  AH A Chu vi tam giác là: P  a  b  c Diện tích tam giác là: 1 S  ah  ab.sin C  p( p  a)( p  b)( p  c) 2 B H P (với p  ) Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm  (tính theo radian)   P   R 2   S   R2 Diện tích hình quạt là: S  2 R 2 C B Chu vi hình quạt là: P  2 R  α O A Hình nón, khối nón: Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường tròn đáy r có đọ dài đường sinh l là: S xq   rl Diện tích toàn phần hình nón tròn xoay diện tích xung quanh r h l hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp   rl   r  Thể tích khối nón tròn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: V   r h Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq  2 rl r Diện tích toàn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp  2 rl  2 r h Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V   r h Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) h  l Page | Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 l  Mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2 Khối cầu bán kính R tích là: V   R3 R Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau: b x    Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị nhỏ 2a b  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị lớn x   2a  Với a, b số thực dương ta có: AM GM  ab ab ( a  b)  ab  Đẳng thức xảy a  b  Với a, b, c số thực dương ta có: AM GM abc  abc ( a  b  c )3  abc  Đẳng thức 27 xảy a  b  c Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay  Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b diện tích S hình phẳng giới hạn b đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b S   f ( x) dx a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng b x  a, x  b S   f ( x)  g ( x) dx a  Cho hàm số y  f ( x) liên tục  a; b Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b, quay xung quanh trục hoành tính theo b công thức : V    f ( x)dx a  Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  g ( x), (0  f ( x)  g ( x); f, g liên tục đoạn  a; b), x  a, x  b, quay xung quanh trục Ox b tính theo công thức : V     g ( x)  f ( x) dx a Page | Nguyễn Bá Hoàng_ĐT: 0936.407.353 B Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện A 3, 25 km ... (làm tròn đến hàng đơn vị) A 20 m3 B 50 m3 C 40 m3 D 100 m3 Bài 58 Một hình nón có chiều cao gấp lần bán kính đáy Một hình trụ nội tiếp hình nón 16  dm3 cho Hãy tính diện tích xuang quanh hình nón,... hình ngũ giác, 20 mảnh da hình lục giác C 10 mảnh da hình ngũ giác, 20 mảnh da hình lục giác D 12 mảnh da hình ngũ giác, 24 mảnh da hình lục giác Bài 60 Một khối gạch hình lập phương khơng thấm... cắt bốn góc bốn hình vng gấp lại tạo thành hình hộp khơng nắp Tìm cạnh hình vng bị cắt để thể tích hình hộp lớn a a a a A B C D Bài 73 Từ nhơm hình vng cạnh 200 cm, cắt nhơm hình tam giác vng