dien tich trong toa do cuc

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM    TRẦN THỊ NHÃ TRANGMẶT CỰC TIỂU VÀ MẶT CỰC TIỂUDIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3VỚI MẬT ĐỘ er2KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆPChuyên ngành : Hình học vi phânCán bộ hướng dẫnPGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾUHuế, tháng 5 năm 2011i LỜI CẢM ƠNTrải qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường ĐHSư Phạm Huế, dưới sự dìu dắt của quý Thầy Cô giáo, tôi đã tích lũycho mình rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu cả về chuyên mônvà nghiệp vụ. Khóa luận này chính là thành quả quan trọng của cả quátrình đó.Đầu tiên, tôi xin được gửi lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo, PGS.TS. Đoàn Thế Hiếu, người đã hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình, chu đáocho tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.Tôi xin được gửi lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô đã giảngdạy lớp Toán B khóa 2007 - 2011 trường ĐHSP Huế, đặc biệt là toànthể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người khôngnhững cho tôi kiến thức mà còn quan tâm động viên và nhiệt tình giúpđỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiệnkhóa luận.Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả người thân, bạnbè đã quan tâm động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tậpvừa qua.Huế, tháng 5 năm 2011Trần Thị Nhã Trangii MỤC LỤCTrang phụ bìa iLời cảm ơn iiMỤC LỤC 1MỞ ĐẦU 31 MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN R3VỚI MẬT ĐỘ er251.1 Không gian R3với mật độ eϕ- Độ cong trung bình theo mật độ . . 51.2 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong khônggian R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Biến phân thứ nhất của hàm diện tích trong không gian R3với mật độ eϕ(r). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Mặt cực tiểu trong không gian R3với mật độ er2. . . . . . . . . . 101.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R3. . . . . . 111.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R3với mật độ er2. . . . . . 132 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3252.1 Bong bóng xà phòng và mặt cực tiểu diện tích với biên là đườngcong đóng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Điều kiện cần để một mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả cácmặt có cùng biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Biến phân thứ hai của hàm diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.1 Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.2 Tích ngoài của m - vector, covetor trong không gian R3. . . 332.4.3 Định lý Stokes trong không gian R3. . . . . . . . . . . . . . 342.4.4 Dạng cỡ trong không gian R3. . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.6 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 3 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R3VỚI MẬT ĐỘ er2413.1 Định lý Stokes với mật độ và phương pháp dạng cỡ trong khônggian R3với mật độ er2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Biến phân thứ hai trong không gian R3với mật độ er2. . . . . . . 443.3 Một số kết quả . . Bài tập Diện tích hình phẳng tọa ñộ cực Tìm diện tích: Phía ñường Cardioid r = 2(cosϕ + 1) ð/s: 6π Phần ñường cong nhỏ phía giới hạn ñường cong Limacon: r = 2cosϕ + ð/s: π − 3 Tìm diện tích miền nằm phía ñường tròn r = nằm phía ñường cong Cardioid r = - cosϕ Giới hạn cánh ñường hoa hồng cánh: r = 2cosϕ ð/s: − π ð/s: π/8 Phía ñường Lemniscate r2 = 2a2 cos2ϕ Phía ñường Lemniscate r2 = 4sin2ϕ phần giao ñường tròn r = 2cosϕ r = 2sinϕ ð/s: ð/s: π/2 -1 Phía ñường r2 = 6cos2ϕ phía ñường r = ð/s: 3 − π Giới hạn ñường cong x4 + y4 = x2 + y2 ð/s: π Hướng dẫn 9: Nhận xét tính ñối xứng (C) ðể thu gọn miền cần tính diện tích Bài tập Giải tích – Bộ môn Toán – Lý, Khoa Vật Lý, ðHSP TpHCM ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM      TRẦN THỊ NHÃ TRANG MẶT CỰC TIỂU VÀ MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R 3 VỚI MẬT ĐỘ e r 2 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành : Hình học vi phân Cán bộ hướng dẫn PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU Huế, tháng 5 năm 2011 i LỜI CẢM ƠN Trải qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường trường ĐH Sư Phạm Huế, dưới sự dìu dắt của quý Thầy Cô giáo, tôi đã tích lũy cho mình rất nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu cả về chuyên môn và nghiệp vụ. Khóa luận này chính là thành quả quan trọng của cả quá trình đó. Đầu tiên, tôi xin được gửi lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo, PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu, người đã hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo cho tôi trong suốt thời gian thực hiện khóa luận. Tôi xin được gửi lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô đã giảng dạy lớp Toán B khóa 2007 - 2011 trường ĐHSP Huế, đặc biệt là toàn thể quý Thầy Cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người không những cho tôi kiến thức mà còn quan tâm động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như trong thời gian thực hiện khóa luận. Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả người thân, bạn bè đã quan tâm động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Huế, tháng 5 năm 2011 Trần Thị Nhã Trang ii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 3 1 MẶT CỰC TIỂU TRONG KHÔNG GIAN R 3 VỚI MẬT ĐỘ e r 2 5 1.1 Không gian R 3 với mật độ e ϕ - Độ cong trung bình theo mật độ . . 5 1.2 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích trong không gian R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Biến phân thứ nhất của hàm diện tích trong không gian R 3 với mật độ e ϕ(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Mặt cực tiểu trong không gian R 3 với mật độ e r 2 . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Một số mặt cực tiểu cổ điển trong không gian R 3 . . . . . . 11 1.3.2 Mặt cực tiểu trong không gian R 3 với mật độ e r 2 . . . . . . 13 2 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R 3 25 2.1 Bong bóng xà phòng và mặt cực tiểu diện tích với biên là đường cong đóng cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Điều kiện cần để một mặt có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các mặt có cùng biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Biến phân thứ hai của hàm diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Định lý Stokes và phương pháp dạng cỡ . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1 Dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2 Tích ngoài của m - vector, covetor trong không gian R 3 . . . 33 2.4.3 Định lý Stokes trong không gian R 3 . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.4 Dạng cỡ trong không gian R 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.6 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1 3 MẶT CỰC TIỂU DIỆN TÍCH TRONG KHÔNG GIAN R 3 VỚI MẬT ĐỘ e r 2 41 3.1 Định lý Stokes với mật độ và phương pháp dạng cỡ trong không gian R 3 với mật độ e r 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Biến phân thứ hai trong không gian R 3 Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến Nguồn: thunhan.wordpress.com Nội dung bài viết này không đi sâu vào các vấn đề lý thuyết của bài toán mà sẽ bàn luận các phương pháp để giải quyết các bài tích phân 2 lớp rơi vào những trường hợp phải chuyển qua tọa độ cực hoặc đổi biến. Vì vậy, các bạn nên xem các giáo trình liên quan để nắm rõ cơ sở lý thuyết của bài toán. 1. Mối liên hệ giữa tích phân 2 lớp trong tọa độ Decarster (Đề- các) vuông góc (Oxy) và tọa độ cực: (1) Chú ý: 1. Nếu miền lấy tích phân D giới hạn bởi 2 tia xuất phát từ cực: tiếp xúc với biên của miền D tại A và B và đoạn đường cong APB có phương trình , đoạn đường cong AQB có phương trình: thì (1) được tính như sau: (2) 2. Nếu gốc O nằm trong miền D và mọi tia xuất phát từ O đều cắt biên của miền HD tại 1 điểm có bán kính vec tơ là thì: 3. Trong tọa độ cực để tích tích phân 2 lớp thường tính tích phân theo r trước. 2. Phương pháp xác định cận: Bước 1: Nhập môn. Cần nằm lòng 4 điều quan trọng sau: 1. Bài toán nào thì chuyển sang tọa độ cực được? Mọi bài toán đều có thể chuyển qua tọa độ cực được. Tuy nhiên, ta chỉ nên đổi để biến miền D từ phức tạp thành đơn giản. Bài nào tính dễ dàng trong tọa độ vuông góc thì bạn cứ tính toán bình thường. Ta chỉ đổi sang hệ tọa độ cực khi: - Hàm dưới dấu tích phân có chứa , đồng thời miền D giới hạn bởi các đường thẳng đi qua O. - Miền lấy tích phân D là hình tròn, hình tròn lệch, giới hạn của hai hình tròn, hoặc đường cong có chứa 2. Với những miền lấy tích phân nào mà bạn có thể vẽ hình được thì nên vẽ ra vì như thế sẽ dễ dàng xác định cận lấy tích phân hơn. 3. Trước khi chuyển cận, bạn nên chú ý xem miền D và hàm lấy tích phân có tính chất đối xứng không? Điều này sẽ giúp ta thu hẹp miền lấy tích phân: 1. Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì: (với D1 là phần của D ứng với y > 0) Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì: 2. Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì: (với D’ là phần của D ứng với x > 0) Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì: 3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(- x;-y) thì: (với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất) 4. Để xác định chính xác cận tích phân, ta phải xét trong tọa độ cực thông thường, không xét trong tọa độ cực mở rộng. Nghĩa là: , tức r dương, góc quay chỉ xét trong 1 vòng đường tròn lượng giác. Bước 2: Xuất chiêu. Phương pháp xác định cận: Cách 1: xác định cận bằng phương pháp hình học. - Vẽ miền lấy tích phân D. - Xác định 2 tia tiếp xúc với biên miền D. Nghĩa là, tìm 2 phương trình đường thẳng tiếp xúc với đường cong (C) giới hạn miền D lần lượt tại A, B. - Vẽ bất kỳ 1 tia nằm giữa cắt biên D tại 2 điểm P, Q. Xác định phương trình của cung APB y x z r dr 1 o θ θ d o y x θ r θ θ σ σ θ θ d ∂ ∂ + dr r r r ∂ ∂ + σ σ θ θ τ τ θ θ d r r ∂ ∂ + r f dr r r r ∂ ∂ + θ θ τ τ θ σ θ τ r R θ τ r σ θ f CHƯƠNG 7 : BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng tọa độ độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những miền cạnh lỗ tròn của tấm… Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán kính r. 7.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN 1. Các phương trình vi phân cân bằng : Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,θ,z), ta cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt. - 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr. - 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc dθ. - 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị Hình 7.1 + Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính, θ là trục đi qua điểm đang xét A(r,θ,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau: - Các mặt nhận r làm pháp tuyến: + Trên mặt đi qua điểm A(r,θ,z) có các thành phần ứng suất: σ r , T r θ . + Trên mặt đi qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có các thành phần ứng suấ: θ σ σ θ d r r ∂ ∂ + , θ θ θ θ d r T r ∂ ∂ + - f r , f θ : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp tuyến. Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 : 53 o x y A B D C A1 C1 D1 B1 V U 0 2 cos.1.)( 2 cos.1 2 sin.1.).( 2 sin.1 ).)((1 0 =+ ∂ ∂ ++ − ∂ ∂ +−−+ ∂ ∂ ++−⇔=Σ drdrf d drd d dr d drd d drddrrdr r drr r r rr r rr θ θ θ θ τ τ θ τ θ θ θ σ σ θ σθ σ σθσ θ θθ θ θθ Vì biến dạng bé nên 22 sin θθ dd ≈ 1 2 cos ≈ θ d Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta được: 0 1 =+ − + ∂ ∂ + ∂ ∂ x r f r r T rr r θ θ θ σσ σ (7.1) Tương tự chiếu các lực lên phương θ ta được 02 1 =++ ∂ ∂ + ∂ ∂ θ θ θ θ θ σ f T r T r r r r (7.2) + Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : T r θ = T θ r (7.3) 2. Các phương trình hình học : Chuyển vị của điểm A(r,θ) theo phương r, θ là u,v Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương r, θ là : dr r u u ∂ ∂ + và dr r v v ∂ ∂ + Chuyển vị của điểm C(r,θ+dθ) theo 2 phương r, θ là : θ θ d u u ∂ ∂ + và θ θ d v v ∂ ∂ + Biến dạng tương đối theo phương r, θ là ε r , ε θ Hình 7.2 *Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến dạng ABCD → A’B’C’D’ : + Các biến dạng dài : 54 o C A B D x y A ' B ' D ' C ' E ' U dr r u u ∂ ∂ + θ θ d u u ∂ ∂ + 1 γ σr = r u dr udr r u u AB ABBA ∂ ∂ = − ∂ ∂ + = − )( '' ; 2. Các phương trình hình học: Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là u, v. Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là: dr r u u ∂ ∂ + và dr r v u ∂ ∂ + Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là: θ θ d u u ∂ ∂ + và dv v v θ ∂ ∂ + Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: ε r , ε θ * Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến dạng ABCD trở thành A’B’C’D’: Hình 7.3 +Các biến dạng dài tương đối: r u dr drdru)dr r u u( AB AB'B'A r ∂ ∂ = −+− ∂ ∂ + = − =ε ; r u rd rdd)ur( AB AC'C'A = θ θ−θ+ = − =ε θ ; +Biến dạng góc: (a) θ∂ ∂ = θ −θ θ∂ ∂ + ==γ u r 1 rd u)d u u( EAC ''' 1 * Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’: 55 D C '' A C o D '' B '' B A '' x y M N v dr r v v ∂ ∂ + 2 γ (Hình 5.4) + Biến dạng dài: θθ θθθ θ ε θ ∂ ∂ = −+− ∂ ∂ + = − = u rrd ddvd v v AB ACCA 1 )( '''' = + Biến dạng góc: γ 2 = (B’’A’’M – NA’’M) (b) = r v r v r v dr vdr r v v − ∂ ∂ =− − ∂ ∂ + )( Có số hạng (NA”M) = r v trong γ 2 là do sự quay toàn phân tố ABCD đối với điểm 0. Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN THẮNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN THẮNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2017 Mục lục Lời cảm ơn ii Kí hiệu quy ước iii Mở đầu Chương Tọa độ diện tích 1.1 Khái niệm tọa độ diện tích 1.2 Phương trình đường thẳng 1.3 Vị trí tương đối hai đường thẳng 13 1.4 Quan hệ vuông góc 14 1.5 Khoảng cách 16 1.6 Phương trình đường tròn 17 Chương Một số ứng dụng tọa độ diện tích 19 2.1 Định lý Ceva định lý Menelaus 19 2.2 Công thức Conway 21 2.3 Một số toán chứng minh đồng quy 22 2.4 Một số toán diện tích 27 2.5 Một số toán đề thi học sinh giỏi 31 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 i Lời cảm ơn Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành với hướng dẫn TS Ngô Văn Định (Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Tác giả muốn gửi lời cảm ơn tốt đẹp tới tập thể lớp Cao học Toán khóa 9B (2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều suốt