DƯƠNG ĐỨC KIM - ĐỖ DUY ĐỒNG hS NGUYEN T
Cele NGOC ie
(21 duane Tuan Rẻ I!! Rất rẻ v
>> Biag hàng — Nhận hàng tận nữi khônp phí 24/T \
za Photo - In: a Đánh máy: va Húa đơn hán lẻ - Phiếu thu:
va Số khám: a: Wits — In tứi nilon: 1: TOK/kg — Vé xe
SDT: 0972.246.583 - 0984.985.060
CS 1: Cổng trường ĐH Công nghiệp- Quảng Tâm CS 2: Công sau Trường ĐH Hông Đức - Quảng Thành Chuyên cung cấp TÀI LIỆU ÔN THỊ THPT QUỐC GIA - TÀI LIỆU ÔN THỊ LỚP 10
VA TAT CA CÁC TÀI LIEU HQC TAP ship TOAN TINH THANH HOA
Trang 2DƯƠNG ĐỨC KIM - ĐỖ DUY ĐỒNG
Th.S NGUYÊN THANH HẢI ~ NGÔ NGỌC AN
SỐ TAY
TOÁN - LÝ - HÓA
CẤP 2
Krồiiruin Rẻ II Rất rẻ
Giao hang — Nhgn hang tn noi khong phi 24/7
za Photo - In: 1800/t0 a4 +a Đánh máy: 3.5006/trane
za Héa don ban lé - Phiéu thu: 9.000d/quyén
va 0ar vidit: 5/Hập — Thiệp cưới - Biáy khen — Giay mdi
va $6 kham: 1K/Quyén — In tai nilon: 7OK/ke — Vé xe
= SDT: 0972.246.583 - 0984.985.060
PHOTO IN cs 1: Cong trường ĐH Công nghiệp- Quảng Tâm
QUANG TUAN C52: Công sau Trường ĐH Hồng Đức - Quảng Thành
Trang 3PHAN’ TOAN HOC > ÑỚPp 6 < PHẦN SỐ HỌC Chương I _ ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN I- 1 Mở đầu về tập hợp
Khdi niém tap hop
Tập hợp là khái niệm gốc của Toán học Nó được hình dung qua các ví dụ Người ta nói tập hợp các chữ số, tập hợp các đội viên của liên đội thiếu niên trường Sao Mai năm học 2000 - 2001 v.v Người ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, ., X, Y dé
đặt tên cho các tập hợp
Phân tử của một tập hợp là cá thể tham gia tạo nên tập hợp đó
Ví dụ : Tập hợp các chữ số A = |O; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9J Mỗi
chữ số, chẳng hạn 2, là một phần tử của tập hợp A
Kí hiệu 3 e A để nói 3 /k một phần tử của A hay 3 thuộc A
Khi viết a # A có nghĩa là a không phải là phần tử của A hay a
không thuộc A
Thường thường có hai cách xác định một tập hợp là :
- Liệt kê các phần tử của tập hợp (mỗi phân tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý)
~ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phân tử của tập hợp
Hình minh họa một tập hợp là một vòng kín bên trong có các
chấm chỉ các phần tử của nó và tên tập hợp ghi ở biên
Trang 4Số phần tử của tập hợp
Một tập hợp có thể có một phần tử, hai phần tử, nhiều phần tử Tập hợp gọi là có uô số phần tử khi không thể đếm hết số phần tử của nó Một tập hợp có một số rất lớn phần tử đến hàng chục
tỉ cũng không phải là có vô số phần tử
Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là : Ø Ghi chú : Tập hợp (0) có một phần tử là số 0 Nó không phải là tập hợp rỗng Tap hgp con A B Ví dụ : Cho hai tập hợp : Œ A = (2: 4} B = {1; 2; 3; 4; 5}
Ta thấy : mỗi phan tử của A là một phần tử của B Ta bảo A là
tập hợp con của B, kí hiệu là A c B hoặc B 5 A Ta còn bảo B chứa A hoặc A được chứa trong B
Ghi chú : Cho A là tập hợp tùy ý thì: Øc A và AC A; tập
hợp Ø là tập hợp con của một tập hợp bất kì, một tập hợp A bất kì là tập hợp con của chính nó
Hai tập hợp bằng nhau
Trang 5II-
Ta thấy C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Ta bảo C là tập hợp giao của A và B (nói gọn là giao của A và B), kí hiệu là C= AB Tập hợp các số tự nhiên Ghi số tự nhiên Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là N N =l0; 1; 2; 3; 4; ] Tập hợp các số tự nhiên khác 0, kí hiệu là N* N* = (1; 2; 3; 4; .} Biểu diễn số tự nhiên trên tia số L ‡ + + t 0 1 2 1 3 ] 4 5 i
Dùng thước thẳng, bắt đầu từ điểm 0 vạch thẳng từ trái sang phải Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị đo Bắt đầu từ 0 đặt liên tiếp đoạn thẳng đơn vị, ta có một tia số
Muốn biểu diễn số tự nhiên a ta lấy trên tia số điểm cách 0
khoảng cách a đơn vị đo đã chọn Điểm biểu diễn số tự nhiên da goi la diém a
Thứ tự trong tập hợp các số tự nhiên
Cho hai số tự nhiên khác nhau thì có một số nhỏ hơn số kia Trên tia số, điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn
Số a nhỏ hơn số b kí hiệu là a < b Khi đó ta cũng nói rằng b
lớn hơn a và kí hiệu b > a
Quan hệ thứ tự các số có tính chất bắc cầu (tính chất truyền)
nghĩa là
a<b wa b<c thì a<c hoặc a>b vwa b>c thi a>c
Ghi chú : Kí hiệu a > b để chỉ a lớn hơn b hoặc a = b
Tập hợp N có số nhỏ nhất là 0 và không có số lớn nhất Tập hợp N* có số nhỏ nhất là 1 và không có số lớn nhất
Nếu giữa hai số tự nhiên a và b không có số tự nhiên nào khác
Trang 64 Ghi số tự nhiên trong hệ thập phân
e Dé ghi số tự nhiên trong hệ thập phân người ta dùng 10 chữ số
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và giá trị của mỗi chữ số trong một số thay doi theo vi tri của nó theo qui tắc "mười đơn vị ở một hàng làm thành một đơn vị ở hàng liền trước”
