Tiêu chuẩn tự liên hợp thiết yếu của toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN TRUNG CHÍNH TIÊU CHUẨN TỰ LIÊN HỢP THIẾT YẾU CỦA TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN TRUNG CHÍNH TIÊU CHUẨN TỰ LIÊN HỢP THIẾT YẾU CỦA TOÁN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TẠ NGỌC TRÍ Hà Nội – Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí Thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tôi, giúp đỡ hoàn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cảm ơn tới thầy cô giáo phòng Sau đại học, thầy cô giáo khoa Toán thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 26 tháng 03 năm 2017 Tác giả luận văn Trần Trung Chính i Lời cam đoan Luận văn kết nghiên cứu thân tác giả hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Tác giả xin khẳng định kết luận văn trung thực Đề tài "Tiêu chuẩn tự liên hợp thiết yếu toán tử" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 26 tháng 03 năm 2017 Tác giả luận văn Trần Trung Chính ii Mục lục Lời cam đoan ii Lời mở đầu 1 Toán tử tuyến tính phổ toán tử tuyến tính 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn 1.2 Phổ toán tử tuyến tính bị chặn 1.3 Toán tử tuyến tính không bị chặn 14 1.4 Phổ toán tử tuyến tính không bị chặn 17 Một tiêu chuẩn xét tự liên hợp thiết yếu toán tử 31 2.1 Phát biểu tiêu chuẩn 31 2.2 Một số bổ đề chứng minh 34 2.3 Một số nhận xét kết khác 37 2.4 Ví dụ áp dụng cụ thể: Toán tử Dirac 40 2.5 Lý thuyết nhiễu 43 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 iii Lời mở đầu Lí chọn đề tài Lý thuyết phổ toán tử tuyến tính bị chặn trở thành chủ đề trình bày phổ biến giáo trình giải tích hàm bậc đại học Trong phổ toán tử tự liên hợp thường nhắc đến toán tử tự liên hợp(bị chặn) có phổ xác định rõ ràng ( nằm đường thẳng thực) Tuy nhiên nhiều toán tử lại không bị chặn, toán tử xét Vật lý, Cơ học lượng tử, Lý thuyết toán tử tuyến tính không bị chặn không quen thuộc với chương trình toán bậc đại học Các toán tử tuyến tính không bị chặn thường nghiên cứu miền trù mật không gian Hilbert gọi toán tử xác định trù mật (densely defined operator) Với xuất toán tử xác định trù mật dẫn đến việc nghiên cứu mở rộng khái niệm có toán tử bị chặn Từ xét toán tử tự liên hợp (không bị chặn) đặc biệt lớp toán tử “gần” tự liên hợp, gọi toán tử tự liên hợp thiết yếu Rất nhiều tiêu chuẩn để có toán tử tự liên hợp thiết yếu nghiên cứu Trong luận văn xin giới thiệu toán tử tự liên hợp thiết yếu kết để xét tính tự liên hợp thiết yếu Nội dung luận văn đề cập đến kết B Thaler, a criterion for the essential self-adjointness, J Operator Theory, 31(1994), 351-361 Với mong muốn tìm hiểu sâu tự liên hợp thiết yếu, nhờ hướng dẫn tận tình Thầy giáo TS.Tạ Ngọc Trí, chọn nghiên cứu đề tài: Tiêu chuẩn tự liên hợp thiết yếu toán tử Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm tìm hiểu toán tử tự liên hợp thiết yếu tiêu chuẩn xét tự liên hợp thiết yếu toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu kết tiêu chuẩn xét tự liên hợp thiết yếu toán tử Đối tượng nghiên cứu Các kiến thức sở cần thiết, số tiêu chuẩn xét tự liên hợp thiếu yếu toán tử, ví dụ cụ thể áp dụng Toán tử Dirac Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu báo liên quan đến tiêu chuẩn xét tự liên hợp thiết yếu toán tử Tổng hợp kiến thức, phân tích, hệ thống khái niệm, vận dụng cho mục đích nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm, lý thuyết toán tử Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn 6.Giả thuyết khoa học Tổng hợp để trình bày tiêu chuẩn xét tự liên hợp thiết yếu, chứng minh số bổ đề liên quan, đưa nhận xét số kết khác, ví dụ áp dụng cụ thể: Toán tử Dirac lý thuyết nhiễu Các kí hiệu chữ viết tắt N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức ∅ Tập rỗng , Tích vô hướng Rn Không gian Euclide n chiều T −1 Nghịch đảo toán tử T T∗ Toán tử liên hợp toán tử T không gian Hilbert T Bao đóng toán tử T ρ(T ) Tập giải toán tử T D(T ) Miền xác định toán tử T Ker(T ) Nhân toán tử T Ran(T ) Miền giá trị toán tử T L∞ (T ) Không gian Lebesgue hàm bị chặn hầu khắp nơi Lp (T ) Không gian Lebesgue hàm p- khả tích inf Cận sup Cận suppg Giá hàm g σ(T ) Phổ toán tử T σp (T ) Phổ điểm toán tử T σess (T ) Phổ thiết yếu toán tử T µ(ψ) Độ đo phổ Toán tử đơn vị χΩ(.) Biểu trưng tập Ω Chương Toán tử tuyến tính phổ toán tử tuyến tính Chương trình bày toán tử tuyến tính phổ toán tử tuyến tính Nội dung chương kiến thức sở giúp cho việc theo dõi phần sau thuận lợi Tài liệu tham khảo phần chủ yếu từ [1] ,[2] 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1 (Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp) Cho T toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert H Toán tử T ∗ : H → H gọi toán tử liên hợp T , T x, y = x, T ∗ y , ∀x, y ∈ H Khi T = T ∗ toán tử T gọi toán tử tự liên hợp hay toán tử đối xứng Nói cách khác, T toán tử tự liên hợp Tx, y = x, T y , ∀x, y ∈ H Định lý 1.1 Nếu T toán tử tự liên hợp không gian Hilbert H Khi số K độc lập với k (dãy hội tụ yếu toán tử bị chặn) Nếu hoán tử [T, Ank ]c bị chặn k, ta kết luận thay A4 giả thuyết thích hợp Bổ đề 2.1 Giả sử A2 thoả mãn A4 bao hàm ∀ψ ∈ H, có dãy {Ank }∞ k=0 hội tụ mạnh đến A4 : cho [T, Ank ]c ψ ≤ C(ψ) Khi C(ψ) > độc lập với k Theo nguyên lý bị chặn đều, giả thuyết A4 bao hàm [T, Ank ]c ≤ K , k 2.2 Một số bổ đề chứng minh Ta bắt đầu việc chứng minh số bổ đề Giả sử An tự liên hợp bị chặn, T đối xứng D Bổ đề 2.2 Giả sử A2 thoả mãn An D(T∗ ) ∈ D(T∗ ) [T, An ]c ψ = T ∗ An ψ − An T ∗ ψ ψ ∈ D(T∗ ) (2.5) Chứng minh: Cho ψ ∈ D(T∗ ), ∀φ ∈ D0 (An ψ, T φ) = (ψ, (T An − [T, An ])φ) = ((An T ∗ − [T, An ]∗ )ψ, φ) 34 (2.6) Sau đó, theo định nghĩa toán tử liên hợp , An ψ ∈ D(T∗ ) T ∗ An ψ = (An T ∗ − [T, An ]∗ )ψ (2.7) Khi i[T, An ] đối xứng D0 , mở rộng bị chặn tự liên hợp thiết yếu, tức là: [T, An ]∗ = −[T, An ]c (2.8) Kết hợp với phương trình (2.7) ta chứng minh bổ đề 2.1 Bổ đề 2.3 Giả sử có A1 − A3 An D(T∗ ) ⊂ D(T∗ ) T c An ψ = (Am T Am )c An ψ + [T, Am ]c An ψ ∀ψ ∈ D(T∗ ), (2.9) Với m chọn theo giả thuyết A1 Chứng minh: Cho ψ ∈ D(T∗ ) Theo bổ đề 2.1 An ψ ∈ D(T∗ ) Chọn m, k thoả mãn A1 ý Am An = Am Ak An = Ak An = An Khi φ ∈ D0 , (An ψ, Am T Am φ) = (Am T ∗ An ψ, φ) (2.10) Khi với giả thuyết A3 (Am T Am |D0 )∗ = (Am T Am |D0 )c (2.11) Phương trình (2.6) kéo theo An ψ ∈ D((Um TUm |D0 )c ) 35 (2.12) Khi có dãy {χj }∞ j=0 với χj ∈ D0 , ∀j, lim χj = An ψ, cho ∞ {Am T Am χj }∞ j=0 hội tụ Nhưng dãy {ξj }j=0 với ξj = Ak χj có tính chất tương tự: ξj ∈ D0 (do A1 liên tục) tồn lim ξj Hơn Am T Am ξj = Ak Am T Am χj + Am [T, Ak ]Am χj , (2.13) hội tụ, với j → ∞ Vì T ξj = T Am ξj = Am T Am ξj + [T, Am ]ξj (2.14) hội tụ H với j → ∞ Do An ψ = lim ξj ∈ D(Tc ) T c An ψ = lim T ξj , j→∞ (2.15) Đó điều ta cần chứng minh Chứng minh định lý 2.1: Cho ψ ∈ D(T∗ ) Theo bổ đề 2.3 An ψ ∈ D(Tc ) (ψ, T ∗ ψ) = (T c Anm ψ, Ank ψ) + (T c Ank ψ, ψ − Ank ψ) + (ψ − Ank ψ, T ∗ ψ) (2.16) Sử dụng A4 ta −−→ |(T c Ank ψ, ψ − Ank ψ)| + |ψ − Ank ψ, T ∗ ψ| − n−→ ∞ (2.17) Chú ý (T c Ank ψ, Ank ψ) = (Ank ψ, T c Ank ψ) 36 (2.18) thực , bao đóng toán tử đối xứng đối xứng Ta kết luận (ψ, T ∗ ψ) = lim (Ank ψ, T c Ank ψ) k→∞ (2.19) thực giới hạn số thực Do (theo phép đồng phân cực) T ∗ đối xứng, điều chứng minh T ∗ tự liên hợp thiết yếu Chứng minh mệnh đề 2.1: Giả sử có A2 , ta dựa vào bổ đề 2.2 ∀ψ ∈ D(T∗ ) T ∗ Ank ψ ≤ Ank T ∗ ψ + [T, Ank ]c ψ (2.20) Sử dụng phương trình (2.5) A4 ta T ∗ Ank ψ ≤ K T ∗ ψ + C(ψ) ≡ C1 (ψ) (2.21) |CT c Ank ψ, ψ − Ank ψ| ≤ C1 (ψ) ψ − Ank ψ (2.22) Do ta có tiến đến dãy Ank giả sử hội tụ mạnh tới Bổ đề 2.1 chứng minh 2.3 Một số nhận xét kết khác Nhận xét 2.5 Một thay đổi nhỏ chứng minh định lý 2.1 cho phép thay điều kiện A4 , A4 với 37 B4 : Với dãy {Ank }∞ k=0 ∀ψ ∈ H ∞ Ank = k=1 dãy hội tụ mạnh j [T, Ank ]c ψ ≤ C(ψ), k=1 với C(ψ) > độc lập với j Lặp lại phép toán phương trình (2.16)-(2.22) với An thay Aj ≡ j Ank để đến kết luận định lý 2.1 k=1 Nhận xét 2.6 Một hệ trực tiếp tự liên hợp thiết yếu T D0 tính bị chặn hoán tử Hệ 2.1 Dựa vào A2 cho T tự liên hợp thiết yếu D0 Chứng tỏ ψ(T ) ≡ exp(−itT c )ψ, ∀ψ ∈ H (2.23) Do đó, ∀ψ, φ ∈ H, hàm t → (ψ(t), An φ(t)) khả vi liên tục với d (ψ(t), An φ(t)) = (ψ(t), j[T, An ]c φ(t)) dt (2.24) Chứng minh: Để dễ dàng ta đưa chứng minh kiện đơn giản: ∀ψ, φ ∈ H, chọn dãy {ψj }, {φj } D0 với ψ = lim ψj , φ = lim φj Theo tính liên tục mạnh nhóm unita, fj (t) ≡ (ψj (t), An φj (t)) liên tục A2 khả vi liên tục với f j (t) ≡ (ψj (t), j[T, An ]φj (t)) Định nghĩa 38 g(t) ≡ (ψ(t), j[T, An ]c φ(t)) fj (t) − g(t) ≤ [T, An ]c ( φj ψj − ψ + ψ φj − φ ) < ε (2.25) ∀ε chọn độc lập với t nhỏ tuỳ ý với j lớn Khi thay đổi phép tìm đạo hàm giới hạn để kết luận f (t) = lim fj (t) khả vi với f (t) = lim fj (t) Định lý định lý đảo định lý 2.1 ta đưa điều kiện cho tự liên hợp thiết yếu An T An hệ tự liên hợp T c Đầu tiên ta đưa bổ đề tương tự bổ đề 2.2 Bổ đề 2.4 Giả sử có A2 An D(Tc ) ⊂ D(Tc ) [T, An ]c ψ = T c An ψ − An T c ψ, ∀ψ ∈ D(Tc ) (2.26) Chứng minh: Theo định nghĩa bao đóng , ∀ψ ∈ D(Tc ), có dãy {ψk }∞ k=0 với ψk ∈ D0 , lim ψk = ψ lim T ψk = T c ψ Do tính liên tục An [T, An ] ta thấy T An ψk = An T ψk + [T, An ]ψk An T c ψ + [T, An ]c ψ (2.27) Do dãy {An ψk } {TAn ψk } hội tụ đều, nghĩa lim An ψn = An ψ ∈ D(T c ), T c Un ψ = lim T Un ψτ τ →∞ k→∞ (2.28) Vậy phương trình 2.26 chứng minh Định lý 2.2 Giả sử có A2 , cho T tự liên hợp thiết yếu D0 Giả sử phép cộng, ∀ψ A2n ψ ∈ D(Tc ) kéo theo An ψ ∈ D(Tc ) 39 An T An |D0 tự liên hợp thiết yếu Chứng minh: Kí hiệu B = An T An |D0 Cho ψ ∈ D(B∗ ), φ ∈ D0 (B ∗ ψ, φ) = (ψ, An T An φ) = (A2n ψ, T φ) + ([T, An ]∗ An ψ, φ) (2.29) Chứng tỏ A2n ψ ∈ D(T∗ ) = D(Tc ) T c A2n ψ = B ∗ ψ − [T, An ]∗ An ψ (2.30) Giả sử phép cộng kéo theo An ψ ∈ D(Tc ) với bổ đề 2.4 có T c A2n ψ = An T c An ψ + [T, An ]c An ψ (2.31) Từ phương trình 2.8 ta B ∗ ψ = An T c An ψ, ∀ψ ∈ D(B∗ ) (2.32) Do B ∗ đối xứng tương đương với tự liên hợp thiết yếu B Nhận xét 2.7 Giả sử phép cộng định lý 2.2 thoả mãn toán tử An phép chiếu 2.4 Ví dụ áp dụng cụ thể: Toán tử Dirac Trong không gian Hilbert H = L2 (R3 )4 C4 hàm bình phương giá trị khả tích R3 , định nghĩa toán tử Dirac bao 40 đóng toán tử Y0 = −iα.∇ + β D0 = C0∞ (R3 \{0})4 (2.33) Ở α = (α1 , α2 , α3 ) β ma trận Hermitian Dirac × (xem chi tiết [4]) Nó biết Y0 tự liên hợp thiết yếu D0 , bao đóng Y0c tự liên hợp không gian Sobolev D(H0c ) = H (R3 )4 ≡ {ψ ∈ L2 (R3 ) α.∇ψ ∈ L2 (R3 )4 } (2.34) Trong ∇ biểu thị đạo hàm suy rộng Ta kí hiệu toán tử nhân bị chặn g hàm g ∈ C0∞ (R3 ), ψ → gψ, (gψ)(x) = g(x)ψ(x), ∀ψ ∈ H, ∀x ∈ R3 (2.35) Dễ dàng thấy [Y0 , g]c = −iα.(∇g) (2.36) toán tử nhân bị chặn với hàm ma trận giá trị Hermitian C0∞ Bổ đề 2.5 Toán tử gY0 g tự liên hợp thiết yếu D0 Chứng minh: Với β toán tử bị chặn H Xét toán tử T0 ≡ −iα.∇ (2.37) Khi khảo sát tính chất tự liên hợp Hơn T0 tự liên hợp thiết yếu D(T0 ) = D0 , tự liên hợp D(Tc0 ) = D(H0c ), [T0 , g]c = [Y0 , g]c 41 Ta sử dụng chứng minh tự liên hợp T0c Y (R3 )4 tính bị chặn [T0 , g]0 Đặt B = gT0 g|D0 trình tính toán dẫn đến phương trình 2.30 ta kết luận ∀ψ ∈ D(B∗ ) g ψ ∈ D(T∗0 ) = D(Tc0 ) B ∗ ψ = −iα.∇g ψ + igα.(∇g)ψ (2.38) Bằng quy tắc Leibniz, cố định tích hàm suy rộng với hàm trơn, ta có iα.∇g ψ = −2igα.(∇g)ψ (2.39) Điều cho thấy ∀ψ ∈ D(B∗ ) hàm suy rộng α.∇ψ ∈ Y −1 (R3 )4 thoả mãn g α.∇ψ ∈ L2 (R3 )4 Do ta thực tính toán sau, ∀ψ, φ ∈ D(B∗ ) (φ, B ∗ ψ) = (φ, −iα.∇g ψ + igα.(∇g)ψ) (2.40) = (−ig α.∇φ, ψ) + (−igα.(∇gφ, ψ) (2.41) = (−iα.∇g φ + igα.(∇g)φ, ψ) = (B ∗ φ, ψ) (2.42) Do B ∗ đối xứng, tức B tự liên hợp thiết yếu Xét hàm f ∈ C0∞ (R) với f (0) = f (r) = r ≥ Định nghĩa dãy toán tử nhân An , n = 1, 2,   ψ(x) |x| < n (An ψ)(x) =  f (|x|)ψ(x) |x| ≥ n (2.43) Dãy {An } thoả mãn A1 A4 , hoán tử [Y0 , αn ]c bị chặn n 42 sup |f (r)| Theo bổ đề 2.5, hoán tử An Y0 An tự liên hợp thiết yếu D0 Do hệ sau hệ trực tiếp định lý 2.1 Hệ 2.2 Cho An định nghĩa cho V toán tử đối xứng D0 mà A4 cố định T = V , giả sử An (Y0 + V )An tự liên hợp thiết yếu D0 Y0 + V tự liên hợp thiết yếu D0 Các giả thuyết hệ thoả mãn V tích ma trân Hermitian bị chặn địa phương với giá trị hàm (không biết tăng ∞ nào) trường hợp An V An nhiễu bị chặn toán tử tự liên hợp thiết yếu An Y0 An Theo ý Chernoff [4] kết trái với toán tử Schr¨odinger bậc liên quan đến tồn giới hạn vận tốc truyền sóng theo phương trình Dirac Theo định lý Kato-Rellich tính bị chặn An V An tương đối liên quan đến An Y0 An cần thiết người ta xem xét phép với điểm kì dị địa phương Các ví dụ khác bao gồm phép tự Xem [5,6] để biết chi tiết Một biến thể khác chứng minh thu phân hoạch {fn } R3 với supx,n |∇fn (x)| ≤ M < ∞ để xác định toán tử An thoả mãn B0 2.5 Lý thuyết nhiễu Cho Y0 V toán tử đối xứng xác định tập trù mật D0 số không gian Hilbert H Cho dãy {An }∞ n=1 dãy toán tử tự liên hợp bị chặn thoả mãn A1 Giả sử A2 cố định với T thay Y0 V tương ứng Thay A3 ta giả sử 43 C3 : Y0 tự liên hợp thiết yếu D0 ∀n, toán tử Y0 + An V An tự liên hợp thiết yếu D0 với D((H0 + Un VUn )c ) = D(H0c ) (2.44) Toán tử T ≡ Y0 + V xác định đối xứng D0 ta giả sử thoả mãn A4 Định lý 2.3 Theo giả thuyết trên, T tự liên hợp thiết yếu D0 Với trợ giúp bổ đề đây, chứng minh định lý 2.3 điều chỉnh định lý 2.1 Bổ đề 2.6 Giả sử có A1 , C3 A2 với Y0 V ψ ∈ D(T∗ ) kéo theo An ψ ∈ D(Tc ) T c An ψ = Y0c An ψ + V c An ψ, ∀ψ ∈ D(T∗ ) (2.45) Chứng minh: Cho ψ ∈ D(T∗ ) Khi T thoả mãn A2 với bổ đề 2.2 ta có An ψ ∈ D(T∗ ) Do φ ∈ D0 , sử dụng Am An = An ta thu (T ∗ An ψ, φ) = (An ψ, {Tm − [V, Am ]}φ), Tm ≡ Y0 + Am V Am (2.46) Điều cho thấy An ψ ∈ D(T∗m ) = D(Tcm ) = D(H0c ), ta sử dụng C3 Theo định nghĩa bao đóng, có dãy χj ∈ D0 với χj → An ψ Y0c χj → Y0c An ψ, tức {χj } hội tụ không gian Hilbert D(H0 ) trang bị công thức định chuẩn ψ = Y0c ψ + ψ Từ Tmc đóng (D(H0 ), • ), bị chặn dãy {Tmc χj } hội tụ Giống chứng minh bổ đề 2.3 ta thay χj dãy ξj = Ak χj , có 44 tính chất giống Ak chọn theo A1 Đặc biệt chuỗi {Tm ξj } {Y0 ξj } hội tụ Nhưng V ξj = V Am ξj = Am V Am ξj + [V, Am ]ξj = (Tm − Y0 )ξj + [V, Am ]c ξj (2.47) hội tụ, tức lim ξj = An ψ ∈ D(Vc ) Cuối T ξj = Y0 ξj + V ξj → Y0c An ψ + V c An ψ (2.48) Trong An ψ ∈ D(Tc ) với phương trình 2.45 Định lý 2.4 Cho Y0 tự liên hợp thiết yếu D0 X tự liên hợp thiết yếu D(X), cho [Y0c , X] xác định D0 bị chặn Cho V hàm giá trị thực R bị chặn địa phương Định nghĩa V (x) = V (λ)dEX (λ) giả sử D0 ⊂ D(V(X)) Thì Y0 + V (x) tự liên hợp thiết yếu D0 Chứng minh: Cho g hàm giá trị thực, viết biến đổi Fourier hàm g˜, cho (1 + |ξ|)˜ g (ξ) khả tích: ∞ g(λ) = √ 2π eiλξ g˜(ξ)dξ (2.49) −∞ Định nghĩa g(X) tích phân yếu g(X)ψ = √ 2π ∞ eiXξ ψ˜ g (ξ)dξ, ∀ψ ∈ H −∞ 45 (2.50) [Y0c , g(X)]c c ≤√ [Yc0 , X] 2π ∞ |ξ| |˜ g (ξ)| dξ (2.51) −∞ f (λ) = n f (λ/n)dEX (λ), với EX độ đo Cho f ∈ C0∞ (R) giá trị thực với f (λ) = 1, |λ| ≤ |λ| ≥ Đặt An := f (X/n) = −n phổ X Dễ dàng thấy T = Y0 Sn thoả mãn giả thuyết A1 − A4 chí A4 Bằng giả thuyết V (X) = V (λ)dEX (λ) định nghĩa toán tử tự liên hợp trù mật thay đổi với An Hơn An V (X)An bị chặn đối xứng D0 Khi Y0 +An V (X)An tự liên hợp thiết yếu D0 Sự tự liên hợp thiết yếu Y0 + V (X) thoả mãn định lý 2.3 46 Kết luận Nội dung luận văn bao gồm: Trình bày hệ thống kiến thức toán tử tuyến tính phổ toán tử tuyến tính: toán tử tuyến tính bị chặn phổ toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử tuyến tính không bị chặn phổ toán tử tuyến tính không bị chặn Giới thiệu tiêu chuẩn xét tự liên hợp thiết yếu toán tử, trình bày nghiên cứu tổng quan áp dụng tiêu chuẩn vào số trường hợp toán tử Dirac trình bày kết trường hợp có “nhiễu” Trong trình làm luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 47 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm Thực Và Giải Tích Hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Phạm Kì Anh (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] P R Chernoff (1973), Essential self-adjointness of powers of generators of hyperbolic equations, J Func Anal 12, 401–414 [4] P R Chernoff (1977), Schr¨odinger and Dirac operators with singular potentials and hyperbolic equations, Pacific J Math 72, 361–382 [5] K J¨orgens (1972), Perturbations of the Dirac operator, In “Proceedings of the conference on the theory of ordinary and partial differential equations, Dundee (Scotland)”, W N Everitt and B D Sleeman (eds.), Lecture Notes in Mathematics 280, 87–102, Springer Verlag, Berlin [6] B Thaller (1992), The Dirac Equation, Texts and Monographs in Physics, Springer Verlag, Berlin [7] B Thaller (1994), A criterion for the essential self-adjointness, J Operator Theory, 351-361 48 ... liên hợp thiết yếu Rất nhiều tiêu chuẩn để có toán tử tự liên hợp thiết yếu nghiên cứu Trong luận văn xin giới thiệu toán tử tự liên hợp thiết yếu kết để xét tính tự liên hợp thiết yếu Nội dung... gọi T ∗ toán tử liên hợp T Định nghĩa 1.15 Cho toán tử không bị chặn T : D(T ) → H Toán tử T gọi toán tử đối xứng toán tử liên hợp T ∗ mở rộng toán tử T Toán tử T gọi toán tử tự liên hợp T đối... hợp thiết yếu tiêu chuẩn xét tự liên hợp thiết yếu toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu nghiên cứu kết tiêu chuẩn xét tự liên hợp thiết yếu toán tử Đối tượng nghiên cứu Các kiến thức sở cần thiết,