Kỹ thuật số là môn học nghiên cứu về các mức logic số phương pháp biểu diễn tối thiểu hoá bài toán về tín hiệu số, nghiên cứu các mạch số cơ bản: mạch tổ hợp, mạch dãy
Bi ging K Thût Säú Trang 12 Chỉång 2 ÂẢI SÄÚ BOOLE 2.1. CẠC TIÃN ÂÃƯ V ÂËNH L ÂẢI SÄÚ BOOLE 2.1.1. Cạc tiãn âãư Cho mäüt táûp håüp B hỉỵu hản trong âọ ngỉåìi ta trang bë cạc phẹp toạn + (cäüng logic), x (nhán logic), - (b logic ) v hai pháưn tỉí 0 v 1 láûp thnh mäüt cáúu trục âải säú Boole. ∀x,y ∈ B thç: x + y ∈ B, x.y ∈ B tha mn 5 tiãn âãư sau: 2.1.1.1. Tiãn âãư giao hoạn ∀x,y ∈ B: x + y = y + x 2.1.1.2. Tiãn âãư phäúi håüp ∀x,y,z ∈ B: (x + y) + z = x + ( y + z ) = x + y + z (x. y).z = x.(y. z) = x.y.z 2.1.1.3. Tiãn âãư phán bố ∀x,y,z ∈ B: x.(y + z ) = x.y + x.z x + (y.z) = (x + y)(x + z) 2.1.1.4. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí trung ha Trong táûp B täưn tải hai pháưn tỉí trung ha, âọ l pháưn tỉí âån vë v pháưn tỉí kh, pháưn tỉí âån vë k hiãûu l 1, pháưn tỉí 0 k hiãûu l 0. ∀x ∈ B: x + 1 = 1 x . 1 = x x + 0 = x x . 0 = 0 2.1.1.5. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí b ∀x ∈ B, bao giåì cng täưn tải pháưn tỉí b tỉång ỉïng sao cho ln tha mn: x + x = 0 Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 13 x. x = 0 Nãúu B = B* = {0, 1} v tha mn 5 tiãn âãư trãn thç cng láûp thnh cáúu trục âải säú Boole nhỉng l cáúu trục âải säú Boole nh nháút. 2.1.2. Cạc âënh l 2.1.2.1 Váún âãư âäúi ngáùu trong âải säú Boole Hai mãûnh âãư (hai biãøu thỉïc, hai âënh l) âỉåüc gi l âäúi ngáùu våïi nhau nãúu trong mãûnh âãư ny ngỉåìi ta thay phẹp toạn cäüng thnh phẹp toạn nhán v ngỉåüc lải,thay 0 bàòng 1 v ngỉåüc lải thç s suy ra âỉåüc mãûnh âãư kia. Khi hai mãûnh âãư âäúi ngáùu våïi nhau, nãúu 1 trong 2 mãûnh âãư âỉåüc chỉïng minh l âụng thç mãûnh âãư cn lải l âụng. Vê dủ: x.(y + z ) = ( x. y) + ( x. z ) x + (y. z ) = ( x + y )( x + z ) Vê dủ: x + x = 1 x. x = 0 2.1.2.2. Cạc âënh l a. Âënh l vãư pháưn tỉí b l duy nháút ∀x, y ∈ B: xy0 x.y1yx=⇒==+⎭⎬⎫ ∀x ∈ B: x + x +. . . . . + x = x x. x. x. . . . . . x = x b. Âënh l De Morgan ∀x, y, z ∈ B, ta cọ: zyx =++ zyx zyxx.y.z ++= ∀x ∈ B, ta cọ: x = x ∀x, y, z ∈ B, ta cọ: Bi ging K Thût Säú Trang 14 x + y + z = zyx ++ = z.y.x x. y. z = x.y.z =zyx ++ ∀x, y ∈ B, ta cọ: x. (x + y) = x.y x + (x. y) = x + y ∀x, y ∈ B, ta cọ: x + x. y = x x.(x + y) = x Våïi 0, 1 ∈ B, ta cọ: 0 = 1 v 1 = 0 2.2. HM BOOLE V CẠC PHỈÅNG PHẠP BIÃØU DIÃÙN 2.2.1. Hm Boole 2.2.1.1. Âënh nghéa Hm Boole l mäüt ạnh xả Boole tỉì âải säú Boole vo chênh nọ. Tỉïc l ∀x, y ∈ B âỉåüc gi l biãún Boole thç hm Boole, k hiãûu l f, âỉåüc hçnh thnh trãn cå såí liãn kãút cạc biãún Boole bàòng cạc phẹp toạn + (cäüng logic ), x (nhán logic ), hồûc nghëch âo logic (-). Hm Boole âån gin nháút l hm Boole theo 1 biãún Boole. K hiãûu: f(x) = x