Ví dụ : Cho số 1335, ta có :
1335 = 1 x 1000 + 8 x 100+ 3x 10+5
Để ý đến chữ số 3 trong số đã cho ta thấy: chữ số 3 ghi hai lần
cạnh nhau nhưng chữ số 3 bên trái có giá trị gấp mười lần chữ
số 3 bên phải
Ghỉ chú : Để ghi một số tự nhiên nào đó không cụ thể, chẳng
hạn một số có bốn chữ số ghi trong hệ thập phân ta viết : abcd
ta phải hiểu các chữ a, b, c, d là thay cho chữ số nào đó trong
10 chữ số 0, 1, 2, , 8, 9 và điều kiện chữ số đầu tiên a = 0 Nếu viết abed không cần díu gạch ngang "-" bên trên thì đây có nghĩa là tích a x b x e x d mà a, b, c, d là các số nào đó
5 Số La Mã
Ngày nay, trong một số trường hợp người ta cũng sử dụng cách ghi số tự nhiên của người cổ La Mã Người ta dùng 7 chữ số mà kí hiệu của chúng và giá trị tương ứng trong hệ thập phân như sau : Kí hiệu chữ số La Mã Giá trị tương ứng | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 trong hệ thập phân
Trong cách ghi của người La Mã các chữ số không thay đổi theo uị trí các chữ số có giá trị lớn ghi trước các chữ số có giá trị nhỏ hơn IJ|V|XỊL C D M
Trong một số các chữ số V, L, D không ghi quá một lần, các chữ số
M, C, X, I không ghi quá 3 lần Giá trị của một số bằng tổng các thành phân của nó Riêng 6 số đặc biệt là : IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900 có chữ số giá trị nhỏ đứng trước
Trang 7II
Vi du 1 : Tìm số tương ứng trong hệ ghi thập phân của số La Ma MCMXCVII
Giải
Trong số này có 2 số đặc biệt CM = 900 ; XC = 90 ta không
tách rời nên có thể viết số đã cho thành tổng các thành phần của nó như sau : MCMXCVIT =M+CM+XC+V+I+I = 1000 + 900 + 90 + 5 +1 +1 = 1997 Ví dụ 2 : Hãy ghi theo hệ La Mã số tự nhiên ghi trong hệ thập phân là 468 Giải Ta phân tích số 468 thành tổng các thành phần tương ứng với các chữ số La Mã như sau : 468 = 400 + 50+ 10+5+l1+l+1l = CD+L+X+V+l+l+l = CDLXVIII Phép cộng và phép nhân Tổng uà tích Số tự nhiên a cộng với số tự nhiên b được số tự nhiên c kí hiệu là: a+b=c
Các số a và b gọi là các số hang con c gọi là tổng (của a va b) Số tự nhiên a nhân với số tự nhiên b được số tự nhiên d kí hiệu la:
axbzd hoặc ab=d
Các số a và b được gọi là các £hừø số còn số d gọi là £ích (của a và b)
Ghi chú : Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có
Trang 8._ Tính chất của phép cộng uà phép nhân Tính chốt giao hoán e Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi a+b=b+a e Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không đổi a.b = b.a
Tinh chat két hop
e Muốn cộng một tổng của hai số với số thứ ba ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba
(a+b)+c=a+(b+c)
e Muốn nhân một tích của hai số với số thứ ba ta có thể nhân
số thứ nhất với tích của số thứ hai và số thứ ba (a.b).c = a.(b.c) Cộng một số với 0, nhân một số với 1 e Tổng của một số với 0 bằng chính số đó a+0=0+a=a e Tích của một số với 1 thì bằng chính số đó la=al=a
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
Muốn nhân một số với một tổng ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng rồi cộng các kết quả lại
a.(Œb + c) = a.b + a.c
Trang 9(ab)cd = a(b.c).d = albcd) = a(b+c+d) = ab+ac+ad IV- Phép trừ và phép chia 1 Phép trừ hai số tự nhiên Số tự nhiên a trừ số tự nhiên b được số c kí hiệu là a-b=c
a được gọi là số b¡ trừ, b là số trừ, c là hiệu Điều kiện để có hiệu a—b là a >b
Í số trừ + hiệu = sé bi trừ
2 Phép chia hết oà phép chia có dự
e Phép chia hết :
Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b + 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và kí hiệu a:b=x a là số bi chia, b 1a sé chia, x la thutong Ví dụ - 15 : 5 = 3 vì 5.3 = 15 nén 15 chia hét cho 5 e Phép chia co du :
Cho hai số tự nhiên a va b trong đó b + 0, ta luén tìm được hai
số tự nhiên q và r duy nhất sao cho
a=bq+r, trongd6 O<r<b
Nếu r = 0 ta có phép chia hết
Nếu r z 0 ta có phép chia có dư Số a là số bi chia, b 1a so chia, 4 là thương, r là số dư
Ví dụ: 39 -= T5 +4
39 là số bị chia, 7 là số chia, 5 là thương, 4 là số dư
© ƒng dụng : Ta có thể biểu diễn một số tự nhiên a dưới dạng
một biểu thức của phép chia có dư như
a=3k+r, keN, re (0,1, 2}
2z=5t4+r, teN, re (0, 1,23, 4}
Trang 10V-
1
Lũy thừa với số mũ tự nhiên Phép nâng lên lũy thừa
e Ly thừa bộc n của a là tích của n thừa số bằng nhau mỗi thừa
2
số bằng a, kí hiệu
a" = aa.a (nz0) n thừa số
a gọi là cơ số, n gọi là số rnữ
Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gơ là phép nâng lên lũy thừa
Vi dụ : Lũy thừa bốn của 3 la: 3‘ = 3.3.3.3
Ghi chú : Quy ước : a'=a
a’ con được gọi là a bình phương hay bình phương của a
a” còn được gọi là a lập phương hay lập phương của a
Nhân hai lũy thừa cùng cơ số
a"a"= am"
Vidu: 22*=2*4=2'
Chia hơi lũy thừa cùng cơ số
Với m > n và a z Ö ta có :
Ghi chú : Quy ước : a "=1
Ứng dụng : Mỗi số tự nhiên ghi trong hệ thập phân đều là tổng
Trang 1110” = 100, 10” = 1000, 10* = 10000, 10° = 100000 VỊ- Thứ tự thực hiện các phép tính
Các số được nối với nhau bởi một số phép tính (trong các phép cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa) và một số dấu ngoặc (ngoặc tròn (_), ngoặc vuông [ |, ngoặc nhọn { }) gọi là biểu thức Các phép tính trong một biểu thức cần được thực hiện theo một thứ tự nghiêm ngặt
1 Biểu thức không có dấu ngoặc
- Nếu biểu thức chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có nhân, chia ta thực hiện theo thứ tự từ trái sang phải Ví dụ : 46 + 74 - 15 - 10+ = 120 - 15- 10 +6 = 105 - 10+ 6 =95+6= 101 35.6 : 14 = 210: 14 = 15
- Nếu biểu thức có các phép tính cộng trừ nhân chia, nâng lên
lùy thừa cần thực hiện nâng lên lũy thừa trước, rồi nhân và
chia, cuối cùng đến cộng và trừ Vị dụ : Thực hiện các phép tính
5.2”- 70:2 + 4.9 = 5.8-70:2+ 4.9
= 40 - 35 + 36 = 5 + 36 = 41
2 Biểu thức có dấu ngoặc
Trang 12VII-Tính chất của phép chia hết 1 Kí hiệu phép chia hết
Cho a,b eN,b z0, nếu có số k e N sao cho a = b.k thì ta bảo a chia hết cho b, kí hiệu a : b
Nếu a không chia hết cho b ta kí hiệu a b Tính chất của phép chia hết Nếu tất cả các số hạng của một tổng cùng chia hết cho một số (z 0) thì tổng chia hết cho số đó a:m;b:mvac:m > (a+b+c):m Nếu số bị trừ và số trừ cùng chia hết cho một số (z 0) thì hiệu chia hết cho số đó a>b;a:mvàb:m => (a-b):m Nếu trong một tổng chỉ có một số hạng không chia hết cho một số còn các số hạng khác cùng chia hết cho số đó thì tổng cũng không chia hết cho số đó a:m;b:m vàc m> (a+b+c)m
Nếu số bị trừ chia hết cho một số, số trừ không chia hết cho số
đó hoặc số bị trừ không chia hết cho một số còn số trừ chia hết
cho số đó thì hiệu không chia hết cho số đó
a>b; a:m và bZm= (a-b) m
Trang 13VIII- Dấu hiệu chia hết
1 Dấu hiệu chia hết cho 2
Các số có chữ số tận cùng thuộc {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 0} thi chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2
Ví dụ: 26:2; 39 7 2 Ddu hiéu chia hét cho 5
Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5
Vidu: 270:5; 65:5; 82 Z5
Dédu hiéu chia hét cho 9
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9
Ví dụ: 378:9 vì (3+ 7+8):9
265 Z 9 vì (2+6 + 5) Z 9
Dấu hiệu chỉa hết cho 3
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ các số đó mới chia hết cho 3
Vidu: 351:3 vì (3+5+1):3
127 Z3vì(1+2+ 7) Z 3
Ghi chú : Các số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3 Đảo lại
những số chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9 Số nguyên tố Hợp số
Ước va bội
Choa,bcN, nếu a : b ta nói b là ước của a, a là bội của b
Tập hợp tất cả các ước của số a kí hiệu là Ư(a), tập hợp các bội tủa a kí hiệu là B(a)
Ứ/ dụ : Ư(12) =(1;2;3;4;6; 12)
B(6) = |0;6; 12; 18; 24 ; ]
Tổng quát, tập hợp B(a) = {a.k ; k e NỊ
Trang 14e Cách tìm Ư(a) va Bla)
3
- Để tìm các ước của số a ta thử chia a lần lượt cho 1, 2, 3, , a để xem a chia hết cho số nào thì số đó là ước của a
- Dé tìm các bội của số a ta nhân a lân lượt với 0, 1, 2, 3, Gh¡ chú : Số 1 là ước của số tự nhiên a bat ki
Số tự nhiên a z 0 là ước của chính số a Số 0 là bội của mọi số tự nhiên
Không có số nào có ước là số 0 Số nguyên tố Hợp số
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ước là 1 và chính nó
Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có nhiều hơn hai ước
Ví dụ : 2 chỉ có các ước là 1 và 2 Vậy 2 là số nguyên tố 6 có các ước là 1, 2, 3, 6 Vậy 6 là hợp số
BANG CAC SO NGUYEN TO NHO HON 100
(các số nằm trong ô[_] là số nguyên tố) 2 ]J3]l4|[s|s|[7]s s 10 11 12 |138|14 15 16 | 17 | 18 |19| 20 21 22|23|24 25 26 27 28 |29| 30 31 |32 33 34 35 36 | 37 | 38 | 39 | 40 41 | 42 | 43 | 44 45 46 |47 |48 49 50 51 52|53|54 55 56 57 58 | 59 | 60 61 | 62 63 64 65 66 | 67 | 68 69 70 71 172) 73) 74 75 76 77 78 | 79 | 80 81 82 | 83 | 84 85 86 87 88 | 89 | 90 91 92 93 94 95 96] 97] 98 99 100 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố
e Viết một số dưới dạng tích của các thừa số nguyên tố gọi là phân tích số đó ra thừa số nguyên tố
Trang 15Cách phân tích một số ra thìm số nguyên tố
Để phân tích số tự nhiên a > 1 ra thừa số nguyên tố ta dùng bảng các số nguyên tố Chia a lần lượt cho các số nguyên tố trong bảng từ số nhỏ đến lớn Ví dụ : 588 | 2 294 147 49 SN ¬1l 6G NS 7 1 > 588 =223.7.7= 273.77
Ghi chú : Mọi số tự nhiên là hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố Dù phân tích ra thừa số bằng cách nào thì vẫn được cùng một kết quả (có thể khác nhau về thứ tự các thừa số) Ước chung và bội chung
Ước chung
Số tự nhiên x là ước của số tự nhiên a đồng thời là ước của số tự nhiên b gọi là ước chung của a và b
Trang 162 Ước chung lớn nhất (UCLN)
Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chưng của chúng
Ước chung lớn nhất của các số a, b kí hiệu là ƯCLN(a, b) hay (a, b) (nếu không có sự nhầm lẫn)
ƯCLNA@a, b) = số lớn nhất trong tập hợp ƯC(a, b)
Kí hiệu ƯCLN(a, b, c) chi ước chung lớn nhất của ba số a, b, c
Néu UCLN(a, b) = 1 ta bao a và b nguyên tố cùng nhau Cach tim UCLN (a, b)
Bước 1 : Phân tích a va b ra thừa số nguyên tố
Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, môi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất Tích đó là ƯCLN phải tìm Ví dụ : Tim UCLN(420, 540) Tacó: 420|2 540 | 2 210 | 2 270 | 2 105 | 3 135 | 3 35/5 45| 3 7| 7 15| 3 1 5Ì 5 1 420 -2”35.7 540 - 2?3”.5 UCLN(420, 540) = 27.3.5 = 60
Tương tự như vậy, để tim UCLN(a, b, c) ta cing phan tich a, b, c ra thừa số nguyên tố rồi lập tích các thừa số nguyên tố chung
lấy với số mũ nhỏ nhất
Ghi chú : Nếu a:b thì ƯCLN(a, b)=b
Cách tìm tập ƯC của nhiều số bằng tập hợp các ước của UCLN cua ching
Ta cé : UC(a, b) = U (UCLNia, b))
Vi du : UCLN(420, 540) = 60
Trang 175 Bột chung
Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó
Kí hiệu BC(a, b) là tập hợp tất cả các bội chung của a và b BC(a, b, c) là tập hợp tất cả các bội chung của a, b và c Ta có : BC(a,b)=[xewlx:avàx:b} BC(a, b) = B(a) B(b) BC(a,b,c)={xeWwlx:a,x:bvàx:c} BGA@, b, e) = B(a) ¬ B(b) n B(c)
Bội chung nhỏ nhất (BCƠNN)
Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số khác 0 nhỏ nhất
trong tập hợp các bội chung của các số đó
Kí hiệu : bội chung nhỏ nhất của a, b là BƠNNAa, b) bội chung nhỏ nhất của a, b, c la BCNN(a, b, c) BCNNAa, b) là số nhỏ nhất khác 0 của tập BC (a, b)
BCNNAa, b, c) là số nhỏ nhất khác 0 của tập BC (a, b, c) Cách tìm BCNN
Muốn tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện :
Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng
Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn ở bước 2 và mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó Đó là BƠNN phải tìm
Vi du : Tim BCNN(24, 10)
Tacó: 24=2°3; 10=2.5
Các thừa số nguyên tố chung và riêng là 2, 3, 5
Từ đó ta có : BCNN(24, 10) = 2.3.5 = 120
Tìm tập hợp các bội chung của nhiều số qua BCNN của chúng
Ta có mỗi BC của nhiều số là một bội của BƠNN của chúng BC (a, b) = B (BCNN (a, b))
BC (a, b, c) = B (BCNN (a, b, c)) Vi du : BCNN (24, 10) = 120
BC (24, 10) = B (120) = {0;120:-240:-866 ).}= (120k, k e NỊ DAI HOC QUOC GIA HA NOI
[RUNG [AM THONG TIN THU VIEN |
Trang 18Chương Il SỐ NGUYÊN 18 Tập hợp số nguyên Số nguyên Các số —1; -2; —3; —4; -5; là các số nguyên âm Các số +1; +2; +3; +4; +5; là các số nguyên dương
Thường thường người ta bỏ các dấu ”+” trước các số nguyên
dương Số 0 hợp với các số nguyên âm, các số nguyên dương tạo
thành (áp hợp số nguyên, kí hiệu là Z
Z = | ; =5; =4; —3; —2; —1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; ]
Trục số
Lấy một đường thẳng, chọn một điểm làm gốc ghi số 0 và một đoạn thẳng làm đơn vị dài của trục Phân chia đường thẳng, kể
từ gốc 0, thành những đoạn thẳng bằng nhau bằng đoạn thẳng
đơn vị và chọn chiều từ trái sang phải làm chiều dương, ta có một trục số
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5ð
Điểm trên trục số cách 0 ba đơn vị về bên trái biểu diễn số
nguyên -3, điểm cách 0 năm đơn vị về bên phải biểu diễn số nguyên dương +5 Làm tương tự, ta có thể biểu diễn các số nguyên trên trục số
Điểm trên trục số biếu diễn số nguyên a gọi là điểm da Thứ tự trong tập hợp số nguyên
Trong hai số nguyên khác nhau có một số nhỏ hơn số kia Trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số
nguyên b, kí hiệu a < b Khi đó ta cũng nói số b Ion hon sé a va viết b > a
Nếu a < b và giữa a và b không có số nguyên nào ta bảo a là số liền trước b, còn b là số liền sau a
Ví dụ : Cho hai số —3 và —2 thì —3 là số liền trước -2 còn -2 là
Trang 19e Ta thấy thứ tự trong tập hợp Z có tính chất bắc cau (tinh chất
II-
2
truyền), nghĩa là các số nguyén a, b, c ma a>b va b>ec thi a>c
a<b và b<c thì a<c
Từ đó suy ra :
— Một số nguyên dương bất kì lớn hơn mọi số nguyên âm — Mỗi số nguyên âm thì nhỏ hơn mọi số nguyên dương
Giá trị tuyệt đốt của một số nguyên
Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giớ (r¡ tuyệt
đối của số nguyên a, kí hiệu là |a] Ví dụ : |+4| = 4 vì điểm + 4 cách 0 bốn đơn vị (hình vẽ) + + + + > =5 =] 0 1 4 Điểm —5 cách 0 năm đơn vị nên |—5 | = 5 Phép cộng các số nguyên Qui tắc cộng số nguyên
Để cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt trước kết quả dấu chung của chúng
Ví dụ : (+3) +(+8) =+(|+3|[ + |+8Ì)=+(3+8)= +11 (-2)+(-7) = -(|-2] + |-7])=-(2+7)=-9
Để cộng hai số nguyên trát dấu ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ giá trị tuyệt đối nhỏ rồi đặt trước hiệu dấu của số nguyên có giá trị tuyệt đối lớn
Ví dụ : 3) +(+7) = +(|+7|—|-8l)= +(Œ7-3)= +4
(-9) + (44) = —(|-9| - l+4Ì)= -(-4)= -5
Ghi chu : Tuong tu uinu dd: vdi các số tự nhiên, với a, b, c là các
Trang 20HI- Tính chất kết hợp : với a, b, c e Z thì : (a+b)+c=a+(b+c) Cộng với số 0 : với moi a € Z thi: a+0=0+a=a Cộng với số đối : Hai số có cùng giá trị tuyệt đối, có dấu khác nhau là hai số đối nhau Chẳng hạn 3 và -3
Số đối của a kí hiệu là -a Vì a là số đối của —a nên -(-a) = a
Tổng của hai số đối nhau thì bằng 0 a+(-a) =0 Đảo lại, nếu tổng của hai số nguyên bằng 0 thì chúng là hai số đối nhau a+b=0 thì a=-b, b=-a Phép trừ hai số nguyên Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b ta cộng a với số đối của b : a-b=a+(C-Cb) Ghi chu : a — b như thường lệ gọi là hiệu của a trừ b Số a là sso bị trừ, b là số trừ
Trong tập hợp N để có hiệu a —- b phải có điều kiện a > b còn trong Z thì với mọi a, b c Z ta đều có hiệu (a — b) € Z
Ví dụ : (+3) — (—1) = (+3) + (+1) = +4
(+5) - (+9) = (+5) + 9) = 41-9] -1451)
=-(9—5) =4
Quy tắc dấu ngoặc và qui tắc chuyển vế
Quy tac dấu ngoặc
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "—-" đằng trước ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc
Vi du:
35 — (15 - 25) = 35- 15+ 25 = 35 + (-15) + 25
= (35 + 25) + (—15) = 60 + (—15) = 45
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đằng trước ta giữ nguyên dấu crủa các số hạng trong dấu ngoặc
Trang 2132 Tổng đại số
Một dãy các phép toán cộng, trừ các số nguyên là một tổng đại số Vi du: 7 — (=3) + (—8) - (+9)
Trong một tổng đại số ta có thể đổi chỗ một cách tùy ý các số hạng kèm theo dấu của chúng
V/ dụ : 7 — (=3) + (—8) - (+9) = 7 - (+9) + (—8) — (—3)
Trong một tổng đại số ta có thể đặt thêm dấu ngoặc để nhóm
một cách tùy ý các số hạng với điều kiện nếu trước ngoặc là dấu
"—" thì phải đổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc
Vidu: 7-(-3)+(—8)— (+9)
= 7-[(-3)- (-=8)] - (+9)=_ [7 - (—3)] + [(—8) - (+9)| Qui tắc chuyển uế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng
thức ta phải đối dấu số hạng đó Với mọi a, b, c, d e Z thì : at+b-c=d => a-c=d-b Phép nhân các số nguyên Tích hai số nguyên Số nguyên a nhân với số nguyên b được số nguyên c được kí hiệu là
axb=c hoặc ab=c Cac sé a, b goi la cac thia sé, sé c goi la tich
Quy tắc nhân hai số nguyên a.0 = 0.a=0 Nếu a, b là hai số nguyên cùng dấu thi : a.b = la|.|b| Nếu a, b là hai số nguyên khác dấu thì : a.b =~ (|al.|bl) Vi du : (-3).(-5) = |-3|.|-5| = 35=15 (6) (44) = +|-6|.|4+4])= +6.4)=-24
Từ quy tắc nhân suy ra :
Nếu a.b = 0 thì hoặc a = 0 hoặc b=0
Khi đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu Khi đổi dấu hai thừa
số thì tích không thay đổi Tính chất của phép nhân
Cho a, b, c € Z thi:
Trang 22a.b = b.a
(a.b).c= a.(b.c)
a.l = l:a = a
a.(b+ec)= ab+a.c
Ghi chú: Các tính chất của phép cộng, phép nhân các số nguyên cũng giống như các tính chất của phép cộng, phép nhân các số tự nhiên
Bội và ước của một số nguyên Bột uà ước của một số nguyên
Cho a, b € Z trong đó b z 0 Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia hết cho b
Ví dụ : —12 là bội của 6vì 12 = 6.(-2) Các số 6 và —2 đều là ước của 12
Tính chất của phép chia hết
Tính chất bắc cầu (tính chất truyền) : Với a, b, e e Z, nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
a:bvà b:c > a:c
Tính chất chia hết của bội : Với a, b e Z, nếu a chia hết cho b thì mọi bội của a chia hết cho b
a:b= ma:b VmeZ
Trang 23Chương Il PHAN SO I- 1 II IH- Mở rộng khái niệm phân số Phan sé
Người ta gọi 5 với a, b c Z, b z 0 là một phân số ; a là tử, b là mau cua phan sé và đọc là : a phần b
Ví dụ : : là phân số 3 phần 4 (hoặc ba phần tu)
> la phan s6 —2 phan 7 (hoặc âm hai phần bảy) Chú ý Mọi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng phẫn số có tử là số ấy và mẫu là 1 2 là phân số 5 phần —9 (hoặc năm phần âm chín) Ví dụ : 3 = 3 5 = 3, in =, 1 1 1
Phan sé bang nhau
Hai phân số b và : gọi là bằng nhau nếu a.d=b.c aoc —=— = ad=be b d Vi du: =f 9 —18 vì (—7).(—18) = 14.9 (= 126) Tính chất cơ bản của phân số Tính chất 1 |
Trang 24Tinh chat 2
Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước
chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho a a:n = vớ ne UC (a,b) b b:n Ví dụ : Phân số x , có tử 12, mẫu 21 Tử và mẫu có ước chung là 3 Ta có : 12 12:3 4 21 21:3 7 Chú ý :
