SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”

SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”SKKN ”Giúp HS khai thác và phát triển từ những bài toán quen thuộc”

SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc PHN A- T VN I-L DO CHN TI: Cùng với phát triển đất nớc, nghiệp giáo dục không ngừng đổi Các nhà trờng ngày trọng đến chất lợng giáo dục toàn diện bên cạnh đầu t thích đáng cho giáo dục mũi nhọn Với vai trò môn học công cụ, môn toán góp phần tạo điều kiện cho em học tốt môn khoa học tự nhiên khác Dạy nh để học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống mà phải đợc nâng cao để em có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà thầy cô đặt cho Để đáp ứng đợc yêu cầu nghiệp giáo dục nhu cầu học tập học sinh đặc biệt học sinh khá, giỏi Điều đòi hỏi giảng dạy phải biết chắt lọc kiến thức, phải từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tợng phát triển thành tổng quát giúp học sinh phát triển tốt t toán học.Vic hng dn hc sinh khỏ gii gii mt bi toỏn i n kt qu vi nhng ngi thy thỡ khụng gp khú khn nhiu nhng vic phỏt huy tớnh tớch cc tớnh sỏng to cú ca cỏc em hc sinh khỏ gii l iu chỳng ta cn quan tõm hn.Qua quỏ trỡnh dy hc sinh khỏ gii ti trng v qua nhiu nm bi dng hc sinh gii tụi thy vic nhn thc v t toỏn hc ca a s hc sinh cũn m nht hc sinh cũn ớt suy ngh, tỡm tũi gii mt bi toỏn nht l cỏc bi toỏn ũi hi tớnh kiờn trỡ, s sỏng to cao ú hc sinh cha phỏt huy ht nhng kh nng cú ca mỡnh rt nhiu em khỏ gii gp nhng bi toỏn mi mc dự ch l nhng bi toỏn c khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn c bn quen thuc nhng cỏc em l lm lỳng tỳng khụng bit cỏch gii cng nh khụng bit cỏch phõn tớch khai thỏc t bi toỏn l v thnh bi toỏn quen thuc hoc khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc c bn v Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc thnh h thng cỏc bi toỏn khỏc Trc nhng khú khn ú mi giỏo viờn chỳng ta luụn phi trn tr l lm th no dy hc sinh khỏ gii cng nh dy i tuyn hc sinh gii cú th phỏt huy ti a t cht, s sỏng to ca cỏc em t ú cú kt qu hc tt hn.Trong phm vi nh hp ny tụi xin mnh dn a gii phỏp Giỳp hc sinh khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc II-MC CH V YấU CU: Mc ớch ca ti - Hng hc sinh bit cỏch phõn tớch, khai thỏc, phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc ng thi bit cỏch phõn tớch a bi toỏn l v thnh cỏc bi toỏn quen thuc - Bi dng hc sinh v phng phỏp, k nng phõn tớch, khai thỏc v phỏt trin mt bi toỏn v cỏch gii cỏc bi toỏn Qua ú hc sinh nõng cao kh nng t duy, sỏng to hc toỏn 2.Yờu cu: -Hc sinh nm vng cỏc kin thc c bn, cỏch gii cỏc bi toỏn quen thuc -Bit h thng húa cỏc kin thc v tỡm c mi quan h gia chỳng -Cú mt s k nng cn thit bin i -Cú s am mờ nghiờn cu, tỡm hiu v cú s sỏng to lm toỏn III-NHIM V V PHNG PHP NGHIấN CU: 1.Nhim v: -Thc hin cụng tỏc ging dy v