Bài toán thực tế liên quan đến hình học nguyễn bá hoàng

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Bài toán thực tế liên quan đến hình học A Nội dung kiến thức Bài toán thực tế liên quan đến hình học thường xoay quanh số nội dung sau: Tính toán để đường ngắn nhất, tính toán để diện tích lớn nhất, hay đơn giản tính diện tích thể tích vật… Ta ý số kiến thức sau: Công thức tính chu vi, diện tích hình, thể tích khối hình   Hình tam giác: Cho tam giác ABC đường cao AH, đặt a  BC, b  CA, c  AB, h  AH A Chu vi tam giác là: P  a  b  c Diện tích tam giác là: 1 S  ah  ab.sin C  p( p  a)( p  b)( p  c) 2 B H P (với p  ) Hình quạt: Xét hình quạt OAB có bán kính R, góc tâm  (tính theo radian)   P   R 2   S   R2 Diện tích hình quạt là: S  2 R 2 C B Chu vi hình quạt là: P  2 R  α O A Hình nón, khối nón: Diện tích xuang quanh hình nón có bán kính đường tròn đáy r có đọ dài đường sinh l là: S xq   rl Diện tích toàn phần hình nón tròn xoay diện tích xung quanh r h l hình nón cộng với diện tích đáy hình nón: Stp   rl   r  Thể tích khối nón tròn xoay có có chiều cao h bán kính đáy r là: V   r h Hình trụ, khối trụ: Diện tích xuang quanh hình trụ có bán kính đáy r có đường sinh l là: S xq  2 rl r Diện tích toàn phần hình trụ diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai đáy hình trụ: Stp  2 rl  2 r h Thể tích khối trụ có chiều cao h có bán kính đáy r là: V   r h Chú ý: Trường hợp hình lăng trụ đứng khối lăng trụ đứng (như hình vẽ) h  l Page | BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) l Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;)  Mặt cầu, khối cầu: Mặt cầu bán kính R có diện tích là: S  4 R2 Khối cầu bán kính R tích là: V   R3 R Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đoạn, khoảng, nửa đoạn, nửa khoảng Có lẽ toán quen thuộc với nhiều bạn đọc, tác giả không nhắc lại phương pháp khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhỏ Tác giả cung cấp thêm cho bạn đọc số công thức sau: b  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị nhỏ x   2a b  Cho hàm số y  ax  bx  c, a  hàm số cho đạt giá trị lớn x   2a  Với a, b số thực dương ta có: AM GM  ab ab ( a  b)  ab  Đẳng thức xảy a  b  Với a, b, c số thực dương ta có: AM GM abc  abc ( a  b  c )3  abc  Đẳng thức 27 xảy a  b  c Phần chứng minh xin để lại cho bạn đọc Ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối tròn xoay  Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  a; b diện tích S hình phẳng giới hạn b đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b S   f ( x) dx a  Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục đoạn  a; b hai đường thẳng b x  a, x  b S   f ( x)  g ( x) dx a  Cho hàm số y  f ( x) liên tục  a; b Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  0, x  a, x  b, quay xung quanh trục hoành tính theo b công thức : V    f ( x)dx a  Thể tích V khối tròn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường : y  f ( x), y  g ( x), (0  f ( x)  g ( x); f, g liên tục đoạn  a; b), x  a, x  b, quay xung quanh trục Ox b tính theo công thức : V     g ( x)  f ( x) dx a Page | Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) B Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một đường dây điện nối từ nhà máy điện bờ biển vị trí A đến vị trí C đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền đoạn BC có độ dài km, khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000USD, km dây điện đặt ngầm biển 5000USD Hỏi điểm S phải cách điểm A km để chi phí mắc đường dây điện A 3, 25 km B km C km D 1,5 km Lời giải Giả sử AS  x,0  x   BS   x Tổng chi phí mắc đường dây điện là: f ( x)  300 x  500  (4  x) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn f ( x) (0; 4) Cách 1: Ta có: 13  x  f '( x)   300  500    (4  x)  5(4  x)  ( x  4)    16  (4  x)  x  19  13 So sánh với điều kiện ta có x   3, 25 Đáp án A Cách 2: Ta có: f (3, 25)  1600; f (1)  1881,13883; f (2)  1718,033989; f (1,5)  1796, 291202 Như ta tìm A đáp án Bình luận: Không bạn đọc cho cách giải thứ hai không khoa học làm vẻ đẹp toán học Quan điểm tác giả Cách Cách sau:  Cả hai cách phải tìm giá trị lớn f ( x) (0; 4) (4  x)  Cách 1: Chúng ta giải cách khảo sát hàm số f ( x) khoảng (0; 4) để tìm  giá trị x mà f ( x) đạt giá trị lớn nhất; tiếp theo, so sánh kết tìm với đáp án A, B, C, D để tìm câu trả lời cho câu hỏi Cách 2: Sau lập hàm số f ( x) Cách 1, tính f (3, 25), f (1), f (2), f (1,5); số  Page | lớn bốn số tính giá trị lớn f ( x) Từ đó, hiển nhiên, dễ dàng tìm câu trả lời cho câu hỏi Có thể thấy, rõ ràng Cách giúp ta tìm đáp án nhanh cách Sự khác biệt Cách Cách nêu nằm quan niệm tình đặt Với Cách 