tong hop bai tap tim gioi han ham so 24040 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất c...
BÀI TẬP PHẦN GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH I. Giới hạn dạng : 0 0 1. Tính các giới hạn sau : a. 3 4 1 3 2 lim 4 3 x x x x x b. 5 5 2 0 1 1 5 lim x x x x x c. 0 1 1 2 1 3 1 lim x x x x x d. 3 2 4 2 2 2 4 8 lim 8 16 x x x x x x e. 100 50 1 2 1 lim 2 1 x x x x x f. 2008 2009 1 1 lim 1 x x x g. 1 1 lim 1 n n x x x x n x h. 0 1 1 2 1 1 lim x x x nx x . j 1 2 1 1 lim 1 n x x n x n x 2. Tính các giới hạn sau : a. 2 0 1 1 lim x x x b. 1 2 1 lim 5 2 x x x c. 23 2 0 1 1 lim x x x d. 3 3 0 1 1 lim x x x x e. 1 2 1 lim 1 x x x x f. 3 1 3 2 lim 1 x x x x g. 0 9 16 7 lim x x x x h. 0 1 1 lim n x ax x i. 23 3 2 1 2 1 lim 1 x x x x x j . 1 1 lim 1 n m x x x 3. Tính các giới hạn sau : a. 3 2 1 7 3 lim 3 2 x x x x x b. 3 0 2 1 8 lim x x x x c. 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x d. 2 3 1 7 5 lim 1 x x x x e. 0 1 . 1 1 lim m n x ax bx x f. 3 2 23 3 0 8 6 9 9 27 27 lim x x x x x x x II. Giới hạn dạng của hàm số lượng giác : 0 sin lim 1 x x x 1. Tính các giới hạn sau cơ bản sau : a. 0 sin lim x ax x b. 0 sin lim sin x ax bx c. 0 tan lim x ax x d. 0 tan lim tan x ax bx e. 0 sin lim tan x ax bx 2. Tính các giới hạn sau : a. 2 0 1 cos lim x ax x b. 0 1 cos lim 1 cos x ax bx c. 3 0 tan sin lim x ax ax x d. 0 sinsinsin lim x x x e. 0 sin 3cos lim sin3 x x x x f. 2 0 1 cos cos2 cos lim x x x nx x g. 2 0 1 cos cos2 lim x x x x 3. Tính các giới hạn sau : a. 2 0 1 cos 2 lim sin x x x x b. 3 0 tan sin lim x x x x c. 0 2 cos cos 2 lim sin 2 x x x d. 3 2 1 2 lim sin 1 x x x x e. 4 2 sin 2 lim tan x x x f. 2 2 0 1 cos lim x x x x g. 0 1 cos2 sin 2 lim 1 cos2 sin 2 x x x x x h. lim sin x x x i. 2 1 lim tan cos x x x III. Giới hạn dạng : 1. Tính các giới hạn sau : a. 2 2 2 3 lim 4 1 1 x x x x x x b. 2 2 9 1 4 2 1 lim 1 x x x x x x c. 2 3 3 2 3 lim 1 x x x x x d. 5 1 2 3 4 5 lim 5 1 x x x x x x x e. 5 3 1 lim 1 x x x x f. 2 2 lim 3 1 x x x x x x IV. Giới hạn dạng : 1. Tính các giới hạn sau : a. 2 lim 1 1 x x x x b. lim x x a x b x c. lim x x x x x d. 2 lim 3 1 x x x x e. 2 lim 2 5 4 4 1 x x x x f. 2 2 lim 1 1 x x x x x g. 2 33 lim 1 1 x x x h lim x x x x x x x V. Giới hạn dạng : .0 1. Tính các giới hạn sau : a. 2 lim . 1 x x x x b. 2 2 lim . 2 2 x x x x x x x c. 2 lim . 4 9 2 x x x x d. 2 33 lim . 4 5 8 1 x x x x e. 2 4 4 lim . 3 5 3 2 x x x x g. 32 3 lim . 1 x x x x ONTHIONLINE.NET A GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài tập 1: Tính giới hạn: / lim / lim 2n + n+2 n2 + n + / lim 3n + n2 + 2n n + / lim n + n +1 / lim 2n + n − n n + 2n 3n + n + / lim 2n n + 3n + 5n − 3n + (n + 1)(2n − 1) / lim (3n + 2)(n + 3) / lim / lim (2n n )(3 + n ) ( n + 1)(n + 2) Bài tập 2: Tính giới hạn: / lim 2n − n2 +1 ( / lim n − n + n 2n + n −n+2 2n + n + / lim 3n − 2 / lim ) / lim ( / lim n − 2n − n Bài tập 3: Tính giới hạn: n2 +1 / lim 2n − 3n / lim(n + 3n − n ) (n + 1) (n + 2) / lim n(n − 1) / lim 2n − 11n + n2 − n − 2n 3n + n − ) ( / lim n + n − n + / lim ) n2 + − n2 + B GIỚI HẠN HÀM SỐ Bài tập 1: Tính giới hạn: / lim(2 x + 3) x→2 / lim x → −3 Dạng 0 − x + 2x x +1 / lim (2 x − x + 4) x → −2 / lim ( x + + x ) x → −1 x + 4x + x →1 x − x + x − 25 / lim x →5 x + / lim Bài tập 2: Tính giới hạn: x2 + x − x→2 x2 − x − 3x + / lim x →1 x − x − x + 1 / lim x − 16 x → x + x − 20 − x2 / lim x → −2 x + / lim x − 4x + x →3 x−3 x+3 / lim x → −3 x − / lim Bài tập 3: Tính giới hạn: + 2x −1 x →0 2x x − 3x − / lim x →2 x2 − + 2x − / lim x →0 2x / lim / lim x →0 4x 9+ x −3 + 2x − x + x → −1 3x + 3 4x − / lim x→2 x−2 / lim Bài tập 4: Tính giới hạn: / lim x →1 2x + − 2− x+3 2x + + x − x3 − 4x + 2−3 x+3 / lim x →5 x − 25 / lim x →1 / lim x →1 / lim x −1 x −1 x2 − x2 − x + − x − x − 27 / lim x → −3 x + x + x + x→ x3 − x + 2x + x → −1 x − 3x − x+2 x −3 / lim x →1 x−5 x +4 / lim / lim x →0 / lim x →0 x +1 − x2 + x +1 x 3x − − x − x − x →1 x − 3x + x− x+2 / lim x →2 4x + − / lim − x2 −1 + x − 3x + Bài tập 5: Tính giới hạn: 1− 1− x / lim x →0 x x − 4x + / lim x →3 x−3 ( x + 1)( x − 1) / lim x →3 x + x + x x + 3x + / lim x → −2 x + x + 3− 5+ x / lim x →4 1− − x / lim x →1 x2 + − / lim x →1 / lim x→4 x −1 x − + 1− x + x2 x2 −1 + 2x − x −2 1− 1− x x →0 3x x +1 10 / lim x → −1 x +3−2 / lim • Tính giới hạn cách thêm, bớt lượng liên hợp Bài tập 6: Tính giới hạn: x + 11 − x + x →2 x − 3x + 1+ x − 1− x / lim x →0 x x +1 − x + / lim x →3 x−3 / lim Dạng ∞ ∞ Bài tập 7: Tính giới hạn: x−9 + x+3 x →1 x −1 x−6 + x+6 / lim x → −2 x2 + x − 2 + x − 2x −1 / lim x → −1 x2 − x − / lim x + 3x − x →∞ x − x + x + 3x − 7 / lim x →∞ x − x + x2 +1 / lim x → −∞ x + − x3 + x + / lim x → +∞ x2 − x5 + 2x + / lim x →∞ x3 + x + 3x + / lim x →∞ x − x + ( x − 2)(2 x + 1)(1 − x) / lim x →∞ (3x + 4) / lim / lim x + 2x + x →∞ x3 − x + 1 2/∞ /+ ∞ 4/ /− 27 1/− ĐS 4x + x →∞ 3x − 2x + 10 / lim x →∞ x − x + / lim 6/0 7/∞ /± /± 10 / Bài tập 8: Tính giới hạn: / lim x + 2x + + + 4x / lim x →∞ 4x + + − x Dạng ∞ − ∞ x →∞ 9x + x + − 4x + 2x + x −1 − 1 / 5 −1 ĐS / Bài tập 9: Tính giới hạn: / lim (3 x + x − x) / lim ( x + 3 x − x ) / lim (2 x − − x − x − ) / lim ( x − x + 1) / lim ( x + x − x) / lim ( x − x + − x + x + 1) / lim − x →1 − x − x3 1 / lim + x→2 x − 3x + x − 5x + x → +∞ x →∞ x → +∞ x ←∞ ĐS x → −∞ Dạng : Tìm giới hạn hàm số lượng giác: Cho biết : sin x =1 x →0 x lim Bài tập 10: Tính giới hạn hàm số lượng giác sau: sin x x →0 2x sin x / lim x →0 x +1 −1 − cos x / lim x →0 x sin x − cos x / lim x →0 2x / lim tgx − sin x / lim x →0 x3 x sin / lim x →0 x tg x / lim x →0 x − cos x / lim x →0 x2 /1 − ∞ 6/0 / 0 / 1 /− 3/ /− 1/ x →∞ − cos 3x x →0 − cos x − + cos x 10 / lim x →0 tg x / lim + sin x − cos x x →0 sin x π sin x − 3 12 / lim π x → − cos x 11 / lim ĐS: / 9/ 25 2/4 6/ 1/ 10 / 4/4 / 18 12 / 3/ 7/ 11 / Dạng 1: Tìm điểm gián đoạn hàm số: Bài tập: Tìm điểm gián đoạn hàm số sau: c / y = tgx + cos x cot gx + sin x d/y= tg x a / y = x − x + x − x − 5x + b/ y = x − 3x + Dạng 2: Xét tính liên tục hàm số: Bài tập 1: Cho hàm số: ( x < 1) x2 −1 f ( x) = x − 5 x − f ( x) = x − 3x + x − Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 = Bài tập 5: Cho hàm số: ax + f ( x) = x − x −1 ( x ≥ 1) Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 = Bài tập 2: Cho hàm số: 1 − x f ( x) = − x x−2 ( x ≥ 2) 3 2 f ( x) = x +1 −1 x + − ( x > 0) Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 = Bài tập 4: Cho hàm số: ( x ≥ 1) ( x < 1) Đònh a để hàm số f(x) liên tục x0 = Bài tập 6: Cho hàm số: ( x < 2) Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 = Bài tập 3: Cho hàm số: ( x ≤ 0) ( x ≠ 1) ( x = 1) ( x = 2) 1 f ( x) = 1 − x − 2−x ( x ≠ 2) Xét tính liên tục hàm số f(x) x0 = Bài tập 7: Cho hàm số: ( x ≥ 0) Bài tập 9: Cho hàm số: 4−x a + x+2 f ( x) = 1− x − 1+ x x ( x ≤ 2) ( x < 0) Đònh a để hàm số f(x) liên tục x0 = Bài tập 8: Cho hàm số: ( x ≤ 2) ax + f ( x) = 3x + − x − ( x > 2) Đònh a để hàm số f(x) liên tục R Bài tập 10: Cho hàm số: ( x = 0) ( x ≠ 0) ( x > 2) Đònh a để hàm số f(x) liên tục 2 ax + f ( x) = 4x − x − 3x + 1 f ( x) = 1 − cos x x Xét tính liên tục hàm số toàn trục số R Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: Bài tập 1: CMR phương trình sau có nghiệm: a / x − 3x + = b / x − x + x − 10 = c / x − 10 x + 100 = Bài tập 2: CMR phương trình Bài tập 3: CMR phương trình Bài tập 4: CMR phương trình Bài tập 5: CMR phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt: a / m( x − 1)( x − 2) + x − = b / m( x − 9) + x ( x − 5) = x ...Các bài tập hàm số liên tục Page 1 9/4/2014 CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a • Phương pháp : )()(lim afxf ax = → Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : a. 1)²3³(lim 1 −=+− → xxx x b. 0)²(lim 0 =− → xx x c. 3)1²(lim 2 =− −→ x x Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ )( )( xQ xP tại x = a • Phương pháp : )( )( lim xQ xP ax→ – Nếu 0)( ≠aQ thì )( )( )( )( lim aQ aP xQ xP ax = → – Nếu 0)( =aQ và 0)( ≠aP thì ∞= → )( )( lim xQ xP ax – Nếu 0)( =aQ và 0)( =aP thì )( )( lim xQ xP ax→ có dạng 0 0 tính )( )( lim )()( )()( lim )( )( lim xD xC xDax xCax xQ xP axaxax →→→ = − − = Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : 1. 3 1 5² lim 1 = + + → x x x 2. ∞= − + → 3 1² lim 3 x x x 3. 1)2(lim 3 )2)(3( lim 3 65² lim 333 =−= − −− = − +− →→→ x x xx x xx xxx 4. 4 1 3 1 lim )3)(1( 1 lim 34² 1 lim 111 −= −− = −−+ + = −−− + −→−→−→ xxx x xx x xxx 5. 2 1 1 12 lim )1)(1( )12)(1( lim 1² 13²2 lim 111 = − + = −+ ++ = − ++ −→−→−→ x x xx xx x xx xxx 6. 6 1 5 2 lim )5)(1( )2)(1( lim 54² 23² lim 111 −= + − = +− −− = −+ +− →→→ x x xx xx xx xx xxx 7. 32)4²)(2(lim 2 )4²)(2)(2( lim 2 16 lim 22 4 2 =++= − ++− = − − →→→ xx x xxx x x xxx 8. 5 7 1 1 lim 5 7 1 = − − → x x x 9. ∞= − − = − −− = − +− →→→ 2 1 lim )²2( )1)(2( lim )²2( 23² lim 222 x x x xx x xx xxx 1 Các bài tập hàm số liên tục Page 2 9/4/2014 10. 3 4² 8³ lim 2 = − − → x x x 11. ∞= − ++− = +− − →→ )²1( )1²).(1( lim 12² 1³ lim 11 x xxx xx x xx 12. 5 )22²).(2( lim 2² 42³ lim 22 −= +−+ = + +− −→−→ x xxx xx xx xx Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai • Phương pháp : Khử dạng vô định 0 0 bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp Cần nhớ : • a – b = ))(( baba −+ • a – b = )².²)(( 333333 bbaaba ++− Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. )1²1( )1²1)(1²1( lim 1²1 lim 00 ++++ ++++++−+ = ++−+ →→ xxxx xxxxxx x xxx xx 0 2 0 )1²1( ² lim 0 == ++++ − = → xxxx x x 2. )2)(2)(321( )2)(321)(321( lim 2 321 lim 44 +−++ +++−+ = − −+ →→ xxx xxx x x xx 3 4 )321).(4( )2).(4.(2 lim ²)2).(321( )2²).(321( lim 44 = ++− +− = −++ +−+ = →→ xx xx xx xx xx 3. )2).(914( )314).(2²( lim 314 2 lim 22 ++−+ ++−− = −+ +− →→ xxx xxx x xx xx 8 9 )2).(2.(4 )314).(2)(1( lim 2 = ++− ++−+ = → xxx xxx x 4. 2 111 lim 0 = −− → x x x 5. 1 23² 1 lim 1 −= −+ − → x x x 6. [ ] 9 1 )²1(113 lim 3 11 lim 3 3 0 3 0 = −+−+ = −− →→ xxx x x x xx 7. 3 2 23² 1 lim 3 1 −= −+ + −→ x x x 8. 2.2 3 )1²).(1).(21( 1²).(21).(21( lim 1 21 lim 333 33 1 3 1 = ++−++ ++++−+ = − −+ →→ xxxx xxxx x x xx Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ 2 Các bài tập hàm số liên tục Page 3 9/4/2014 )( )( lim xQ xP x ∞→ ( có dạng ∞ ∞ ) • Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. 3 2² 15²3 lim = − +− ∞→ x xx x 2. 1 )5)(2( 1² lim = −+ − ∞→ xx x x 3. ∞= − ++− ∞→ 2² 1³ lim x xx x 4. 0 )1).(1³2( )35).(1²3( lim = +− ++ ∞→ xx xx x 5. 2 3 35²2 17²3 lim = +− +− ∞→ xx xx x 6. 3²5 ²22²3 lim 4 + +−+ ∞→ x xxx x = 5 3 7. ∞= + −+ ∞→ 72 1² lim 3 5 x xx x 8. 4 1²4 32² lim = −+ ++ +∞→ xx xx x 9. 3 2 1²4 32² lim −= −+ ++ −∞→ xx xx x 10. 1)234²4(lim −=−+− +∞→ xxx x 11. +∞=−+− −∞→ )234²4(lim xxx x Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai • Phương pháp : – Trường hợp 1 : Khử dạng vô định ∞ ∞ bằng cách chia tử và mẩu cho lũy thừa lớn nhất – Trường hợp 2 : Khử dạng vô định ∞−∞ bằng cách nhân thêm lượng biểu thức liên hợp • Cần nhớ : x → + ∞ thì x = ²x x → – ∞ thì x = – ²x Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 3 Các bài tập hàm số liên tục Page 4 9/4/2014 1. 2 ² 11 1 4 1 ² 1 1 lim ² 1² ² 4²1² lim 1² 4²1² lim = +− −++ = +− −++ = +− −++ ∞→∞→∞→ xx xx x xx x xxx xx xxx xxx 2. )3²( )3²)(3²( lim)3²(lim xxx xxxxxx xxx xx −+− −+−++− =++− −∞→−∞→ xxx xxx x −+− −+− = −∞→ 3² ²3² lim 2 1 )1 ² 31 1( ) 3 1( lim 3² 3 lim = ++−− −− = −+− +− = 143 BAI TAP GIOI HAN DAY SO - HAM SO - WWW.MATHVN.COM I H N DÃY S 3 lim 6n − 2n + 1 lim lim n 3 − 2n n 2 + 4n − 5 1 − n + 2n 4n 3 + 6n 2 + 9 2n 3 1 − 5n 2 lim + 2n 2 + 3 5n + 1 lim 3 n3 + n lim n+2 ( ) 3 lim n + n + 3n + 2 lim lim 3 4n 3n + 1 lim n 2 −1 2.3n + 4n ( ( lim 3 n 1 + 2 + ... + n 3 3 1 + 2 + ... + n 3 = 2 11n + n + 2 lim 3 13 + 23 + ... + n 3 3n + n − 2 lim n 6 − 7n 3 − 5n + 8 lim n + 12 lim 1 + 2n − n 3n − 1 − 2n − 1 ) n2 + n + 2 − n + 1 ( lim ( lim ) 2 ( n + 1) 2 2 + 3 3 1 1 1+ + 5 5 lim 3n − 2.5n ) 2 + ... + 2 3 + ... + 1 5 2 n n 4 n − 5n n n +3 − n −5 lim 1 + 2 + ... + n n2 3 lim n 2 + 3.5n 7 + 3.5n n +1 − n n2 + 1 − n + 1 lim 3n + 2 2n 2 + n + 1 lim 4 lim ) 1 − 3n 2 n. 1 + 3 + ... + (2n − 1) 1+ 2 2n 2 − n lim n 6 + 5n 5 3 2 4 −2n 2 + n + 2 2n 2 − 3 lim n 5 + n 4 − 3n 2n 2 − n + 3 lim 2 3 −3n 5 + 7n 3 − 11 4 lim n 3 − 5n + 7 3n 4 + 5 7n 2 − 3n + 2 3n 3 + 2n − 1 lim lim n2 + 5 2n 2 − n lim 2n − n + n + 2 n 2 + 4 + ... + 2n 3 2n 3 − 4n 2 + 3n + 3 2n 4 + 3n − 2 lim lim 3n − 7n + 11 lim 5n 2 + n n5 + n 4 − n − 2 lim 3n 3 + n 2 + 7 2 ( n2 + n + 1 − n lim ( lim ) n2 − n + 3 − n (−3)n + 5n ( −3)n +1 + 5n +1 ( lim n 2 n − n 2 + 1 ) lim 1 n + 2 − n +1 GI I H N HÀM S ( 3x 2 x→ 2 1. lim ) 5. lim x 2 − 4 + 11) x 4x + 2 x −3 3x 6 − 2x 5 + 5 3 x →−2 2 x →−∞ x 6 − 5x + 1 10. lim 3x − x + 5 7. lim x →9 9x − x 2 3 ( 3x 3. lim 2 x →1 6. lim x→ 3 9. lim ( 7x + 7x + 11 2. lim x3 − 2 11. lim 3 + 1)( 2 − 3x ) 7x + 11 4. lim 2 x 1 − x →0 x x +1 8. lim x →−∞ x2 + 5 2 2x 4 − 3x + 5 x 4 − 2x 2 12. lim + 3− x 3− x x →−∞ x →−∞ 6x − 3x + 2 x →3 3x − 2 5x − 2 3− x 3− x x+2 x 4 − x2 x3 + 2 2 13. lim 14. lim 15. lim 16. lim 17. lim x →3 3 − x x → 0+ x − x x → 2− 2 − x x →3− 3 − x x →− 2 x 2 − 2 x →+∞ 18. lim x 4 − 27x x →3 2x 2 22. lim x →+∞ 1 19. lim x 2x 4 + x 2 + 1 20. lim 3 2x 5 + x 3 − 1 21. lim x 2 + x + 2x 2x + 3 ( 2x 2 − 1)( x3 + x ) x →−∞ 23. lim ( 2x 3 − 5x 2 + 3x − 1) 24. lim 2x 4 − 5x 2 + 1 x →+∞ x →+∞ x →−2 x 2 − 3x − 9 ( x + 1) x 4 − 16 + 6x + 8 x →+∞ ) www.MATHVN.com 2x + 1 x−2 25. lim x → 2+ 29. lim x3 − 8 x →2 x 2 x → 2− x →( −3) x →4 x 2 x →3− lim x →−4 x 2 x →2 x →0 x →0 x →1 x 2 3− 5+ x x →4 1 − 5 − x lim lim x →2 7 + 2x − 5 x −3 x 2 + 2x − 15 x+5 lim x →−∞ 5+ x − 5− x x lim + x →−2 x5 − x − 6 8 + 2x − 2 x+2 2 f (x) = mx 3 x →0 x− x+2 4x + 1 − 3 lim x →+∞ 3x 2 − 5x − 2 x −1 lim lim f (x) 3 lim f ( x ) = lim lim x →0 4 − x2 − 2 9 − x2 − 3 x 2 − 4x + 3 x →+∞ x 4 + 4x x →−∞ x2 + 3 − 2 x 2 + 3x − 4 lim x2 −1 1 − 3x + x 2 − 1 + x x x +1 x3 − 2 (x − 1)2 lim x →+∞ x 4 − 5x 3 + 6 x 2 − 12x + 20 x 6 − 4x 4 + 4 x2 − x − 6 x →−∞ f (x) = x →2 ;x>2 lim x →−∞ x 2 3 2x − 3x + 1 2x − 1 − x x −1 x →1 x →−1 x →−∞ x2 − 1 x( x + 5) − 6 lim + 2x − 3 2 x − 3x lim + x →0 3 x − 2x ;x≤2 lim lim lim x2 − 4 x 2 − 25 x →1 lim lim x 2 + 3x − 10 x →0 x2 − x x →1 x −1 x 2 + 4x x + 4 −3 x →5 x−2 −2 x−6 x 2 − 3x + 2 x →−4 lim 1+ x − 1− x x x 2 + 3x − 4 3x − 5 − 1 x−2 x →2 lim lim x2 − x − 6 x →−2 lim x →6 lim x →1 x →+∞ (x − 1)2 x 3 + 4x 2 + 4x lim 3x − 2 − 4x 2 − x − 2 lim x 3 + 3x 2 + 2x lim x →−∞ x −3 2x + 10 − 4 lim x →3 x →0 x →0 x 2 − 4x + 3 x →1 x3 − 1 x →1 x(x + 5) − 6 1 + x + x2 −1 x lim 6x 2 + 3 + 3x lim + 2x − 3 lim x →9 x →5 lim lim 5−x 5− x lim x +1 x →−1 − 5x − 2 lim x →1 x 2 + 2x − 3 x+9 −2 x−7 lim 1 + x − x2 + x + 1 x x →0 x −1 lim lim x →7 1 − 2x + x 2 − (1 + x ) x lim 4 lim x2 − 4 x →2 x − 2 x4 −1 x2 − x − 6 x →−2 x 1+ x −1 lim lim − 12x + 20 x2 + 5 − 3 . x−2 lim x2 + x +1 −1 3x lim x 2 + 2x − 15 lim x →−5 x+5 x 3 + 3x 2 + 2x 9 − 3x 3 x →0 x 2 + 3x − TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC NGỌC NAM GV: Lê Nam – 0981 929 363 – Website: http://trungtâmluyệnthingọcnam.vn BÀI TẬP CHUN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ & CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS Mục Lục: VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức BÀI 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BÀI4: TIỆM CẬN 10 BÀI 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 11 BÀI 6: SỰ TƯƠNG GIAO 12 BÀI 7: BIỆN LUẬN NGHIỆM PT BẰNG PP ĐỒ THỊ 13 BÀI 8: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 16 VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C): y = f(x) 16 VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc 21 BÀI 10: CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT 22 VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) 22 VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà khơng có đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua 22 VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà số đồ thị họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) qua 23 VẤN ĐỀ 4: Tìm điểm đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ ngun 23 VẤN ĐỀ 5: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) 24 đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b 24 VẤN ĐỀ 7: Tìm cặp điểm đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b) 24 VẤN ĐỀ 8: Khoảng cách 25 Bài tập phần khảo sát hàm số tốn liên quan Page TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC NGỌC NAM GV: Lê Nam – 0981 929 363 – Website: http://trungtâmluyệnthingọcnam.vn BÀI 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 x 4 a) y x x b) y d) y x x x e) y (4 x )( x 1)2 f) y x3 3x x i) y g) y x 2x2 1 h) y x x k) y 2x 1 x5 l) y x x 26 n) y x2 x 1 2 x c) y x x x x 2 10 10 m) y o) y x 1 x 1 x x 15 x p) y 3x Bài Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y 6 x 8x 3x d) y 2x 1 b) y e) y x2 g) y x x x2 x2 x x 3x h) y x x c) y x2 x x2 x f) y x 2 x i) y x x VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Bài Chứng minh hàm số sau ln đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y x 5x 13 d) y x2 2x x 1 x3 b) y 3x x c) y 2x 1 x2 e) y 3x sin(3x 1) f) y x 2mx xm Bài Chứng minh hàm số sau ln nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y 5x cot( x 1) b) y cos x x c) y sin x cos x 2 x Bài Tìm m để hàm số sau ln đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: x mx 2x a) y x 3mx (m 2)x m b) y 3 d) y mx xm e) y x 2mx xm Bài tập phần khảo sát hàm số tốn liên quan c) y xm xm f) y x 2mx 3m2 x 2m Page TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HĨA & LUYỆN THI ĐẠI HỌC NGỌC NAM GV: Lê Nam – 0981 929 363 – Website: http://trungtâmluyệnthingọcnam.vn Bài Tìm m để hàm số: a) y x3 3x mx m nghịch biến khoảng có độ dài 1 b) y x mx 2mx 3m nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y x (m 1) x (m 3) x đồng biến khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: a) y x3 (m 1) x (m 1) x đồng biến khoảng (1; +) b) y x3 3(2m 1)x (12m 5)x đồng biến khoảng (2; +) c) y mx (m 2) đồng biến khoảng (1; +) xm d) y xm đồng biến khoảng (–1; +) xm e) y x 2mx 3m2 đồng biến khoảng (1; +) x 2m 2 x 3x m f) y nghịch biến khoảng ; 2x VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Bài Chứng minh bất đẳng thức sau: a) x x3 sin x x, vớ i x c) x tan x, vớ i x b) 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Luật giáo dục có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, mơn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Tốn học mơn học đòi hỏi tư logic, phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức lại với Do đó, việc phân dạng hình thành phương pháp giải dạng tốn biện pháp mang lại hiệu cao giảng dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh gặp nhiều lúng túng việc giải số tốn tìm giới hạn hàm số, tốn đánh giá tương đối dễ, có nhiều ngun nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tơi, ngun nhân chủ yếu học sinh chưa biết nhận dạng lựa chọn phương pháp phù hợp để tìm giới hạn hàm số Phần giới hạn hàm số có nội dung đề thi THPT Quốc gia năm 2018, việc tìm giải pháp giúp học sinh (đặc biệt học sinh có học lực trung bình yếu) đạt điểm phần việc thực cần thiết Từ lí tơi chọn đề tài: “ Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xn giải thành thạo tốn tìm giới hạn hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nội dung tính chất giới hạn hàm số để tìm phương pháp cho dạng tìm giới hạn hàm số, giúp học sinh tiếp thu dễ dàng Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là: - Các dạng tốn phương pháp tìm giới hạn hàm số Khám phá, phân tích lời giải chi tiết từ học sinh hồn thiện kiến thức nắm bắt tốn cách thấu đáo có chiều sâu - Nghiên cứu ứng dụng máy tính cầm tay kiểm tra kết tốn tìm giới hạn giải nhanh tập trắc nghiệm 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến giới hạn hàm số, nghiên cứu chương trình giáo khoa mơn + Phương pháp nghiên cứu thực tế: thơng qua việc dạy học giúp học sinh nhận dạng biết cách giải tốn tìm giới hạn hàm số + Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy kiểm tra khả ứng dụng học sinh nhằm minh chứng cho hiệu việc sử dụng giải pháp Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Với xu đổi phương pháp giáo dục Bộ giáo dục đào tạo, q trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Các tốn giới hạn phần kiến thức đa dạng, phong phú Để học tốt phần học sinh phải nắm kiến thức Học sinh phải thường xun làm tập để học hỏi, trau phương pháp, kĩ biến đổi Kiến thức, tập phần tương đối dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, học sinh trung bình, yếu khó khăn việc phân biệt dạng tốn vận dụng phương pháp phù hợp Do tơi ln có ý định tìm phương pháp mới, để truyền dạy cho học sinh, phương pháp học đơn giản, phương pháp mà học sinh cảm thấy hứng thú học 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Thường Xn đóng địa bàn miền núi, với đa