ĐỀ và đáp án THI đại học TOAN khoi a,a1 2002 2013

! "#$%& '() * ThS LU HUNH V N LONG (0986.616.225) (Gi ng viờn Tr ng H Th D u M t Bỡnh Dng) TON H C NM H C: 2002 - 2013 ! " LU HNH N I B 11/2013 giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao ĐẳnG năm 2002 -Môn thi : toán Đề thức (Thời gian làm bài: 180 phút) _ Câu I (ĐH : 2,5 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Cho hàm số : y = x + 3mx + 3(1 m ) x + m m (1) ( m tham số) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm k để phơng trình: x + x + k 3k = có ba nghiệm phân biệt Viết phơng trình đờng thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Câu II.(ĐH : 1,5 điểm; CĐ: 2,0 điểm) log 32 x + log 32 x + 2m = Cho phơng trình : (2) ( m tham số) m = Giải phơng trình (2) Tìm m để phơng trình (2) có nghiệm thuộc đoạn [ ; 3 ] Câu III (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,0 điểm ) cos 3x + sin 3x Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ; ) phơng trình: sin x + = cos x + + sin x Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng: y =| x x + | , y = x + Câu IV.( ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Cho hình chóp tam giác S ABC đỉnh S , có độ dài cạnh đáy a Gọi M N lần lợt trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đờng thẳng: x = 1+ t x 2y + z = : y = + t : x + y 2z + = z = + 2t a) Viết phơng trình mặt phẳng ( P) chứa đờng thẳng song song với đờng thẳng b) Cho điểm M (2;1;4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ Câu V.( ĐH : 2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxy , xét tam giác ABC vuông A , phơng trình đờng thẳng BC x y = 0, đỉnh A B thuộc trục hoành bán kính đờng tròn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Cho khai triển nhị thức: n n n n x x x x x x x x 2 + = C n0 2 + C n1 2 + L + C nn 2 + C nn ( n số nguyên dơng) Biết khai triển C n = 5C n số hạng thứ t 20n , tìm n x Hết Ghi chú: 1) Thí sinh thi cao đẳng không làm Câu V n 2) Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: giáo dục đào tạo - Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002 Đáp án thang điểm môn toán khối A ĐH m = y = x + 3x x = y' = x2 = Tập xác định x R y ' = x + x = x( x 2) , y" = x + = 0, CĐ 1,0 đ 1,5 đ 0,25 đ 0,5đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ y" = x = Bảng biến thiên x y' + + lõm U CT CĐ lồi x = y=0 , x = Đồ thị: + + y" y y (1) = y -1 x ( Thí sinh lập bảng biến thiên) Ta có x + x + k 3k = x + x = k + 3k Đặt a = k + 3k Dựa vào đồ thị ta thấy phơng trình x + x = a có nghiệm phân biệt < a < < k + 3k < < k < 0k Cách II Ta có x + x + k 3k = ( x k ) x + (k 3) x + k 3k ] = có nghiệm phân biệt f ( x) = x + (k 3) x + k 3k = có nghiệm phân biệt khác k = 3k + 6k + > < k < 2 k k k + k 3k + k 3k [ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 1,0 đ x = m y' = x2 = m + Ta thấy x1 x y ' đổi dấu qua x1 x hàm số đạt cực trị x1 x y1 = y ( x1 ) = m + 3m y = y ( x ) = m + 3m + Phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị M m 1; m + 3m M m + 1; m + 3m + là: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x m + y + m 3m + = y = 2x m2 + m ' y = 3x + 6mx + 3(1 m ) = 3( x m) + , Ta thấy 2 ' = 9m + 9(1 m ) = > y ' = có nghiệm x1 x y ' đổi dấu qua x1 x hàm số đạt cực trị x1 x Ta có y = x + 3mx + 3(1 m ) x + m m m = x x + 6mx + 3m + x m + m 3 Từ ta có y1 = x1 m + m y = x m + m Vậy phơng trình đờng thẳng qua điểm cực trị y = x m + m 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ y ' = 3x + 6mx + 3(1 m ) = 3( x m) + , ( ) ( ) ( ) Với m = ta có log x + log x + = 3 Điều kiện x > Đặt t = log 32 x + ta có t 1+ t = t + t = t = t2 = 2 t1 = (loại) , t = log 32 x = log x = x = 0,25 đ 0,5 đ x = thỏa mãn điều kiện x > (Thí sinh giải trực tiếp đặt ẩn phụ kiểu khác) 1,0 đ 1,0 đ log x + log x + 2m = 3 Điều kiện x > Đặt t = log 32 x + ta có t + t m = t + t 2m = 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x [1,3 ] log x t = log 32 x + Vậy (2) có nghiệm [1,3 ] (3) có nghiệm [ 1,2 ] Đặt f (t ) = t + t Hàm số f (t ) hàm tăng đoạn [1; 2] Ta có f (1) = f (2) = Phơng trình t + t = 2m + f (t ) = 2m + có nghiệm [1;2] m + f (1) 2m + m m + f (2) 2m + TH1 Phơng trình (3) có nghiệm t1 ,t thỏa mãn < t1 t < t +t Do = < nên không tồn m 2 TH2 Phơng trình (3) có nghiệm t1 ,t thỏa mãn t1 t t1 t 2m(4 2m ) m 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ (Thí sinh dùng đồ thị, đạo hàm đặt ẩn phụ kiểu khác ) cos x + sin x sin x + = cos x + Điều kiện sin x + sin x cos x + sin 3x sin x + sin x sin x + cos x + sin x Ta có sin x + = + sin x + sin x (2 sin x + 1) cos x sin x + cos x cos x + cos x + sin 3x =5 = cos x =5 + sin x + sin x Vậy ta có: cos x = cos x + cos x cos x + = cos x = (loại) cos x = x = + 2k (k Z ) 3 1,0 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ x = Ta thấy x1 , x thỏa mãn điều 3 kiện sin x Vậy nghiệm cần tìm là: x1 = x = 3 (Thí sinh sử dụng phép biến đổi khác) Vì x (0 ; ) nên lấy x1 = y 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 1,0 đ -1 -1 x Ta thấy phơng trình | x x + |= x + có nghiệm x1 = x = Mặt khác | x x + | x + x [0;5] Vậy ( ) ( ) ( 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25đ 0,25đ 1đ 1đ ) S = x + | x x + | dx = x + x + x dx + x + + x x + dx 0 ( ) + x + x + x dx ( ) ( ) ( ) S = x + x dx + x x + dx + x + x dx 1 3 5 S = x3 + x + x3 x + 6x + x3 + x 2 13 26 22 109 S= + + = (đ.v.d.t) 3 (Nếu thí sinh vẽ hình không thiết phải nêu bất đẳng thức | x x + | x + x [0;5] ) S N I M A C 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ K B Gọi K trung điểm BC I = SK MN Từ giả thiết a MN = BC = , MN // BC I trung điểm SK MN 2 Ta có SAB = SAC hai trung tuyến tơng ứng AM = AN AMN cân A AIMN (SBC )( AMN ) (SBC ) ( AMN ) = MN AI(SBC ) AISK Mặt khác AI ( AMN ) AIMN Suy SAK cân A SA = AK = a 3a a a SK = SB BK = = 4 2 2 SK AI = SA SI = SA = Ta có S AMN 3a a a 10 = a 10 = MN AI = (đvdt) 16 ý 1) Có thể chứng minh AIMN nh sau: BC(SAK ) MN(SAK ) MNAI 