bi dng hc sinh gii -Nõng cao trỡnh chuyờn mụn ca giỏo viờn v kin thc ca hc sinh -Giỳp hc sinh bit cỏch tỡm hiu khỏm phỏ nhng bi toỏn mi qua bi toỏn quen thuc v bit cỏch bin i a nhng bi toỏn l v thnh cỏc bi toỏn quen thuc -Trang b cho hc sinh kin thc phong phỳ v cú tớnh h thng Phng phỏp nghiờn cu - Nghiờn cu lý lun: nghiờn cu cỏc ti liu v phng phỏp ging dy mụn toỏn, - Quan sỏt thc tin hot ng s phm ca bn thõn nhng nm ging dy ti cỏc lp c bit l cụng tỏc bi dng hc sinh gii -Qua trao i, Kim tra ỏnh giỏ v tng kt kinh nghim IV-I TNG V PHM VI NGHIấN CU Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc 1.i tng nghiờn cu -i vi ti ny ỏp dng cho vic bi dng hc sinh lp 8,9 c bit l cỏc em hc sinh khỏ gii lp 8, lp trng THCS 2.Phm vi nghiờn cu: -p dng cho c giỏo viờn v hc sinh trng THCS nghiờn cu bi dng v hc V-im mi nghiờn cu: -Hc sinh s khụng cũn lỳng tỳng vic gii cỏc bi toỏn l ó bit cỏch u bi toỏn l v thnh bi toỏn quen thuc gii -Hc sinh bit h thng cỏc bi toỏn, Bit cỏch tỡm mi quan h, c im chung ca tng dng toỏn trờn c s cú hng gii bi toỏn v khai thỏc, phỏt trin chỳng PHN B-GII QUYT VN : Cú rt nhiu bi toỏn quen thuc vi nhiu cỏch khai thỏc v phỏt trin t bi toỏn quen thuc ú.Trong ti ny tụi xin a mt s bi toỏn c bn v hng dn hc sinh cỏch khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc ú I-Cỏc bi toỏn v cỏch hng dn hc sinh khai thỏc v phỏt trin BI TON A: Bi toỏn dng BT |a| + |b| |a+b| du bng xóy ab Bi toỏn A : Tìm giá trị nhỏ : A= |x-1| + |x-2| õy l mt bi toỏn n gin m hc sinh thng bt gp Giải : Ta có A= |x-1| + |x-2| = |x-1| + |4-x| |x-1+2-x| = Vy A Dấu xảy x Vậy A có giá trị nhỏ x Vi vic ỏp dng BT trờn v dng toỏn trờn ta phỏt trin thnh cỏc bi toỏn sau: Bi toỏn 1:Tỡm giỏ tr nh nht ca B=|x-1| + |x-2| +|x-3| Giải : M Ta có |x-1| + |x-3| = |x-1| + |3-x| |x-1+3-x| = Dấu xảy x |x-2| nờn B=|x-1| + |x-2| +|x-3| x x=2 x = Vy B t giỏ tr nh nht B=2 Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc õy l bi toỏn mi thot u hc sinh s rt lỳng tỳng cỏch gii giỏo viờn phi hng dn hc sinh cỏch ghộp s dng HT trờn cho phự hp nu ghộp |x-1| + |x-2| hoc |x-2| + |x-3| vi thỡ s dng HT trờn s khụng tỡm c giỏ tr nh nht Tng t ta cú th phỏt trin bi toỏn trờn thnh cỏc bi toỏn sau: Bi toỏn 3-Tỡm giỏ tr nh nht ca T=|x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Tng t bi toỏn trờn giỏo viờn hng dn hc sinh cỏch ghộp tng cp giỏ tr tuyt i cho phự hp Giải : Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = (1) x + x = x + x x + x = (2) Và Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = Ta có từ (1) Dấu xảy x (2) Dấu xảy x Vậy T có giá trị nhỏ x C nh th ta cú bi toỏn tng quỏt nh sau: Bi toỏn 4: Cho a1 a2 an Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A= x a1 + x a2 + x a3 + + x an Gii: Xột trng hp: n chn v n l +Vi n chn ta t n=2k ta cú: A= x a1 + x a2 + x a3 + + a2 k x x a1 + x a2 + + ak +1 x + ak + x + + a2 k x = a1 a2 ak + ak +1 + ak + + + a2 k Du bng xóy ak x ak +1 +Vi n l ta t n=2k+1 ta cú: A= x a1 + x a2 + x a3 + + a2 k +1 x x a1 + x a2 + + x ak + + ak + x + ak + x + + a2 k +1 x = a1 a2 ak + ak + + ak + + + a2 k +1 Du bng xóy x=ak+1 Khai thỏc tip ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 5: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: B= x + x Bi toỏn ny nu chỳng ta ỏp dng trc tip HT trờn thi vic tỡm giỏ tr nh nht s gp khú khn.GV hng dn hc sinh cỏch tỏch cú th dng c HT trờn Gii:Ta cú B= x + x = x + x + 2 x Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Ta cú x + x x + x = Du bng xóy x 2 Mt khỏc 2 x t ú tỡm c giỏ tr nh nht ca B=4 x = T bi toỏn ta cú th thay i mt chỳt ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 6:Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: C= |3x-10| + 2|x-4| +5|x-8| Vic gii bi toỏn ny giỏo viờn ch nh hng cho hc sinh cỏch tỏch sau ú nhúm dng c HT trờn Vn dng HT trờn ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 7:Gii phng trỡnh |2x-7| + |x-4| +2|x-5|=3 Vi dng toỏn ny giỏo viờn cú th hng dn cỏc em gii PT theo cỏch xột khong nhng trng hp bi toỏn ny giỏo viờn cú th hng dn cỏc em cỏch gii phng trỡnh bng vic ỏp dng HT Gii: Ta cú |2x-7| +2|x-5| |2x-7+10-2x| =3 mt khỏc |x-4| nờn |2x-7| + |x-4| +2|x-5| du bng xóy x=4 t ú ta tỡm c x=4 l nghim ca phng trỡnh Bi toỏn 8:Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x2 2x + + x2 6x + ( thi HSG lp 9-Phũng GD-T Cm xuyờn nm hc 2016-2017) Gii : Ta cú : P = (x 1)2 + (x 3)2 = x + x x 1+ x = Vy MinP= x Thụng qua bi toỏn ta cú th xõy dng thnh bi toỏn mi nh sau : Bi toỏn : Gii phng trỡnh sau : 4x2 4x + + 12x + 4x2 = Thay i mt chỳt ta cú bi toỏn khú hn nh sau : Bi toỏn 10 : Gii phng trỡnh sau : 4x2 4x + + 12x + 4x2 = + 12x 4x2 õy l mt bi hay v khú i vi cỏc em nu cha dng thnh tho HT trờn mt cỏc em cha c hc v cỏch gii PT vụ t bng cỏch s dng tớnh i nghch hai v phng trỡnh gii thỡ s khụng bit hng gii nh th no ? Nhng nu ó hc c c hai phng phỏp trờn thỡ vic gii bi toỏn ny l n gin Gii : Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc 4x2 4x + + 12x + 4x2 = 2x + 23 2x Ta cú VT= = 2x + 2x + 2x 2x 1+ 2x + 2x = + 2x Du bng xóy x=3/2 VP= ( 2x 3) Du bng xóy x=3/2 Vy VT=VP VT=VP=2 t ú ta tỡm c nghim ca PT l x=3/2 BI TP P DNG : Bi toỏn :Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau : A= x + x 10 Bi toỏn 2: Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc sau : B= 4x2 4x + + 12x + 4x2 Bi toỏn : Gii phng trỡnh : x2 6x + + 25 20x + 4x2 = *Vi BT |a| + |b| |a+b| nú cú nhiu ng dng trng vic gii quyt rt nhiu bi toỏn c bit l bi toỏn tỡm giỏi tr nh nht ca mt biu thc hoc bi toỏn gii phng trỡnh BI TON B: Phõn tớch a thc thnh nhõn t a3 + b3 + c3 - 3abc õy l mt bi toỏn lp khỏ thụng dng vic phõn tớch bi toỏn ny khụng khú nhng tớnh ng dng ca bi toỏn ny thỡ rt phong phỳ Ta phõn tớch c nh sau :Ta cú a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) Khai thỏc bi toỏn trờn ta cú bi toỏn sau : Bi toỏn :Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc Từ kết ta có toán: Bài toỏn 2: Cho a, b, c số nguyên thoả mãn a+b+c=0 Chứng minh : a3 +b3+c3 chia hết cho 3abc *Nếu thay a=x-3; b=2x+1; c=2-3x a+b+c=0 Sử dụng kết ta có (x-3) 3+(2x+1)3+(2-3x)3=3(x-3)(2x+1)(2-3x) Ta đến với toán: Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Bài toỏn 3: Giải phơng trình: (x-3)3+(2x+1)3=(3x-2)3 * Nếu thay a = 2-x, b = -(y+2), c = x+y a+b+c = Ta đến với toán : Bài toỏn 4: Giải phơng trình nghiệm nguyên: (x+y)3 = (x-2)3 + (y+2)3 + *Nếu thay a=x-y; b=y-z ; c=z-x a+b+c=0 Theo kết ta có a3+b3+c3=3abc; suy (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=3(xy)(y-z)(z-x) Nên ta có toán sau: Bài toỏn 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 3abc a3 + b3 + c3 a2 b2 c2 +Ta thấy với a+b+c=0 = Ta có = = + + abc abc bc ac ab toán: Bài toỏn 6: Cho a, b, c ba số khác thoả mãn a+b+c = Tính giá trị biểu thức: ` a2 b2 c2 P= + + bc ac ab T bi toỏn ny nu ta cú th thay i mt chỳt ta cú bi toỏn Bi toỏn 7: Cho a, b, c ba số khác thoả mãn a-b-c = Tính giá trị biểu thức: ` a2 b2 c2 ( thi HSG toỏn 8-huyn CX nm hc 2015-2016) P= bc ac ab Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Cng t bi toỏn ta cú a+b+c=0 a+b=-c a2+2ab+b2=c2 c2-a2-b2=2ab tng t ta cú b2-c2-a2=2ac ; a2-b2-c2=2bc Vi khai thỏc trờn ta cú bi toỏn sau : Bi toỏn Cho a, b, c ba số khác thoả mãn a+b+c=0 Tính giá trị biểu thức: Bài toỏn 9: a2 b2 c2 A= + + a b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tớnh a b c B = 1+ ữ 1+ ữ 1+ ữ b c a a+ b b+ c c + a Gii :Ta cú B = ữ ữ ữ (*)=c b c a TH1 : Nu a+b+c=0 suy a+b=-c, b+c=-a, a+c=-b T a3 + b3 + c3 = 3abc ta suy a+b+c=0 hoc a=b thay vo (*) ta tỡm c B=-1 TH2 : a=b=c thay vo (*) ta tỡm c B=8 Tip tc khai thỏc tip bi toỏn trờn ta cú bi toỏn sau : a b c Bi toỏn 10: Cho a3b3+b3c3+c3a3=3a2b2c2 Tớnh p = 1+ ữ 1+ ữ 1+ ữ ta thy b c a bi toỏn cú c im tng t baỡ toỏn 10 :Ta coi ab=x, bc=y,ca=z Khi ú ta cú :x3+y3+z3=3xyz v a z b x c y = ; = ; = ta s tớnh c P b y c z a x Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc 1 Tip tc khai thỏc bi toỏn trờn nu thay a = , b= , c= thỡ ta cú bi x y z toỏn sau cho 1 yz xz xy + + = tớnh A= + + x y z x y z 1 1 1 1 Ta cú A= xyz. + + ữ m + + = = x y z x y z xyz x y z T ú ta tớnh c A=3 Quay tr li vi bi toỏn ban u: a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) Nu ta cho a+b+c=1; a2+b2+c2=1; a3+b3+c3=1 thỡ ta cú 1-3abc=1-ab-bc-ac3abc=ab+bc+ac m (a+b+c)2=1 a2+b2+c2 +2ab+2bc+2ac=1ab+bc+ac=0abc=0a=0 hoc b=0 hoc c=0 t khai thỏc trờn ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 11:Gii h phng trỡnh a+ b + c = 2 a + b + c = 3 a + b + c = a+ b + c = 2 Bi toỏn 11 : Cho a + b + c = 3 a + b + c = Tớnh A = a2002 + b2003 + c2004 Tip tc dng bi toỏn trờn ta cú bi toỏn sau : Bi toỏn 12 : Tớnh D= + + +2 õy l mt bi toỏn khụng khú ta thng bt gp bi toỏn rỳt gn biu thc ca i s v cú nhiu cỏch gii nhng nu ta dng bi toỏn trờn ta cú th gii c bi toỏn ny : Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Gii :t E= + + E- + =0 E3-( + )-( )=3E (2 + 5)(2 5) E3-3E-4=0(E-1) (E2+E+4)=0 E=1 *Tip tc khai thỏc bi toỏn trờn :Nu ta thay c c+d vào a3 + b3 + c3 = 3abc ta đợc: a3 + b3 + (c+d)3= 3ab(c+d) a3 + b3 + c3 +d3= 3ab(c+d) - 3cd(c+d) a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd) Ta đến với toán: Bài toỏn 13: Chứng minh a+b+c+d = thì: a3 + b3 + c3 +d3= 3(c+d)(ab-cd) Tip tc vi kt qu ca bi toỏn trờn a3 + b3 + c3 - 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac) *nu ta thay a bi a v b bi b v c bi c ta cú bi toỏn sau : Bi toỏn 14 : Cho s dng a,b,c thừa a a + b b + c c = abc Tớnh giỏ tr ca biu thc sau : p = (3 a b c )(3 )(3 ) b c a ( thi hsg huyn Cm Xuyờn-nm hc 2016-2017) Gii :p dng kt qu bi toỏn trờn ta cú : a a + b b + c c = abc ( a)3 + ( b)3 + ( c)3 a b c = ( a + b + c)(a+ b+ c a b b c a c) = M a,b,c dng nờn a+ b+ c Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc nờn a+ b+ c a b b c a c = a = b = c Thay a=b=c vo p ta tớnh c P=8 BI TON P DNG : ax + by = c Bi toỏn : Cho : bx + cy = a cx + ay = b Chng minh a3 + b3 + c3 = 3abc Bi toỏn : Cho a+b+c= a3 + b3 + c3 =0 Tớnh A=a2n+1 +b2n+1 +c2n+1 Bi toỏn :Cho a+b+c=1 a2 + b2 2ab a + b + c 3abc chng minh 3 Bi toỏn 4: Cho a3+b3+c3=3abc a+b+c Tính giá trị biểu thức: BI TON C: Cho a,b >0 chng minh a3+b3 ab(a+b) CM: a3+b3 ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b) 0(a+b)(a-b)2 ỳng vi mi s dng a,b du ng thc xóy a=b õy l mt bt ng thc ph khỏ quan trng vỡ quỏ trỡnh bi dng HSG tụi thy cú rt nhiu bi ỏp dng BT ny vy giỏo viờn phi giỳp hc sinh phõn tớch khai thỏc v phỏt trin bi toỏn trờn thnh h thng nhiu bi toỏn khỏc hay v khú a3 + b3 a2 b2 Tht vy t a +b ab(a+b) a+ b + a+ b ab b a 3 Ta cú Bi toỏn :Chng minh a2 b2 + a+ b b a Cng tng t ta cú Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc a3 Bi toỏn 2:Chng minh + b2 a2 + ab b b3 c3 2 T bi toỏn ta khai thỏc tip ta cú + c b + bc ; + a2 c2 + ac c a Ta cú Bi toỏn :vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh a3 b3 c3 + + ab+ bc + ac b c a Cng t a3 + b3 c3 + b3 a3 + c3 Tng t ta cú a+ b b+ c; a+ c ab bc ac Ta cú Bi toỏn : vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 + + a+ b+ c 2ab 2bc 2ac Tip tc khai thỏc bi toỏn trờn ta cú :T a3+b3 ab(a+b)4(a3+b3) (a+b)3 Tng t ta cú 4(b3+c3) (b+c)3; 4(c3+a3) (a+c)3 T õy ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 5: vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh 8(a3+b3+c3) (a+b)3+(b+c)3+(a+c)3 Tip tc khai thỏc tip bi toỏn trờn: a3+b3 ab(a+b)a3+b3+abc ab(a+b)+abca3+b3+abc