1, ta coi phương BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) án A, B, C, D liệu đưa để đối chiếu; với Cách 2, ta coi phương án A, B, C, D giả thiết tình đặt  Có lẽ tập trắc nghiệm làm theo Cách đôi phần hạn chế việc kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm, nhiên trình làm thi câu hỏi người đề ngầm ấn định khoảng thời gian làm bài, theo tác giả gặp câu hỏi phòng thi học sinh nên làm theo Cách Ví dụ Một sổ có dạng hình vẽ, bao gồm: hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm nằm cạnh hình chữ nhật Biết chu vi cho phép của sổ m Hỏi diện tích lớn cửa sổ A m2 4 B m2 4 C m D m2  3 Lời giải Gọi độ dài IA AB lầ lượt a b (0  a, b  4) Vì chu vi cửa sổ 4m nên ta có:  a  (2a  2b)   b    a  2a (1) Diện tích cửa sổ là:   a  2a  a2    S ( a )  4a  2a       a  4a 2 2  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn S (a) (0; 4) S (a)   a2  2a Cách 1: Ta có: S '(a)    4a   a   a    Suy ra: max S (a)  S   x        Đáp án B Cách 2: Do S (a) hàm số bậc hai có hệ số a âm nên đạt giá trị lớn khi: a              a   max S (a)  S   x  4        Đáp án B Bình luận: Vì (1) không biểu diễn a theo b mà lại biểu diễn b theo a? Đâu có bạn đọc nghĩ việc biểu diễn a theo b hay biểu diễn b theo a bước làm không ảnh hưởng đến trình làm Liệu điều có đúng? Câu trả lời không? Chúng ta biết cửa gồm hai phận (bộ phận hình chữ nhật phận có dạng nửa đường tròn), hai phận tính diện tích phải tính theo a Như biểu diễn a theo b việc tính toán phức tạp biểu diễn b theo a Công việc tưởng chừng đơn giản giúp ích nhiều cho bạn đọc tính toán Page | Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Ví dụ Có hai cột dựng mặt đất cao m m, đỉnh hai cột cách m Người ta cần chọn vị trí mặt đất (nằm hai chân cột) giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mô hình bên Tính độ dài dây ngắn A B 41 m C 37 m 29 m D m Lời giải Kẻ AF  BE  DE  AF    Đặt DC  x,(0  x  4)  CE   x Độ dài đoạn dây cần giăng là: 2 f ( x)   x  16  (4  x)2  f ( x)   x  x  8x  32 Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ f ( x) (0; 4) Ta có: f '( x)   x  x4 0 1 x x  x  32 Dùng MTCT sử dụng tính nhẩm nghiệm ta tính được: 2 f '( x)   x  0,8  f ( x)  f (0,8)  41 Đáp án A Ví dụ Một hình ti vi hình chữ nhật cao 1,4 m đặt độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn ( BOC góc nhìn) Hãy xác định độ dài AO để nhìn rõ A AO  2, m B AO  m C AO  2,6 m D AO  m Lời giải Đặt: AO  x,( x  0)  OB  x  3, 24, OC  x  10, 24 Ta có: cos BOC  OB  OC  BC x  3, 24  x  10, 24  1,96   2OB.OC x  3, 24 x  10, 24 x  5, 76 x  3, 24 x  10, 24 Góc nhìn BOC lớn cos BOC bé Cách 1: Page | BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Đặt: t  x , t  Xét: f (t )  t  5, 76 t  5, 76  t  3, 24 t  10, 24 t  13, 48t  33,1776 t  13, 48t  33,1776  t  6, 74 t  13, 48t  33,1776 t  13, 48t  33,1776 Ta có: f '(t )  f '(t )   0,98t  5, 6448 t  13, 48t  33,1776  (t  5, 76)  f '(t )   t  5, 76 Suy cos BOC lớn x  5, 76  2, Đáp án A Cách 2: Ta thử xem đáp án cho đáp án làm cos BOC nhỏ đáp án cần tìm Đặt: f ( x)  x  5, 76 x  3, 24 x  10, 24 Ta có: 24  0,96; f (2)  0,9612260675; f (2,6)  0,960240166; f (3)  0,960240166 25 Từ suy A đáp án Ví dụ Mỗi trang giấy sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2 Lề lề 3cm, lề trái lề phải cm Hãy cho biết kích thước tối ưu trang giấy A Dài 24 cm; rộng 16 cm B Dài 23,5 cm; rộng 17 cm C Dài 25 cm; rộng 15,36 cm D Dài 25,6 cm; rộng 15 cm Lời giải Trang giấy có kích thước tối ưu diện tích phần trình bày nội dung lớn 384 Gọi chiều dài trang giấy x, ( x  6), suy chiều rộng x 2304  384     4 x   408 Diện tích để trình bày nội dung là: f ( x)  ( x  6)  x  x  f (2, 4)  Ta cần tìm giá trị lớn f ( x) với x  Ta có: f '( x)  4  2304  f '( x)   x  24 x2 Đáp án A Ví dụ (Đề minh hoạ lần kỳ thi THPTQG năm 2017) Cho nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhôm bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x (cm), gập nhôm lại hình vẽ để hộp không nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x  Page | B x  C x  Lời giải D x  Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Thể tích hộp là: V ( x)  x(12  x)2 Ta cần tìm x để V ( x) đạt giá trị lớn với  x  Cách 1: Ta có: V (6)  0; V (3)  108; V (2)  128; V (4)  64 Suy C đáp án Cách 2: Ta có: V ( x)  x( x2  12 x  36)  x3  48x2  144 x x  Suy ra: V '( x)   12 x  96 x  144    x  Mà V (6)  0; V (2)  128 nên x  thoả mãn đề Đáp án C Cách 3: Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:  x  (6  x)  (6  x)  V ( x)  2.2 x(6  x)(6  x)     2.64  128   Đẳng thức xảy khi: x   x  x  Đáp án C Cách 4: Sử dụng chức TABLE MTCT (fx-570ES PLUS) ta thực sau: Bước 