de thi hsg tinh nghe an mon toan bang a 52443

SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2009 - 2010 Môn thi: TOÁN HỌC - THPT BẢNG A Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm). Giải phương trình: ( ) 2 2009 1 x x x+ − = 1. Câu 2 (4,0 điểm). Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: ( ) 2 ( 1) 1 x y m y x xy m x + =    + + = +   Câu 3 (2,0 điểm). Cho ba số dương , ,x y z . Chứng minh rằng: ` 2 2 2 2 2 2 1 1 1 36 9x y z x y y z x z + + ≥ + + + Câu 4 (2,0 điểm). Cho dãy số ( ) n x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i, 1 x = 2 ii, 1 2 1 2 2 ( 1) ( 1) n n x x n x x n n − + + + − = − với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Tính limu n với u n = (n+1) 3 . n x Câu 5 (3,0 điểm). Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) tại A’, B’, C’. Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất. Câu 6 (3,0 điểm). Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC. Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN lấy điểm Q sao cho PQ song song với CM. Tính độ dài đoạn PQ và thể tích khối tứ diện AMNP. Câu 7 (2,0 điểm). Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn: f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x, y. Chứng minh rằng 2f(x) + x 2 ≥ 2 với mọi số thực x thuộc ; 2 2 π π   −     . - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Đề thi chính thức Onthionline.net Sở GD&ĐT Nghệ An Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Năm học 2007-2008 Đề Môn thi: toán lớp 12 THPT – bảng a Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (6,0 điểm) a) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm: (m - 3) x + ( 2- m)x + - m = b) Chứng minh rằng: Bài (6,0 điểm)  sinx   ÷ > cosx ,  x  π với ∀x ∈(0; ) x ≥  a) Cho hai số thực x, y thoả mãn:  y ≥1 x + y =  Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức: P = x + 2y2 + 3x2 + 4xy - 5x  x − y sinx = e sin y   2 b) Giải hệ : 3 8x + + = 2y − 2y + + 8y   x, y∈ 0; π ÷   4  Bài (2,5 điểm) Chứng minh rằng: với số nguyên dương n tồn số thực xn cho lim(xn + - xn) 2008x n − x n + n = Xét dãy số (xn), tìm giới hạn: Bài (5,5 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích Biết A(2; - 3), B(3; - 2) trọng tâm G thuộc đường thẳng d có phương trình: 3x–y–8=0 Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC b) Trong mặt phẳng cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R đường thẳng d tiếp xúc với (C) điểm A cố định Từ điểm M nằm mặt phẳng đường tròn (C) kẻ tiếp tuyến MT tới đường tròn (C) (T tiếp điểm) Gọi H hình chiếu vuông góc M lên d Chứng minh đường tròn tâm M có bán kính MT tiếp xúc với đường tròn cố định M di động mặt phẳng cho: MT = MH Onthionline.net -Hết - Họ tên thí sinh: SBD: Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số 1 (Năm học 1992-1993) Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức:        cd1ab dcba Chứng minh rằng: c = d. Bài 2: Chứng minh:       2 2 2 2 2 2 1x2dcxxbaxx  Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện 1 d c b a 2222  . Bài 3: Cho 1021 a, a,a là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   92110 2 10 2 2 2 1 a aaa a aa P    . Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4). a) Tìm điểm C trên Ox sao cho các véc tơ CB,OA cùng phương? b) Tìm trên đường thẳng x = 1 điểm M sao cho 0 45 MBA  . Đề số 2 (Năm học 1993-1994) Bài 1: Cho phương trình: k5xx4  . a) Giải phương trình với k = 3. b) Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau: i) Hai phương trình 0 1 ax x 2  và 0 2 bx x 2  có một nghiệm chung. ii) Tổng ba  nhỏ nhất. Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phương trình: 05x2x3y 22  Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3). a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn: 0 MC 4 MB 3 MA 2  . b) Tìm tập hợp điểm N sao cho: 222 NC2NBNA  . Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số 3 (Năm học 1994 – 1995) Bài 1: a) Chứng minh:   71923 189019451930 592  b) Đơn giản biểu thức: xsin1 xsin1 . xcos1 xcos1 xcos1 xcos.xsin A       (với 00 180 x 0  ) Bài 2: Cho hàm số 1x68x1x2x)x(f  a) Tìm tập xác định D của hàm số. b) Tìm các giá trị xD sao cho f(x) là hằng số. Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Tìm phương tích của trọng tâm G của tam giác đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy. b) Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M, N, P thoả mãn 0 CM BP AN  . Chứng minh tam giác ABC đều. Đề số 4 (Năm học 1995-1996) Bài 1: Giải hệ phương trình sau với các ẩn số x, y, z:           8zyx 6zyx 2zyx 333 222 Bài 2: a) Cho 1cbaRc,b,a      vµ . Chứng minh rằng: 6accbba  b) Gọi 21 x,x là nghiệm của hệ:            0, 1xx 0xx 21 21 Chứng minh rằng: 4 1 x.x 21  Bài 3: Cho tam giác ABC. a) Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức: 0 IC 6 IB 3 IA  . Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) b) Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện: EC2EBEA 3 1 EF  . Tìm bao hình của đường thẳng EF. Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đường tròn với OK = k  0. Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó. Hãy xác định vị trí dây cung AB trong mỗi trường hợp sau: a) Tổng 22 KB KA  đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. b) Tổng 22 KB KA  đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó. Đề số 5 (Năm học 1996-1997) Bài 1: Giải hệ phương trình:                0 yx x3y y 3 yx y3x x 22 22 Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: 1n,n;2 n n 1 n n 1 n n n n  Z . Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức:       BABCBCBA yyxxyyxx 2 1 S  . Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm chuyển động trên O. Tìm vị trí của điểm M để biểu thức: 222 MC 3 MB 2 MA T  đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn nhất. Tính các giá trị đó. Đề số 6 (Năm học 1997 – 1998) Bài 1: a) Cho     43x/RxB;32x/RxA  . Tìm BA;BA   ? b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng   654321 A;A;A;A;A;A trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn ji AA nối 2 trong 6 điểm đó được tô bằng màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác kji AAA có 3 cạnh đồng màu. Bài 2: Cho phương trình: 0 1 m x 4 x 2  a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 21 xx  thoả mãn: SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4,0 điểm). a) Cho các số nguyên a 1 , a 2 , a 3 , , a n . Đặt S = 3 3 3 1 2 n a a a+ + + và 1 2 n P a a a= + + + . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. b) Cho A = 6 4 3 2 n n 2n 2n− + + (với n N,∈ n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương. Câu 2 (4,5 điểm). a) Giải phương trình: 3 2 10 x 1 3x 6+ = + b) Giải hệ phương trình: 1 x 3 y 1 y 3 z 1 z 3 x  + =    + =    + =   Câu 3 (4,5 điểm). a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và 1 1 1 4 x y z + + = . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z + + ≤ + + + + b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn 2011 2011 2011 x y z 3+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 M x y z= + + Câu 4 (4,5 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC. a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng. b) Khi · 0 BOC 120= , xác định vị trí của điểm M để 1 1 MB MC + đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ĐỀ CHÍNH THỨC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn thi: TOÁN - BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5,0 điểm). a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì 2 n n 2+ + không chia hết cho 3. b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 2 n 17+ là một số chính phương. Câu 2 (5,0 điểm) a) Giải phương trình: 2 x 4x+5 = 2 2x+3+ b) Giải hệ phương trình: 2 2 2x+y = x 2y+x = y      Câu 3 (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 4x+3 A x 1 = + Câu 4 (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng BH.BE + CH.CF = 2 BC b) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng K ∈ (O). Câu 5 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ĐỀ CHÍNH THỨC Sở Giáo Dục & Đào Tạo NGhệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2010 - 2011 Môn thi: Hóa học - bảng a Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu I (4,0 im). 1/ Chn 7 cht rn khỏc nhau m khi cho 7 cht ú ln lt tỏc dng vi dung dch HCl cú 7 cht khớ khỏc nhau thoỏt ra. Vit cỏc phng trỡnh phn ng minh ho. 2/ Cho cỏc s phn ng hoỏ hc sau õy: X 1 + X 2 Na 2 CO 3 + H 2 O X 3 + H 2 O X 2 + X 4 + H 2 X 5 + X 2 X 6 + H 2 O X 6 + CO 2 + H 2 O X 7 + X 1 X 5 X 8 + O 2 Chn cỏc cht X 1 , X 2 , X 3 , X 5 , X 6 , X 7 , X 8 thớch hp v hon thnh cỏc phng trỡnh hoỏ hc ca cỏc phn ng trờn. 3/ Em hóy xut thờm 4 phn ng khỏc nhau trc tip iu ch X 2 Cõu II (3,0 im). Cho 26,91 (g) kim loi M vo 700 ml dung dch AlCl 3 0,5M, sau khi phn ng xy ra hon ton thu c V lớt H 2 (ktc) v 17,94 (g) kt ta. Xỏc nh kim loi M v giỏ tr ca V. Cõu III (6,0 im): Chia 80 (g) hn hp X gm st v mt oxit ca st thnh hai phn bng nhau: Ho tan ht phn I vo 400 (g) dung dch HCl 16,425% c dung dch A v 6,72 lớt khớ H 2 (ktc). Thờm 60,6 (g) nc vo A c dung dch B, nng % ca HCl d trong B l 2,92%. 