b Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất... Tìm phương tích của trọng tâm G của tam giác đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy.. Hãy xác định vị trí dây cung AB tr
Trang 1Đề số 1 (Năm học 1992-1993)
Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức:
cd 1 ab
d c b a
Chứng minh rằng: c = d
1 x 2 d cx x b ax
Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện a2 b2 c2 d2 1
Bài 3: Cho a1, a2, a10 là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
10
2 10
2 2
2 1
a
a a a
a
a a P
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4)
a) Tìm điểm C trên Ox sao cho các véc tơ OA , CB cùng phương?
b) Tìm trên đường thẳng x = 1 điểm M sao cho MBA 450
Đề số 2 (Năm học 1993-1994)
Bài 1: Cho phương trình: 4 x x 5 k
a) Giải phương trình với k = 3
b) Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau:
i) Hai phương trình x2 ax 1 0 và x2 bx 2 0 có một nghiệm chung ii) Tổng a b nhỏ nhất
Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phương trình:
0 5 x 2 x
y2 2
Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3)
a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn: 2 MA 3 MB 4 MC 0
b) Tìm tập hợp điểm N sao cho: NA2 NB2 2 NC2
Trang 2Đề số 3 (Năm học 1994 – 1995)
Bài 1: a) Chứng minh: 321930 291945 1951890 7
b) Đơn giản biểu thức:
x sin 1
x sin 1 x cos 1
x cos 1 x cos 1
x cos x sin A
(với 00 x 1800)
Bài 2: Cho hàm số ( x ) x 2 x 1 x 8 6 x 1
a) Tìm tập xác định D của hàm số
b) Tìm các giá trị xD sao cho f(x) là hằng số
Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c Tìm phương tích của trọng tâm G của tam giác đối với
đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy
b) Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M,
N, P thoả mãn AN BP CM 0 Chứng minh tam giác ABC đều
Đề số 4 (Năm học 1995-1996)
Bài 1: Giải hệ phương trình sau với các ẩn số x, y, z:
8 z y x
6 z y x
2 z y x
3 3 3
2 2 2
Bài 2: a) Cho a , b , c R vµ a b c 1 Chứng minh rằng:
6 a c c b b
a b) Gọi x1, x2 là nghiệm của hệ:
0 ,
1 x x
0 x x
2 1
2 1
Chứng minh rằng:
4
1 x
x1 2
Bài 3: Cho tam giác ABC
a) Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức: IA 3 IB 6 IC 0
Trang 3b) Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện: EA EB 2 EC
3
1
EF Tìm
bao hình của đường thẳng EF
Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đường tròn với OK = k
0 Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó Hãy xác định vị trí dây cung AB trong mỗi trường hợp sau:
a) Tổng KA 2 KB2 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó
b) Tổng KA 2 KB2 đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó
Đề số 5 (Năm học 1996-1997)
Bài 1: Giải hệ phương trình:
0 y x
x 3 y y
3 y x
y 3 x x
2 2
2 2
n
n 1 n
n
n n
n
Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức:
xA xB yC yB xC xB yA yB
2
1
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R) M là điểm chuyển động trên O Tìm vị trí
của điểm M để biểu thức: T MA2 2 MB2 3 MC2 đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn nhất Tính các giá trị đó
Đề số 6 (Năm học 1997 – 1998)
Bài 1: a) Cho A x R / x 2 3 ; B x R / x 3 4
Tìm A B ; A B?
b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng A1; A2; A3; A4; A5; A6 trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn AiAj nối 2 trong 6 điểm đó được tô bằng màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác AiAjAk có 3 cạnh đồng màu
Bài 2: Cho phương trình: x2 4 x m 1 0
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm
Trang 4b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 x2 thoả mãn:
7 x
x x
x
2 1
2 2 2 2
2
c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) x3( 2 x )5 trên [0; 2]
Bài 3: a) Cho ABC Chứng minh:
A sin
C cos C sin
B cos B sin
A cos C g cot B g cot A g
3 3
3 3
3 3
3 3
b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A, B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng 2 hình vuông AMNP và MBQR Chứng minh: AR BN
Đề số 7 (Năm học 1998 –1999)
Bảng A
c b y a
x y
x có nghiệm thì bất đẳng thức sau đúng: 2 2
b a c
Bài 2: Cho hàm số: f : N* Q* thoả mãn điều kiện:
a) f ( 1 ) 2, và
b) f ( 1 ) f ( 2 ) ( n ) n2 ( n ) n 1
Hãy tìm công thức đơn giản của ( n )?
Bài 3: Giải phương trình: x214x9 5 x1 x2x20
Bài 4: a) Cho n véc tơ a1, a2, , an đôi một không cộng tuyến Trong đó tổng (n-1) véc tơ bất trong n
véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại
Chứng minh rằng: a a1 a2 an 0
(Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau) b) Cho ABC, AM và BN là hai trung tuyến Chứng minh rằng:
tgB
1 tgA
1 tgC
2 BN
Đề số 8 (Năm học 1998-1999)
Bảng B
Bài 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn: x, y > 0; x+y 1
Trang 5Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 xy
xy
2 y x
1 P
2
Bài 2: (Bài 2 bảng A)
Bài 3: Giải phương trình: 4 x x2 1 x x2 1 2
Bài 4: a) Cho O là điểm bất kỳ trong ABC Chứng minh:
0 OC S OB S OA
b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c)
Chứng minh rằng: Nếu a+b < 3c thì:
2
1 2
B tg 2
A
Đề số 9 (Năm học 1999-2000)
Bài 1: Cho ai, bi R , ( i 1 , 2 , 3 )
3 3 2 2 1 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2
1 a a b b b a b a b a b
b) Giả sử a1a2 a2a3 a3a1 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a14 a42 a34
Bài 2: a) Giải hệ phương trình:
3 z y yz
2 z x xz
1 y x xy
b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phương trình:
0 z 9 y 3
x3 3 3
Bài 3: a) Cho a 0 , b 0
Chứng minh rằng: a b a b cos a , b
b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và BC vuông
góc thì
5
4 B cos c) Cho ABC không cân, đường tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh
BC, CA, AB tương ứng ở A1, B1, C1 Gọi M là giao điểm của BC và B1C1 Chứng minh rằng:
MO vuông góc với AA1
Trang 6Đề số 10 (Năm học 2000-2001)
Bài 1: a) Tìm giá trị của m để phương trình: x2 mx 1 m2 0
có nghiệm x [ 1 ; 1 ]
b) Cho hệ phương trình:
1 n
2 n
n 1
n
2 1 n
3 2
2 2
2 1
2 1
x c bx ax
x c bx
ax
x c bx ax
x c bx ax
Tìm điều kiện đối với a, b, c để hệ trên:
- vô nghiệm
- có nghiệm duy nhất
Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (a;b) để phương trình
0 b a abx
x2 có nghiệm nguyên
Bài 3: a) Cho ABC và 3 điểm A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB
Tính giá trị biểu thức S BC AA ' CA BB ' AB CC '
b) Cho ABC có AB = 3, BC = 5, AC = 7 và AD, CE là phân giác trong cắt nhau tại P Tính
AP
Bài 4: a) Tìm điểm M trong ABC để MA+MB+MC nhỏ nhất
b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đường chéo AC, BD cho trước và góc giữa hai đường chéo đó
có độ lớn đã cho Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất
Đề số 11 (Năm học 2001-2002)
Bảng A
Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: “Mọi hình tứ giác đều có một
đường tròn ngoại tiếp nó”
b) Giải phương trình: x4 x24 x30
Bài 2: a) Cho x, y, z không âm thoả mãn: xy yz zx xyz 4 Chứng minh rằng:
zx yz xy z y
b)Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: xP ( x 1 ) ( x 2002 ) P ( x )
Bài 3: a) Cho ABC, O là điểm sao cho OA OB OC 0 Đường thẳng () cắt các đường thẳng
OA, OB, OC lần lượt tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng:
Trang 70 ' OC
OC ' OB
OB ' OA
OA
b) Cho ABC, ta vẽ các đường phân giác trong Giao điểm A’, B’, C’ của chúng với các cạnh đối diện tạo thành A’B’C’
Chứng minh rằng:
a b b c c a
abc 2 )
ABC ( S
) ' C ' B ' A ( S
(S là diện tích tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh)
Đề số 12 (Năm học 2001-2002) Bảng B
Bài 1: (Bài 1 của bảng A)
Bài 2: a) Với giá trị nào của k thì hệ sau có nghiệm:
0 4 kx
0 6 x 5
x2
b) Bài 2a) bảng A
Bài 3: Cho ABC, O là điểm sao cho OA OB OC 0
a) Chứng minh O là trọng tâm ABC
b) Gọi AA’, BB’, CC’ là các trung tuyến của tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài 3 cạnh Chứng minh rằng:
6
c b a MO 3 MC MB ' MA MA
2
2 2 2
Đề số 13 (Năm học 2002-2003)
Bảng A
Bài 1: a) Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ABC có cạnh là a, b, c thì:
3 a
c c
b b
a
b) Giả sử phân giác của góc A cắt BC tại Y, phân giác của góc B cắt AC tại Z, phân giác của góc C cắt AB tại X Chứng minh rằng:
ZA
CZ YC
BY XB
AX
Bài 2: a) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn: a2b2c2 25; x2 y2z2 36;
30 cz
by
ax Hãy tính giá trị biểu thức:
z y x
c b a P
b) Cho hai phương trình x2 x a0 và x2 x a0
Trang 8Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia
Câu 3: a) Cho 2 điểm A, B cố định với AB = a Tìm tập hợp những điểm P thoả mãn PA2PB2 k2 (k là số thực không âm)
b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC Phân giác góc DAM cắt BC tại N Hãy xác
định vị trí của M để
MN
AN đạt giá trị nhỏ nhất
Đề số 14 (Năm học 2002-2003)
Bảng B:
Bài 1: a) Bài 1a - Bảng A
b) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
6 a c c b b
a
Bài 2: Bài 2 – Bảng A
Bài 3: a) Bài 3a – Bảng A
b) Cho tam giác ABC và P là một điểm thuộc mặt phẳng tam giác Gọi K, L, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng BC, CA, AB Hãy xác định vị trí của P sao cho tổng
2 2
2
AM
CL
BK nhỏ nhất
Đề số 15 (Năm học 2003-2004) Bảng A:
Bài 1: a Giải phương trình
0 7 x 12 x 6 x x
b Giả sử đa thức f(x) có các hệ số nguyên và các giá trị f(0); f(1) là những số lẻ Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên
Bài 2: a Tìm điều kiện để hàm số sau xác định trên [0; 1)
1 m x 2 m x
b Cho a, b, x, y thoả mãn các điều kiện: 0 b a 4
y 3 x 2
7 b a
Tìm giá ttrị nhỏ nhất của 2 2
b a
y
2 y x
1 x s
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P
sao cho ; AP x , 0 x a
3
a 2 CN
; 3 a
Trang 9a Tính x theo a để cho AM vuông góc PN
b Cho H là một điểm thuộc miền của tam giác ABC nói trên Gọi H1H2H3 lần lượt là các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác ấy Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác
H1H2H3 không phụ thuộc vào vị trí của điểm H
Đề số 16 (Năm học 2003-2004)
Bài 1: Bài 1 của Bảng A
Bài 2: a) Bài 2a Bảng A
b) Cho a, b, c thoả mãn:
1 ca bc ab
2 c b
a2 2 2
Chứng minh rằng: 3
4
; 3
4 c , b , a
Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P
sao cho ; AP x , 0 x a
3
a 2 CN
; 3
a
a Chứng minh AB )
a
x AC ( 3
1
b Tính x theo a để cho AM vuông góc PN