1: Nhấn MODE chọn chức TABLE cách nhấn số Bước 2: Màn hình yêu cầu nhập hàm số f ( x) bạn đọc nhập V ( x) vào sau nhấn dấu “=” AM -GM Bước 3: Màn hình “Start?” giá trị bắt đầu, bọn đọc nhấn số sau nhấn dấu “=” Màn hình tiếp “End?” giá trị kết thúc, bạn đọc nhấn số sau nhấn dấu “=” Màn hình lại tiếp “Step?” khoảng cách mà bạn đọc cần chọn để đặt khoảng cách cho giá trị x, với bạn đọc nhấn số sau nhấn dấu “=” Bước 4: Màn hình lên cho ta bảng gồm hai cột, cột bên trái giá trị x kẻm theo giá trị tương ứng V ( x) bên phải Dựa vào bảng bạn đọc suy x  V ( x) lớn Đáp án C Bình luận: Sau xem cách giải có bạn đọc cho cách giải thứ cách giải thứ tư nhanh chóng đơn giản Tuy nhiên quan điểm tác sau:  Cách giải thứ áp dụng  Cách giải thứ tư không hữu ích toán biến số số lẻ (hay bạn đọc gọi số xấu) giá trị f ( x) bảng lớn (nhỏ nhất) chưa hẳn lớn (nhỏ nhất) miền ta xét Ở ví dụ giá trị x đưa phương án A, B, C, D số nguyên nên ta nhanh chóng so sánh đối chiếu với giá trị máy tính  Theo tác giả cách giải thứ ba nhanh chóng khoa học nhất, làm tác giả giải chi tiết, tác giả tìm giá trị lớn V ( x) Tuy nhiên tìm x để V ( x) lớn ta tìm nhờ việc giải phương trình: x  12  x x   x, hai phương trình cho ta nghiệm x   Câu hỏi: Tại tác giả lại tìm hai phương trình x  12  x x   x ? Câu trả lời đơn giản, mục A (kiến thức cần nhớ) tác giả cung cấp cho bạn đọc dẫn xuất bất đẳng thức AM-GM là: Ta có: AM GM abc  abc ( a  b  c )3  abc  , với a, b, c số thực dương 27 Đẳng thức xảy a  b  c Page | BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Dẫn xuất bất đẳng thức AM-GM phần tác giả đóng khung mạnh toán chuyển trạng thái liên kiết a, b, c từ liên kết nhân sang liên kết cộng Trở lại với toán Ta cần tìm x để V ( x)  x(12  x)2 đạt giá trị lớn với  x  Trong biểu thức V ( x) có liên kết nhân cụ thể liên kết nhân x, 12  2x 12  x, ta dùng AM-GM để chuyển sang liên kết cộng tổng:  x  (12  x)  (12  x)   24  3x      , rõ ràng     ta không khử x Tuy nhiên ta nhân thêm vào chuyện khác: V ( x)  x(12  x)(12  x) AM GM 3  AM -GM x  (12  x)  (12  x)   V ( x)  x(12  x)(12  x)     512  128, 4  đẳng thức xảy khi: x  12  x  x  Như để giải toán bạn đọc cần giải phương trình x  12  x x   x tìm ran gay đáp án Việc tìm hai phương trình không khó bước xác định điểm rơi đơn giản bất đẳng thức AM-GM  Câu hỏi: Nếu đề yêu cầu tìm giá trị lớn V ( x) liệu việc tính toán có thời gian gây sai lầm tính toán không, có số mũ chưa kể khả số xấu? Rõ ràng việc tìm giá trị lớn biểu thức dài có lẽ trở ngại định cho số bạn đọc, để giải vấn đề (cách làm áp dụng cho hình thức thi trắc nghiệm) bạn đọc làm sau: Đầu tiên bạn đọc xác định điểm rơi để tìm x với mục đích xác định xem x V ( x) lớn (giả sử x  x0 ), sau bạn đọc tính V ( x0 ) bạn đọc tìm giá trị lớn V ( x) Cụ thể ta tìm giá trị lớn V ( x) ví dụ sau: Bước 1: Giải phương trình x  12  x ta có x  Bước 2: Tính V (2) ta có giá trị lớn V ( x)  128 Ví dụ Một người thợ khí vẽ bốn nửa đường tròn nhôm hình vuông cạnh m, sau cắt thành hình hoa (phần tô đậm hình vẽ) Hãy tính diện tích hoa cắt A 0,56 m2 C 0,57 m2 D 0,44 m2 Lời giải Nhận xét: Diện tích nửa cánh hoa diện tích phần tư đường tròn trừ diện tích tam giác ABC (xem hình vẽ bên) 1 Diện tích nửa cánh hoa là: 3,14.0,52  0,52  0,07125 (m ) Diện tích hoa cắt là: 0,07125.8  0,57 (m2 ) Đáp án C Page | B 0,43 m2 A B 0,5 m Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 C Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Ví dụ (Đề minh hoạ kỳ thi THPTQG năm 2017) Từ nhôm hình chữ nhật có kích thước 50 cm  240 cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50 cm, theo hai cách sau (xem hình minh hoạ dướu đây): Cách 1: Gò tôn ban đầu thành mặt xung quanh thùng Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gò thành mặt xung quang thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gò theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gò theo cách Tính tỉ số A V1 V2 V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Lời giải Gọi bán kính đáy thùng gò theo cách R1 bán kính đáy thùng gò theo cách V1 50. R12 R12   R2 Ta có: V2 2.50. R22 R22 Mà: 240  2 R1  4 R2  Suy ra: R1 R2   12  R2 R2 V1   V2 Đáp án C Ví dụ Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần để làm mũ biết vành mũ hình tròn ống mũ hình trụ 35 cm 10 cm 35 cm A 700 cm2 B 754, 25 cm2 C 750, 25 cm2 D 756, 25 cm2 Lời giải 35  2.10  7,5 cm Diện tích vải để làm ống mũ là: S1  2 Rh   R2  2 7,5.30   7,52  506, 25 (cm2) Ống mũ hình trụ với chiều cao h  30 cm, bán kính đáy R  Diện tích vải để vành mũ là: S2   17,52   7,52  250 (cm2) Page | BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Tổng diện tích vải cần để mũ là: 506, 25  250  756, 25 (cm2) Đáp án D Ví dụ 10 Người ta giăng lưới để nuôi riêng loại cá góc hồ Biết lưới giăng theo đường thẳng từ vị trí bờ ngang đến vị trí bờ dọc phải qua cọc cắm sẵn vị trí A Hỏi diện nhỏ giăng bao nhiêu, biết khoảng cách từ cọc đến bờ ngang m khoảng cách từ cọc đến bờ dọc 12 m A 120 m2 B 156 m2 C 238,008(3) m2 Lời giải Đặt tên điểm hình vẽ Đặt CJ  x, ( x  0) Vì hai tam giác AJC BKA hai tam giác đồng dạng nên: D 283,003(8) m2 x 12 60   KB  KB x  60  Diện tích khu nuôi cá là: S ( x)  ( x  5)   12   x  1 300 150   S ( x)   60  12 x   60   S ( x)  x   60 2 x x  150 Ta có: S '( x)      x  x Suy diện tích nhỏ giăng là: S (5)  120 (m2) Đáp án A Ví dụ 11 Một khối lập phương có cạnh m chứa đầy nước Đặt vào khối khối nón có đỉnh trùng với tâm mặt lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước tràn lượng nước ban đầu khối hộp A  12 B 12  C  D  Lời giải Thể tích lượng nước tràn thể tích khối nón  Thể tích khối nón là: S1  1. 0,52  S1  12 Thể tích khối lập phương là: S2  1.1.1  S2  Page | 10 Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) A 40 cm B 40 cm C 80 cm D 40 cm Bài 74 Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ Kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội – Huế), người ta cắm hai cọc MA NB cao 1,5 mét so với mặt đất Hai cọc song song, cách 10 mét thẳng hàng so với tim cột cờ (xem hình vẽ minh hoạ) Đặt giác kế đứng A B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta đo góc 51 40'12'' 45  39' so với đường song song mặt đất Hãy tính chiều cao cột cờ (làm tròn đến 0,01 m) A B M N A 52,20 m B 52,29 m C 52,30 m D 52,31 m Bài 75 Người ta muốn làm đường từ địa điểm A đến địa điểm B hai bên bờ sông, số liệu thể hình vẽ, đường làm theo đường gấp khúc AMNB Biết chi phí xây dựng km đường bên bờ có điểm B gấp 1,3 lần chi phí xây dựng km đường bên bờ có điểm A, chi phí làm cầu MN địa điểm Hỏi phải xây dựng cầu điểm M cách điểm H (làm tròn đến 0,001 km) để chi phí làm đường nhỏ B 1,2 km H 1,5 km N sông M 4,1 km A A 1,758 km B 2,630 km C 2,360 km D Kết khác Bài 76 Một ống thép tròn phi 21 theo tiêu chuẩn Lào có đường kính 15 mm, độ dày mm chiều dài ống m Biết khối lượng riêng thép 7800 kg/m3 Hỏi 10 thép nguyên liệu làm tối đa ống thép (làm tròn đến hàng đơn vị) theo tiêu chuẩn A 1998 ống B 2000 ống C 2001 ống D 1999 ống Bài 77 Khi thiết kế vỏ lon sữa bò hình trụ nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí làm vỏ lon nhỏ (diện tích toàn phần nhỏ nhất) Muốn thể tích lon sữa V mà diện tích toàn phần lon sữa nhỏ bán kính đáy lon V V V V B R  C V  D R  2 2   Bài 78 Một lon sữa hình trụ tròn xoay có chiều cao 10 cm đường kính đáy cm Nhà sản xuất muốn tiết kiệm chi phí sản xuất vỏ lon mà không làm thay đổi thể tích lon sữa nên hạ chiều cao lon sữa hình trụ tròn xoay xuống cm Tính bán kính đáy lon sữa A R  45 65 45 cm B R  45 cm C R  cm D R  cm 2 Bài 79 Một đội xây dựng cần hoàn thiện hệ thống cột tròn cửa hàng kinh doanh gồm 10 cột Trước hoàn thiện cột khối bê tông hình lăng trụ lục giác có cạnh A R  Page | 31 BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 20 cm; sau hoàn thiện cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh cột khối trụ có đường kính đáy 42 cm Chiều cao cột trước sau hoàn thiện m Biết lượng xi măng cần dùng chiếm 80% lượng vữa bao xi măng 50 kg tương đương với 6400 cm3 xi măng Hỏi cần bao xi măng loại 50 kg để hoàn thiện toàn hệ thống cột A 25 bao B 18 bao C 28 bao D 22 bao Bài 80 Một bìa hình vuông, người ta cắt bỏ góc bìa hình vuông có cạnh 12 cm gấp lại thành hình hộp chữ nhật không nắp Nếu dung tích hộp 4800 cm3 cạnh bìa A 38 cm B 36 cm C cm D 42 cm Bài 81 Một khối lập phương có cạnh 1m Người ta sơn đỏ tất mặt khối lập phương cắt khối lập phương mặt phẳng song song với mặt khối lập phương để 1000 khối lập phương có cạnh 10 cm Hỏi khối lập phương thu sau cắt có khối lập phương tô đỏ số mặt A 64 B 81 C 100 D 96 Bài 82 Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác với tất cạnh a Người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói a2 a2 a2 B C D Kết khác Bài 83 Một nhôn hình chữ nhật có kích thước a  2a Người ta nhôm thành hình trụ Nếu hình trụ tạo thành có chiều dài đường sinh 2a bán kính đáy bao nhiêu: a a a A B C D 2 a 2  A Page | 32 Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) D Hướng dẫn, đáp án Hướng dẫn Bài Gọi độ dài cạnh hình tam giác x ( x  0), ta có cạnh hình vuông là:  3x x   3x    Tổng diện tích hai hình là: S       x  36 x  36   16 Smin x   Bài  36 94  x   54  24 11 Gọi chiều dài chiều rộng khu đất rào x y (0  y  x  200) Ta có: x  y  200  x  200  y Diện tích rào là: f ( y)  x y  (200  y) y  2 y  200 y 200  50  x  100  max S  5000 2.