1/ Tớnh khi lng mi cht trong hn hp X v xỏc nh cụng thc ca oxit st. 2/ Cho phn II tỏc dng va ht vi H 2 SO 4 c núng ri pha loóng dung dch sau phn ng bng nc, ta thu c dung dch E ch cha Fe 2 (SO 4 ) 3 . Cho 10,8 (g) bt Mg vo 300 ml dung dch E khuy k, sau khi phn ng xy ra hon ton thu c 12,6 (g) cht rn C v dung dch D. Cho dung dch D tỏc dng vi dung dch Ba(OH) 2 d, lc kt ta v nung n khi lng khụng i c m (g) cht rn F (trong iu kin thớ nghim BaSO 4 khụng b phõn hu). Tớnh C M ca dung dch E v giỏ tr m. Cõu IV (4,0 im). 1/ Vit phng trỡnh húa hc ( dng cụng thc cu to thu gn) thc hin cỏc bin húa theo s sau: Axetilen Etilen Etan P.V.C Vinylclorua icloEtan Etylclorua 2/ Cho vo bỡnh kớn hn hp cựng s mol C 5 H 12 v Cl 2 to iu kin phn ng xy ra hon ton thu c sn phm hu c m trong mi phõn t ch cha mt nguyờn t Clo. Vit cỏc cụng thc cu to cú th cú ca cỏc sn phm hu c ú. Cõu V (3,0 im). t chỏy hon ton 1 (g) hn hp X gm C 2 H 2 , C 3 H 6 , C 2 H 6 . Hp th ton b sn phm chỏy vo 2 lớt dung dch Ca(OH) 2 0,02 M thu c 1 (g) kt ta. Mt khỏc 3,36 lớt hn hp X (ktc) lm mt mu ti a 200 ml dung dch Br 2 0,5 M. Tớnh th tớch mi khớ cú trong 1 (g) hn hp X. Cho: H = 1; Li = 7; C = 12, O = 16; Na = 23; Mg = 24; S = 32; Cl = 35,5; K = 39; Ca = 40; Fe = 56; Cu = 64; Br = 80; Ba= 137. - - - Hết - - - Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (1) (2) (8) (7) (5) (6) (3) (4) Đề chính thức in phõn dung dch cú mng ngn in phõn núng chy Criolit Sở Giáo Dục & Đào Tạo NGhệ an Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS năm học 2010 - 2011 Môn thi: Hóa học - bảng B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Cõu I (5,0 im). 1/ Chn 6 cht rn khỏc nhau m khi cho 6 cht ú ln lt tỏc dng vi dung dch HCl cú 6 cht khớ khỏc nhau thoỏt ra. Vit cỏc phng trỡnh phn ng minh ho. 2/ Cho cỏc s phn ng hoỏ hc sau õy: X 1 + X 2 Na 2 CO 3 + H 2 O X 3 + H 2 O X 2 + X 4 + H 2 X 5 + X 2 X 6 + H 2 O X 6 + CO 2 + H 2 O X 7 + X 1 X 5 X 8 + O 2 Chn cỏc cht X 1 , X 2 , X 3 , X 5 , X 6 , X 7 , X 8 thớch hp v hon thnh cỏc phng trỡnh hoỏ hc ca cỏc phn ng trờn. 3/ Em hóy xut thờm 4 phn ng khỏc nhau trc tip iu ch X 2 Cõu II (3,0 im). Cho 26,91 (g) kim loi M húa tr I vo 700 ml dung dch AlCl 3 0,5M, sau khi phn ng xy ra hon ton thu c V lớt H 2 (ktc) v 17,94 (g) kt ta. Xỏc nh kim loi M v giỏ tr ca V. Cõu III (4,0 im): Cho 40 (g) hn hp X gm st v mt oxit ca st tan ht vo 400 (g) dung dch HCl 16,425% c dung dch A v 6,72 lớt khớ H 2 (ktc). Thờm 60,6 (g) nc vo A c dung dch B, nng % ca HCl d trong B l 2,92%. 1/ Vit cỏc phng trỡnh húa hc xy ra. 2/ Tớnh khi lng mi cht trong X. 3/ Xỏc nh cụng thc húa hc ca oxit st. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐP N ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TON - Bảng A Câu: Nội dung 1. Với a Z∈ thì 3 a a (a 1)a(a 1)− = − + là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. Mà (2.3)=1 3 a a 6⇒ − M 3 3 3 1 1 2 2 n n S P (a a ) (a a ) (a a ) 6⇒ − = − + − + + − M Vậy S 6 P 6⇔M M 6 4 3 2 2 2 2 n n 2n 2n n (n 1) .(n 2n 2)− + + = + − + với n N∈ , n > 1 thì 2 2 n 2n 2 (n 1) 1− + = − + > 2 (n 1)− và 2 2 n 2n 2 n 2(n 1)− + = − − < 2 n Vậy 2 (n 1)− < 2 n 2n 2− + < 2 n 2 n 2n 2⇒ − + không là số chính phương ⇒ đpcm 2. 