2) Có thể làm theo phơng pháp tọa độ: Chẳng hạn chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho a a a a ;0 , S 0; K (0;0;0), B ;0;0 , C ;0;0 , A 0; ;h 2 h độ dài đờng cao SH hình chóp S ABC 2a) Phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng có dạng: (x y + z 4) + (x + y z + 4) = ( + ) ( + )x (2 ) y + ( )z + = r r Vậy n P = ( + ;2 + ; ) Ta có u = (1;1;2 ) // M (1;2;1) r r n P u = = (P ) // Vậy (P ) : x z = M (1;2;1) (P ) M (P ) 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ Ta chuyển phơng trình sang dạng tham số nh sau: x = 2t ' Từ phơng trình suy x z = Đặt x = 2t ' : y = 3t '2 z = 4t ' r M (0;2;0) , u1 = (2;3;4) // (Ta tìm tọa độ điểm M cách cho x = y = z = Cách II r 1 1 = (2;3;4) ) tính u1 = ; ; 2 2 r Ta có u = (1;1;2 ) // Từ ta có véc tơ pháp mặt phẳng (P) : r r r n P = [u1 , u ] = (2;0;1) Vậy phơng trình mặt phẳng (P) qua M (0;2;0 ) r n P = (2;0;1) là: x z = Mặt khác M (1;2;1) (P ) phơng trình mặt phẳng cần tìm là: x z = b) H H (1 + t ,2 + t ,1 + 2t ) MH = (t 1; t + 1;2t 3) MH = (t 1) + (t + 1) + (2t 3) = 6t 12t + 11 = 6(t 1) + đạt giá trị nhỏ t = H (2;3;3) Cách II H H (1 + t ;2 + t ;1 + 2t ) r MH nhỏ MH MH u = t = H (2;3;4) 2 2 Ta có BC I Ox = B(1;0 ) Đặt x A = a ta có A(a; o) ( 1đ ) xC = a y C = 3a Vậy C a; 3a 2a + (a 1) xG = ( x A + x B + x C ) ; ta có G Từ công thức yG = ( y A + y B + yC ) Ta có : AB =| a |, AC = | a |, BC = | a | Do 0,25 đ S ABC = Ta có Vậy (a 1)2 AB AC = 2 2S (a 1) | a 1| = r= = = AB + AC + BC | a | + | a | +1 | a |= + 0,25 đ 0,25 đ 7+4 6+2 ; TH1 a1 = + G1 3 ; TH2 a = G2 3 Cách II y C 0,25 đ I O B A x Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp ABC Vì r = y I = x Phơng trình BI : y = tg 30 0.( x 1) = xI = TH1 Nếu A O khác phía B x I = + Từ d ( I , AC ) = 7+4 6+2 ; a = x I + = + G1 TH Nếu A O phía B x I = Tơng tự ; ta có a = x I = G2 3 0,25 đ 0,25 đ đ Từ 0,25 đ C n3 = 5C n1 ta có n n! n! n(n 1)(n 2) =5 = 5n n 3n 28 = (n 1)! 3!(n 3)! n1 = (loại) n2 = Với n = ta có x21 C 0,25 đ 0,25 đ 3x = 140 35.2 x 2.2 x = 140 x = x = 0,5 đ B P N THANG I M THI TUY N SINH I H C N M 2011 Mụn: TON; Kh i A ( ỏp ỏn - thang i m g m 05 trang) GIO D C V O T O CHNH TH C P N THANG I M Cõu I (2,0 i m) ỏp ỏn i m (1,0 i m) T p xỏc nh: D = \ S bi n thiờn: Chi u bi n thiờn: y ' = ( x 1) 0,25 < 0, x D 1 Hm s ngh ch bi n trờn cỏc kho ng ; v ; + 2 1 Gi i h n v ti m c n: lim y = lim y = ; ti m c n ngang: y = x x + 2 lim y = , lim + y = + ; ti m c n ng: x = 1 x x B ng bi n thiờn: y 2 x y 0,25 + 0,25 + y th : (C) O x 0,25 (1,0 i m) Honh giao i m c a d: y = x + m v (C) l nghi m ph ng trỡnh: x + m = x +1 2x 1 (x + m)(2x 1) = x + (do x = khụng l nghi m) 2x + 2mx m = (*) ' = m2 + 2m + > 0, m Suy d luụn c t (C) t i hai i m phõn bi t v i m i m 0,25 0,25 G i x1 v x2 l nghi m c a (*), ta cú: k1 + k2 = 4( x1 + x2 ) x1 x2 4( x1 + x2 ) + 1 = (2 x1 1) (2 x2 1) (4 x1 x2 2( x1 + x2 ) + 1) Theo nh lý Viet, suy ra: k1 + k2 = 4m2 8m = 4(m + 1)2 Suy ra: k1 + k2 l n nh t b ng 2, v ch m = Trang 1/5 0,25 0,25 Cõu II (2,0 i m) ỏp ỏn i m (1,0 i m) i u ki n: sin x (*) ng trỡnh ó cho t Ph ng ng v i: (1 + sin2x + cos2x)sin2x = 2 sin2xcosx + sin2x + cos2x = 2 cosx (do sinx 0) cosx (cosx + sinx cosx = x = ) = + k, th a (*) 0,25 0,25 0,25 ) = x = + k2, th a (*) 4 ng trỡnh cú nghi m: x = + k; x = + k2 (k Z) cosx + sinx = sin(x + V y, ph 0,25 (1,0 i m) x y xy + y 2( x + y ) = (1) 2 (2) xy ( x + y ) + = ( x + y ) Ta cú: (2) (xy 1)(x2 + y2 2) = xy = ho c x2 + y2 = xy = 1; t (1) suy ra: y4 2y2 + = y = Suy ra: (x; y) = (1; 1) ho c (x; y) = (1; 1) x2 + y2 = 2; t (1) suy ra: 3y(x2 + y2) 4xy2 + 2x2y 2(x + y) = 2 6y 4xy + 2x y 2(x + y) = (1 xy)(2y x) = xy = (ó xột) ho c x = 2y V i x = 2y, t x2 + y2 = suy ra: 10 10 10 10 (x; y) = ; ; ho c (x; y) = 5 10 10 10 10 V y, h cú nghi m: (1; 1), ( 1; 1), ; ; , 5 III (1,0 i m) I = 4 ( x sin x + cos x) + x cos x dx = x sin x + cos x dx + x cos x x sin x + cos x dx 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta cú: dx = x 04 = v IV (1,0 i m) 0,25 x cos x dx = x sin x + cos x d(x sin x + cos x) x sin x + cos x = ( ln x sin x + cos x ) = ln + Suy ra: I = + ln + 4 (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc v i (ABC) SA (ABC) S AB BC SB BC SBA l gúc gi a (SBC) v (ABC) SBA = 60o SA = AB tan SBA = 2a M t ph ng qua SM v song song v i BC, c t AC t i N H MN //BC v N l trung i m AC D N C A BC AB MN = = a, BM = = a M 2 B ( BC + MN ) BM 3a = Th tớch: VS.BCNM = S BCNM SA = a 3 Di n tớch: SBCNM = 2 Trang 2/5 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu ỏp ỏn i m K ng th ng i qua N, song song v i AB H AD (D ) AB // (SND) d(AB, SN) = d(AB, (SND)) = d(A, (SND)) H AH SD (H SD) AH (SND) d(A, (SND)) = AH Tam giỏc SAD vuụng t i A, cú: AH SD v AD = MN = a d(AB, SN) = AH = V (1,0 i m) SA AD = 2a 39 13 0,25 SA2 + AD 1 (*), v i a v b d + c h t ta ch ng minh: + a + b + ab Tr Th t v y, (*) (a + b + 2)(1 + ng, ab ab ) 2(1 + a)(1 + b) 0,25 (a + b) ab + ab a + b + 2ab b )2 0, luụn ỳng v i a v b d D u b ng x y ra, v ch khi: a = b ho c ab = p d ng (*), v i x v y thu c o n [1; 4] v x y, ta cú: x 1 P= + + + 3y 2x + 3y + z + x x 2+ 1+ y z x y ( ab 1)( a D u " = " x y v ch khi: x z x = ho c = y y z 0,25 ng, ab 0,25 (1) x t2 + = t, t [1; 2] Khi ú: P 2t + + t y t t (4t 3) + 3t (2t 1) + 9) t2 < Xột hm f(t) = + , t [1; 2]; f '(t ) = 2t + + t (2t + 3) (1 + t ) f(t) f(2) = 0,25 34 x = x = 4, y = (2) ; d u " = " x y v ch khi: t = y 33 34 T (1) v (2) suy d u " = " x y v ch khi: x = 4, y = v z = 33 34 V y, giỏ tr nh nh t c a P b ng ; x = 4, y = 1, z = 33 P VI.a 0,25 (1,0 i m) (2,0 i m) ng trũn (C) cú tõm I(2; 1), bỏn kớnh IA = A I B M o T giỏc MAIB cú MAI = MBI = 90 v MA = MB SMAIB = IA.MA 0,25 MA = IM = IA2 + MA2 = M , cú t a d ng M(t; t 2) IM = (t 2)2 + (t + 3)2 = 25 2t2 + 2t 12 = 0,25 t = ho c t = V y, M(2; 4) ho c M( 3; 1) 0,25 0,25 (1,0 i m) x y z + = G i M(x; y; z), ta cú: M (P) v MA = MB = ( x 2) + y + ( z 1) = x + ( y + 2) + ( z 3) = Trang 3/5 0,25 Cõu ỏp ỏn i m x y z + = x + y z + = ( x 2) + y + ( z 1) = 0,25 x = y z = 3y y 11 y + = 0,25 12 12 ; V y cú: M(0; 1; 3) ho c M ; ; 7 7 (x; y; z) = (0; 1; 3) ho c ; VII.a (1,0 i m) G i z = a + bi (a, b R), ta cú: z = z + z (a + bi)2 = a2 + b2 + a bi 2 a b = a + b + a a b + 2abi = a + b + a bi a = 2b 0,25 b(2a + 1) = 1 ho c (a; b) = 2 1 1 V y, z = ho c z = + i ho c z = i 2 2 (a; b) = (0; 0) ho c (a; b) = ; (2,0 i m) 0,25 0,25 2ab = b VI.b 0,25 ; 0,25 (1,0 i m) G i A(x; y) Do A, B thu c (E) cú honh d A H O B 0,25 x2 B(x; y), x > Suy ra: AB = 2| y | = y ng v tam giỏc OAB cõn t i O, nờn: G i H l trung i m AB, ta cú: OH AB v OH = x Di n tớch: SOAB = x x 2 x = x (4 x ) D u " = " x y ra, v ch x = 0,25 0,25 2 2 V y: A 2; ho c A 2; v B 2; v B 2; 0,25 (1,0 i m) (S) cú tõm I(2; 2; 2), bỏn kớnh R = Nh n xột: O v A cựng thu c (S) Tam giỏc OAB u, cú bỏn kớnh ng trũn ngo i ti p r = OA = 3 (P) i qua O cú ph ng trỡnh d ng: ax + by + cz = 0, a2 + b2 + c2 (*) (P) i qua A, suy ra: 4a + 4b = b = a Kho ng cỏch: d(I, (P)) = d(I, (P)) = 2(a + b + c) 2 a +b +c 0,25 R2 r = = 2c 2a + c 2c 2a + c = 2a2 + c2 = 3c2 c = a Theo (*), suy (P): x y + z = ho c x y z = Trang 4/5 0,25 0,25 0,25 Cõu VII.b (1,0 i m) ỏp ỏn G i z = a + bi (a, b R), ta cú: (2z 1)(1 + i) + ( z + 1)(1 i) = 2i i m 0,25 [(2a 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) bi](1 i) = 2i (2a 2b 1) + (2a + 2b 1)i + (a b + 1) (a + b + 1)i = 2i 3a 3b = a + b = (3a 3b) + (a + b 2)i = 2i a= 1 , b = Suy mụun: | z | = a + b = 3 - H t - Trang 5/5 0,25 0,25 0,25 B THI TUY N SINH I H C N M 2012 Mụn: TON; Kh i A v kh i A1 Th i gian lm bi: 180 phỳt, khụng k th i gian phỏt GIO D C V O T O CHNH TH C I PH N CHUNG CHO T T C TH SINH (7,0 i m) Cõu (2,0 i m) Cho hm s y = x 2( m + 1) x + m (1), v i m l tham s th c a) Kh o sỏt s bi n thiờn v v th c a hm s (1) m = b) Tỡm m th c a hm s (1) cú ba i m c c tr t o thnh ba nh c a m t tam giỏc vuụng Cõu (1,0 i m) Gi i ph ng trỡnh sin x + cos x = cos x x3 x x + 22 = y + y y Cõu (1,0 i m) Gi i h ph ng trỡnh ( x, y ) + + = x y x y + ln( x + 1) dx x Cõu (1,0 i m) Cho hỡnh chúp S ABC cú ỏy l tam giỏc u c nh a Hỡnh chi u vuụng gúc c a S trờn m t ph ng (ABC) l i m H thu c c nh AB cho HA = HB Gúc gi a ng th ng SC v m t ph ng (ABC) b ng 60o Tớnh th tớch c a kh i chúp S.ABC v tớnh kho ng cỏch gi a hai ng th ng SA v BC theo a Cõu (1,0 i m) Cho cỏc s th c x, y , z th a i u ki n x + y + z = Tỡm giỏ tr nh nh t c a bi u th c Cõu (1,0 i m) Tớnh tớch phõn I = P = | x y | + | y z | + | z x | x + y + z II PH N RIấNG (3,0 i m): Thớ sinh ch c lm m t hai ph n riờng (ph n A ho c ph n B) A Theo ch ng trỡnh Chu n Cõu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD G i M l trung i m 11 c a c nh BC, N l i m trờn c nh CD cho CN = ND Gi s M v ng th ng AN cú ; 2 ph ng trỡnh x y = Tỡm t a i m A x +1 y z v Cõu 8.a (1,0 i m) Trong khụng gian v i h t a Oxyz, cho ng th ng d : = = i m I (0; 0;3) Vi t ph ng trỡnh m t c u (S) cú tõm I