de thi mon toan ky su tai nang bkhn 2000

1 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2000 Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 90 phút 1 Bài 1: Cho dãy số x 1 ,x 2 , ,x n , , xác định như sau: x n > 0,x n = ln(1 + x n−1 )∀n ≥ 1 Chứng minh rằng dãy số ấy hội tụ đến một giới hạn l.Tính l. Bài 2: Chứng minh rằng nếu f(x) là hàm số xác định trên R, thỏa mãn điều kiện |f(x 1 ) − f (x 2 )|≤|x 1 − x 2 | 3 , ∀x 1 ,x 2 ∈ R, thì f(x) là hàm hằng. Bài 3: f(x) là một hàm số xác định và liên tục tại mọi x =0, lấy giá trị ≤ 0 , thỏa mãn điều kiện f(x) ≤ k  x 0 f(t)dt.∀x ≥ 0 trong đó k là một hằng số dương, Chứng minh rằng f (x)=0, ∀x ≥ 0. (Gợi ý : Có thể xét sự biến thiên của hàm số F (x)=e −kx  x 0 f(t)dt trên khoảng (0, +∞)) Bài 4: Hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện f  (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. Chứng minh rằng f[tx +(1− t)y] ≤ tf(x)+(1− x)f(y), ∀x, y ∈ R, ∀t ∈ (0, 1). Bài 5: Cho số thực k 1 ,k 2 , ,k n , khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng a 1 e k 1 x + a 2 e k 2 x + + a n e k n x =0 ∀x ∈ R Khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n =0. 1 Tài liệu được soạn thảo lại bằng L A T E X2 ε bởi Phạm duy Hiệp LƯƠNG VĂN THIỆN – KSTN- ĐTVT – K55 Kĩ Sư Tài Năng – 2000 Bài 1, Cho dãy số 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 … 𝑥𝑛 … thỏa mãn: 𝑥1 > 0, 𝑥𝑛 = ln(1 + 𝑥𝑛−1 ) , ∀𝑛 ≥ Chứng minh dãy số hội tụ đến giới hạn 𝑎 Tìm 𝑎 Bài 2, Chứng minh hàm số 𝑓(𝑥) thỏa mãn điều kiện: 𝑓 (𝑥1 ) − 𝑓 (𝑥2 ) ≤ 𝑥1 − 𝑥2 , ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑅 𝑓(𝑥) hàm Bài 3, Cho 𝑓(𝑥) hàm số xác định liên tục 𝑥 ≠ , lấy giá trị không âm thỏa mãn điều kiện: 𝑥 𝑓(𝑥) ≤ 𝑘 𝑓(𝑡)𝑑𝑡, ∀𝑥 ≥ 0 Trong 𝑘 số dương Chứng minh 𝑓 (𝑥 ) = 0, ∀𝑥 ≥ Bài 4, Hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện 𝑓’’(𝑥 ) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅 Chứng minh rằng: 𝑓 (𝑡𝑥 + (1 − 𝑡)𝑦) ≤ 𝑡𝑓 (𝑥 ) + (1 − 𝑡)𝑓 (𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅, ∀𝑡 ∈ (0; 1) Bài 5, Cho số thực 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 , khác đôi Chứng minh rằng: 𝑎1 𝑒 𝑘 𝑥 + 𝑎2 𝑒 𝑘 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑒 𝑘 𝑛 𝑥 = 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅 Khi khi: 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = ĐỀ THI MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TỈNH PHÚ THỌ Câu 1 (2đ) a) Giải phương trình 2x – 5 =1 b) Giải bất phương trình 3x – 1 > 5 Câu 2 (2đ) a) Giải hệ phương trình      72 33 yx yx b) Chứng minh rằng 7 6 23 1 23 1     Câu 3 (2đ) Cho phương trình x 2 – 2(m – 3)x – 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2012-2013 Môn toán Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 ; x 2 mà biểu thức A = x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Câu 4 (3đ) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn tâm B bán kính AB.Lấy C làm tâm vẽ đường tròn tâm C bán kính AC, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ 2 là D.Vẽ AM, AN lần lượt là các dây cung của đường tròn (B) và (C) sao cho AM vuông góc với AN và D nằm giữa M; N. a) CMR: ABC=DBC b) CMR: ABDC là tứ giác nội tiếp. c) CMR: ba điểm M, D, N thẳng hàng d) Xác định vị trí của các dây AM; AN của đường