3 2 10 x 1 3(x 2)+ = + 2 2 10 (x 1)(x x 1) 3(x 2)⇔ + − + = + điều kiện x 1≥ − Đặt x 1 a+ = (a 0)≥ 2 x x 1 b− + = (b>0) Ta có: 2 2 10ab = 3a 3b+ a = 3b (a 3b)(3a-b) = 0 b 3a  ⇔ − ⇔  =  Trường hợp1: a = 3b Ta có: 2 x 1 3 x x 1+ = − + (1) 2 9x 9x+9=x+1⇔ − 2 9x 10x+8 = 0⇔ − ' 25 9.8∆ = − < 0 ⇒ phương trình (1) vô nghiệm Trường hợp 2: b = 3a Ta có: 2 3 x 1 x x 1+ = − + 2 9(x 1) x x 1⇔ + = − + 2 x 10x-8 = 0⇔ − 1 2 x 5 33 (TM) x 5 33 (TM)  = + ⇔  = −   Vậy phương trình có 2 nghiệm x 5 33= ± 1 x 3 y 1 y 3 z 1 z 3 x  + =    + =    + =   Từ (3) 3x-1 z x ⇒ = thay vào (2) 3xy+3 = 8x+y⇒ (4) Từ (1) xy 1 3y 3xy+3 = 9y⇒ + = ⇔ (5) Từ (4) và (5) 8x+y = 9y x y⇒ ⇒ = Chứng minh tương tự : y = z Từ đó x y z⇒ = = Thay vào (1) 2 1 x 3 x 3x+1 = 0 x ⇒ + = ⇒ − 3 5 x 2 ± ⇒ = ⇒ hệ có 2 nghiệm 3 5 x y z 2 ± = = = 3. Áp dụng bất đẳng thức 1 1 4 x y x y + ≥ + (với x,y > 0) Ta có: 1 1 1 1 ( ) 2x+y+z 4 2x y z ≤ + + ; 1 1 1 y z 4y 4z ≤ + + Suy ra: 1 1 1 1 1 ( ) 2x+y+z 4 2x 4y 4z ≤ + + (1) Tương tự: 1 1 1 1 1 ( ) x+2y+z 4 4x 2y 4z ≤ + + (2) 1 1 1 1 1 ( ) x+y+2z 4 4x 4y 2z ≤ + + (3) Từ (1),(2),(3) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z ⇒ + + ≤ + + 1 1 1 1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z ⇒ + + ≤ Dấu "=" xảy ra 3 x y z 4 ⇔ = = = Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho 2011 2011 x ,x và 2009 số 1 ta có: 2011 2011 2 2011 2011 x x 1 1 1 2011 (x )+ + + + + ≥ 2009 2011 2 2x 2009 2011x⇒ + ≥ (1) Tương tự: 2011 2 2y 2009 2011y+ ≥ (2) 2011 2 2z 2009 2011z+ ≥ (3) Từ (1), (2), (3) 2011 2011 2011 2 2 2 2(x y z ) 3.2009 x y z 2011 + + + ⇒ + + ≤ 2 2 2 x y z 3⇒ + + ≤ Giá trị lớn nhất của M là 3 khi và chỉ khi x = y = z = 1 4. H P M N F E I O C B A Gọi giao điểm của BH với AC là E AH với BC là F, CH với AB là I ⇒ HECF là tứ giác nội tiếp. ⇒ · · AHE ACB= (1) Mà · · ACB AMB= ( góc nội tiếp cùng chắn một cung) Ta có: · · AMB ANB= (Do M, N đối xứng AB) (2) Từ (1), (2) ⇒ AHBN là tứ giác nội tiếp ⇒ · · NAB NHB= (*) Mà · · NAB MAB= (Do M, N đối xứng qua AB (**) Từ (*), (**) ⇒ · · NHB BAM= Chứng minh tương tự: · · PHC MAC= ⇒ · · · · · NHB PHC BAM MAC BAC+ = + = Mà · · 0 BAC IHE 180+ = · · · 0 NHB PHC BHC 180⇒ + + = ( vì · · IHE BHC= ) ⇒ N, H, P thẳng hàng Gọi J là điểm chính giữa của cung lớn BC · 0 BOC 120= BJC⇒ ∆ đều Trên đoạn JM lấy K sao cho MK = MB JKB CMB⇒ ∆ = ∆ O K B M C J BM MC JM⇒ + = 1 1 4 BM MC BM MC + ≥ + 1 1 4 BM MC JM ⇒ + ≥ JM lớn nhất ⇔ JM là đường kính (O) lúc đó M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Vậy 1 1 BM MC + nhỏ nhất ⇔ M là điểm chính giữa cung nhỏ BC 5. + Khi · 0 BAC 90= ⇒ · 0 BIC 90= . ⇒ F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính. ⇒ EF đi qua điểm O cố định. K F E O A B C I + Khi · BAC < 90 0 ⇒ · BIC > 90 0 . Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF. · · EIF EAF⇒ = (cùng bù · BIC ) · · EKF EIF= (Do I và K đối xứng qua EF) · · EKF EAF⇒ = AKFE⇒ nội tiếp · · KAB KEF⇒ = (cùng chắn » KF ) (1) · · IEF KEF= (Do K và I đối xứng qua EF) (2) · · IEF BIK= ( cùng phụ · KIE ) (3) Từ (1), (2), (3) · · KAB BIK⇒ = ⇒ AKBI là tứ giác nội tiếp ⇒ K (O)∈ Mà EF là đường trung trực của KI ⇒ E, O, F thẳng hàng. + Khi · BAC > 90 0 ⇒ · BIC < 90 0 chứng minh tương tự. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định. - - - Hết - - - ...Onthionline.net -Hết - Họ tên thí sinh: SBD: