Rút gọn biểu thức

Giáo án Tự chọn Toán 9 nâng cao Giáo viên: Lê Văn Hòa Trường THCS Trần Cao Vân CHỦ ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC I/Mục tiêu: +/ Kiến thức: - Nắm vững các phép biến đổi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai. - Ôn luyện các hằng đẳng thức đáng nhớ. - Nắm vững định lý 2 a a= +/ Kỹ năng: - Rèn kĩ năng thực hiện thành thạo các phép biến đổi biểu thức có chứa căn thức bậc hai. - Vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức vào giải bài tập. - Vận dụng định lý 2 a a= vào giải bài tập. +/ Thái độ: - Giáo dục tính cẩn thận trong tính toán, tính chính xác trong thực hiện. - Thấy được cái đẹp thẩm mỹ của toán, gây hướng thú say mê học toán. */Thời gian thực hiện chủ đề : 6 tiết +) Tiết 1-2 : - cho HS ôn lại một số kiến thức cần thiết để giải dạng toán rút gọn biểu thức - Rèn kỹ năng giải dạng toán trục căn thức ở mẫu , đưa thừa số ra ngoài dấu căn - sử dụng thành thạo các Hằng đăng thức đáng nhớ II/ Nội dung chủ đề: A/ Kiến thức cần để thực hiện chủ đề: +/ Các hằng đẳng thức đáng nhớ: -/ (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 -/ (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 -/ a 2 – b 2 = (a-b)(a+b) -/ (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 + b 3 -/ (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 - b 3 -/ a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 - ab+b 2 ) -/ a 3 -b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2 ) +/ Các hằng đẳng thức đáng nhớ mở rộng: -/ a 5 + b 5 = (a+b)(a 4 - a 3 b +a 2 b 2 – ab 3 +b 4 ) -/ a 7 + b 7 = (a+b)(a 6 - a 5 b +a 4 b 2 – a 3 b 3 +a 2 b 4 – ab 5 +b 6 ) -/ a 2007 + b 2007 = (a+b)(a 2006 - a 2005 b +a 2004 b 2 – … +a 2 b 2004 – ab 2005 +b 2006 ) -/ a 4 – b 4 = (a-b)(a 3 + a 2 b +ab 2 +b 3 ) -/ a 5 – b 5 = (a-b)(a 4 + a 3 b +a 2 b 2 + ab 3 +b 4 ) -/ a 2008 -b 2008 = (a-b)(a 2007 +a 2006 b +a 2005 b 2 + … +a 2 b 2005 + ab 2006 +b 2007 ) -/ (a+b+c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2ab + 2ac + 2bc -/ (a-b+c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab + 2ac - 2bc -/ (a-b-c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2ac + 2bc +/ Kiến thức về căn bậc bậc hai : -/ Điều kiện để A có nghĩa ( hay xác định ) khi A ≥ 0 -/ Với mọi a ∈ R thì 2 a a= -/ Với mọi a > b > 0 ⇔ a > b -/ Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 , ab a b= -/ Với mọi a ≥ 0, b > 0 , a:b :a b= 1 Giáo án Tự chọn Toán 9 nâng cao Giáo viên: Lê Văn Hòa Trường THCS Trần Cao Vân -/ Với mọi b ≥ 0 , 2 a b a b= -/ Với mọi ab ≥ 0, b ≠ 0 , a:b :ab b= -/ Với mọi a ≥ 0, b > 0 , a : :b ab b= -/ Với mọi a 2 ≠ b, b ≥ 0 , 2 1 a+ b a b a b − = − -/ Với mọi a ≠ b 2 , a ≥ 0 , 2 1 a-b a b a b + = − -/ Với mọi a ≠ b, a ≥ 0, b ≥ 0 , 1 a + b a b a b − = − -/ Với mọi a ≠ b, a ≥ 0, b ≥ 0 , 1 a- b a b a b + = − B/ Bài tập: 1/ 1 2009 2008 + + 1 2008 2007 + + . . . + 1 3 2 + + 1 2 1 + 2/ 2 2 9 2 5 x x − − − ( x ≤ 3 , x ≠ + 5 , - 5 3/ 11 4 12 12 19 2 48 3 − − − + 4/ 8 3 3 2 17 2 72 2 − + − + 5/ 1 1 1 3 : 3 3 1 x x x x x x   + +   − +  ÷  ÷  ÷ − − −     ( x>0, x ≠ 1, , x ≠ 9) 6/ 7 1 2 2 2 : 4 4 2 2 2 x x x x x x x x x x     − + + − + − −  ÷  ÷  ÷  ÷ − − − − +     7/ 10 4 15 2 38 4 18 2 + − − − 8/ 3 5. 3 6 5 . 4 13 6 5 . 4 13 6 5 + + + + + + − + + 9/ 7 2 11 2 . 