1) Từ các tính chất trên, ta thấy mỗi phán số có uô số phân số
bằng nó Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau của cùng một số hữu tỷ
2) Từ các tính chất trên, ta có thể viết một phân số bất kỳ có
mẫu âm thành phân số bằng nó và có mẫu dương bằng cách nhân cả tử và mẫu của phân số đó với —1
3 _ 3U _-3
Viduz -7— (ALD 7 2 =e)
Rut gon phan sé
Cách rút gọn phân số
Muốn rút gọn một phân số ta chia cả tử và mẫu của phân số cho
Trang 252 Phân số tối giản
- Phân số tối giản hay phân số không rút gọn được nữa là phân số mà tử và mâu chỉ có ước chung là 1 và —1 (tức là tử và mẫu của phân số là hai số có giá trị tuyệt đối nguyên tố cùng nhau)
= tối gian néu |al va |b| nguyén té cimg nhau
Muốn đưa một phán số chưa tối giản về dạng tối giản, ta chia tử và mẫu của phân số ấy với ước chung lớn nhất của chúng
Ví dụ : Đưa phân số a về dạng tối giản Ta có: ƯCLN(60, 84) = 12 60 60:12 5 84 84:12 7° Quy đồng mẫu nhiều phân số Các bước thực hiện Muốn quy đồng mẫu của nhiều phân số với mẫu dương ta thực hiện các bước :
Bước 1 : Tìm một Bội chung của các mẫu để làm mẫu chung của các phân số Thông thường người ta thường tìm BỮNN của
các mẫu
Bước 2 : Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu bằng cách chia mẫu
chung cho từng mẫu
Bước 3 : Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng Ví dụ : Quy đồng mẫu các phân số 5 7 11 a 12 30 40
— BCNN(12; 30; 40) = 120 Vay ta chọn mẫu chung là 120
- Chia 120 lần lượt cho 12; 30; 40 ta được các thừa số phụ tương ứng với các mẫu là 10; 4; 3
- Cuối cùng ta có :
5 510 50 7 74 28 11 113 33
12 1210 120030 304 12040 403 120°
Trang 262 Chú ý§
Trước khi quy đồng mẫu các phân số ta cần phải : + Đưa các phân số có mẫu âm về dạng có mẫu dương ;
+ Rút gọn các phân số chưa tối giản
Khi trong các mẫu có một mẫu chia hết cho các mẫu còn lại thì ta chọn mẫu này làm mẫu chung
Khi các mẫu là các số nguyên tố cùng nhau thì mẫu chung bằng tích của các mẫu Ví dụ : Quy đông mẫu của các phân số : 2 45 11 -3' 63” 42” Nhận xét : Phân số = có mẫu âm, nên ta đưa về dạng có mẫu dương là 2 a nas " es ` ˆ -Ö 5
Phân số a chưa tối giản, ta gian uc vdi 9 va duoc phar so 7° Trong ba m4u 3, 7 va 42 thi 42 chia hết cho 7 va chia hét cho 3
Vậy mẫu chung là 42 ;
Trang 274 va —— Vị dụ : So sánh hai phân số : 2 5° Trước hết ta viết phân sô — dưới dạng có mâu dương và được =4 hân số —— Ỹ 5 z -4 ss = & -4
Hai phân số : và = có cùng mâu là 5 va vi 2 > —4 nén : > ="
So sánh hai phân số không cùng mẫu
Quy tắc :
Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, tá qny đồng mẫu
để viết chúng dưới dạng các phân số có cùng mẫu dương rồi so
sánh các tử với nhau : Phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn -5 2 Ví dụ : So sánh =Ð và “ai 12 -120 Trước hết, ta viết các phân số về dạng có mẫu dương và rút gọn ` : : x.— =Ỷ
các phân số chưa tối giản và được hai phân số = va a0: Mẫu chung là 60 Các thừa số phụ là 5 và 2 -õ _ -25 -7 _ -14 12 60 Ì 30 60 ’ vi —-25 <-14 nên =25 < = 60 ` 60 -5 28 Suyra ——<——— 12 `-120
Chú ý : Trước khi thực hiện việc so sánh các phân số cần chú ý - Viết các phân số có mẫu âm về dạng có mẫu dương
Trang 28Đặc biệt, thường thường người ta hay so sánh với 1, với chú ý :
Trong các phân số có tử uà mẫu là các số tự nhiên thì phân số nào có £ử lớn hơn mẫu, phân số đó lớn hơn 1 và phân số nào có tử nhỏ hơn mẫu thì phân số đó nhỏ hơn 1
Trang 29Ùb) So sánh bằng cách xét các tích a.d va b.e ae Ta có : ` ES a.d < b.c; d (a,b, c,d ô Z,b>0,d>0) a> câ a.d>b.e; b nịa (ab,c,deZ,b>0,d>0) Ví dụ : So sánh các phân số và 7 - 29 Ta co: — = i - 29 29 Xét tich (-2).29 = -58 va 7.(-12) = -84 mà -58 > —-84 hay vi (-2).(29) > 7.(-12) 2-2 4, 2, 2 > - mên >—— 7 29 7 —29 — VII- Phép cộng phân số
1 Cộng hai phân số cùng mẫu
Quy tắc : Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và
gid’ nguyén mau
a b a+b
—— + — =
mm m
2 Cộng hơi phâm số không cùng mẫu
Quy tắc : Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng
mẫu để đưa chúng về dạng các phân số có cùng mẫu rồi cộng
các tử số lại và giữ nguyên mẫu Chú ý :
ø) Các quy tắc trên đây cũng được ứng dụng trong việc cộng nhiều phân số
b) Trước khi cộng các phân số, ta cần viết các phân số có mẫu âm thành phân số có mẫu dương, rút gọn các phân số chưa tối
giản và sau khi cộng cần rút gọn các kết quả, nếu có thể
Trang 30c) Phân số Ai Cập : Phân số Ai Cập là các phân số có dạng su
n Mọi phân số có tử lớn hơn 1 đều viết được dưới dạng tổng các
phân số Ai Cập với các mẫu khác nhau 7 1,1 1 Ví dụ : —=—+—+— I2 3 6 12 Tính chất cơ bản của phép cộng phán số Phép cộng các phân số có các tính chất : a) Tính chất giao hoán : = db b) Tinh chất kết hợp : (2 +S)s2 = e+(S+2| q ca
Trang 313
X- 1
Quy tắc thực hành
a) Tri hai phân số có cùng mẫu
Muốn trừ hai phân số có cùng mẫu, ta lấy tử của số bị trừ trừ đi tử của số trừ và giữ nguyên mẫu
a b a-b
mm m
b) Trừ hai phân số có nuẫu khác nhau
Muốn trừ hai phân số có mẫu khác nhau, ta quy đồng mẫu để đưa về trường hợp trừ hai phân số có cùng mẫu Ví dụ : Thực hiện phép tính a) 7-8 b) 3_1 98 9 7 3 Giải 7 -8& 7-(C8) 7+8 15 5 a) Ta có: —-—— = = = 3 9 9 9 3 3 1 9 7 9-7 b) —-— = ee 7 3 21 21 21 21 Phép nhân phân số Quy tắc
Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau
Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với
một số nguyên) ta nhân số nguyên với tử và giữ nguyên mẫu
b_ab ec oc
Chú ý : Trước khi thực hiện phép nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau, ta cần rút gọn các thừa số giống nhau
thuộc tử và mẫu để phép tính được đơn giản
Trang 32b) Tính chất kết hợp
c) Nhân vai don vi
d) Tính chất phân phối của phép nhân đối uới phép cộng
2(c.2) ac ap b ld q}) bd bq
Áp dụng : Nhờ các tính chất giao hoán, kết hợp ta có thể đổi
chỗ và ghép các phân số một cách thích hợp để phép toán được nhanh gọn
Cần chú ý rút gọn các thừa số nếu có thể được để phép nhân được đơn giản
Chú ý : Phép nhân nhiều phân số cũng có tính chất giao hoán,
kết hợp và phân phối đối với phép cộng Phép chia phân số Số nghịch đảo Hai số gọi là nghịch đảo của nhau khi tích của chúng bằng 1 2 5 -1 Vi du : — Và — ; -3 va — 5 2 3
Quy tắc chia phân số
Muốn chia một phân số cho một phân số, ta nhân phân số bị
chia với số nghịch đảo của số chia
Muốn chia một số nguyên cho một phân số ta nhân số nguyên với số nghịch đảo của phân số
Kˆ
a:—=a-—
d c c
Muốn chia một phân số cho một số nguyên khác 0 ta giữ
nguyên tử và nhân số nguyên với mẫu của phân số a
*:m-.® (m z0)
Trang 33Vidu «2 23 A 6, _ 7 1 7 21 7 49 mB eh 17 a 9 9 9 6 6 _ 2 11 113 il
Chú ý : Trường hợp chia một phân số cho một số nguyên, nếu
tử của phân số chia hết cho số nguyên thì ta chia tử cho số
nguyên và giữ nguyên mẫu Wide: hcp CS! óc 50 50 50 Hỗn số Hỗn số Hỗn số là số gồm phần nguyên kèm theo một phân số (thường là nhỏ hơn 1) Cần lưu ý : 54 =5+2;-34-(-3)+(-4) 7 7 7 7
Cách đổi phân số ra hỗn số oà ngược lại
Để đổi một phân số lớn hơn 1 ra dạng hỗn số, ta lấy tử chia cho mẫu Thương (gần đúng) của phép chia là phần nguyên của hỗn số Phân số kèm theo có mẫu là mẫu của phân số đã cho, còn tử là số dư trong phép chia trên đây
Ví dụ: “=3 (7=53+2) 5 5
Trang 34- Để đổi một hỗn số ra phân số, ta nhân mẫu của phân số kèm theo với phần nguyên rồi cộng với tử của phân số kèm theo Kết quả tìm được là tử của phân số cần tìm, còn mẫu là mẫu
của phân số kèm theo
Ví dụ : oat, 10 10” 3 _-B.9-2 9 9 _ -47 9
3 Thực hiện các phép tính có hỗn số
- Khi thực hiện các phép tính có các hỗn số, ta thường đổi các hỗn số thành các phân số rồi thực hiện các phép tính trên các phân số ấy Ví dụ : ee êc 2U, S05 lu 7 5 7 5 35 35 3 2 -23 7 -238+14 -9 -2—+1—= +—= = 10 5 10 5 10 10
- Riêng đối với hai phép tính cộng, trừ ta có thể thực hiện các phép tính trên các phần nguyên và các phép tính trên các phân số kèm theo riêng biệt rồi kết hợp các kết quả lại Ví dụ : 9 412 ete + D4 3.2) 10 5 10 5 ` -¬+ Tủ „+ 1L 10 10 10 3”¿42.s1 =(3+4+5)+ (5 +342) 2 3 #6 2 3 6 1 = 12+ 5 = 12+ Lela 6 3 3 XII- Phân số thập phân - Số thập phân - Phần trăm 1 Phân số thập phân
- Phân số thập phân là phân số mà mẫu là lũy thừa của 10
Trang 3517 39 Ví dụ : ——; ——— v.v là các phân số thập phân 100 1000 mi sộ v.v không phải là các phân số thập phân 2 Số thập phân Số thập phân có hai phần :
- Phần nguyên viết bên trái dấu phẩy
- Phần thập phân viết bên phải dấu phẩy Số chữ số của phần thập phân đúng bằng số chữ số 0 của mẫu của phân số thập phân
Ví dụ : Phân số thập phân tông: mẫu có 3 chữ số 0, khi đổi ra số thập phân 0,073 thì phần thập phân gồm ba chữ số : 0; 7 va 3 3 Phần trăm
Các phân số thập phân có mẫu là 100 còn được viết dưới dạng phần
Trang 36Ví dụ : Tìm một số biết 3y của nó thì bằng 2 Ta có 32 2 S6 can tim la: —:— =—-— —— 5 7 5 22 55 XV- Tìm tỉ số phần trăm của hai số 1 Tỉ số của hơi số Thương trong phép chia số a cho số b (b z 0) gọi là tỉ số của hai số a và b Ta cũng kí hiệu tỉ số là - Chú ý : ~ Khi nói tỉ số = thi a va b có thể là các số nguyên, hỗn số, phân số v.v
- Khi nói phân số 5 thì a và b phải là các số nguyên
2 Tỉ số phần trăm của hơi số
Quy tốc :
Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b, ta nhân a với 100 rồi chia cho b và viết thêm kí hiệu % vào kết quả
a.100 %
b
Ví dụ : Tỉ số phần trăm của 3 và 6 là oe = 50%