(2) Ta tính xem bạn Hoa cần thời gian để từ A đến C Diện tích lớn khi: y   Bài Giả sử CD  x,(0  x  5)  BD   x  AD  33  (5  x)2 x  10 x  34 x x 5   f '( x)   x  10 x  34 Ta có: f '( x)   x  Mà f (1)  1, 45 Như bạn Hoa cần h 27 phút để di chuyển muộn 6h03phút Hoa phải xuất phát Thời gian Hoa từ A đến C là: f ( x)  Bài Giả sử AS  x,(0  x  12)  BS  32  (12  x)2  x  24 x  153 Số tiền để mắc đường dây điện là: f ( x)  80 x  100 x  24 x  153 Ta có: f (4)  1174, 400375, f (8)  1140, f (6)  1150,820393, f (10)  1160,555123 Bài Suy ra: x  Ta có: ED  AC  492 Đặt EF  x  FD  492  x Đoạn đường mà người phải là: f ( x)  x  1182  (492  x)2  4872  f ( x)  x2  13924  x  984 x  479233 Ta có: f '( x)  Bài x  x  492 x x  984 x  479233 58056  59056  Suy đoạn đường ngắn là: f  Do đó: f '( x)   x    779,8 605  605  Đặt AM  x,(0  x  24) Ta có tổng độ dài hai sợi dây là: x  13924 2 f ( x)  102  x  302  (24  x)2 Ta có: f (6)  34; f (7)  46, 68843491; f (4)  29  29 10 13; f (12)  61  29 Suy ra: AM  m Bài V  1.1.4  (cm3) Page | 33 BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Bài HD: Giả sử EF  x Suy quãng đường mà người phải bơi là: S ( x)  1, 25  12  x  52  (3  x)2 HD: Do mặt nước tạo với mặt đáy góc 45o nên chiều cao hình trụ đường kính đáy 10 (52  32 ) Bài 10 V   80 Bài 11 Đáy hộp hình bình hành, thể tích hộp lớn diện tích đáy hộp lớn Gọi  Bài  x y  30  góc mặt đáy, ta có diện tích đáy là: S  xy.sin         225     o Đẳng thức xảy khi: x  y góc hình bình hành 90 Như đáy hộp hình vuông cạnh 15 cm Ta tính diện tích toàn phần hộp 1650 cm2 Bài 12 Diện tích phần giấy cứng để làm hộp diện tích xuang quanh hộp Chu vi đáy hộp là: 2.4  (cm) Diện tích giấy để làm hộp là: S  8.12  96 (cm2) Bài 13 Gọi r h bán kính đường cao khối hình trụ tiện 2 h2 h Ta có: r     R  r   2 Thể tích khối hình trụ tiện là: V   r h  h2  Suy ra: V   1   h, V lớn 4  lớn Ta ý  h  2R hay  h   h2  1   h 4   h2  h3 Xét f (h)  1   h  f (h)  h  4  Ta có: f '(h)    3h2 h Dễ thấy f (h) lớn h  4 V  (dm3) Bài 14 Ta có: V  293 ml  293 cm3 V  R2 Để hộp sữa có trọng lượng vỏ hộp nhẹ diện tích toàn phần phải nhỏ V 2V Ta có: Stp  2 R  2 R.h  Stp  2 R  2 R  Stp  2 R  R R Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Gọi bán kính đáy hộp R cm Ta có chiều cao hộp là: h  Stp  2 R  Đẳng thức xảy khi: 2 R  V V V V   3 2 R  Stp  3 2V R R R R V V V R  d  2R  R 2 2 Áp dụng cho toán này: d  Page | 34 293  7, 20 (cm) 2.3,14 Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Bài 15 Thể tích ban đầu khối gỗ là: V   r h  V   12.2  2 1  4  Thể tích phần gỗ bị khoét là: V1     r    V1    2  Thể tích càn lại khối gỗ sau khoét là: V2  V  V1  2     3  V2 Tỉ số cần tính là:   2 V Bài 16 HD: Nếu úp ngược lại xô có hình nón cụt, tính diện tích xung quanh thông qua diện tích hai hình nón khác S xq   12.(36  108)   9.108  756 Bài 17 S   152   52    5.30  350 Bài 18 V   93   92.36  3888  42.35  Bài 19 V   72.7   72.9  490 Bài 20 Xem ví dụ Bài 21 Gọi bán kính đáy khối trụ r ta có: 2 r  60  r  30  36000  30  Thể tích khối trụ là: V   r h     40  (cm3)    1 18  x  18  x  x  Bài 22 Ta có: V  (18  x)2 x  (18  x)(18  x).4 x  4 27 Đẳng thức xảy khi: x  18  x  x   200   S 2  Bài 23 Ta có: k     S2   200       Bài 24 Thể tích hộp là: V ( x)  (12  x)(8  x).x Thể tích hộp lớn x  Bài 25 HD: Toạ độ hoá hình vẽ Thể tích thùng rượu thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình thang cong giới hạn x  40 , trục đồ thị hàm số y   250 Ox hai đường thẳng x  50, x  50 (như hình vẽ 10  y 40 30 50 O 50 bên) xung quanh trục Ox Công việc tính toán xin để lại cho bạn đọc Bài 26 Xem ví dụ 12 50  (9  1,5)  28, (3) Suy số lượng cầu long đựng hộp 28 Bài 27 Ta có: 1,5 Bài 28 Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, ta có: 2 R1   R1  Page | 35 27  V1  2 4 BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) x Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Gọi R2 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, ta có: 2 R2   R2  Suy ra:  V2  2 4 V1  V2 Bài 29 Gọi chiều dài x chiều rộng 60  x Bán kính đáy R  x , chiều cao h  60  x 2  x3  60 x 4 Xét hàm số: f ( x)   x3  60 x2 , x  (0;60) Suy ra: V   R h  x  Ta có: f '( x)   3x  120 x     x  40 Suy chiều dài 40 cm, chiều rộng 20 cm Bài 30 Trong hình chữ nhật có chu vi hình vuông có diện tích lớn Bài toán giải nhờ bất đẳng thức AM-GM khảo sát biến thiên hàm số Bài 31 Gọi hai cạnh miếng đất x, y Ta có: x  y  400 (m) ( x  y)2 4002   400002 4 Đẳng thức xảy khi: x  y  200 (m) Ta có: xy  Bài 32 Gọi bán kính thùng r ta có: 2 r  100  r  50  125000  50  Thể tích