10 4 1 2a a − + + + + − Với a = 22-12 2 10/ 2 1 1 4 : 1 1 1 1 x x x x x x x + +     − −  ÷  ÷ − − + +     +) Tiết 3-4 : - cho HS ôn lại một số kiến thức cần thiết để giải dạng toán rút gọn biểu thức - Rèn kỹ năng giải dạng toán trục căn thức ở mẫu , đưa thừa số ra ngoài dấu căn - sử dụng thành thạo các Hằng đăng thức đáng nhớ 2 Giáo án Tự chọn Toán 9 nâng cao Giáo viên: Lê Văn Hòa Trường THCS Trần Cao Vân 11/ 1 1 1 1 4 : 1 1 1 1 x x x x x x x   + −   − + −  ÷  ÷  ÷ − − + −     12/ 6 1,5 6 2 3 − + 13/ 5 3 29 12 5 − − − 14/ 4 7 4 7 2 + − − − 15/ 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 x x x x + − + + + − − Với x = 3 4 16/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 . 3 2 . 19 8 3 3 2 + − − + 17/ ( ) 2 2 4 8 32 2 : 1 2 4 2 8 2 x x x x x x x x x   + +    ÷ + − −  ÷  ÷ + + − − +    ÷   (Với x = 4- 2 3 ) 18/ ( ) ( ) 5 2 6 49 20 6 5 2 6 9 3 11 2 + − − − 19/ 4 3 5 2 2 5 + + + 20/ 2 25 20 6 24a a − + +) Tiết 5-6 : - Giải một số đề thi HS giỏi Huyện , Tỉnh của các năm học trước 21/ Tính: 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 x x x x + − + + + − − với 3 4 x = (Đề thi HSG Huyện n/học 2007-2008) 22/ Tính: 5 3 29 12 5− − − (Đề thi HSG Huyện n/học 2006-2007) 23/ Tính: 4 7 4 7 2+ − − − (Đề thi HSG Huyện n/học 2005-2006) 24/ Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 2 19 8 3 3 2+ − − + (Đề thi HSG Huyện n/học 2005-2006) 25/ Tính: ( ) 2 2 4 8 32 2 : 1 2 4 2 8 2 x x x x x x x x x   + +    ÷ + − −  ÷  ÷ + + − − +    ÷   Với x = 4 - 2 3 (Đề thi HSG Huyện n/học 2004-2005) 26/ Tính: ( ) ( ) 5 2 6 49 20 6 5 2 6 9 3 11 2 + − − − (Đề thi HSG Huyện n/học 2003-2004) 27/ Tính: 4 3 5 2 2 5+ + + (Đề thi HSG Huyện n/học 2003-2004) 3 Giáo án Tự chọn Toán 9 nâng cao Giáo viên: Lê Văn Hòa Trường THCS Trần Cao Vân 28/ Tính: 2 25 20 6 24a a− + Với a = 2 3 3 2 + (Đề thi HSG Huyện n/học 2002-2003) 29/ Tính: 2 1 1 : a a a a a a a + + + − (0 < a ≠ 1) với a = 1 2 6 3 2 2 3 5 − − + + (Đề thi HSG Tỉnh n/học 2006-2007) 30/ Tính: 1 1 2 1 2 1 : 1 1 1 x x x x x x x x x x   + − + −   − +  ÷  ÷  ÷ − − +     31/ Tính: 4 7 3 5 7 2 1 5 7 2 1 5 7+ + + + + + − + + 32/ Tính: 1 4 2 5 4 4 2a a+ + + Với a = 17 - 12 2 4 Giáo án Tự chọn Toán 9 nâng cao Giáo viên: Lê Văn Hòa Trường THCS Trần Cao Vân CHỦ ĐỀ: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG I/ Mục tiêu: +/ Kiến thức: - Ôn tập khắc sâu 4 định lý một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. - Khắc sâu: Định lý PyTaGo, Tam giác đồng dạng. +/ Kĩ năng: - Rèn kĩ năng vận dụng các định lý vào giải bài tập - Rèn kĩ năng vận dụng tương tự , tính sáng tạo trong quá trình giải toán. +/ Thái độ: - Giáo dục ý thức vươn lên trong học tập - Tính cẩn thận , chính xác , chặc chẻ trong tính toán và lập luận. II/Nội dung chủ đề: A/ Kiến thức: 1/ Định lý Py ta go: Trong tam giác vuông bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông 2/ Tam giác đồng dạng: +/ Dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng: - DH 1: Nếu hai tam giác có 2 cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. - DH 2: Nếu tam giác này có 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và 2 góc được tạo bởi hai cạnh ấy bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng. - DH 3: Nếu 3 cạnh của tam giác này tương ứng tỉ lệ với 3 cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. 3/ Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông: - Đ/lý 1: Trong một tam giác vuông bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng. - Đ/lý 2: Trong một tam giác vuông bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. - Đ/lý 3: Trong một tam giác vuông tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng. - Đ/lý 4: Trong một tam giác vuông nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông . 4/ Minh họa hình vẽ: H C B A GT ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH 5 Giáo án Tự chọn Toán 9 nâng cao Giáo viên: Lê Văn Hòa Trường THCS Trần Cao Vân KL 1/ Định lý Py ta go: Đối với ∆ ABC: BC 2 = AB 2 + AC 2 Đối với ∆ HBA: AB 2 = AH 2 + BH 2 Đối với ∆ HAC: AC 2 = AH 2 + HC 2 2/ Tam giác đồng dạng: ∆ ABC ∆ HBA ∆ HAC 3/ Hệ thứcvề cạnh và đường cao trong tam vuông Định lý 1: AB 2 = BC.BH ; AC 2 = BC.HC Định lý 2: AH 2 = BH.HC Định lý 3: AB.AC = BC.AH Định lý 4: 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + B/Bài tập: 1/ Cho ∆ ABC biết µ B = 45 0 , AB = 3 2 , AC = 6. Tính cosC ? 2/ Cho ∆ ABC biết µ B = 45 0 , µ A = 105 0 , AB = 6 cm. Tính BC ? ( Kết quả lấy 2 chữ số thập phân ) 3/ Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 7,5 cm, HC = 8 cm. Tình BH? 4/ Một tam giác vuông có cạnh nhỏ nhất bằngb 12 cm. Tỉ số giữa 2 cạnh vuông là 0,75. Tính đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông ? 5/ Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 25 cm, đường cao ứng với cạnh huyền bằng 12 cm. Tính cạnh nhỏ nhất của tam giác này ? 6/ Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB 3 BC 5 = , AH=12 cm. Tính BH, HC? 7/ Cho tam giác có độ dài 3 cạnh lần lượt là : 6,5 cm ; 15,6 cm ; 16,9 cm. Tính góc của tam giác đối diện với cạnh 6,5 cm ( Kết quả làm tròn đến độ ) 8/ Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết chu vi ∆ ABC bằng 60 cm, chu vi ∆ HBA bằng 36 cm . Tính chu vi ∆ HAC ? 9/ Cho ∆ ABC vuông tại A, phân giác góc B cắt AC tại D. Biết AB = 12 cm, AC = 16 cm . Tính diện tích tam giác BCD ? ( Kết quả lấy 4 chữ số thập phân ) 10/ Cạnh huyền một tam giác vuông lớn hơn một cạnh góc vuông 4 cm, và nhỏ hơn tổng 2 cạnh góc vuông 4 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó ? 11/ Cho ∆ ABC vuông tại A, D ∈ AB, E ∈ AC. Chứng minh BC 2 – BE 2 = DC 2 – DE 2 12/ Cho hình chữ nhật ABCD. M là điểm bất kỳ nằm trong hình chữ nhật . Chứng minh rằng MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 . 13/ Cho ∆ ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, AC. Chứng minh AD 2 + BE 2 +CF 2 = AF 2 + CE 2 + BD 2 14/ Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH. HD ⊥ AB tại D, HE ⊥ AC tại E. Chứng minh : a/ 2 2 AB HB AC HC = , b/ 3 3 AB DB AC EC = 15/ Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) , có AC ⊥ CB. Biết AD = 5a, AC = 12a. Tính : a/ SinB+cosB SinB - cosB ; b/ Chiều cao của hình thang ABCD ? 6 Giáo án Tự chọn Toán 9 nâng cao Giáo viên: Lê Văn Hòa Trường THCS Trần Cao Vân 16/ Cho hình vuông ABCD, trên tia BC lấy điểm M ngoài đoạn BC, trên tia CD lấy điểm N sao cho DN = BM. Đường thẳng vuông góc với MA tại M và đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt nhau tại F> Chứng minh CF ⊥ CA 17/ Cho tứ giác ABCD có µ µ 0 90B C+ = . Chứng minh AD 2 + BC 2 = AC 2 + BD 2 18/ Cho ∆ ABC , trung tuyến AM. Chứng minh AB 2 + AC 2 = 2AM 2 + BC 2 /2 . 