Một vài kinh nghiệm giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Văn Thọ MỤC LỤC Trang PHẦN I MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG I Cơ sở lí luận II Thực trạng đề tài 4-5 III Một số giải pháp → 11 IV Hiệu đề tài 12 PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Văn Thọ PHẦN I: MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu tiếp cận với vài cách giải thông thường toán đơn giản Tuy nhiên thực tế toán giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, em gặp lớp toán phương trình vô tỷ mà có số em biết phương pháp giải trình bày chưa gọn gàng, chí mắc số sai lầm không đáng có trình bày Tại lại vậy? - Lý là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) hạn hẹp có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải rườm rà khó hiểu dễ mắc sai lầm, phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần nên trình giảng dạy, giáo viên đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp , khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề: ‘’Một vài kinh nghiệm giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ’’ - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát đâu điều kiện cần đủ Học sinh thông hiểu trình bày toán trình tự, logic, không mắc sai lầm biến đổi III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dấu căn) IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 10 năm học gần SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Văn Thọ PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM I CỞ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt toán liên quan đến thức - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT nói chung học sinh trường THPT Tĩnh gia nói riêng, vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán giải phương trình chứa ẩn dấu Trong sách giáo khoa Đại số 10 nêu phương trình dạng : f ( x ) = g ( x ) trình bày phương pháp giải cách biến đổi hệ quả, trước giải đặt điều kiện f(x) ≥ Nhưng nên để ý điều kiện đủ để thực phép biến đổi trình giải học sinh dễ mắc sai lầm lấy nghiệm loại bỏ nghiệm ngoại lai nhầm tưởng điều kiện f(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình Tuy nhiên gặp toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp dạng đơn giản Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp số toán vận dụng biến đổi số dạng toán không mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao f ( x) = g ( x) (1) * Dạng 1: phương trình  g ( x ) ≥ Phương trình (1) ⇔   f ( x ) = g ( x) điều kiện g(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình (1) sau giải phương trình f ( x ) = g ( x ) cần so sánh nghiệm vừa nhận với điều kiện g(x) ≥ để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm * Dạng 2: phương trình f ( x ) = g ( x ) (2)  f ( x ) ≥ Phương trình (2) ⇔   g ( x ) ≥ (2) ⇔   f ( x ) = g ( x )  f ( x ) = g ( x ) Điều kiện f(x) ≥ g(x) ≥ điều kiện cần đủ phương trình (2) Vì f(x) = g(x) nên ta cần đặt điều kiện cho hai hàm số *Dạng toán không mẫu mực: Loại thực qua ví dụ cụ thể SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Văn Thọ II, THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Học sinh trường THPT Tĩnh gia đa số học sinh trung bình yếu đầu vào điểm môn toán em thấp Vì gặp toán phương trình vô tỉ em chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng đặt điều kiện biến đổi,trong phương trình loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho dạng, thời lượng dành cho phần Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải trình bày cách giải đặt điều kiện lấy nghiệm sai phần Khi giảng dạy cho học sinh nhận thấy: Khi gặp toán: x − = x - (1) Giải phương trình Sách giáo khoa đại số 10 giải sau điều kiện pt(1) x ≥ (*) (1) ⇒ 2x - = x2 - 4x + ⇒ x2 - 6x + = Phương trình cuối có nghiệm x = + x = - Cả hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) phương trình (1) thay giá trị nghiệm tìm vào phương trình (1) giá trị x = - bị loại Vậy nghiệm phương trình (1) x = + Mặt khác, số học sinh có ý kiến sau giải nghiệm phương trình cuối cần so sánh với điều kiện x ≥ (*) để lấy nghiệm nghiệm phương trình x = + x = - Theo cách giải vừa nêu dễ làm cho học sinh mắc sai làm lấy nghiệm phương trình, mặt khác việc thay giá trị nghiệm trở lại làm cho học sinh lúng túng thời gian Khi gặp toán: Giải phương trình x − 3x + = x − 2 x − 3x + ≥ Học sinh thường đặt điều kiện  x −1 ≥ sau bình phương hai vế để giải phương trình mà em với dạng cần điều kiện x − ≥ điều kiện cần đủ , Khi gặp toán: Giải phương trình x − x + = x2 - x + SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Văn Thọ Một số học sinh thường đặt điều kiện bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó để giải Trong ta đặt ẩn phụ t= x − x + (t ≥ 0) toán trở thành : 3t − t − = Như ta thấy vai trò người giáo viên quan trọng việc hướng dẫn cho học sinh phân biệt dạng toán ,tránh tình rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm Trên sở hình thành cho học sinh kỹ tốt giải toán phương trình vô tỉ III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với giải pháp: Đưa số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi giải phương trình chứa ẩn dấu 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x) = g ( x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: cho học sinh thấy bình phương hai vế để đến phương trình tương đương hai vế phải không âm :  g ( x ) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x ) = g ( x ) Điều kiện g(x) ≥ điều kiện cần đủ f ( x) = g ( x) ≥ Không cần đặt thêm điều kiện f(x) ≥ b, Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình x + = x + (1) Điều kiện x ≥ -1 (*) (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 5x + ≥ 0) Khi pt(1) ⇔ 5x + = (x +1)2 ⇔ x2 +2x + = 5x + ⇔ x2 - 3x -5 =  − 29 x = ⇔  + 29 x =  đối chiếu với điều kiện (*) ta thu nghiệm phương trình (1) x = + 29 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Văn Thọ ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà cần so sánh với điều kiện x ≥ -1 (*) để lấy nghiệm + Ví dụ 2: Giải phương trình x − x + = 3x − (2) Nhận xét : Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, nên sử dụng phương pháp biến đổi hệ gặp khó khăn biểu thị điều kiện để x − x + ≥ thay giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm Ta giải sau: (**) Khi pt(2) ⇔ 2x2 - 5x +4 = (3x -2)2 ⇔ 2x2 - 5x +4 = 9x2 -12x + x = ⇔ 7x2 -7x = ⇔  x = Điều kiện: x ≥ đối chiếu với điều kiện (**) ta thu nghiệm pt(2) x = + Ví dụ 3: Giải phương trình x − 12 x + 11 = 4x2 - 12x + 15 (3) Nhận xét: Biểu thức dấu biểu thức bậc hai, ta bình phương hai vế đến phương trình bậc bốn khó giải Ta giải toán sau: Chưa vội đặt điều kiện bước giả này.ta biến đổi pt(3) ⇔ 4x2 - 12x + 11 - x − 12 x + 11 + = Đặt x − 12 x + 11 = t ; đk t ≥ , (***) Phương trình trở thành: t2 - 5t + = t = ⇔ t = (thoả mãn điều kiện (***) ) Với t = ⇔ x − 12 x + 11 = ⇔ 4x2 - 12x + 10 = phương trình vô nghiệm Với t = ⇔ x − 12 x + 11 = ⇔ 4x2 - 12x - =  + 56 x = ⇔  − 56 x =  Vậy nghiệm phương trình là: x = + 56 V x= − 56 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Văn Thọ *Như gặp toán thuộc dạng nêu học sinh chủ động cách đặt vấn đề giải : điều kiện phương trình gì? đặt ? biến đổi biến đổi tương đương ? biến đổi biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối dựa vào điều kiện nào? 2/ Giải pháp * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: f ( x ) = g ( x ) (2) a Phương pháp: Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện biến đổi :  f ( x) ≥  pt(2) ⇔   f ( x ) = g ( x ) g ( x) ≥  (2) ⇔   f ( x ) = g ( x ) Chú ý: Không cần đặt đồng thời g(x) ≥ f(x) ≥ f(x) = g(x)) b Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình 3x − = x + , (1) Điều kiện x ≥ -2 , (*) pt(1) ⇔ 3x -1 = x + ⇔ 2x = ⇔ x = (thoả mãn với điều kiện (*) ) Vậy nghiệm phương trình x = Lưu ý: Điều kiện x ≥ -2 , (*) điều kiện cần đủ phương trình (1) nên ta cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối phương trình + Ví dụ 2: Giải phương trình (2) x + = 3x − 5x − Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm ĐK: x ≥ - , (*) pt(2) ⇔ 2x +3 = 3x2 -5x -  x = −1 ⇔ 3x – 7x - 10 = ⇔   x = 10  Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm phương trình x = -1 x = + Ví dụ 3: Giải phương trình Tóm tắt giải (*) ⇔ 2x + = 10 x + = x − (*) x − ≥ x−2 ⇔  2 x + = x − SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Văn Thọ x ≥ ⇔  x = −7 Vậy phương trình cho vô nghiệm 3/ Giải pháp : Hướng dẫn học sinh giải số phương trình không mẫu mực (Phương trình không tường minh) + Ví dụ 1: Giải phương trình x + + x + − x + = −1 (1) Điều kiện phương trình x ≥ -2 , (*) Nhận xét: Biểu thức dấu x + + x + có dạng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi sau pt(1) ⇔ ( x + + 1) − x + = −1 ⇔ x + +3 - x + = -1 ⇔ x + = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn điều kiện (*) ) Vậy, nghiệm phương trình x = + Ví dụ2: Giải phương trình x + 14 − − x = (2) 5 x + 14 ≥ 14 ⇔ − ≤ x ≤ (**) 3 − x ≥ Chuyển vế: pt(2) ⇔ x + 14 = − x + Điều kiện  với điều kiện (**) nên hai vế không âm , bình phương hai vế ta ⇔ 5x + 14 = - x + − x ⇔ − x = 3x + 5  x≥−    3 x + ≥ x ≥ − ⇔  ⇔ ⇔   x = −1 ⇔ x=-1 t/m (**) 3 − x  = x + 30 x + 25 9 x + 31x + 22 =  22   x = −  Vậy nghiệm phương trình x = -1 + Ví dụ 3: Giải phương trình x − + x − = x − + x − 16 Lời giải : Ta có Pt ⇔ x − + x − = x − + x − SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM  x − ≥ ⇔   x − = x − Lê Văn Thọ x − ≥  ⇔  x −1 ≥  x −1 = x −  x ≥ ⇔  x = Vậy phương trình cho vô nghiệm Lưu ý: Học sinh đưa lời giải sai sau x − + x − = x − + x − 16 Ta có : ⇔ x − + x − = x − + 4( x − ) ⇔ x − ≥ x ≥ x − = 2x − ⇔  ⇔ x − = 2x − x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: Ta nhận x = nghiệm phương trình cho Chú ý rằng: A+ B = A ≥ A+ C ⇔  B= C + Ví dụ 4: Giải phương trình − x + x x + = − 2x − x 7 − x + x x + ≥  Hướng dẫn : Đk 3 − x − x ≥ x + ≥  (3) (***) Lưu ý: Hệ điều kiện (***) phức tạp nên ta không cần giải cụ thể Từ ĐK (***) nên hai vế không âm ,bình phương hai vế ta pt(3) ⇔ - x2 + x x + = - 2x - x2 ⇔ x x + = - 2x -  x (2 x + 4) ≤ ⇔  2  x ( x + 5) = x + 16 x + 16  −2 ≤ x ≤ ⇔   x + x − 16 x − 16 =  −2 ≤ x ≤ ⇔  ( x + 1)( x − 16) =  −2 ≤ x ≤  ⇔   x = −1 ⇔ x = -1   x = ±4  Thay giá trị x = -1 vào hệ ĐK (***) , thoả mãn Vậy nghiệm phương trình x = -1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Văn Thọ + Ví dụ 5: Giải phương trình x + + x + = 3x + 2 x + x + +2 , (4)  2 x + ≥ x ≥ − ⇔  HD: Điều kiện  x +1 ≥  x ≥ −1 ⇔ x ≥ -1 (****) NX: Đây phương trình phức tạp bình phương hai vế phương trình ta không thu kết thuận lợi giải nên ta giải sau Đặt x + + x + = t , (ĐK: t ≥ 0) ⇔ 3x + 2 x + x + = t2 - pt(4) ⇔ t2 - t - = ⇔ t = (nhận) V t = - (loại) Với t = ⇔ 2 x + x + = -3x ( phương trình thuộc dạng 1)  −3 x ≥  2  x + x + = x x ≤ ⇔  ⇔ x = 10 - 112 x − 20 x − 12 =  Vậy nghiệm phương trình : x = 10 - 112 ⇔ ( ) (thoả mãn ĐK) + Ví dụ 6: Giải