PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HP 1. Giai thừa : n! = 1.2 .n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) . n 2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. 3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. 4. Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P n = n !. 5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : )!kn(!k !n C k n − = 6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : = = − k k k n n n k n! A , A C .P (n k)! Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vò 7. Tam giác Pascal : 1 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 3 3 2 3 1 3 0 3 2 2 1 2 0 2 1 1 0 1 0 0 CCCCC CCCC CCC CC C 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 Tính chất : k 1n k n 1k n kn n k n n n 0 n CCC CC,1CC + − − =+ === 8. Nhò thức Newton : * n0n n 11n1 n 0n0 n n baC .baCbaC)ba( +++=+ − a = b = 1 : . 0 1 n n n n n C C . C 2+ + + = Với a, b ∈ {±1, ±2, .}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa : n n 1 n 0 n C, .,C,C * nn n 1n1 n n0 n n xC .xaCaC)xa( +++=+ − Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa n n 1 n 0 n C, .,C,C bằng cách : - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, . a = ±1, ±2, . - Nhân với x k , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ±1, ±2, . , a = ±1, ±2, . TRANG 1 - Cho a = ±1, ±2, ., ∫∫ ±± 2 0 1 0 .hay hay β α ∫ Chú ý : * (a + b) n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : k n k k m n C a b Kx − = Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b) n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. m r k n k k p q n C a b Kc d − = Giải hệ pt : ∈ ∈ Zq/r Zp/m , tìm được k * Giải pt , bpt chứa .C,A k n k n : đặt điều kiện k, n ∈ N * ., k ≤ n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vò (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ đònh p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe . : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. TRANG 2 II- ĐẠI SỐ 1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ = ≠ == b/ca 0b 0cb a/b = c ⇔ ≠ = 0b bca ; 1n2 1n2 baba + + =⇔= 2n 2n 2n 2n b a a b a b, a b a 0 = = ⇔ = ± = ⇔ ≥ α=⇔= ≥ ±= ⇔= α a bbloga, 0a ab ba > < < > >= ⇔<−<⇔<+ b/ca 0b b/ca 0b 0c,0b cab;bcacba 2. Giao nghiệm : <⇔ < < >⇔ > > }b,amin{x bx ax ;}b,amax{x bx ax Γ > ∨ < < < ⇔ ⇔ < Γ ≥ Γ p x a p q a x b(nếua b) ; x b VN(nếua b) q Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm. 3. Công thức cần nhớ : a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều kiện. ≤≤ ≥ ⇔≤ = ≥ ⇔= 22 ba0 0b ba, ba 0b ba ≥ ≥ ∨ ≥ < ⇔≥ 2 ba 0b 0a 0b ba )0b,anếu(b.a )0b,anếu(b.a ab <−− ≥ = b. . : phá . bằng cách bình phương : 2 2 aa = hay bằng TRUNG TÂM BỒI DƢỠNG VĂN HÓA KHAI TÂM www.khaitam.edu.vn Địa chỉ: Số 2/108 Bùi Xương