Nhắc lại định lý Ptolemy: Cho tứ giác ABCD.. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCD là một tứ giác nội tiếp.. Ta nhận thấy A, B cùng nằm trên đường tròn C đồng thời AB = 2R.. Lấy điểm C sa
Trang 1ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ PTOLEMY CHO BÀI TOÁN SỐ PHỨC
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng - Điện thoại: 0902.920.389
1 Nhắc lại định lý Ptolemy:
Cho tứ giác ABCD Khi đó ta luôn có bất đẳng thức Ptolemy: AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABCD là một tứ giác nội tiếp
2 Bài tập áp dụng:
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − 1 − i√
3| + |z −√3 − i| = 2 Tìm giá trị lớn nhất của |z|?
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, ta có: M A + M B = 2 với A(1,√3), B(√3, 1) và đề bài cần tìm giá trị lớn nhất của M O Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy ta có:
M A.OB + M B.OA ≥ M O.AB do vậy 2(M A + M B) ≥ (√6 −√2)M O do đó |z| = M O ≤√6 +√2
Ví dụ 2: Cho |z − 1| = 5, tìm giá trị lớn nhất P = |z − 4 − 4i| + 2|z + 2 − 4i|?
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z nằm trên đường tròn (C) : (x − 1)2+ y2= 25 Ta cần tìm giá trị lớn nhất của M A + 2M B trong đó A(4, 4), B(−2, −4) Ta nhận thấy A, B cùng nằm trên đường tròn (C) đồng thời AB = 2R Lấy điểm C sao cho AC = 2BC trên đường tròn và nằm khác phía với M so với đường thẳng AB
Áp dụng định lý Ptolemy ta có: M A.BC + M B.AC = M C.AB do đó BC(M A + 2M B) = M C.AB Vậy M A + 2M B = M C.AB
2R.2R
4R2
BC.
Trang 2Lại có: AC2+ BC2 = AB2= 5BC2 do vậy BC =2R
√ 5
5 cho nên: P = M A + 2M B ≤ 2R
√
5 = 10√5 Chú ý: Bài toán có thể được giải quyết bằng bất đẳng thức Bunyakowsky rất đơn giản: M A + 2M B ≤ p(MA2+ M B2)(12+ 22) = 10√5 Tuy nhiên việc giải bằng định lý Ptolemy như cách trên có thể tiếp cận bài toán với hai điểm A, B bất kỳ trên đường tròn và khác đường kính
Ví dụ 3: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn√2|z1| =√2|z2| = |z1− z2| = 6√2 Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = |z| + |z − z1| + |z − z2| với z là số phức bất kỳ
Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của z1 và z2 Khi đó ta có OA = OB = 6, AB = 6√2 và bài toán cần tìm giá trị nhỏ nhất của M A + M B + M O trong đó M là điểm biểu diễn của z
Dựng tam giác đều ABC như hình vẽ trên, theo định lý Ptolemy ta có: M A.BC + M B.AC ≤ M C.AB
do vậy P = M A + M B + M O ≤ M C + M O ≤ OC = 3√6 + 3√2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng với vị trí của điểm D như trong hình vẽ
Bài viết có yếu tố giải trí! Các bạn đọc tham khảo nhé!