tròn (B) và (C) sao cho đoạn MN có độ dài lớn nhất. Câu 5 (1đ) Giải Hệ PT        yxyxyxyx yyx 2)324(12)142( 385 22 Hết GỢI Ý GIẢI Câu 1 (2đ) a) Giải phương trình 2x – 5 = 1 b) Giải bất phương trình 3x – 1 > 5 Đáp án a) x = 3 ; b) x > 2 Câu 2 (2đ) a) Giải hệ phương trình      72 33 yx yx b) Chứng minh rằng 7 6 23 1 23 1     Đáp án a) x = 2 ; y = – 3 b) VT = 7 6 2 9 2323    =VP (đpcm) Câu 3 (2đ) Cho phương trình x 2 – 2(m – 3)x – 1 = 0 c) Giải phương trình khi m = 1 d) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 ; x 2 mà biểu thức A = x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Đáp án a) x 1 = 52 ; x 2 = 52 e) Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1  pt luôn có 2 nghiệm Theo vi- ét ta có x 1 + x 2 =2(m – 3) ; x 1 x 2 = –1 Mà A=x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 – 3x 1 x 2 = 4(m – 3) 2 + 3  3  GTNN của A = 3  m = 3 Câu 4 (3đ) Hướng dẫn a) Có AB = DB; AC = DC; BC chung  ABC = DBC (c-c-c) b) ABC = DBC  góc BAC =BDC = 90 0  ABDC là tứ giác nội tiếp c) Có gócA 1 = gócM 1 ( ABM cân tại B) gócA 4 = gócN 2 ( ACN cân tại C) gócA 1 = gócA 4 ( cùng phụ A 2;3 )  gócA 1 = gócM 1 =gócA 4 = gócN 2 gócA 2 = gócN 1 ( cùng chắn cung AD của (C) ) Lại có A 1 +A 2 + A 3 = 90 0 => M 1 + N 1 + A 3 = 90 0 Mà AMN vuông tại A => M 1 + N 1 + M 2 = 90 0 => A 3 = M 2 => A 3 = D 1 CDN cân tại C => N 1;2 = D 4  D 2;3 + D 1 + D 4 =D 2;3 + D 1 + N 1;2 = D 2;3 + M 2 + N 1 + N 2 = 90 0 + M 2 + N 1 + M 1 ( M 1 = N 2 ) = 90 0 + 90 0 = 180 0  M; D; N thẳng hàng. d) AMN đồng dạng ABC (g-g) Ta có NM 2 = AN 2 +AM 2 để NM lớn nhất thì AN ; AM lớn nhất Mà AM; AN lớn nhât khi AM; AN lần lượt là đường kính của (B) và (C) Vậy khi AM; AN lần lượt là đường kính của (B) và (C) thì NM lớn nhất. Câu 5 (1đ): Giải Hệ PT        yxyxyxyx yyx 2)324(12)142( 385 22 2 1 4 3 2 1 2 1 4 3 2 1 2 1 M D N C B A Hướng dẫn        yxyxyxyx yyx 2)324(12)142( 385 2 bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao ĐẳnG năm 2002 Môn thi : toán Đề chính thức (Thời gian làm bài: 180 phút) _____________________________________________ Câu I (ĐH : 2,5 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Cho hàm số : (1) ( là tham số). 23223 )1(33 mmxmmxxy +++= m 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi .1 = m 2. Tìm k để phơng trình: có ba nghiệm phân biệt. 033 2323 =++ kkxx 3. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). Câu II.(ĐH : 1,5 điểm; CĐ: 2,0 điểm) Cho phơng trình : 0121loglog 2 3 2 3 =++ mxx (2) ( là tham số). m 1 Giải phơng trình (2) khi .2 = m 2. Tìm để phơng trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [m 3 3;1 ]. Câu III. (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,0 điểm ) 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng )2;0( của phơng trình: .32cos 2sin21 3sin3cos sin += + + + x x xx x 5 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: .3,|34| 2 +=+= xyxxy Câu IV.( ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm) 1. Cho hình chóp tam giác đều đỉnh có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi ABCS . ,S M và lần lợt N là các trung điểm của các cạnh và Tính theo diện tích tam giác , biết rằng SB .SC a AMN mặt phẳng ( vuông góc với mặt phẳng . )AMN )(SBC 2. Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đờng thẳng: và . =++ =+ 0422 042 : 1 zyx zyx += += += tz ty tx 21 2 1 : 2 a) Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng )(P 1 và song song với đờng thẳng . 2 b) Cho điểm . Tìm toạ độ điểm )4;1;2(M H thuộc đờng thẳng 2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. Câu V. ( ĐH : 2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy , xét tam giác vuông tại , ABC A phơng trình đờng thẳng là BC ,033 = yx các đỉnh và A B thuộc trục hoành và bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác . G ABC 2. Cho khai triển nhị thức: n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC + ++ + = + 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 2 1 22222222 L ( n là số nguyên dơng). Biết rằng trong khai triển đó C và số hạng thứ t 13 5 nn C= bằng , tìm và n20 n x . Hết Ghi chú: 1) Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm Câu V. 2) Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 Môn thi : toán khối A đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút ___________________________________ Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số m x mxmx y ( (1) 1 2 ++ = là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1. 2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dơng. Câu 2 (2 điểm). 1) Giải phơng trình .2sin 2 1 sin tg1 2cos 1cotg 2 xx x x x + + = 2) Giải hệ phơng trình += = .12 11 3 xy y y x x Câu 3 (3 điểm). 1) Cho hình lập phơng . Tính số đo của góc phẳng nhị diện [] . .' ' ' 'ABCD A B C D DCAB ,' , 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Ox cho hình hộp chữ nhật có trùng với gốc của hệ tọa độ, yz ; 0; 0.' ' ' 'ABCD A B C D A ( ), (0; ; 0), '(0; 0; ) B aDaAb . Gọi (0, 0)ab>> M là trung điểm cạnh CC . ' a) Tính thể tích khối tứ diện ' B DA M theo a và b . b) Xác định tỷ số a b để hai mặt phẳng và (' )ABD () M BD vuông góc với nhau. Câu 4 ( 2 điểm). 1) Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 5 3 1 , biết rằng )3(7 3 1 4 += + + + nCC n n n n ( n là số nguyên dơng, x > 0, là số tổ hợp chập k của n phần tử). k n C 2) Tính tích phân + = 32 5 2 4xx dx I . Câu 5 (1 điểm). Cho x, y, z là ba số dơng và x + y + z 1. Chứng minh rằng .82 1 1 1 2 2 2 2 2 2 +++++ z z y y x x HếT Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . Bộ giáo dục và đào tạo đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Môn thi : Toán , Khối A Đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (2 điểm) Cho hàm số 2 x3x3 y 2(x 1) + = (1). 1) Khảo sát hàm số (1). 2) Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1. Câu II (2 điểm) 1) Giải bất phơng trình 2 2(x 16) 7x x3> x3 x3 + . 2) Giải hệ phơng trình 14 4 22 1 log (y x) log 1 y x y 25. = += Câu III (3 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm () A0;2 và () B3;1. Tìm tọa độ trực tâm và tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA, BM. b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đờng thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. Câu IV (2 điểm) 1) Tính tích phân I = 2 1 x dx 1x1+ . 2) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của 8 2 1x(1x) + . Câu V (1 điểm) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3. Tính ba góc của tam giác ABC. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh