de thi hsg toan 7 2008 20009 10030

de thi hsg toan 7 2008 20009 10030 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩ...

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH. NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau: 1. 3x 2 + 4x + 10 = 2 2 14 7x − 2. 2 4 2 2 4 4 4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y− − − + + + + − − = − 3. x 4 - 2y 4 – x 2 y 2 – 4x 2 -7y 2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên) Bài 2: (2.5 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n để 18n + và 41n − là hai số chính phương. 2. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4= + Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. Bài 3: (3,25 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm). 1. Chứng minh rằng 2 2 .MN MP MA MB= = 2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông. 3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d. Bài 4: (1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP. Trên trục hoành lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0). Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c. Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 19b - a 19c - b 19a - c + + 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c ac + 5a ≤ Hết./. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH. NĂM HỌC 2008-2009. MÔN THI: Toán (Thời gian làm bài 150 phút) Câu Ý Nội dung Điểm 1 (2,5đ) 1.1 (0,75đ) Giải, xác định đúng điều kiện: 2 2 ; 2 2 x x − < ≥ ⇔ 2 2 2 4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + − − − + = 0 2 ( 2) ( 2 1 7) 0x x⇔ + + − − = 2 2 2 0 2 2 2 1 7 0 2 x x x x x x = −  + =    ⇔ ⇔ ⇔ = =    − − =     = −   (Thỏa mãn) 0,25 0,25 0,25 1.2 (1.0đ) Điều kiện : 2 2 2 2 4 0 (1) 16 0 (2) 4 1 0 (3) 2 3 0 (4) x x x x y y  − ≥  − ≥   + ≥   + − − ≥  Từ (2) ⇔ (x 2 – 4)(x 2 + 4) 2 0 4 0x≥ ⇔ − ≥ kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 Thay vào (4): y 2 – 2y + 1 0 ≥ ; Đúng với mọi giá trị của y. Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5) 0.5đ 0,5 1.3 (0,75đ) Biến đổi đưa được pt về dạng: (x 2 – 2y 2 – 5)(x 2 + y 2 +1) = 0 ⇔ x 2 – 2y – 5 = 0 ⇔ x 2 = 2y 2 + 5 ⇔ x lẻ Đặt x = 2k + 1 ; ( k Z∈ ) ⇔ 4k 2 + 4k +1 = 2y 2 + 5 ⇔ 2y 2 = 4k 2 + 4k – 4 ⇔ y 2 = 2(k 2 + k – 1) ⇔ y chẵn Đặt y = 2n; (n Z∈ ) ⇔ 4n 2 = 2(k 2 + k – 1) ⇔ 2n 2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) ⇔ (*) vô nghiệm ⇔ pt đã cho vô nghiệm 0,25 0,25 0,25 2 (2,0đ) 2.1 (1,0đ) Để 18n + và 41n − là hai số chính phương 2 18n p⇔ + = và ( ) 2 41 ,n q p q− = ∈ N ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 18 41 59 59p q n n p q p q⇒ − = + − − = ⇔ − + = Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30 59 29 p q p p q q − = =   ⇔   + = =   Từ 2 2 18 30 900n p+ = = = suy ra 882n = Thay vào 41n − , ta được 2 2 882 41 841 29 q− = = = . Vậy với 882n = thì 18n + và 41n − là hai số chính phương 0,5 0,5 2.2 (1,0đ) Gọi số cần tìm là : 10ab a b= + (a, b là số nguyên và a khác 0) Theo giả thiết: 10a b a b+ = + là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9 Ta có: ( ) 2 2 10 10 2 2 5a b a b a b a a b b a b a+ = + ⇔ + = + + ⇔ − = ( ) 2 5 b a⇔ − = (vì 0a ≠ ) 0,5 Do đó a phải là số chẵn: 2a k= , nên 5 b k− = Nếu 1 8 81 8 1 9b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 4 6 64 6 4 8b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 9 4 49 4 9 7b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) 0, 5 3 3,25đ) 3.1 (1,0) d d ' D B A L I E N P H O M 0.25 Onthonline.net đề thi học sinh giỏi lớp năm học 2008-2009 Trường THCS Thị trấn Đông Triều Môn thi: Toán-Ngày thi: 28/4/2009 (Thời gian 90 phút – Không kể thời gian giao đề) a b Câu 1(2đ): Cho tỉ lệ thức = c ≠ với a, b, c ≠ d Chứng minh rằng: a−b c−d = a c Câu 2(2đ): Tìm nghiệm đa thức sau f(x)=2x2-3x+1 Câu 3(2đ): Tìm x biết x −1 + x − = Câu 4(2đ): Một số A chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; Biets tổng lập phương ba phần 9512 Hãy tìm A Câu 5(2đ): Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC Từ điểm M cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AB; AC chúng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh rằng: a) ∆ABC = ∆MDE b) Ba đường thẳng AM, BD, CE qua điểm -Hết phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a huyện lơng tài Năm học: 2006 - 2007 Thời gian làm bài: 120 phút -----------***----------- Bài 1: (2,5 điểm) 1. Tìm n N biết: (3 3 :9).3 n = 729 2. Tính: ( ) ++ 7 6 5 4 3 2 7 3 5 2 3 1 4,0 2 2 9 4 2 Bài 2: (1,5 điểm) Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn: b 2 =ac. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 .2007 .2007 cb ba c a + + = Bài 3: (2 điểm) Ba đội công nhân làm ba công việc có khối lợng nh nhau. Thời gian làm việc của đội I, đội II, đội III lần lợt là 3 ngày, 5 ngày, 6 ngày. Biết rằng đội II nhiều hơn đội III là 2 ngời và năng suất làm việc của mỗi công nhân là nh nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân? Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD=AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc AC, trên đó lấy điểm E sao cho AE=AC. Chứng minh rằng: a) AM= 2 1 DE b) AM DE Bài 5: (1 điểm) Cho m,n N và p là số nguyên tố thoả mãn: p nm m p + = 1 . Chứng minh rằng: p 2 =n+2 --------------- Hết ---------------- phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a huyện lơng tài Năm học: 2005 - 2006 Thời gian làm bài: 120 phút -----------***----------- Bài 1: (2,5 điểm) Tìm x biết: a) 3: 4 1 4 3 =+ x b) 6253 =+ x c) 2006 1 2005 2 2004 3 2003 4 + + + = + + + xxxx d) x yyy 6 61 24 41 18 21 + = + = + Bài 2: (1,5 điểm) Rút gọn: a) A = 2 100 -2 99 +2 98 -2 97 + . +2 2 -2 b) B = 3 2006 -3 2005 +3 2004 -3 2003 + . +3 2 -3+1 Bài 3: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, góc A=108 0 . Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C sao cho góc CBO=12 0 . Vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng BO). Chứng minh rằng: a) Ba điểm C, A, M thẳng hàng b) Tam giác AOB cân Bài 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD bằng và vuông góc với AB (D và C nằm khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thăng AE bằng và vuông góc với AC (E và B nằm kkhác phía đối với AC), vẽ AH vuông góc với BC. Đờng thẳng HA cắt DE ở K. Chứng minh rằng: DK=KE Bài 5 : (1 điểm) Tìm số tự nhiên n để phân số 32 87 n n có giá trị lớn nhất ------------ Hết -------------- phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a huyện lơng tài Năm học: 2004 - 2005 Thời gian làm bài: 120 phút -----------***----------- Bài 1: (2 điểm) 1) Cho p và 10p+1 là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh 5p+1 6 2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng các bình phơng của ba số này cũng là một số nguyên tố Bài 2: (3 điểm) 1) Tìm x biết: 2 1 3 2 1 = x 2) Tìm x biết: 0 5 1 2 1 + xx 3) Tìm x, y, z biết: ( ) 03 2 1 5 1 = + zyx và x+1=y+2=z+3 Bài 3: (1,5 điểm) Cho biểu thức f(x)=ax 2 +bx+c 1) Tính f(0), f(1), f(-1) 2) cho biết 5a+b+2c=0. Chứng tỏ rằng: f(2).f(-1) 0 Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE. Chứng minh: 1) AM= 2 DE 2) AM DE Bài 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC cân, góc A=gócC=80 0 . Từ các đỉnh A và C vẽ 2 đờng thẳng cắt các cạnh đối theo thứ tự tại điểm D và E sao cho góc CAD=60 0 , góc ACE=50 0 . Tính góc ADE --------------- Hết ------------------ phòng gd - đt đề thi học sinh giỏi huyện bảng a huyện lơng tài Năm học: 2003 - 2004 Thời gian làm bài: 120 phút -----------***----------- Bài 1: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= 10109 49319 22.6 9.4.1527.2 + + 2) Tính: 81 2007 3 81 7 3 81 6 3 81 5 3 81 4 3 2004432 3) Tìm x biết: a) ( ) 5 10 4912 = x b) 325 =+ xx Bài 2: (1,5 điểm) 1) Vẽ đồ thị của hàm số: y= ( ) xx 2 2 1 + 2) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn: x+xy+2y=9 Bài 3: (2 điểm) 1) Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn b bac a acb c cba + = + = + Hãy tính giá trị của biểu thức: P= + + + a c c b b a 111 2) Tìm các số ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 LỚP 7 MÔN TOÁN - Thời gian 120’ Câu 1 (1.5đ) Thực hiện các phép tính ( ) ( ) 2 1 0 3 2 2 5 3 3 3 3 25 9 125 27 4 25 : : 16 16 64 8 1 1 0.1 . 2 : 2 7 49 2 2 2 2 . 3.5 5.7 7.9 101.103 A B C − −   = +  ÷           = +    ÷             = + + + + Câu 2. (2đ) a. Tìm các số a, b , c, biết x:y:z =2:3:5 và x.y.z = 810 b. Tìm x biết : 1 1 3 3 3 117 x x x+ + + + = Câu 3 . (2đ) Một người đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11h45’.Sau khi đi được 4 5 quảng đường thì người đó di được với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc 12h . Tính quãng đường AB và người đó khởi hành lúc mấy giờ ? Câu 4 : (1.5đ) Vẽ đồ thị hàm số : 4x với x ≥ 0 Y = 1 4 − với x <0 Câu 5. (3đ) Cho Tam giác cân ABC (AB = AC) , ABC = 20 0 . Trên cạnh AB lấy điểm e sao cho góc BCE = 60 0 . Qua D kẻ đường thẳng song song với BC nó cắt AB tại F . Gọi O là giao điểm của BD và CF a. Chứng minh : ∆ ACF = ∆ ADB b. Tính số đo góc EDB? c. Từ C kẻ CH ⊥ AB (H ∈ AB) . Chứng minh rằng: AB 2 + BC 2 + AC 2 = BH 2 + 2.AH 2 + 3.HC 2 Phòng GD&DT Vĩnh Bảo Trờng THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm Đề thi học sinh giỏi Môn Toán 7 Thời gian: 120 phút Đề số 3 Bài 1: (3 điểm) a) Giải phơng trình: 713 22 +=+ xxx b) Tìm x, a, b nguyên dơng biết x + 3 = 2 a và 3x + 1 = 4 b . c) Tìm a, b, c biết 8a = 5b ; 7b = 12c ; a + b + c = -318. d) Tìm a, b, c biết: 27 3 15 2 9 1 + = + = + bcacab và ab + ac + bc =11 Bài 2: (2 điểm) a) Cho a, b, c, x, y, z nguyên dơng và a, b, c 1 thoả mãn: a x = bc ; b y = ac ; c z = ab Chứng minh: xyz - x - y - z =2 b) Cho a, b, c khác 0, 022 + cba , 022 + acb , 022 + bac thoả mãn: c zyx b yxz a xzy + = + = + 222222 Chứng minh: cba z bac y aca x + = + = + 222222 Bài 3: (2 điểm) Cho 23 số nguyên khác 0: a 1 , a 2 , a 3 , ., a 23 có tính chất: * a 1 dơng. * Tổng 3 số liên tiếp bất kì dơng. * Tổng của cả 23 số là âm. Chứng minh: a 2 âm và a 1 dơng. Bài 4: (3 điểm) Cho ABC vuông tại A và AB < AC. Vẽ đờng cao AH, trên đoạn HC lấy điểm M sao cho BM = AB. Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại N và AM tại E. a) Chứng minh AM là tia phân giác của góc HAC. b) Chứng minh MN vuông góc với AB. PHÒNG GIÁO DỤC THÁI THỤY ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG NĂM HỌC 2007 – 2008 MÔN : TOÁN (Thời gian làm : 120 phút) Bài (2 điểm) Không dùng máy tính, tính :  2  2  2 a) A = 6. − ÷+ 12. − ÷ + 18. − ÷ ;  3  3  3 b) B = (18.124 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + + + … + 5896) Bài (2 điểm) Cho a, b, c số Hãy thu gọn đơn thức sau xác định bậc chúng :  2 a) M = − (a − 1)x y z  ;   2 n −1 b) N = (ab xy z )(− b cx z 7− n ) Bài (2 điểm) Tìm số nguyên x để Q = nhận giá trị số tự nhiên x−5 Bài (2 điểm) Cho a, b, c, d khác thoả mãn điều kiện : 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b 2c d a+ b b+ c c+ d d+ a + + + Hãy tính : P = c+ d d+ a a+ b b+ c Bài (2 điểm) Chứng minh giá trị biểu thức f(x) = ax + bx + c (a, b, c số nguyên) chia hết cho 2007 với x nguyên hệ số a, b, c chia hết cho 2007 Bài (8 điểm) Cho góc vuông xOy Các điểm A, B thuộc tia Ox Oy Trên tia đối tia Ox lấy điểm E, tia Oy lấy điểm F cho OE = OB OF = OA Chứng minh AB = EF AF // BE Gọi M, N trung điểm AB EF a) Chứng minh : OM = ON ; b) So sánh ∆EON ∆BOM ; c) ∆MON tam giác ? Vì ? Học sinh : …………………………………………………………Số báo danh : ………… Trường THCS : ……………………………………………………………………………… Sưu tầm giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (2 điểm)  2  2  2    2  2  a) A =  − ÷+ 12  − ÷ + 18  − ÷ =  − ÷1 +  − ÷+  − ÷   3  3  3          4 = − 1 − + ÷= − 4.1 = − ;  3 72 + 4 +49.436.2 44 +43.5310.6) 4 43 : (11+44 + 44 4+45869) 43 b) B = (18.124 M N M = 18(124 + 436 + 5310) = 18.5870 ; Tổng N có (5869 – 1) : + = 1957 số hạng nên N = ⇒ B= M:N = (1 + 5869).1957 5870.1957 = 2 2.18.5870 36 = 1957.5870 1957 Bài (2 điểm) −1  a) M =  (a − 1)x y z  = − (a − 1) 5.x y 20 z10 32 2  - Nếu a = M = ⇒ M bậc - Nếu a ≠ bậc M 45 b) N = (ab xy z n−1 )(− b3cx z 7− n ) = − ab5c.x y 2z - Nếu ba số a, b, c ⇒ N = ⇒ N bậc - Nếu a, b, c ≠ ⇒ Bậc N 13 Bài (2 điểm) Q= nhận giá trị nguyên x−5 ⇔ M( x − 5) ⇔ Q số tự nhiên Từ : x − ∈ { ± ; ± ; ± 9} x−5 >0⇒ x − ∈ { ; ; 9} x − = ⇒ x = ⇒ x = 36 ; x − = ⇒ x = ⇒ x = 64 ; x − = ⇒ x = 14 ⇒ x = 196 Sưu tầm giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình Thử lại, giá trị thoả mãn Vậy Q nhận giá trị nguyên với x ∈ {36 ; 64 ; 196} Bài (2 điểm) 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = Ta có: a b c d 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d − 1= − 1= − 1= −1 ⇔ a b c d a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a+ b+ c+ d a + b+ c+ d = = = ⇔ (1) a b c d − Nếu a + b + c + d ≠ từ (1) suy a = b = c = d Do : P = + + + = ; − Nếu a + b + c + d = ⇒ (a + b) = −(c + d) (b + c) = −(a + d) Do : P = −1 − − − = −4 Bài (2 điểm) Vì f(x) M2007 ∀x nên ta có: f(0) = c M2007, : f (1) = a + b + c M2007 f (1) + f (- 1) = 2(a + c) M2007 ⇒   f (- 1) = a - b + c M2007 f (1) − f (- 1) = 2b M2007 a M2007 (do c M2007) a + c M2007 ⇒ (do M2007) ⇒  b M2007 b M2007 Vậy a ⋮ 2007 , b ⋮ 2007, c ⋮ 2007.) Bài (8 điểm) * Chứng minh AB = EF Xét ∆OAB ∆OFE có: OA = OF (giả thiết) · · AOB = FOE = 900 OB = OE (giả thiết) ⇒ ∆OAB = ∆OFE (c.g.c) Suy AB = EF * Chứng minh AF // BE · · ∆OAF ∆OBE vuông cân tại O nên OBE = OFA = 450 Hai góc ở vị trí so le nên AF // BE Sưu tầm giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình a, b) Vì AB = EF (chứng minh trên) nên AB : = EF : hay BM = EN Xét ∆OMB ∆ONE có: OA = OF (giả thiết) µ1= E µ (vì ∆OAB = ∆OFE) B BM = EN (chứng minh trên) ⇒ ∆OMB = ∆ONE (c.g.c) Do OM = ON c) Vì OM = ON (chứng minh trên) nên ∆OMN cân tại O Chú ý: Điều kiện đề bài nêu chưa chặt che Nếu OA = OB M, O, N thẳng hàng, không tồn tại ∆OMN Sưu tầm giới thiệu: Trần Ngọc Đại, THCS Thụy Thanh, huyện Thái Thụy, tỉnh Thái Bình