Chú ý : Muốn tìm tỉ lệ xích của một bản vẽ hoặc bản đô, ta tìm
tỉ số khoảng cách giữa hai điểm trên bản vẽ hoặc bản đổ và khoảng cách giữa hai điểm đó trên thực tế
Trang 37Chương I DOAN THANG
a Diểm Đường thẳng Ba điểm thắng hàng
liệt phẳng Điểm Đường thang
Mặt phẳng, diểm, đường thẳng là các khái niệm gốc của hình học Ta hiểu các khái niệm này qua các ví dụ :
Mặt nước hỗ yên lặng cho ta hình ảnh của mặt phẳng (Tuy nhiên mặt nước hồ bị giới hạn bởi bờ hồ, còn trong hình học, mặt phẳng không có giới hạn nào)
Một hạt bụi trên mặt bàn, một chấm nhỏ trên tờ giấy cho ta
hình ảnh các điểm
Một sợi chỉ căng thẳng cho ta hình ảnh đường thẳng (Đường thắng trong hình học không có giới hạn nào mà dài vô tận về cả hai phía)
Quan hệ liên thuộc của điểm uùà đường thẳng
Các điểm được đặt tên bằng các chữ cái in hoa : A, B, C, , M, N, Đường thắng thường được đặt tên bằng một chữ in thường: a, b, c, , m, p, , nhiều khi đường thẳng cũng được đặt tên bởi một cặp chữ in thường như xy, zt, hoặc một cặp chữ ¡in hoa như AB, ., MN (sẽ nói sau)
Cho một đường thẳng trên mặt phẳng thì có những điểm thuộc đường thẳng, có những điểm không thuộc đường thẳng đó
Ce
d B A
h.1
Trong (h.1) các điểm A, B thuộc đường thẳng d, điểm C không thuộc đường thẳng d, kí hiệu A e d, B e d, C £ d
Khi A thuộc d ta còn nói A nằm trên d hay d đi qua A
Khi C ¢ d ta còn nói C không nằm trên d hay d không đi qua C
Trang 383 Ba diểm thẳng hàng
Ba điểm (phân biệt) cùng nằm trên một đường thẳng gọi là bơ điểm thẳng hàng Ba điểm không cùng thuộc bất cứ đường thẳng nào gọi là ba điểm không thẳng hàng
°E
d A B C
h.2
Trong (h.2) ba điểm A, B, C cùng thuộc đường thẳng d 1a ba điểm thẳng hàng Ba điểm B, C, E không thẳng hàng Ta công nhận : “Trong ba điểm thẳng hàng có một uà chỉ một điểm nằm giữa hai điểm còn lại”
Trong (h.2) ba điểm A, B, C thẳng hàng Điểm B nằm giữa hai điểm A và C Khi đó ta nói B, C nằm cùng phía đối voi A, hai điểm A, B nằm cùng phía đối uới C Hai điểm A và C nằm khơic phía đối uới B
Đường thẳng đi qua hai diểm
Có một uà chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước
A B
h.3
Trong (h.3) đường thẳng đi qua hai điểm A, B được gọi là đường thẳng AB hay đường thẳng BA
Quan hệ giữa hai dường thẳng
Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng thì hoặc là chúng có mật điểm chung duy nhất hoặc chúng không có điểm chung
Hai đường thẳng không có điểm chung gọi là hơi đường thẳng song song
Bo
Z t
h.4a
Trang 39t A ao h.4b e Trén hinh (h.tb: hai đường thẳng a và b có điểm chung duy H-
nhất là A Ta nói các đường thẳng a va b cdt nhau tai A hay giao nhau tại A Điểm A gọi là giao điểm của a và b
A B C
h.4c
Hai đường thàng có hai điểm chung thì chúng trùng nhau Trong hình (h4c) đường thẳng AB và đường thẳng BC có hai
điểm chung nên chúng trùng nhau Tia
Tia
x eee O y
h.5
Cho điểm O trên đường thang xy Điểm O chia đường thang xy
thành hai phần bên trái và bên phải điểm O (hình h.5) Hình gồm điểm O và một phần đường thẳng chia ra bởi O gọi là #œ gốc O
Trên hình (h.5) điểm O và phần đường thẳng bên trái O lập
thành tia Ox Diém O va phan đường thẳng bén phai O 1a tia Oy Ghi chú :
Người ta còn gọi tìa Ox là nửa đường thẳng Ox
Khi ghi tên một tia ta phải ghi điểm gốc trước Một tia có thể được xác định bởi hai điểm Trên hình (h.6) hai điểm A, B xác định tia AB, như vậy điểm A là gốc, phần đường thẳng bị giới hạn ở điểm
Trang 40HI- Se D B A C B OF g x x Xu y h.8a a N, 2 40
Cho hai điểm A, B ta nói đường thẳng AB nghĩa là hình không bị giới hạn về phía A cũng như không bị giới hạn về phía B
Đường thẳng AB cũng là đường thẳng BA, nhưng tia AB khác tia BA
Hai tia déi nhau
Hai tia chung một gốc và tạo thành một đường thẳng là hai /¡a
đối nhau Mỗi một điểm trên một đường thẳng đều là gốc
chung của hai tia đối nhau
Đoạn thẳng Độ dài đoạn thẳng Trung điểm
Doan thang
Hình gồm điểm A, điểm B và tất ca cde diém A B nằm giữa A và B gọi là đoạn thẳng AB Điểm h7
A, điểm B là các đầu mút của đoạn thẳng AB
(hình h.7) Đoạn thẳng AB còn gọi là đoạn thẳng BA
Hai đoạn thẳng có thể có điểm chung duy nhất Ta nói hai đoạn thẳng cắt nhau hay giao nhau và điểm chung gọi là giao điểm Trên hình (h.8a) hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại giao diém I Tương tự như trên, một đoạn thẳng có thể cắt một tia (hình h.8b), cắt một đường thẳng (hình h_8c) h.8b h.8c B
Ghi chú : Khi hai đầu mút của một đoạn thẳng thứ nhất nằm giữa hai đầu mút của đoạn thẳng thứ hai thì mọi điểm của đoạn thẳng thứ nhất nằm giữa hai đầu mút của đoạn thẳng thứ hai Tương tự như vậy đối với tia, đối với đường thẳng
Độ dài đoạn thằng