f(x) = x f(x) = α (α: l hàòng säú ) Trong trỉåìng håüp täøng quạt, ta cọ hm Boole theo n biãún Boole âỉåüc k hiãûu nhỉ sau: f(x1, x2,. . . . . ., xn ) 2.2.1.2. Cạc tênh cháút ca hm Boole Nãúu f(x1, x2, ., xn) l mäüt hm Boole thç: + α.f(x1, x2, ., xn) cng l mäüt hm Boole. + f(x1, x2, ., xn) cng l mäüt hm Boole. Nãúu f1(x1, x2, ., xn) v f2(x1, x2, ., xn) l nhỉỵng hm Boole thç: + f1(x1, x2, ., xn) + f2(x1, x2, ., xn) cng l mäüt hm Boole. + f1(x1, x2, ., xn).f2(x1, x2, ., xn) cng l mäüt hm Boole. Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 15 Váûy, mäüt hm Boole f cng âỉåüc hçnh thnh trãn cå såí liãn kãút cạc hm Boole bàòng cạc phẹp toạn + (cäüng logic), x (nhán logic) hồûc nghëch âo logic (-). 2.2.1.3. Giạ trë ca hm Boole Gi f (x1, x2, ., xn) l mäüt hm Boole theo biãún Boole. Trong f ngỉåìi ta thay cạc biãún xi bàòng cạc giạ trë củ thãø αi (i = n1,) thç hm f (α1, α2, α3, ., αn) âỉåüc gi l giạ trë ca hm Boole theo n biãún. Vê dủ: Xẹt hm f(x1, x2 ) = x1 + x2Xẹt B = B* ={0,1} x1x2f(x1, x2)0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Nãúu x1 = x2 =0 f(0,0) = 0 ⇒Nãúu x1 = 0, x2 = 1 f(0,1) = 1 ⇒Nãúu x1 = 1, x2 = 0 f(1,0) = 1 ⇒Nãúu x1 = 1, x2 = 1 f(1,1) = 1 ⇒Ta láûp âỉåüc bng giạ trë ca hm trãn. Vê dủ: f (x1, x2, x3 ) = x1 + x2.x3Xẹt B = B* = {0,1 } Bng giạ trë ca hm: x1x2x3f (x1, x2, x3) 0 0 0 0 1 1 1 1 00110011010101010 0 0 1 1 1 1 1 Bi ging K Thût Säú Trang 16 2.2.2. Cạc phỉång phạp biãøu diãùn hm Boole 2.2.2.1. Phỉång phạp bng L phỉång phạp thỉåìng dng âãø biãøu diãùn hm säú nọi chung. Phỉång phạp ny gäưm mäüt bng âỉåüc chia lm hai pháưn: - Mäüt pháưn dnh cho biãún âãø ghi cạc täø håüp giạ trë cọ thãø cọ ca biãún. - Mäüt pháưn dnh cho hm âãø ghi cạc giạ trë ca hm ra tỉång ỉïng våïi cạc täø håüp ca cạc biãún vo. 2.2.2.2. Phỉång phạp gii têch L phỉång phạp biãøu diãùn hm Boole dỉåïi dảng täøng cạc têch säú, hồûc dỉåïi dảng têch ca cạc täøng säú. Dảng täøng ca cạc têch säú gi l dảng chênh tàõc thỉï nháút, cn dảng têch ca cạc täøng l dảng chênh tàõc thỉï hai ca hm Boole, v hai dảng chênh tàõc ny l âäúi ngáùu nhau. a. Dảng chênh tàõc 1(Dảng täøng ca cạc têch säú) Xẹt cạc hm Boole âån gin sau âáy: f(x) = x, f(x) = x, f(x) = α. Xẹt f(x) = x: Ta cọ: x =0. x + 1. x màût khạc: ()()()⎩⎨⎧==⇒=00f11fxxf suy ra f(x) = x cọ thãø biãøøu diãùn: f(x) = x = f(0). x + f (1).x trong âọ: f (0), f (1) âỉåüc gi l giạ trë ca hm Boole theo mäüt biãún. Xẹt f(x) = x: Ta cọ: x = 1. x + 0. x Màût khạc: ()()()⎩⎨⎧==⇒=10f01fxxf Suy ra: f(x) = x cọ thãø biãøu diãùn: f(x) = x = f(0). x + f(1).x Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 17 Xẹt f(x) = α: Ta cọ: α = α.1 = α(x + x) = x.