hộp là: V   r h     50  (cm3)    Bài 33 Xem ví dụ Bài 34 Không gian lều lớn diện tích tam giác ABC lớn Ta có: S ABC 32 9  AB AC.sin A  sin A  sin 90   2 2 A Đẳng thức xảy khi: ABC  90  Suy chiều cao gậy chống là: 3.3  C 3 Bài 35 Gọi r1 , r2 bán kính đáy hình nón ( N1 ), ( N2 ) 2 B Ta có: 3 1 S xqN1   rl  R  r1  R; S xqN2   r2l   R  r2  R  4 4 R S1h1  r R  r R V1 1 16  105    Suy ra: 2 V2 S h  r2 R  r2 R 15 R 2 16 Bài 36 Gọi S đỉnh khối tứ diện gấp được, ABC tam giác đáy, G trọng tâm tam giác ABC Do tứ diện gấp tứ diện nên SG  ( ABC ) Ta có: AG  Page | 36 AB.sin 60   Suy ra: SG  SA2  AG  12   3 Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Thể tích tứ diện gấp là: V   3 12 Bài 37 Gọi độ dài cạnh đáy mô hình x, chiều cao mô hình h C 2x Ta có: x  BC   BC  Suy ra: h  BC  AB  x  10 x  50 x 50  10 x   4 B A 50  10 x Thể tích mô hình là: V ( x)  x Ta có: V ( x)  x 25  x V ( x) lớn V ( x) lớn hay 18 f ( x)  5 x  25x lớn  Bài 38 Bài 39  x  Mà f '( x)   25 x  100 x3    Suy ra: x  2 thoả mãn đề x  2 Mỗi hộp đựng 30 viên phấn, suy 12 hộp đựng 260 viên phấn Do thiếu 10 viên phấn 4  16 Thể tích bốn viên bi là:   13   3  16 :  22  (cm) Như nước cách mép cốc Chiều cao nước dâng lên là: (cm) 3 1  S xq   1502  1102 220   4400 346 (m2) 2  Tổng diện tích ba bóng là: S1  3.4 r  12 r  Bài 40 Bài 41  Diện tích xuang quanh hộp là: S2  2 r.6r  12 r Suy ra: S1  S2 Bài 42 Thể tích cốc là: V   42.(12  36)   32.36  464,72 (cm3) Suy ra: V  0, 46472 (lít) Do dùng cốc để đong 10 lít nước phải đong 22 lần Bài 43 Người chơi đủ điều kiện tham gia có chiều cao thấp đường kính bóng Bài 44 Ta có: S1  2.(2r.2r )  4.(8r.2r )  72r ; S2  2.(4r.4r )  4.(4r.2r)  64r Suy ra: S1 72r   S2 64r Bài 45 Diện tích xuang quanh mũ là:  202 Suy ra:  r.20  360  75 950  360 950 95 r  215  95  Chiều cao mũ là: h  20        95  215 45125 215 Thể tích mũ là: V   r h      648   2 Page | 37 BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Bài 46 Thể tích viên phấn là:  0,52.6  4,71 (cm3) Ta có: 330  70.4,71  0.3 nên đúc tối đa 70 viên phấn Bài 47 Gọi chiều cao mực nước dâng lên x (cm) x  4,56 Bán kính viên bi là: r   x  4,56  Vì phần nước dâng lên tích thể tích viên bi nên:     x. 6,12   Sử dụng tính nhẩm nghiệm MTCT ta tính được: x  0,6176533847  r  0,59 Bài 48 Gọi r bán kính miệng ly, h chiều cao (phần hình nón) ly Thể tích ly là: V   r h 3 r h Thể tích lượng nước đổ vào là: Vn       r h   81 26  r h (1) 81 Gọi h  k chiều cao nước úp ngược lại Thể tích lại cốc là: h  Thể tích lại cốc là:   r  k (sử dụng tam giác đồng dạng) (2) k  Từ (1) (2) suy ra: h2 26 k 26 h  k  26 r  r h     k 81 h h Bài 49 Ta có: abc  1, 296 Diện tích phần kính dùng để làm bể cá là: S  ab  2ac  3bc AM GM  3 ab.2ac.3bc  3 6.a 2b 2c  36 a  1,8 b  2c   b  1, Đẳng thức xảy khi: ab  2ac  3bc   a  3c c  0,  Bài 50 Chiều cao gàu là: h  42  1,52  55 (dm) 55 Thể tích gàu là: V   1,52  8, 732573719 (dm3) Suy cần múc 28 lần để đổ đầy thùng tích 240 lít Bài 51 Diện tích xung quanh hình nón là: S   rl , mà ta lại có: S  l2 l2 l r 3 r 1 Do đó: Sin     2  2arcsin l 3 Bài 52 Thể tích khối lăng trụ lớn diện tích đáy lớn Diện tích đáy lăng trụ là: S ( x)  (60  x) x  (30  x)2  (30  x) 60 x  900 Sử dụng MTCT ta tính được: S '( x)   x  20 Suy ra:  rl  Nếu để ý chút bạn đọc thấy có đáp án A thoả mãn đáp án B, C, D x  60 Page | 38 Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Bài 53 Gọi r bán kính khối nón, h chiều cao khối nón Không tính tổng quát ta xem R  Ta có: h  R2  r   r Do diện tích xuang quanh hình nón ằng diện tích phần hình quạt đem quấn nên: x x x  R2   rR    r  r  2 2 1  x  Thể tích khối nón là: V   r h     3  2  2  x  1    2   x  y Đặt:    y, ( y  0) Xét hàm số: g ( y)  y  y , ta có: g '( y )   y  1 y  2  Suy ra: g '( y)   2(1  y)  y  y  x 2 6  x   x Do đó:     2 3  2  Bình luận: Nếu bạn đọc tính theo R toán khó khăn phức tạp nhiều Bài 54 Gọi độ dài hàng rào xây xi măng x ( x  5) độ dài hai hàng rào vuông góc với y 600 Vì diện tích khu đất rào 600 m2 nên: xy  600  y  x 600 1200  x  Độ dài dây thép để làm hàng rào là: ( x  5)  y  x   x x 1200 16800000   Suy tổng chi phí là: f ( x)   x    14000  x.28000  42000 x   70000 x x   Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: f ( x)  42000 x 16800000   1610000 x 16800000  x  20 x 600   Suy chu vi khu đất là: 2( x  y)   20    100 (m) 20   Bài 55 Gọi x y bán kính đáy chiều cao hình trụ Dải dây ruy băng thắt nơ là: 160  40  120 (cm) Ta có: (2 x  y).4  120  y  30  x Đẳng thức xảy khi: 42000 x  Thể tích hộp quà là: V ( x)   x (30  x)    x.x.