phương trình x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) Lời giải : Ta có x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) ⇔ (x-3)(x-4) = ( x − 3)( x − 3)( x − 2) ⇔ (x-3)(x-4) =  ( x − 3) x + = ( x − 3)( x − 4) (1) ⇔   −( x − 3) x + = ( x − 3)( x − 4) ( ) ⇔ ( x − 3) Giải (1) ⇔ ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) x = x = ⇔ ⇔ x =7  x+2 = x−4 Giải (2) ⇔ − ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) x = ⇔  x + = 4− x ( ( x − 3) ( x − 2) ) x+2−x+4 =0 ⇔ − ( x − 3) ( ) x+2 + x−4 =0 x = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm : x = v x = v x = Nhân xét: Bài toán HS giải mắc sai lầm sau: Lời giải sai: Ta có: x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) ⇔ (x-3)(x-4) = ( x − 3)( x − 3)( x − 2) ⇔ (x-3)(x-4) = ( x − 3) ( x − 2) 10 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ⇔ ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) ⇔ ( x − 3) x = ⇔  x + = x − ( ∗) x − ≥ x+2 = x−4 ⇔  Giải ( ∗) ta có  x + = ( x − 4) x ≥ ⇔ ⇔ x=7 x − x + 14 =  Lê Văn Thọ ( ) x+2−x+4 =0 Học sinh kết luận: phương trình cho có nghiệm x = x = mà x = nghiệm phương trình Chú ý rằng: 0 A =  A B = A B =  A B A >   − A B A < Lời giải bỏ sót trường hợp A ≤ * Sau tập giải phương trình vô tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình vô tỉ Bài tập đề nghị 1,Giải phương trình a − 3x = - 2x b x − 3x + = x − c x − x + + x - = Giải phương trình: x2 - x + x − x + = Giải phương trình: x − + x + = x − Giải phương trình: x + x +1 = x −1 x −1 x−2 = x+2 Giải phương trình: ( x + 5) x+5 x +1 + − x = x+2 + x+5 Giải phương trình: 7, Giải phương trình: x + + − x = 3x − −4 x + x + + Giải phương trình: x + − − x = x + Giải phương trình : ( x − 3) x − = x − (Y HCM-01) 10 Giải phương trình: 3x − − − x = x − (A05) 11 Giải phương trình: x − x − = ( x − 4) (BD-01) 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lê Văn Thọ IV, HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Qua qúa trình giảng dạy tự chọn ôn luyện cho lớp có trình độ tương đương vào buổi chiều để so sánh thấy kết thực nghiệm tốt nhiều so với lớp đối chứng cụ thể tỉ lệ học sinh khá, giỏi nâng lên , học sinh yếu, trung bình giảm xuống Kếtquả Giỏi (%) Khá(%) Trung Yếu(%) Lớp bình(%) Đối chứng 15 17 Thực nghiệm 20 15 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận: Trên kinh nghiệm mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Tĩnh gia Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 10, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải phương trình vô tỉ Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất bạn đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị đề xuất: - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải + Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục + Các đề thi đại học năm trước 12 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Lê Văn Thọ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết , không chép nội dung người khác Lê Văn Thọ 13 ... đề: ‘ Một vài kinh nghiệm giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ ’ - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh số phương pháp tổng quát số kỹ phát đâu điều kiện cần đủ Học sinh thông... tỉ hướng dẫn học sinh giải Giáo viên dạng tập tương tự để học sinh giải Qua học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ giải phương trình vô tỉ Bài tập đề nghị 1 ,Giải phương trình a − 3x... giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi giải phương trình chứa ẩn dấu 1/ Giải pháp 1: * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng : f ( x) = g ( x) (1) a, Phương pháp: Giáo viên: cho học