Ung dung ptolemy trong so phuc

1 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ PTOLEMY CHO BÀI TOÁN SỐ PHỨC Biên soạn: Đoàn Trí Dũng - Điện thoại: 0902.920.389 Nhắc lại định lý Ptolemy: Cho tứ giác ABCD Khi ta có bất đẳng thức Ptolemy: AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC Đẳng thức xảy ABCD tứ giác nội tiếp Bài tập áp dụng: √ √ Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z − − i 3| + |z − − i| = Tìm giá trị lớn |z|? √ √ Gọi M điểm biểu diễn số phức z, ta có: M A + M B = với A(1, 3), B( 3, 1) đề cần tìm giá trị lớn M O Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy ta có:√ √ √ √ M A.OB + M B.OA ≥ M O.AB 2(M A + M B) ≥ ( − 2)M O |z| = M O ≤ + Ví dụ 2: Cho |z − 1| = 5, tìm giá trị lớn P = |z − − 4i| + 2|z + − 4i|? Gọi M điểm biểu diễn số phức z nằm đường tròn (C) : (x − 1)2 + y = 25 Ta cần tìm giá trị lớn M A + 2M B A(4, 4), B(−2, −4) Ta nhận thấy A, B nằm đường tròn (C) đồng thời AB = 2R Lấy điểm C cho AC = 2BC đường tròn nằm khác phía với M so với đường thẳng AB Áp dụng định lý Ptolemy ta có: M A.BC + M B.AC = M C.AB BC(M A + 2M B) = M C.AB M C.AB 2R.2R 4R2 Vậy M A + 2M B = ≤ = BC BC BC √ √ √ 2R cho nên: P = M A + 2M B ≤ 2R = 10 Lại có: + = = BC = Chú ý: Bài toán giải bất đẳng thức Bunyakowsky đơn giản: M A + 2M B ≤ √ (M A2 + M B )(12 + 22 ) = 10 Tuy nhiên việc giải định lý Ptolemy cách tiếp cận toán với hai điểm A, B đường tròn √ √ khác đường kính.√ Ví dụ 3: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn 2|z1 | = 2|z2 | = |z1 − z2 | = Tìm giá trị nhỏ P = |z| + |z − z1 | + |z − z2 | với z số phức AC BC AB 5BC √ Gọi A, B điểm biểu diễn z1 z2 Khi ta có OA = OB = 6, AB = toán cần tìm giá trị nhỏ M A + M B + M O M điểm biểu diễn z Dựng tam giác ABC hình vẽ trên, theo định lý √ Ptolemy √ ta có: M A.BC + M B.AC ≤ M C.AB P = M A + M B + M O ≤ M C + M O ≤ OC = + Đẳng thức xảy M trùng với vị trí điểm D hình vẽ Bài viết có yếu tố giải trí! Các bạn đọc tham khảo nhé! ... thức Bunyakowsky đơn giản: M A + 2M B ≤ √ (M A2 + M B )(12 + 22 ) = 10 Tuy nhiên việc giải định lý Ptolemy cách tiếp cận toán với hai điểm A, B đường tròn √ √ khác đường kính.√ Ví dụ 3: Cho hai số... tìm giá trị nhỏ M A + M B + M O M điểm biểu diễn z Dựng tam giác ABC hình vẽ trên, theo định lý √ Ptolemy √ ta có: M A.BC + M B.AC ≤ M C.AB P = M A + M B + M O ≤ M C + M O ≤ OC = + Đẳng thức xảy