(30  x)  x  x  (30  x)   27  V ( x)  1000 Đẳng thức xảy khi: x  30  x  x  10 (cm) Bài 56 Gọi chiều dài chiều rộng đáy khối gỗ lần luột x y Ta có: x  y  2r  x  y  Thể tích khối gỗ lớn diện tích đáy lớn nhất, tức là: xy lớn Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: xy  Đẳng thức xảy khi: x  y  Page | 39 x2  y  2 BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Suy thể tích lớn khối gỗ sau cưa xong là: V   (m3) Bài 57 Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Gọi parabol qua điểm I ( P1 ) có phương trình: y  ax  bx  x Do ( P1 ) qua gốc toạ độ nên ( P1 ) : y  ax  bx Sử dụng tiếp kiện ( P1 ) qua I A ta 2 x  x 625 25 Do parabol phía có phương trình 2 x  x ( P2 ) : y   625 25 Khi diện tích nhịp cầu S  2S1 với S1 phần diện tích giới hạn parabol ( P1 ) suy ( P1 ) : y   ( P2 ) khoảng (0; 25) 25  0,2  2   Suy ra: S      x  x  dx   dx   9,9 (m2) 25     625 0,2 Thể tích nhịp cầu là: V1  S.0,  9,9.0,  1,98 (m3) Suy lượng bê tông để xây dựng nhịp cầu là: 2.(1,98.10)  39,6 (m3) (*) Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần 40 m3 Chú ý: Tại (*) nhân phải xây dựng hai bên cầu Bài 58 Gọi bán kính đáy hình nón R, (R > 0) Suy chiều cao H B hình nón 3R chiều cao hình trụ 2R r Gọi bán kính hình trụ r HB  DC SD R  r Ta có: AH SH C 16 D  nên ta có: Do thể tích khối trụ A 16 R  R    R  3  S Suy đường sinh hình nón là: l  SH  AH  62  22  10 Diện tích xuang quanh hình nón là:  Rl   2.2 10  10 (dm2) Bài 59 Gọi m số mảnh da ngũ giác, n số mảnh da lục giác (để cho thuận tiện tác giả gọi mảnh da ngũ giác mảnh da đen, mảnh da lục giác mảnh da trắng) Số mảnh da bóng là: M  m  n Mỗi mảnh da đen tiếp xúc với mảnh da trắng nên số đường khâu ghép mảnh da đen mảnh da trắng 5m (1) Mỗi mảnh da trắng tiếp xúc với mảnh da đen nên số đường khâu ghép mảnh da trắng mảnh da đen 3n (2) 3n Từ (1) (2) ta có: 5m  3n  m  3n 8n n Suy số mảnh da bóng là: m  n  5 Page | 40 Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 3n Vì mảnh da trắng lại tiếp xúc với mảnh da trắng khác đường khâu ghép ta đếm lần Tổng số đường khâu ghép bóng là: Số đường khâu mảnh da màu + Số 3n 9n  đường khâu mảnh da khác màu  3n  2 Số đỉnh tất mảnh da 5m hay 3n (bằng tổng tất đỉnh mảnh da đen) Theo công thức Euler ta có: Số đỉnh + Số mặt = Số cạnh + nên ta có: 8n 9n 3.20 3n     n   n  20  m   12 10 Bài 60 Gọi R h theo thứ tự bán kính chiều cao phễu Số đường khâu ghép mảnh da trắng với Thiết diện song song với đáy phễu, qua tâm viên gạch hình tròn bán kính R1  R1 h  h   R  (1) R h h Thiết diện song song với đáy phễu, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy phễu hình tròn có bán kính R2  Ta có: Ta có: R2 h  2 h2   R  (2) R h h h 2  3h R   h2 Thể tích lại phễu là: V   R h  23  22, 27 Bài 61 V  50.20.10 10.20.1  49.20.1  8820 (lít) Bài 62 Gọi I tâm hình vuông ABCD, H tâm hình vuông A ' B ' C ' D ' , EF đường sinh qua A ' hình vẽ bên Do hình lập phương tích nên ta có: AA '  HI  1, Từ (1) (2) suy ra: E Đặt EH  x ta có: A ' H  AI  A' H x A' H x 2  x 1      FI    ( r ) EI FI x  2FI  x   x 1   ( x  1)3 Thể tích khối nón là:  r EI     ( x  1)   x  x2 F A I ( x  1)3 ( x  2)( x  1)2 f '( x )  Do thể tích khối nón ta có x  x2 x3 9 đạt giá trị nhỏ x  Thể tích khối nón là: Bài 63 Diện tích hình thang nhỏ S  S AEH  SCGF  SDGH lớn Xét hàm số f ( x)  Ta có: 2S  x  y  (6  x)(6  y)  xy  4x  y  36 (1) AE AH   xy  (2) CG CF 18 18   Thay (2) vào (1) ta có: 2S  42   x   2S lớn 4x  nhỏ x x  Mà hai tam giác AEH CGF đồng dạng nên Page | 41 BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 18 x  y  2  x y  x 2 Bài 64 Gọi điểm hình vẽ, kẻ PQ vuông góc với CD Để N chạm đáy CQ MB > MC nên x > Hai tam giác MNC NPQ đồng dạng nên ta có: Suy ra: x  MN NC x NC     NP PQ PB  y2  x y  x2 P A B y x x  (8  x)  M x3 x4 D Q C N Ta ý thêm điều kiện PB  AB  12  y  x  12  18   x  18  Suy ra: 18   x  Xét hàm số f ( x)  Ta suy ra: y  x  x3 x ( x  6) , f '( x)    ta có: f '( x)  ( x  4) x4 x  f (6)  Bài 65 Gọi O tâm miếng bìa.Ta có: AOB  45  A H  cos 45  20    Suy ra: AB  AO.sin 22,5  40  BE  AE  AB  402  20   G  20  Chiều cao hộp gấp là: h  ( BE  AB)  10 B C O F D E   2  2  h  10     2  2   10  2  Thể tích hộp gấp là: V  AB h  4000    2 Bình luận: Nếu bạn đọc sử dụng định lý hàm số cos để tính AB đơn giản chút Bài 66 Gọi x bán kính viên bi Điều kiện:  2x  10   x  Thể tích ciên bi là: Vbi   x3 Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào là: h  416   V1   h2  R    16 10    3 3   Thể tích khối nước hình chỏm cầu thả viên bi vào là: x  4 x (30  x)  V2   (2 x)2  R      Ta có phương trình: 4 x (30  x) 416    x  4 x (30  x)  416  4 x3 3 3  3x  30 x  104  (1) Giải phương trình (1) ba nghiệm sau so sánh với điều kiện làm tròn đến hàng đơn vị ta x  Bài 67 Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ V2  V1  Vbi  Page | 42 Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Thể tích chum thể tích hình giới hạn đường tròn y có phương trình y  25  x đường thẳng x  3 quay xung quanh trục Ox Suy ra: V    (25  x )dx  132 x 3 Bài 68 Gọi h khoảng cách từ bóng đèn đến mặt bàn h Ta có: sin   h2  l  l Suy cường độ sáng mép bàn là: C  C (h)  c Ta có: C (1)  c   ; C (1, 2)   1, 2c  3, 44 h  l3 ; C (1,5)    ch h 2 1,5c  4, 25  ; C (2)  2c   Suy h  m cường độ sáng mép bàn lớn Bài 69 HD: Diện tích xung quanh hộp diện tích miếng bìa Bài 70 Bán kính đáy lọ là: R  r  2r  3r Diện tích đáy lọ là: s   R2   (3r )2  9 r Bài 71 Ta có: h   h  y y Do thể tích hố ga m3 nên ta có: xyh   xy y   x  y2 Tổng diện tích mặt cần xây là: 3 27 xy  xh  yh  y  2 y  y.4 y    y2  y2  4y 4y 4y y 4y Ta có: y  27 27 27 AM GM 27 27  y2    33 y2  4y 8y 8y 8y 8y Đẳng thức xảy khi: y  27  y x 8y a Bài 72 Gọi x độ dài cạnh bốn hình vuông cắt bỏ (0  x  ) Thể tích hộp là: AM GM a  x  a  x  x   2a ( a  x )( a  x ).4 x       4 27  V  (a  x)(a  x) x  a Đẳng thức xảy khi: a  x  x  x  Bài 73 Gọi x độ dài cạnh góc vuông ( x  0), độ dài cạnh huyền 120  x độ dài cạnh góc vuông lại 14400  240 x Diện tích miếng nhôm cắt là: f ( x)  x 14400  240 x 2 x (14400  240 x)  120 x.120 x.(14400  240 x) 2.120 Suy f ( x) lớn 120 x  14400  240 x  x  40, cạnh huyền 80 cm diện tích miếng nhôm lớn Ta có: f ( x)  Page | 43 BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Bài 74 Gọi H giao điểm AB với tim cột cờ Ta cần tính chiều cao cột cờ tức tính HC C Xét tam giác ABC ta có: C  A  B  10'12'' Theo định lý hàm sin tam giác ABC ta có: 10.sin 45  39' AB AC   AC  sin C sin B sin  10'12'' Ta có: HC  AC.sin CAH  AC.sin 51 49'12''  HC  10sin 45  39'.sin 51 49'12''  A B M N H  52,30 (m) sin 10'12'' Bài 75 Đặt HM  x, (0  x  4,1) Suy ra: AM  x2  1, 44, BN  (4,1  x)2  2, 25 Gọi a số tiền để làm km đường bên bờ có điểm A Không tính tổng quát giả sử a  số tiền để làm đường là: f ( x)  x  1, 44  1,3 (4,1  x)2  2, 25 Ta có: f '( x)  x x  1, 44  1,3 4,1  x (4,1  x)2  2, 25 Sử dụng MTCT ta tính f '( x)  x  2,630356850  x0 Suy ra: HM  2,630 (km) Bài 76 Diện tích mặt cắt ống là: S   R2   r với r  0,0075 (m) R  0,0095 (m) Thể tích phần thép tạo nên ống là: V  6S (m3) Khối lượng ống thép là: m  7800.V (kg) 10000  2000 (ống) 7800V V 2V Bài 77 Ta có: Stp  2 R  2 R.h  Stp  2 R  2 R  Stp  2 R  R R Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Suy số ống thép tạo từ 10 thép nguyên liệu là: Stp  2 R  Đẳng thức xảy khi: 2 R  V V V V   3 2 R  Stp  3 2V R R R R V V R R 2 Bài 78 Thể tích lon sữa là: V  10. 32  90 (cm3) Bán kính đáy lon sữa là: 8. R  90  R  45 (cm) Bài 79 Thể tích lượng vữa cần trát thêm vào cột là:  1  V  400  212   20.20.sin 60     138203,8062 (cm3) 2   Thể tích xi măng tương ứng là: V '  (10V ).80%  1105630, 449 (cm3) Số lượng bao xi măng cần dùng là: V'  17, 27547577, suy cần dùng 18 bao xi măng 64000 4800  400 (cm2) 12 Suy cạnh đáy hộp là: 20 (cm) Cạnh bìa hình vuông là: 20  2.12  44 (cm) Bài 81 Số khối lập phương nhỏ sơn đỏ số mặt là: 8.12  96 (khối) Bài 80 Diện tích đáy hộp là: Page | 44 Nguyễn Hoàng_ĐT: Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay Bá thú vị ;) 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Bài 82 Gọi (DEF) thiết diện cắt viên đá Ta có: VS DEF  VS ABC S SD SE SF  SD  SD   3    SA SB SC  SA  SA DE a   DE  Do đó: AB 2 Dễ thấy DEF tam giác nên: Suy ra: D F E A a a a2  S DEF  sin 60  2 4 a Bài 83 Ta có: 2 R  a  R  2 C B Đáp án A 11 D 21 B 31 D 41 A 51 D 61 A 71 C 81 D Page | 45 D 12 B 22 B 32 B 42 C 52 A 62 A 72 D 82 D A 13 A 23 B 33 C 43 D 53 B 63 C 73 C 83 C B 14 A 24 A 34 D 44 A 54 B 64 C 74 C C 15 A 25 D 35 D 45 C 55 B 65 C 75 B A 16 B 26 C 36 B 46 B 56 A 66 A 76 B A 17 B 27 C 37 D 47 A 57 C 67 A 77 A D 18 A 28 D 38 B 48 D 58 B 68 A 78 A A 19 A 29 B 39 B 49 C 59 A 69 C 79 B 10 C 20 C 30 A 40 B 50 A 60 A 70 C 80 C BávịHoàng_ĐT: 0936.407.353 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệuNguyễn hay thú ;) ... (làm tròn đến hàng đơn vị) A 20 m3 B 50 m3 C 40 m3 D 100 m3 Bài 58 Một hình nón có chiều cao gấp lần bán kính đáy Một hình trụ nội tiếp hình nón 16  dm3 cho Hãy tính diện tích xuang quanh hình nón,... C 10 mảnh da hình ngũ giác, 20 mảnh da hình lục giác D 12 mảnh da hình ngũ giác, 24 mảnh da hình lục giác Bài 60 Một khối gạch hình lập phương không thấm nước có cạnh đặt vào phễu hình nón tròn... bốn góc bốn hình vuông gấp lại tạo thành hình hộp không nắp Tìm cạnh hình vuông bị cắt để thể tích hình hộp lớn a a a a A B C D Bài 73 Từ nhôm hình vuông cạnh 200 cm, cắt nhôm hình tam giác