ab(a+b+c) 1 ; a + b + abc ab(a+ b+ c) Tng t ta cú: 1 1 ; T ú b3 + c3 + abc bc(a+ b+ c) a3 + c3 + abc ac(a+ b+ c) ta cú 1 1 1 + 3 + 3 + + a + b + abc b + c + abc a + c + abc ab(a+ b + c) bc(a+ b + c) ac(a+ b + c) Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc 1 1 a+ b + c + 3 + 3 = a + b + abc b + c + abc a + c + abc a+ b + c abc abc T khai thỏc ú ta cú bi toỏn sau: Bi toỏn 6: vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh 1 1 + 3 + 3 a + b + abc b + c + abc a + c + abc abc õy l bi toỏn khú nu hc sinh bt u gp thỡ rt khú chng minh.Tuy nhiờn sau hc sinh ó hc v võn dng tt ht trờn thỡ s nhỡn c hng chng minh.Nu ta cho thờm gi thit abc=1 thỡ ta s cú bi toỏn sau Bi toỏn : vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh 1 + 3 + 3 a + b +1 b + c +1 a + c +1 ( thi HSG ó Nng nm hc 2011-2012) Tiếp tục khai thác : a3+b3 ab(a+b) 3a + b3 2a + ab(a + b) 3a 2a b3 + ab(a + b) 3a a3 b3 + a + ab(a + b) 3a3 (a b)(a + ab + b ) + a (a + ab + b ) 3a3 3a (a + ab + b )(2a b) 2a b a + ab + b2 2 Tơng tự với a, b, c > thì: 3b3 3c3 2b c; 2c a b2 + bc + c c + ca + a Ta đề xuất đợc toán: Bài toán 8: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+ b+ c + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a Tiếp tục khai thác : Từ a3+b3 ab(a+b) ta có : Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc a +6b3 ab(a+b)+5b3 6b3-ab(a+b) 5b3 - a3 b(6b2-a2- ab) 5b3 - a3 b(a+3b)(2b-a) 5b3 - a3 2b-a Tơng tự : 2c b 5c b bc + 3c , 2a c 5b a ab + 3b 5a c ac + 3a Cộng vế theo vế ba BĐT ta có : 5b a 5c b 5a c a+b+c + + ab + 3b bc + 3c ac + 3a Ta ta tiếp tục đề xuất toán: Bài toán 9: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 5b a ab + 3b + 5c b bc + 3c + 5a c ac + 3a a+b+c Tiếp tục khai thác từ : a3 + b3 ab(a + b) (*) a + 20b3 19b3 + ab(a + b) 20b3 ab(a + b) 19b a b(20b ab a ) 19b3 a b(20b 5ab + 4ab a ) 19b a b[5b(4b a) + a(4b a)] 19b3 a b(4b a)(a + 5b) 19b3 a (4b a)(ab + 5b ) 19b3 a 19b3 a 4b a ab + 5b Tơng tự với a, b, c > thì: 19c b3 19a c c b ; 4a c cb + 5c ac + 5a Ta yêu cầu HS giải toán Bài toán 11: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 19b3 a 19c b3 19a c + + 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c ac + 5a BI TP P DNG : Bi toỏn : vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc a b3 c3 + + a+ b + c b2 c2 a2 Bi toỏn 2: vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh 2(a3+b3+c3) ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) Bi toỏn : vi a ;b ;c l cỏc s dng chng minh 2a3 2b3 2c3 + + a+ b + c a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 Bi toỏn : vi a ;b ;c l cỏc s dng thừa abc=2 chng minh a3 + b3 + c3 a+ b c + b c + a + + c a b Bi toỏn : : Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a4 b4 c4 a3 + b3 + c3 + + b+c c+a a +b Bài toán 6: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a4 