α + α.x Màût khạc: ()()()⎩⎨⎧==⇒=ααα0f1fxf Suy ra f(x) = α cọ thãø âỉåüc biãøu diãùn: f(x) = α = f(0). x + f(1).x Kãút lûn: D l f(x) = x, f(x) = x hay f(x) = α, ta âãưu cọ dảng: f(x) = f(0).x + f(1).x Váûy f(x) = f(0).x + f(1).x trong âọ f (0), f (1) âỉåüc gi l giạ trë ca hm Boole theo mäüt biãún, âỉåüc gi l dảng chênh tàõc thỉï nháút (dảng täøng ca cạc têch) theo mäüt biãún. Trong trỉåìng håüp hai biãún f(x1, x2) thç cạch biãøu diãùn cng hon ton dỉûa trãn cạch biãøu diãùn ca dảng chênh tàõc thỉï nháút theo 1 biãún (trong âọ xem mäüt biãún l hàòng säú). Ta cọ: f(x1, x2 ) = f(0, x2). x1 + f(1,x2).x1m: f(0, x2) = f(0,0 ). x2 + f(0,1).x2v: f(1, x2) = f(1,0). x2 + f(1,1). x2Suy ra: f(x1, x2 ) = f(0,0) x1x2 + f(0, 1) x1x2 + f(1,0 )x1x2 + f(1,1)x1x2 Váûy: 2211221x)x,(120efαααα),(21∑−==xxftrong âọ e l säú tháûp phán tỉång ỉïng våïi m (α1, α2) v: x1 nãúu α1 = 1 x1 nãúu α1 = 0 = 11xα x2 nãúu α2 = 1 x2 nãúu α2 = 0 2= 2xα Bi ging K Thût Säú Trang 18 Täøng quạt cho n biãún: f(x1, x2, ., xn) = nn221 .xx)x, ,,f(n21n20e1ααα1ααα∑−= trong âọ e l säú tháûp phán tỉång ỉïng våïi m nhë phán (α1, α2, , αn); v: xi nãúu αi = 1 xi nãúu αi = 0 = ixαi Vê dủ: f(x1, x2, x3) = f (α∑−=120e31, α2, α3). x1α1. x2α2. x3α3f(x1, x2, x3) = f(0,0,0)x1x2x3 + f(0,0,1)x1x2 x3 + f(0,1,0)x1x2x3 + f(0,1,1)x1 x2 x3 + f(1,0,0) x1x2x3 + f(1,0,1)x1x2 x3 + f(1,1,0) x1 x2x3 + f(1,1,1) x1 x2 x3 Váûy dảng chênh tàõc thỉï nháút l dảng täøng ca cạc têch m trong mäùi têch säú chỉïa âáưy â cạc biãún Boole dỉåïi dảng tháût hồûc dảng b (nghëch âo). b. Dảng chênh tàõc 2 (têch ca cạc täøng): Âáy l dảng âäúi ngáùu ca dảng chênh tàõc 1 nãn biãøu thỉïc täøng quạt ca dảng chênh tàõc thỉï hai cho n biãún l: f(x1, x2, ., xn) = [f(α∏−=1n20e1, α2, α3) + x1α1 + x2α2+ .+ xnαn)] trong âọ e l säú tháûp phán tỉång ỉïng ca m nhë phán (α1, α2, , αn); v: xi nãúu αi = 1 xi nãúu αi = 0 iiα= x Vê dủ: f(x1,x2)=[f(0,0)+x1+x2][f(0,1)+x1+x2][f(1,0)+x1+x2][f(1,1)+x1+x2] Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 19 f(x1, x2, x3) = [f(0,0,0)+x1+ x2+x3].[f(0,0,1)+x1+x2+x3]. [f(0,1,0)+x1+x2+x3].[f(0,1,1)+x1+x2+x3]. [f(1,0,0)+x1+x2+x3].[f(1,0,1)+x1+x2+x3]. [f(1,1,0)+x1+x2+x3].[f(1,1,1)+x1+x2+x3] Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng têch ca cạc täøng säú m trong âọ mäùi täøng säú ny chỉïa âáưy â cạc biãún Boole dỉåïi dảng tháût hồûc dảng b. Chụ : Xẹt vê dủ 1: f(x1, x2) = x1 + x2 , Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 1: f(x1, x2 ) = 0.x1x2 + 1.x1.x2 + 1.x1.x2 + 1.x1.x2 = x1.x2 + x1.x2 + x1.x2Tỉì vê dủ trãn ta tháúy: Dảng chênh tàõc thỉï nháút l dảng liãût kã táút c cạc täø håüp nhë phán cạc biãún vo sao cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp âọ giạ trë ca hm ra bàòng 1. Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàòng 1 âỉåüc viãút åí dảng tháût (x), v biãún tỉång ỉïng bàòng 0 âỉåüc viãút åí dảng b (x). Xẹt vê dủ 2: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3 Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 2: f(x1, x2, x3) = [0+x1+x2+x3].[0+x1+x2+x3].[0+x1+x2+x3]. [1+x1+x2+x3].[1+x1+x2+x3].[1+x1+x2+x3]. [1+x1+x2+x3].[1+x1+x2+x3] Hay: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3 = [x1+x2+x3].[x1+x2+x3].[x1+x2+x3] Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng liãût kã táút c cạc täø håüp nhë phán cạc biãún vo sao cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp âọ giạ trë ca hm ra bàòng 0. Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàòng 0 âỉåüc viãút åí dảng tháût (x), v biãún tỉång ỉïng bàòng 1 âỉåüc viãút åí dảng b (x). Xẹt vê dủ âån gin sau âãø hiãøu r hån vãư cạch thnh láûp bng giạ trë ca hm, tçm hm mảch v thiãút kãú mảch: Hy thiãút kãú mảch âiãûn sao Bi ging K Thût Säú Trang 20 cho khi cäng tàõc 1 âọng thç ân â, cäng tàõc 2 âọng ân â, c hai cäng tàõc âọng ân â. Gii Ta qui âënh: - Cäng tàõc håí : 0 Ân tàõt : 0 - Cäng tàõc âọng : 1 Ân â : 1 Lục âọ ta cọ bng trảng thại mä t hoảt âäüng ca mảch: Cäng tàõc 1 x1Cäng tàõc 2 x2Ân f(x1,x2) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Viãút theo dảng chênh tàõc 1 ta cọ: f(x1, x2) = 0.x1x2 + 1.x1.x2 + 1.x1.x2 + 1.x1.x2 = x1. x2 + x1.x2 + x1.x2 = x1. x2 + x1(x2 + x2) = x1. x2 + x1 = x1 + x2Viãút theo dảng chênh tàõc 2 ta cọ: f(x1, x2) = [0+x1+x2].[1+x1+x2].[1+x1+ x2].[1+x1+x2] = [x1+ x2].1.1.1 = x1 + x2Váûy, d viãút theo dảng chênh tàõc 1 hay chênh tàõc 2 ta âãưu cọ hm mảch: f(x1, x2) = x1 + x2 2.2.2.3. Phỉång phạp biãøu diãùn bàòng bng Karnaugh Âáy l cạch biãøu diãùn lải ca phỉång phạp bng dỉåïi dảng bng gäưm cạc ä vng cọ dảng nhỉ hçnh bãn. Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 21 Trãn bng ny ngỉåìi ta bäú trê cạc biãún vo theo hng hồûc theo cäüt ca bng. Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l chàơn, ngỉåìi ta bäú trê säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang bàòng säú lỉåüng biãún vo theo cäüt dc ca bng. Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l l, ngỉåìi ta bäú trê säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang nhiãưu hån säú lỉåüng biãún vo theo cäüt dc 1 biãún hồûc ngỉåüc lải. Cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc ca bng âỉåüc bäú trê sao cho khi ta âi tỉì mäüt ä sang mäüt ä lán cáûn våïi nọ chè lm thay âäøi mäüt giạ trë ca biãún, nhỉ váûy thỉï tỉû bäú trê hay sàõp xãúp cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc ca bng Karnaugh hon ton tn th theo m Gray. Giạ trë ghi trong mäùi ä vng ny chênh l giạ trë ca hm ra tỉång ỉïng våïi cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo. ÅÍ nhỉỵng ä m giạ trë hm l khäng xạc âënh, cọ nghéa l giạ trë ca hm l ty (hay ty âënh), ngỉåìi ta kê hiãûu bàòng chỉỵ x. Nãúu cọ n biãún vo s cọ 2n ä vng. 2.3. TÄÚI THIÃØU HM BOOLE 2.3.1. Âải cỉång Trong thiãút bë mạy tênh ngỉåìi ta thỉåìng thiãút kãú gäưm nhiãưu modul (kháu) v mäùi modul ny âỉåüc âàûc trỉng bàòng mäüt phỉång trçnh logic. Trong âọ, mỉïc âäü phỉïc tảp ca så âäư ty thüc vo phỉång trçnh logic biãøu diãùn chụng. Viãûc âảt âỉåüc âäü äøn âënh cao hay khäng l ty thüc vo phỉång trçnh logic biãøu diãùn chụng åí dảng täúi thiãøu họa hay chỉa. Âãø thỉûc hiãûn âỉåüc âiãưu âọ, khi thiãút kãú mảch säú ngỉåìi ta âàût ra váún âãư täúi thiãøu họa cạc hm logic. Âiãưu âọ cọ nghéa l phỉång trçnh logic biãøu diãùn sao cho thỉûc sỉû gn nháút (säú lỉåüng cạc phẹp tênh v säú lỉåüng cạc säú âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng tháût hồûc b l êt nháút). Tuy nhiãn trong thỉûc tãú, khäng phi lục no cng âảt âỉåüc låìi gii täúi ỉu cho bi toạn täúi thiãøu họa. [...]...Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 23 Nhỉỵng âiãưu cáưn lỉu : - Vng gom âỉåüc gi l håüp lãû khi trong vng gom âọ cọ êt nháút 1 ä chỉa thüc vng gom no. - Viãûc kãút håüp nhỉỵng ä kãú cáûn våïi nhau cn ty thüc vo phỉång phạp biãøu diãùỵn hm Boole theo dảng chênh tàõc 1 hồûc chênh tàõc 2. Âiãưu ny cọ nghéa... sọỳ. Phổồng trỗnh logic trón cng tỉång âỉång: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (0, 1, 2) + d(5, 6) Π Bi ging K Thût Säú Trang 22 2.3.2. Cạc bỉåïc tiãún hnh täúi thiãøu họa - Dng cạc phẹp täúi thiãøu âãø täúi thiãøu họa cạc hm säú logic. - Rụt ra nhỉỵng thỉìa säú chung nhàịm mủc âêch täúi thióứu hoùa thóm mọỹt bổồùc nổợa caùc phổồng trỗnh logic. 2.3.3. Cạc phỉång phạp täúi thiãøu họa 2.3.3.1. Phỉång... f(x 1 ,x 2 )=[f(0,0)+x 1 +x 2 ][f(0,1)+x 1 + x 2 ][f(1,0)+ x 1 +x 2 ][f(1,1)+ x 1 + x 2 ] Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 15 Váûy, mäüt hm Boole f cuợng õổồỹc hỗnh thaỡnh trón cồ sồớ lión kãút cạc hm Boole bàịng cạc phẹp toạn + (cäüng logic), x (nhán logic) hồûc nghëch âo logic (-) . 2.2.1.3. Giạ trë ca hm Boole Gi f (x 1 , x 2 , , x n ) laì mäüt haìm Boole theo biãún Boole. Trong f ngỉåìi ta thay cạc biãún x i bàịng cạc giạ trở cuỷ thóứ i (i = n1, ) thỗ haỡm f (α 1 ,... nhỉỵng ä ny kãút håüp våïi nhỉỵng ä cọ giạ trë bàịng 1 (nãúu biãøu diãùn theo dảng chênh tàõc 1) hồûc bàịng 0 (nãúu biãøu diãù n theo dảng chênh tàõc 2) s lm cho säú lỉåüng ä kãú cáûn l 2n låïn nháút. - Cạc ä kãú cáûn mún gom âỉåüc phi l kãú cáûn vng trn nghéa l ä kãú cáûûn cúi cng l ä kãú cáûn âáưu tiãn. c. Cạc vê dủ Vê dủ 1: Täúi thiãøu họa hm sau bàịng phỉång phạp bng Karnaugh. 0 1 x 2 f(x 1 ,x 2 ) . x1x2(x3 + x3) + x1x2= x1x2x3 + x1(x2 + x2) = x1x2x3 + x1= x1 + x2 x3 2. 3.3 .2. Phỉång phạp bng Karnaugh a. Täúi thiãøu h a hm Boole bàòng bng Karnaugh. 1.x1.x2 + 1.x1.x2 = x1. x2 + x1.x2 + x1.x2 = x1. x2 + x1(x2 + x2) = x1. x2 + x1 = x1 + x2Viãút theo dảng chênh tàõc 2 ta cọ: f(x1, x2) = [0+x1+x2].[1+x1+x2].[1+x1+