Trạch, Khương Đình, Thanh Xuân, HN Điện thoại: 046.2927.005 - Hotline: 0964.09.9292 Email: info@khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn SỔ TAY TOÁN CẤP PHẦN ĐẠI SỐ Thời gian không chờ đợi Hotline: 0964.09.9292 Email: info@khaitam.edu.vn / Website: www.khaitam.edu.vn TRUNG TÂM BỒI DƢỠNG VĂN HÓA KHAI TÂM www.khaitam.edu.vn Địa chỉ: Số 2/108 Bùi Xương Trạch, Khương Đình, Thanh Xuân, HN Điện thoại: 046.2927.005 - Hotline: 0964.09.9292 Email: info@khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn Liên tục tuyển sinh khai giảng Tốn – Lý – Hóa – Văn - Anh (từ lớp đến lớp 12) Quyền lợi bạn học sinh đến với Khai Tâm: Tìm diệt kiến thức yếu Hồn chỉnh kiến thức theo chương trình chuẩn Bộ giáo dục Ôn tập, bồi dưỡng chuyên sâu, nâng cao chuyên đề Hoàn thiện kỹ làm sửa lỗi thường gặp kiểm tra, thi cuối năm, đặc biệt thi vào 10 thi vào Đại học bạn cuối cấp Đội ngũ giáo viên: 100% Giáo viên thạc sỹ đào tạo Trường ĐHSP Hà Nội Là giáo viên giỏi, nhiều năm kinh nghiệm, tận tâm, yêu học trò… Các chƣơng trình MIỄN PHÍ: Kiểm tra chất lượng đầu vào Tư vấn chọn lớp, chương trình phù hợp với lực Cung cấp tài liệu học tập Đặc biệt Miễn phí buổi tự học, ơn tập học kỳ, phụ đạo Trung tâm Giới thiệu Gia sƣ MIỄN PHÍ Tư vấn, lựa chọn, giới thiệu gia sư phù hợp với học sinh Đội ngũ Gia sư giáo viên giỏi, nhiều năm kinh nghiệm, sinh viên xuất sắc trường sư phạm Cam kết chất lượng dạy học Hotline: 0964.09.9292 Email: info@khaitam.edu.vn / Website: www.khaitam.edu.vn TRUNG TÂM BỒI DƢỠNG VĂN HÓA KHAI TÂM www.khaitam.edu.vn Địa chỉ: Số 2/108 Bùi Xương Trạch, Khương Đình, Thanh Xuân, HN Điện thoại: 046.2927.005 - Hotline: 0964.09.9292 Email: info@khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn A ĐẠI SỐ Tam thức bậc hai b Giả sử f x =ax bx c a 0, , ; ; S a a 0 x1 x2 f ( x) x x1 x2 af a f ( x) x nghiệm f x f x1 x2 af af x1 x2 af af x1 x2 af af af x1 x2 0 a x1 x2 af S 2 0 x1 x2 af S 2 x1 x2 x x f f 0 a x1 x2 af S 2 S 0 2 Bất đẳng thức Cosi Với số a 0, b ab ab Dấu “=” xảy a b Phương trình – bất phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối a) A B A B d) A B A2 B b) c) B0 A B A B A B B A B Hotline: 0964.09.9292 A B e) A B A B Email: info@khaitam.edu.vn / Website: www.khaitam.edu.vn TRUNG TÂM BỒI DƢỠNG VĂN HÓA KHAI TÂM www.khaitam.edu.vn Địa chỉ: Số 2/108 Bùi Xương Trạch, Khương Đình, Thanh Xuân, HN Điện thoại: 046.2927.005 - Hotline: 0964.09.9292 Email: info@khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn Phương trình – bất phương trình chứa a) A 0(B 0) A B A B d) A0 AB B0 A B2 B B A B A A B B0 AB e) A B A A B c) A B B HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC THƢỜNG Định lý hàm số Cosin: a b c 2bc cos A b) b a c 2ac cos B c a b 2ab cos C Định lý hàm số Sin: a b c 2R sin A