b4 c4 a3 + b3 + c3 + + b+c c+a a +b Bài toán 7: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a + b3 + c a bc + b ca + c ab Bài toán 8: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 3 3 b3 c3 a b c a + + + + 3 ữ ữ ữ 3 3 ữ b+c c+a c+ a 4b +c c +a a +b Vi vic phõn tớch khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc nh trờn ta cú th to nhiu bi toỏn mi cng t ú ta cú bit cỏch phõn tớch a bi toỏn khú v l v thnh cỏc bi toỏn quen thuc.Trờn õy tụi ch a ba bi toỏn m chỳng ta thng gp.Trong quỏ trỡnh ging dy v bi dng hc sinh gii chỳng ta cũn cú th khai thỏc v phỏt trin rt nhiu bi toỏn hay khỏc na vớ d nh khai thỏc bi toỏn : Bi toỏn :Cho abc=1 Tớnh Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc a b c + + A= ab + a +1 bc +b +1 ac + c +1 Bi toỏn 2:Chng minh rng tớch ca ba s t nhiờn chia ht cho Bi toỏn 3:Phõn tớch a thc thnh nhõn t: ( a + b + c )3 a b c Bi toỏn 4:Cho a, b> Chng minh: 1 + a b a +b II-Kt qu thc hin : Sau thc nghim ti Giỳp hc sinh khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc tụi thy cỏc em hc sinh khỏ gii nm chc cỏc dng bi tp, cỏc em nhỡn nhn cỏc dng bi mt cỏch linh hot, t tin, sỏng to v hng thỳ hn hc Cỏc em nhỡn nhn bi toỏn mt cỏch rng hn, sõu sc hn yờu thớch b mụn toỏn hn v c bit kt qu thi hc sinh gii ca cỏc em i tuyn thi hc sinh gii huyn t kt qu cao hn t c nhng kt qu nh vy, u tiờn phi cú s n lc, c gng ca bn thõn cỏc em, cỏc em phi gii bi mt cỏch ch ng, tớch cc.Bờn cnh ú thy phi nh hng tng cng a cỏc bi cỏc em tỡm tũi khỏm phỏ, phõn tớch gii thớch, khai thỏc v phỏt trin cỏc bi toỏn t nhng bi toỏn quen thuc cú th to c h thng cỏc bi toỏn mi , ng thi cng bit cỏch a bi toỏn l v thnh cỏc bi toỏn quen thuc Sau bảng thống kê kết kiểm tra cỏc dạng toán : ( áp dụng đội tuyển toán trờng : 20 em ) Năm học 2014 - 2015 2015 - 2016 áp dụng đề tài cha áp dụng áp dụng Kết kiểm tra giỏi TBình 5% 35% 60% 25% 55% 20% III-Bi hc kinh nghim : Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Khi thc hin ti ny, t c hiu qu cao nht cn phi cú cỏc iu kin sau : 1.V phớa giỏo viờn : *Cn cú nim say mờ , nhit huyt cụng tỏc ging dy chu khú nghiờn cu tỡm tũi, hc hi, su tm cỏc bi toỏn hay v khú rốn luyn t duy, m rng kin thc ca mỡnh *Cn chun b cỏc tỡnh cú gõy s tũ mũ hng thỳ cho hc sinh phỏt huy trớ tu ca cỏc em *Khi gp cỏc tỡnh cú cn phi s lớ linh hot, sỏng to *Cn kim tra thng xuyờn v s chun b bi ca cỏc em hc sinh qua ú bit cỏch ng viờn khớch l cỏc em hc tt hn 2.V phớa hc sinh : *Phi ch ng, t giỏc , quyt tõm v phỏt huy tớnh tớch cc hc ca mỡnh *Cn chun b bi tht k, u t nhiu thi gian, phi phõn tớch k cỏc bi toỏn, cn cú tớnh kiờn trỡ vic phõn tớch khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc 3.V phớa nh trng : *Phi cú n np v phong tro hc tt nh trng *Phi quan tõm u t v mi mt cho cỏc hot ng dy v hc, c bit chỳ trng n cụng tỏc bi dng hc sinh gii PHN C : KT LUN-KIN NGH *Kt lun : Trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii giỏo viờn thng nhn thy a s hc sinh ch lo i tỡm li gii ca tng bi toỏn c th m ớt i sõu nghiờn cu phõn tớch khai thỏc v phỏt trin bi toỏn t bi toỏn ú tỡm mi quan h gia bi toỏn ú vi nhng bi toỏn khỏc nhiu em cú nng lc suy lun v phỏn oỏn tỡnh nhanh nhng li ớt khai thỏc v phỏt trin tỡm tũi to bi toỏn mi ,kin thc mi Do ú vic khai thỏc, phỏt trin v m rng kin thc t cỏc bi toỏn c bn nhm thỳc y phỏt trin t toỏn hc m mi giỏo viờn bi dng hc sinh gii cn phi quan tõm i theo hng nh vy, tụi ó giỳp i tuyn hc sinh gii hc tt hn, hiu qu hn Khụng nhng th m cũn giỳp hc sinh phỏt huy ht kh nng ca mỡnh, gúp phn mỡnh vo vic nõng cht lng mi nhn Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc *Kin ngh xut : +Trong mi tit dy bi dng i tuyn, giỏo viờn cn phi cú thi gian nờu hng m rng, khai thỏc v phỏt trin sau mi bi toỏn Giỏo viờn nờn to thúi quen ny thng xuyờn cho hc sinh +Vn ng cỏc em mua cỏc sỏch nõng cao, tham gia mua cỏc vit v toỏn hc +Mi trng nờn thnh lp cỏc cõu lc b em yờu toỏn hc v hot ng thng xuyờn ng viờn khớch l cỏc em hng say hc v khỏm phỏ +Phũng giỏo dc, nh trng nu cú iu kin nờn t chc nhiu hn cỏc cuc hi tho, chuyờn v bi dng hc sinh gii giỏo viờn cú c hi giao lu trao i v hc hi kinh nghim ln *Phm vi s dng sỏng kin :Cú th ỏp dng cho i tng hc sinh khỏ gii, cỏc tit dy bi dng hc sinh gii.Qua õy chc chn cú nhiu ng nghip cú nhiu ng dng lớ thỳ khỏc v cú nhiu cỏch khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn c bn Trong thc t ging dy chỳng ta thy rng cụng vic tỡm hiu xung quanh cỏc bi toỏn c bn quen thuc s giỳp ngi thy cú nhiu kinh nghim ging dy,hc sinh gii cỏc bi toỏn s linh hot v sỏng to hn * ti Giỳp hc sinh bit cỏch khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc l mt quen thuc m quỏ trỡnh ging dy c bit l bi dng hc sinh gii chỳng ta thng xuyờn nghiờn cu v ỏp dng Trong quỏ trỡnh lm ti iu kin v thi gian cng nh kin thc cũn hn hp ti chc chn cũn cú nhiu thiu sút Tụi rt mong c s gúp ý, giỳp quý bỏu t cỏc ng nghip hon thin hn ti ca mỡnh cho ti ny c thc thi cú hiu qu hn Xin chõn thnh cm n ! Cm Xuyờn, thỏng 10 nm 2016 Ngi thc hin Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Giỏo viờn:Li Quang Tu ... Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc v phỏt trin t nhng bi toỏn quen thuc Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai thỏc... đợc toán: Bài toán 8: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+ b+ c + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a Tiếp tục khai thác : Từ a3+b3 ab(a+b) ta có : Giỏo viờn:Li Quang Tu SKKN: Giỳp HS khai. .. + 3c ac + 3a Ta ta tiếp tục đề xuất toán: Bài toán 9: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 5b a ab + 3b + 5c b bc + 3c + 5a c ac + 3a a+b+c Tiếp tục khai thác từ : a3 + b3 ab(a + b) (*) a + 20b3