cac cong thuc luong giac cuc hay 66324

cac cong thuc luong giac cuc hay 66324 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả cá...

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I. Đònh nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M trên đường tròn lượng giác mà sđAM = β với 02≤ β≤ π Đặt k2 ,k Zα=β+ π ∈Ta đònh nghóa: sin OKα= cos OHα= sintgcosαα=α với co s 0α≠coscot gsinαα=α với sin 0α≠II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trò ()o00 ()o306π ()o454π ()o603π ()o902π sinα 0 12 22 32 1 cosα 1 32 22 12 0 tgα 0 33 1 3 || cot gα || 3 1 33 0 III. Hệ thức cơ bản 22sin cos 1α+ α= 2211tgcos+α=α với ()kkZ2πα≠ + π ∈ 221tcotgsin+=α với ( )kkZα≠ π ∈ IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π; phụ chéo) a. Đối nhau: và −α α( )sin sin−α = − α ( )cos cos−α = α ( ) ( )tg tg−α = − α ( ) ( )cot g cot g−α = − α b. Bù nhau: và α π−α( )()()()sin sincos costg tgcotg cot gπ−α = απ−α =− απ−α =− απ−α =− α c. Sai nhau : và π+ πα α( )()()()sin sincos costg t gcotg cot gπ+α =− απ+α =− απ+α = απ+α = α d. Phụ nhau: và α2π−α sin cos2cos sin2tg cot g2cotg tg2π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞−α = α⎜⎟⎝⎠ e.Sai nhau 2π: α và 2π+α sin cos2cos sin2tg cot g2cotg tg2π⎛⎞+α = α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞+α =− α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞+α =− α⎜⎟⎝⎠π⎛⎞+α =− α⎜⎟⎝⎠ f. ()()()()()()+π=− ∈+π=− ∈+π= ∈+π=kksin x k 1 sinx,k Zcos x k 1 cosx,k Ztg x k tgx,k Zcotg x k cot gx V. Công thức cộng ( )()()sin a b sinacosb sin b cosacos a b cosacos b sinasin btga tgbtg a b1tgatgb±= ±±=±±=mm VI. Công thức nhân đôi ==−=− ==−−=22 2 222sin2a 2sin acosacos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 12tgatg2a1tgacotg a 1cotg2a2cotga− VII. Công thức nhân ba: 33sin3a 3sin a 4sin acos3a 4 cos a 3cosa=−=− VIII. Công thức hạ bậc: ()()2221sin a 1 cos2a21cos a 1 cos2a21cos2atg a1cos2a=−=+−=+ IX. Công thức chia đôi Đặt attg2= (với ak) 2≠π+ π 22222tsina1t1tcosa1t2ttga1t=+−=+=− X. Công thức biến đổi tổng thành tích ()()ab abcosa cosb 2cos cos22ab abcosa cosb 2sin sin22ab absina sinb 2cos sin22ab absina sin b 2cos sin22sin a btga tgbcosacosbsin b acotga cotgbsina.sin b+−+=+−−=−+−+=+−−=±±=±±= XI. Công thức biển đổi tích thành tổng () ()() ()()()1cosa.cosb cos a b cos a b21sina.sin b cos a b cos a b21sina.cosb sin a b sin a b2=⎡ + + −⎤⎣⎦−=⎡ +− −⎣⎦=⎡ + + −⎤⎣⎦⎤ Bài 1: Chứng minh 4466sin a cos a 1 2sin a cos a 1 3+−=+− Ta có: ( )244 22 22 2sin a cos a 1 sin a cos a 2sin acos a 1 2sin acos a+−= + − −=−2 Và: ( )( )()66 224224442222 2222sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1sin a cos a sin acos a 11 2sinacosa sinacosa 13sin acos a+−= + − +=+ − −=− − −=−− Do đó: 44 2266 22sin a cos a 1 2sin acos a 2sin a cos a 1 3sin acos a 3+−−==+−− Bài 2: Rút gọn biểu thức ()221cosx1cosxA1sin x sin x⎡ ⎤−+==+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Tính giá trò A nếu 1cosx2=− và x2π< <π Ta có: 2221cosxsinx12cosxcosxAsin x sin x⎛⎞++−+=⎜⎟⎝⎠ ( )221 cosx1cosxA.sin x sin x−+⇔= ( )223321 cosx2sin x 2Asin x sin x sinx−⇔= = = (với sinx 0≠) Ta có: 2213sin x 1 cos x 144= −=−= Do: x2π<<π nên sin x 0>Vậy 3sin x2= Do đó 244Asin x 33===3 Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x: a. 4422A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +2 b. 2cotgxBtgx1 cotgx1+=+−−1 a. Ta có: 4422A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +2 ( ) ( ) ( )()242 22 242424A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos xA 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x⇔= −− +− + −⇔= −− + + − +−2 A2⇔= (không phụ thuộc x) b. Với điều kiện sinx.cosx 0,tgx1≠ ≠ Ta có: 2cotgxBtgx1 cotgx11+=+−− 11221tgxtgxB1tgx1 tgx11tgx1tgx++⇔= + = +−−−− ( )21tgx1tgxB1tgx 1 tgx 1−−−⇔= = =−−− (không phụ thuộc vào x) Bài 4: Chứng minh ()222222221cosa1cosa cosbsinc1cotg bcotg ccotga12sina sin a sin bsin c⎡⎤−+−− +−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦− Ta có: * 222222cos b sin ccotg b.cot g csin b.sin c−− 22222cotg b1cotg bcotg csin c sin b=−− ( ) ( )22 222cot g b1 cotg c1cotg bcotg bcotg c=+−+−1=− (1) * ()221cosa1cosa12sina sin a⎡⎤−+−⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()221cosa1cosa12sina 1 cos a⎡⎤−+=−⎢⎥−⎢⎥⎣⎦ 1cosa Onthionline.net CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I.Các công thức 3.Hai góc bù nhau: 4.Hai góc phụ nhau: II.Các góc có liên quan đặc biêt: 1.Hai góc đối 5.Hai góc π/2: 2.Hai góc π: Onthionline.net III.Công thức cộng: IV.Công thức nhân hai,nhân ba,hạ bậc: 1.Công thức nhân 2: 2.Công thức nhân 3: 3.Công thức hạ bậc: Onthionline.net V.Công thức biến đổi theo Đặt ,ta có: VI.Công thức biến đổi tổng thành tích VII.Công thức biến đổi tích thành tổng: VIII.Một số hệ công thức khác: Với MỘT VÀI CÁCH NHỚ CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁCLượng giác là một phân môn quan trọng trong chương trình toán phổ thông, nó theo chân các bạn từ bài toán giải tam giác, giải phương trình lượng giác, đến tính đạo hàm tích phân, số phức …. Để học tốt môn học này, một yêu cầu quan trọng là phải thuộc được các công thức lượng giác .”Có bột mới gột nên hồ “, phải không các bạn ?Bài viết nhỏ này chia sẻ với các bạn những kinh nghiệm nhớ các công thức lượng giác của tôi, một trong nhưng hành hành trang mà tôi luôn mang theo trên con đường học toán của mình .1. Dấu của các giá trị lượng giác (GTLG) :Các bạn nên biết trong góc vuông (góc phần tư) thứ nhất, mọi GTLG đều mang dấu dương (+) , di chuyển dấu + này theo chiều dọc , ta được dấu của cos, theo chiều ngang ta có dấu sin và nếu di chuyển chéo đi xuống góc phần tư thứ 3 ta được dấu của tan và cotan (còn trong những góc vuông còn lại dĩ nhiên dấu sẽ là âm !). Thế nên để ghi nhớ dấu của các hàm số lượng giác ta có: “cos dọc, sin ngang, tan - cotan chéo”.2)Giá trị LG của các góc đặc biệt các bạn có thể dùng máy tính, tuy nhiên nếu không có máy tính thì ta vẫn nhớ được một cách dễ dàng nhờ cách chia nhóm như sau: Trước hết cần nhớ một câu “thần chú” quen thuộc mà ta đã biết từ cấp 2 “sin đi học, cos không ham (không hư) tan đoàn kết cotan kết đoàn”.Với các GTLG của góc 045ta có nửa hình vuông có cạnh bằng 1 (đó cũng chính là tam giác vuông cân có cạnh bằng 1) dễ thấy khi đó đường chéo của hình vuông này là 2. Từ đó ta có ngay 2145cos45sin00== , 145cot45tan00==Còn với các GTLG của các góc 300 , 600 , ta dùng nửa tam giác đều có cạnh bằng 1. Ta có: 0060cos2130sin ==,2360sin0=….Các góc 00, 900 ,1800 thì ta lại dùng đến nửa đường tròn lượng giác .Chẳng hạn 1180cos,0180sin00−== ta dễ dàng suy ra từ tọa độ của điểm A’(-1; 0) …(khi đó ta dùng câu sin đứng , cos nằm để nhớ ( )aaM sin;cos với M nằm trên đường tròn hay nửa đường tròn lượng giác ; góc (Ox, OM) = a.Một điều nữa là nhiều khi ta chỉ cần nhớ các giá trị của sin và cos thôi còn tan và cotan ta suy ngay ra được nhờ hệ thức quen thuộc. aaacossintan =, aaasincoscot =, thậm chí chỉ cần nhớ đối với tan vì tana và cota là 2 số nghịch đảo của nhau .* Khi nói “ sin tăng cos giảm “ thì ta có thể hiểu là : trong góc vuông thứ nhất , hàm sin tăng (Đồng biến) , còn hàm cos giảm (Nghịch biến) khi góc tăng từ 0 đến 900 .3) GTLG của các góc có liên quan đặc biệt: Chắc chúng ta đều biết đến câu quen thuộc “cos đối, sin bù, phụ chéo, khác π tan cotan” cũng cần phải hiểu kỹ hơn ý nghĩa của câu này các GTLG được nhắc đến thì bằng nhau còn nếu không được nhắc đến thì chúng đối nhau ! .Về cách nhớ các liên quan đặc biệt này, tôi học từ thầy giáo dạy toán của tôi. Các bạn cùng đọc cho vui nhé :* Liên quan đối (a và – a)Nếu 2 góc đối nhauCos của chúng bằng nhauSin,tan cotan đốiHãy viết vào mau mau .* Liên quan bù (a và π - a)Nếu hai góc mà bùCos phải thêm dấu trừTan cotan cũng vậy (*)Sin bằng nhau rõ chưa ? * Hơn kém một π (a và a +π ) Nếu hơn kém 1.Công thức cộng: +Sin thì sin cos cos sin Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ). +Tang tổng thì lấy tổng tang Chia một trừ với tích tang, dễ òm. 2.Tích thành tổng: +Nhớ rằng hiệu trước, tổng sau Sin sin, cos tổng phải ghi dấu trừ Cos thì cos hết Sin sin cos cos, sin cos sin sin Một phần hai phải nhân vào, chớ quên! 3.Công thức đổi tổng thành tích: +Tổng tang ta lấy sin tòng (sin của tổng) Chia cho cos cos khó lòng lại sai. +Tổng sin và tổng cos: --Đối với a & b: Tổng chia hai trước, hiệu chia hai sau --Đối với các hệ số khi khai triển: Cos cộng cos bằng hai cos cos Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin Sin cộng sin bằng hai sin cos Sin trừ sin bằng hai cos sin. 4.Công thức cos+sin,cos-sin: Cos cộng sin bằng căn hai cos(căn 2 nhân cos) Của a trừ cho 4 dưới pi Nhớ rằng đây cộng kia trừ Đây trừ kia cộng chỉ là thế thôi. 5.Công thức gấp đôi: +Sin gấp đôi = 2 sin cos +Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin = trừ 1 cộng hai lần bình cos = cộng 1 trừ hai lần bình sin +Tang gấp đôi Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang) Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền. 6.Sin bù, cos đối, hơn kém pi tang, phụ chéo. +Sin bù :Sin(180-a)=sina +Cos đối :Cos(-a)=cosa +Hơn kém pi tang : Tg(a+180)=tga Cotg(a+180)=cotga +Phụ chéo là 2 góc phụ nhau thì sin góc này = cos góc kia, tg góc này = cotg góc kia. 7.Công thức tổng quát hơn về việc hơn kém pi như sau: Hơn kém bội hai pi sin, cos Tang, cotang hơn kém bội pi. Sin(a+k.2.180)=sina ; Cos(a+k.2.180)=cosa Tg(a+k180)=tga ; Cotg(a+k180)=cotga *sin bình + cos bình = 1 *Sin bình = tg bình trên tg bình cộng 1. *cos bình = 1 trên 1 cộng tg bình. *Một trên cos bình = 1 cộng tg bình. *Một trên sin bình = 1 cộng cotg bình. (Chú ý sin *; cos @ ; tg @ ;cotg * với các dấu * và @ là chúng có liên quan nhau trong CT trên) CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Định nghĩa Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị: Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích: với Đẳng thức Pytago Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x). Tổng và hiệu của góc định lí Ptolemaios Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler. với và Công thức góc bội Bội hai Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2. Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy. Tổng quát Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì công thức de Moivre : Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau: Hay theo công thức hồi quy: sin(nx) = 2sin((n − 1)x)cos(x) − sin((n − 2)x) cos(nx) = 2cos((n − 1)x)cos(x) − cos((n − 2)x) Bội ba Ví dụ của trường hợp n = 3: sin(3x) = 3sin(x) − 4sin3(x) cos(3x) = 4cos3(x) − 3cos(x) Công thức hạ bậc Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được: Công thức góc chia đôi Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được: Dẫn đến: Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa: Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa: Suy ra: Nếu thì: and and Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dạng. Biến tích thành tổng Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra. Biển tổng thành tích Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2 trong công thức trên, suy ra: Hàm lượng giác nghịch đảo Dạng số phức với Tích vô hạn Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt , các tích vô hạn sau có ích: Đẳng thức số Cơ bản Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau: Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của: Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số: . Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21: Một cách tính pi có thể sựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy: hay dùng công thức Euler : Một số đẳng thức khác: Dùng tỷ lệ vàng φ: Nâng cao • • • • • • • • • • • • • • • • Giải tích Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bắt tang Sin nằm cos (tan@ = sin@:cos@) Cotang dại dột Bị cos đè cho (cot@ = cos@:sin@) Version 2: Bắt tang Sin nằm cos Côtang cãi lại Cos nằm sin! GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan Cosin hai góc đối nhau; sin hai góc bù nhau; phụ chéo góc phụ sin góc = cos góc kia, tan góc = cot góc kia; tan hai góc pi CÔNG THỨC CỘNG Cos cộng cos hai cos cos cos trừ cos trừ hai sin sin Sin cộng sin hai sin cos sin trừ sin hai cos sin Sin sin cos cos sin Cos cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ) Tang tổng lấy tổng tang Chia trừ với tích tang, dễ òm CÔNG THỨC NHÂN BA Nhân ba góc bất kỳ, sin ba bốn, cos bốn ba, dấu trừ đặt hai ta, lập phương chỗ bốn, ok 6.Công thức gấp đôi: +Sin gấp đôi = sin cos +Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin = trừ cộng hai lần bình cos = cộng trừ hai lần bình sin +Tang gấp đôi Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang) Chia trừ lại bình tang, liền Cách nhớ công thức: tan(a+b)=(tan+tanb)/1-tana.tanb tan tổng hai tầng cao rộng thượng tầng tan cộng tan tan hạ tầng số ngang tàng dám trừ tích tan tan oai hùng CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH sin tổng lập tổng sin cô cô tổng lập hiệu đôi cô đôi chàng tan tử cộng đôi tan (hoặc là: tan tổng lập tổng hai tan) trừ tan tích mẫu mang thương sầu gặp hiệu ta lo âu, đổi trừ thành cộng ghi sâu vào lòng Một phiên khác câu Tan cộng với tan ta, sin đứa cos ta cos tanx + tany: tình cộng lại tình ta, sinh hai đứa ta tanx - tan y: tình hiệu với tình ta sinh hiệu chúng, ta CÔNG THỨC CHIA ĐÔI (tính theo t=tg(a/2)) Sin, cos mẫu giống chả khác Ai cộng bình tê (1+t^2) Sin tử có hai tê (2t), cos tử có trừ bình tê (1-t^2) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Sao Đi Học ( Sin = Đối / Huyền) Cứ Khóc Hoài ( Cos = Kề / Huyền) Thôi Đừng Khóc ( Tan = Đối / Kề) Có Kẹo Đây ( Cotan = Kề/ Đối) Sin : học (cạnh đối - cạnh huyền) Cos: không hư (cạnh đối - cạnh huyền) Tang: đoàn kết (cạnh đối - cạnh kề) Cotang: kết đoàn (cạnh kề - cạnh đối) Tìm sin lấy đối chia huyền Cosin lấy cạnh kề, huyền chia Còn tang ta tính sau Đối trên, kề chia liền Cotang dễ ăn tiền Kề trên, đối chia liền Sin bù, cos đối, pi tang, phụ chéo +Sin bù :Sin(180-a)=sina +Cos đối :Cos(-a)=cosa +Hơn pi tang : Tg(a+180)=tga Cotg(a+180)=cotga +Phụ chéo góc phụ sin góc = cos góc kia, tg góc = cotg góc Công thức tổng quát việc pi sau: Hơn bội hai pi sin, cos Tang, cotang bội pi Sin(a+k.2.180)=sina ; Cos(a+k.2.180)=cosa Tg(a+k180)=tga ; Cotg(a+k180)=cotga *sin bình + cos bình = *Sin bình = tg bình tg bình cộng *cos bình = cộng tg bình *Một cos bình = cộng tg bình *Một sin bình = cộng cotg bình (Chú ý sin *; cos @ ; tg @ ;cotg * với dấu * @ chúng có liên quan CT DIỆN TÍCH Muốn tính diện tích hình thang Đáy lớn, đáy bé ta mang cộng vào Rồi đem nhân với đường cao Chia đôi kết Muốn tìm diện tích hình vuông, Cạnh nhân với cạnh ta thường chẳng sai Chu vi ta học bài, Cạnh nhân với bốn có sai Muốn tìm diện tích hình tròn, Pi nhân bán kính, bình phương thành Nguyên tắc để tam giác Con gà con, gân cổ gáy, cúc cù cu (cạnh góc cạnh, góc cạnh góc, cạnh cạnh cạnh)