7 Giáo án Tự chọn Toán 9 nâng cao Giáo viên: Lê Văn Hòa Trường THCS Trần Cao Vân CHỦ ĐỀ: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC I/Mục tiêu: +/ Kiến thức: - Biết tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. - Biết tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị cực trị. +/ Kỹ năng: - Rèn kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. - Vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức vào tìm giá trị cực trị của biểu thức. +/ Thái độ: - Giáo dục tính cẩn thận trong tính toán, tính chính xác trong thực hiện. - Thấy được cái đẹp thẩm mỹ của toán, gây hướng thú say mê học toán. II/ Nội dung chủ đề: A/ Kiến thức cần để thực hiện chủ đề: 1/ Hằng đẳng thức đáng nhớ: -/ Bình phương của một tổng: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 -/ Bình phương của một hiệu: (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 2/ Một số bất đẳng thức thường gặp: +/ Đại số: -/ (a + b) 2 ≥ 0 với mọi a, b -/ (a - b) 2 ≥ 0 với mọi a, b -/ 0X ≥ Với mọi X (X là biểu thức chứa biến x) -/ Bất đẳng thức Côsi : Với a, b là những số không âm ta có: 2 a b ab + ≥ , dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi a = b -/ Bất đẳng thức Côsi tổng quát : Với a 1 , a 2 , …, a n là những số không âm ta có: 1 2 1 2 . . n n n a a a a a a n + + ≥ , dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = … = a n -/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : Với mọi a, b, x, y ∈ R ta có: (ax + by) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) , dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi ay = bx -/ Với mọi số a không âm ta có a + 1 a ≥ 2 +/ Hình học: -/ Bất đẳng thức trong tam giác: Tổng độ dài hai cạnh bất kỳ của tam giác bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. -/ Qui tắc điềm: Với 3 diểm A, B, C bất kỳ ta luôn có AB + BC ≥ AC , dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi B thuộc đoạn AC -/ Quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc: Đường xiên luôn luôn lớn hơn hoặc bằng đường vuông góc -/ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu: Đường xiên luôn luôn lớn hơn hoặc bằng hình chiếu của nó. 8 Giáo án Tự chọn Toán 9 nâng cao Giáo viên: Lê Văn Hòa Trường THCS Trần Cao Vân -/ Các bất đẳng thức trong đường tròn: */ Đường kính luôn luôn lớn hơn hoặc bằng dây cung. */ Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây không bằng nhau dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn. 3/ Quan hệ giữa chu vi và diện tích của hình chữ nhật: -/ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi chiều dài và chiều rộng bằng nhau. -/ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi chiều dài và chiều rộng bằng nhau. B/ Nội dung bài tập: +/ Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: 1/ 5 – x 2 + 4x 2/ x – x 2 3/ x - x 4/ x 2 + y 2 . Biết rằng các số thực x , y thỏa mãn x 2 + y 2 – xy = 4 5/ 1x x − với x ≥ 1 6/ x+ 2y . Biết rằng các số thực x , y thỏa mãn x 2 + y 2 = 5 7/ 3xy - x 2 - y 2 biết x, y là nghiệm nguyên của phương trình 5x + 2y = 10 8/ x 2 - y 2 + xy + 2x + 2y 9/ 8x -5x 2 - 5y 2 -6y – 1 10/ 14x + 10y -5x 2 - 2y 2 – 2xy - 1 +/ Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : 1/ x 2 -6x +10 2/ x 2 - 3x 3/ x – 4 x +3 4/ x 2 + y 2 . Biết rằng các số thực x , y thỏa mãn x 2 + y 2 – xy = 4 5/ x+ 2y . Biết rằng các số thực x , y thỏa mãn x 2 + y 2 = 5 6/ x 2 + y 2 . Biết rằng các số thực x , y thỏa mãn x + y = 2 7/ x 2 +2 y 2 – 2xy – 4y + 5 8/ 2x 2 +5y 2 – 2xy + 5 9/ x 3 + y 3 +xy. Biết rằng các số thực x , y thỏa mãn x + y = 1 10/ x +1/4x (với x > 0) 11/ 2 2 1 1 x x − + 9 . ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC I/Mục tiêu: +/ Kiến thức: - Nắm vững các phép biến đổi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai. - Ôn luyện các hằng đẳng thức. NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC I/Mục tiêu: +/ Kiến thức: - Biết tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. - Biết tìm giá trị của biến để biểu thức đạt giá