sin B sin C Cơng thức tính diện tích tam giác: 1 abc S a.ha b.hb c.hc S 2 4R 1 S ab sin C ac sin B bc sin A S p p a p b p c 2 S p.r C HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I Phương pháp chung: Để giải phương trình đại số ta thường dùng phương pháp cộng Bên cạnh ta có số loại phương trình đặc biệt II Một số phương trình đặc biệt Hệ phương trình bậc hai ẩn a x b1 y c1 (*) Dạng: a2 x b2 y c2 Cách giải: Công thức Crammer a b c b a c Dy 1 Đặt D 1 ; Dx 1 ; a2 b2 c2 b2 a2 c2 Dx x D Nếu D Hệ (*) có nghiệm y Dy D Nếu D = Dx hay Dy : hệ (*) vô nghiệm Hotline: 0964.09.9292 Email: info@khaitam.edu.vn / Website: www.khaitam.edu.vn TRUNG TÂM BỒI DƢỠNG VĂN HÓA KHAI TÂM www.khaitam.edu.vn Địa chỉ: Số 2/108 Bùi Xương Trạch, Khương Đình, Thanh Xuân, HN Điện thoại: 046.2927.005 - Hotline: 0964.09.9292 Email: info@khaitam.edu.vn - Website: www.khaitam.edu.vn Nếu D Dx Dy : hệ (*) có trường hợp xảy vô nghiệm vô số nghiệm Hệ phương trình đối xứng loại I f x, y Dạng * hốn vị vai trò x y cho nhau, g x, y phương trình hệ khơng thay đổi Cách giải: Đặt S x y; P x y Giải tìm S, P Suy x, y nghiệm phương trình X SX P Điều kiện để phương trình có nghiệm S 4P Hệ phương trình đối xứng loại II (1) f x, y Dạng * đo hốn vị vai trò x y cho (2) f y, x phương trình (1) trở thành phương trình (2) ngược lại Cách giải: có hai cách f x, y f y , x Cách 1: f y, x D I f x, y f y , x Cách 2: f x, y f y , x Hệ phương trình đẳng cấp Dạng : hệ phương trình đẳng cấp hệ phương trình mà cấp tất đơn thức hệ ... T p h p 1. Một số khái niệm + Tập hợp A, chứa các phần tử x, y, , A = {x, y, }, x A, y A + Tập hợp A chứa các phần tử x thỏa mãn đ iều kiện P. A = {x\ x thỏa mãn đ iều kiện P} + gọi l à tập rỗng (tập hợp kh ô ng có phần tử). + A B thì A l à tập con của tập B. + A = B thì tập A v à tập B đ ều l à tập con của nhau. 2. Các phép toán về tập hợp + Hợp A B = {x A hoặc x B} + A B = B A ; (A B) C = A (B C) A A = A ; A A B ; B A B A = A + Giao A B = {x A v à x B} + A B = B A ; A B B ; A B A A A = A ; (A B) C = (A C) (B C) A = ; (A B) C = (A C) (B C) + (A B) C = A (B C) + Hiệu A \ B = {x | x A v à x B} A \ A = (A \ B) C = (A C) \ B = (A C) \ (B C) A \ B = A \ (A B) A = (A B) (A \ B) + Phần bù C A S = A\ S (S A) 3. Tập hợp số + Tập hợp số tự nhi ê n N = {0, 1, 2, } + Tập hợp số nguy ê n Z = { - 2, - 1, 0, 1, 2, } + Tập hợp số hữu tỉ + Tập hợp số thực R = {a 0 , a 1 , a 2 , | a 0 Z, a k {0, 1, 2, , 9}} Nh vậy ta có : N Z Q R 1. Tính chất các phép toán tr ê n số + Tính chất giao hoán của phép cộng v à nh â n a + b = b + a ab = ba + Tính chất kết hợp của phép cộng v à nh â n (a + b) + c = a + (b + c) (a.b).c = a.(b.c) + Tính chất ph â n phối của phép nh â n đ ối với phép cộng (a + b)c = ac + bc + Tính chất ph â n phối của phép nh â n đ ối với phép trừ (a - b)c = ac - bc 2. Biểu thức ph ân + Tính chất c ơ bản của ph â n thức + Các phép toán của ph â n thức 3. Tỉ lệ thức + Tỉ lệ thức l à một đ ẳng thức của hai tỉ số a, d l à hai ngo ạ i tỉ ; b, c l à hai trung tỉ. + Tính chất c ơ bản của tỉ lệ thức : ad = bc + Một số tính chất khác Với a, b, c, d 0 v à thì : Biểu thức đại số Lòy thõa C¨n bËc n Luü thõa vµ c¨n sè + Một số đ ịnh nghĩa * Luỹ thừa số mũ nguy ê n * Luỹ thừa số mũ hữu tỉ * Luỹ thừa số mũ v ô tỉ (a > 0, x l à số v ô tỉ > 0) (x n ) l à dãy số gần đ úng thiếu của x) + Các tính chất c ơ bản của luỹ thừa Giả sử a > 0, b > 0 x, y R ta có : + Một số tính chất khác * x, y R, x < y + Với a > 1 a x < a y + Với 0 < a < 1 a x > a y * (x n ) R, a > 0 m à : Luỹ thừa + Định nghĩa : n N * , căn bậc n của số a l à một số b sao cho b n = a, kí hiệu l à * Mọi số a chỉ có một căn bậc lẻ * Số â m kh ô ng có căn bậc chẵn * Số dơ ng có hai căn bậc chẵn, hai căn ấy có số trị đ ối nhau. Giá trị d ơ ng của căn bậc chẵn n của số a > 0 kí hiệu l à . + với a > 0 gọi l à căn số học + Căn bậc n D·y sè CÊp sè céng CÊp sè nh©n Mét sè c«ng thøc kh¸c D·y sè - CÊp sè céng - CÊp sè nh©n + Định nghĩa Gọi N * = {1, 2, 3, } Một dãy số l à một h à m số u từ N * tới R u : N * R n U(n) Kí hiệu U n = U(n), viết dãy số d ới d ạ ng U 1 , U 2 , U 3 , U n + Cách cho dãy số * Dãy số cho bởi c ô ng thức : U n = 2n + 1 * Dãy số cho bởi cách m ô tả các số h ạ ng li ê n tiếp của nó * Dãy số cho bởi c ô ng thức truy hồi chẳng h ạ n dãy số Phibonasi : U 1 = U 2 = 1, U n = U n - 2 + U n - 1 với n 3 Dễ d à ng ta có d ạ ng khai triển của dãy : 1, 1, 2, 3, 5, 8 * Dãy số b ằ ng quy n ạ p : - Nguyễn Lê Nguyên SỔ TAY TOÁN CẤP III 2 NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT Ax = B • A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất A B x = • A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm • A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm Ax > B • A > 0 : A B x > • A < 0 : A B x < • A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm • A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ 1/. Dạng : =+ =+ /// cybxa cbyax 2/. Cách giải : baab ba ba D // // −== bccb bc bc D x // // −== caac ca ca D y // // −== 3 ∗ D ≠ 0 : hệ có nghiệm duy nhất = = D D y y D D x x ∗ D = 0 và D x ≠ 0 Hệ vô nghiệm D = 0 và D y ≠ 0 ∗ D = D x = D y = 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a / , b / , c / NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) ∗ ∆ = b 2 – 4ac ∆ > 0 a b x 2 1 ∆+− = , a b x 2 2 ∆−− = ∆ = 0 Nghiệm kép a b xx 2 21 −== ∆ < 0 Vô nghiệm ∗ ∆ / = b / 2 – ac ∆ / > 0 a b x // 1 ∆+− = , a b x // 2 ∆−− = ∆ / = 0 Nghiệm kép a b xx / 21 −== ∆ / < 0 Vô nghiệm 4 Chú ý: a + b + c = 0 : nghiệm x 1 = 1, x 2 = a c a – b + c = 0 : nghiệm x 1 = –1, x 2 = a c − NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC f(x) = ax + b ( a ≠ 0) x – ∞ a b − +∞ f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG) Nếu Thì > <∆ 0 0 a < <∆ 0 0 a f(x) > 0, ∀x f(x) < 0, ∀x > =∆ 0 0 a < =∆ 0 0 a f(x) > 0, ∀x ≠ a b 2 − f(x) < 0, ∀x ≠ a b 2 − ∆ > 0 x – ∞ x 1 x 2 +∞ f(x) cùng 0 trái 0 cùng dấu a 5 NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ Cho: f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực 1/. Muốn có x 1 < α < x 2 ta phải có af(x) < 0 2/. Muốn có x 2 > x 1 > α ta phải có >− > >∆ 0 2 0)( 0 α α S af 3/. Muốn có x 1 < x 2 < α ta phải có <− > >∆ 0 2 0)( 0 α α S af 4/. Muốn có x 1 < α < β < x 2 ta phải có < < 0)( 0)( β α af af 5/. Muốn có x 1 < α < x 2 <β ta phải có > < 0)( 0)( β α af af 6/. Muốn có <<< <<< 21 21 xx xx βα βα ta phải có 0)()( < βα ff 6 7/. Muốn có α < x 1 < x 2 <β ta phải có << > > >∆ βα β α 2 0)( 0)( 0 S af af Chú ý: 1/. Muốn có x 1 < 0 < x 2 ta phải có P < 0 2/. Muốn có x 2 > x 1 > 0 ta phải có > > >∆ 0 0 0 S P 3/. Muốn có x 1 < x 2 < α ta phải có < > >∆ 0 0 0 S P NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1/. = ≥ ⇔= K K BA B BA 2 2 0 2/. ≥≥ = ⇔= )0(0 22 hayBA BA BA KK NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 7 1/. < > ≥ ⇔< K K BA B A BA 2 2 0 0 2/. > ≥ ≥ < ⇔> K K BA B A B BA 2 2 0 0 0 3/. 12 12 + + <⇔< K K BABA NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/. ≥ −= ≥ = ⇔= 0 0 B BA B BA BA 2/. −= = ⇔= BA BA BA Chú ý: ≤ =− ≥ = ⇔= 0 )()( 0 )()( )()( x xgxf x xgxf xgxf NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 8 1/. > <<− ⇔< 0B BAB BA 2/. ≥ −< ≥ > < ⇔> 0 0 0 B BA B BA B BA 3/. 22 BABA >⇔> NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/. Đònh nghóa : Dạng : A > B, A ≥ B A < B, A ≤ B 2/. Tính chất : a) abba <⇔> b) ca cb ba >⇒ > > c) cbcaba +>+⇔> d) << >> ⇔> 0, 0, cbcac cbcac ba e) dbca dc ba +>+⇒ > > 9 f) bdac dc ba >⇒ >> >> 0 0 g) <> >< ⇒> 0; 11 0; 11 abkhi ba abkhi ba ba 3/. BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a 1 , a 2 , a 3 , , a n n n n aaaa n aaaa 321 321 ≥ ++++ hay n n n n aaaa aaaa ++++ ≤ 321 321 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a 1 = a 2 = a 3 = = a n 4/. BĐT Bunhia Côp ski ... – 19h30 Văn CN 16h00 – 19h00 Anh Chủ nhật 14h00 – 15h30 Thứ 19h30 – 21h00 CN 8h00 – 9h30 Thứ 19h30 – 21h00 Chủ nhật 14h30 -16h00 Thứ + Thứ 19h30-21h00 Thứ 19h30 – 21h00 Hóa 11 Chủ nhật 9h30 –... 14h00-15h30 Chủ nhật 8h00 – 9h30 Toán Thứ + Thứ 19h30 - 21h00 Toán Thứ + Thứ 19h30 – 21h00 Văn Thứ 18h00 – 20h00 Thứ 19h30 – 21h00 Thứ 18h00 – 19h30 Toán Thứ + Thứ 18h00 – 19h30 Hóa Thứ 18h00 – 19h30... sin 3a 3sin a 4sin a cos2a cos a sin a cos3a 4cos3a 3cosa 2cos a 2sin a 2tana t an 2a tan a Công thức hạ bậc cos2a sin a 3sin a sin 3a sin a tan a tan a tan3a