v c t d t i hai i m A, B cho tam giỏc IAB vuụng t i I Cõu 9.a (1,0 i m) Cho n l s nguyờn d ng th a 5Cnn = Cn3 Tỡm s h ng ch a x khai ( ( ) ) n nx , x tri n nh th c Niu-t n c a 14 x B Theo ch ng trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho ng trũn (C ): x + y = Vi t ph ng trỡnh chớnh t c c a elip (E), bi t r ng (E) cú di tr c l n b ng v (E) c t (C) t i b n i m t o thnh b n nh c a m t hỡnh vuụng x +1 y z Cõu 8.b (1,0 i m) Trong khụng gian v i h t a Oxyz, cho ng th ng d : , m t = = 1 ph ng ( P ): x + y z + = v i m A(1; 1; 2) Vi t ph ng trỡnh ng th ng c t d v (P) l n l t t i M v N cho A l trung i m c a o n th ng MN 5( z + i ) Cõu 9.b (1,0 i m) Cho s ph c z th a = i Tớnh mụun c a s ph c w = + z + z z +1 H T -Thớ sinh khụng c s d ng ti li u Cỏn b coi thi khụng gi i thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: B P N THANG I M THI TUY N SINH I H C N M 2012 Mụn: TON; Kh i A v kh i A1 ( ỏp ỏn thang i m g m 04 trang) GIO D C V O T O CHNH TH C Cõu ỏp ỏn i m a) (1,0 i m) (2,0 i m) Khi m = 0, ta cú: y = x x T p xỏc nh: D = S bi n thiờn: 0,25 Chi u bi n thiờn: y ' = x3 x; y ' = x = ho c x = Cỏc kho ng ngh ch bi n: ( ; 1) v (0; 1); cỏc kho ng ng bi n: (1; 0) v (1; + ) C c tr : Hm s t c c ti u t i x = 1, yCT = 1; t c c i t i x = 0, yC = Gi i h n: lim y = lim y = + x B ng bi n thiờn: 0,25 x+ x y' 0 + + + + + 0,25 y 1 th : y 0,25 O 2 x b) (1,0 i m) Ta cú y ' = x 4( m + 1) x = x ( x m 1) th hm s cú i m c c tr v ch m + > m > (*) Cỏc i m c c tr c a th l A(0; m ), B( m + 1; 2m 1) v C ( m + 1; 2m 1) Suy ra: AB = ( m + 1; ( m + 1) ) v AC = ( m + 1; ( m + 1) ) 0,25 0,25 Ta cú AB = AC nờn tam giỏc ABC vuụng v ch AB AC = 0,25 ( m + 1) ( m + 1) = K t h p (*), ta 0,25 c giỏ tr m c n tỡm l m = Trang 1/4 Cõu ỏp ỏn i m Ph ng trỡnh ó cho t ng ng v i ( sin x + cos x 1) cos x = (1,0 i m) cos x = x = + k (k ) 0,25 0,25 ( 3) = cos 3 sin x + cos x = cos x x = k2 0,25 + k (k ) ho c x = + k (k ) V y nghi m c a ph ng trỡnh ó cho l x = + k , x = k v x = 3 3 ( x 1) 12( x 1) = ( y + 1) 12( y + 1) (1) (1,0 i m) H ó cho t ng ng v i: 12 12 + y+ = (2) x 2 ( ) ( ) 1 1 v y + x v y + 2 2 2 3 Xột hm s f (t ) = t 12t trờn ; , ta cú f '(t ) = 3(t 4) < , suy f(t) ngh ch bi n 2 Do ú (1) x = y + y = x (3) 2 3 + x = x x + = x = ho c x = Thay vo (2), ta c x 2 2 3 ho c ( x; y ) = ; Thay vo (3), ta c nghi m c a h l ( x; y ) = ; 2 2 dx dx t u = + ln( x + 1) v dv = , suy du = v v = (1,0 i m) x +1 x x 0,25 0,25 T (2), suy x ( ) ( ) ) ( + ln( x + 1) I= + x = + ln + ( 3 ( ) dx x( x + 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 ) + ln x 1 + ln dx = x +1 x x +1 0,25 2 = + ln ln 3 (1,0 i m) 0,25 0,25 S Ta cú SCH l gúc gi a SC v (ABC), suy SCH = 60o a a G i D l trung i m c a c nh AB Ta cú: HD= , CD = , a a 21 HC = HD + CD = , SH = HC.tan60o = 3 0,25 1 a 21 a a = VS ABC = SH S ABC = 3 12 0,25 K K Ax//BC G i N v K l n l A x N D C H B AH = t l hỡnh chi u vuụng gúc c a H trờn Ax v SN Ta cú BC//(SAN) v BA = HA nờn d ( SA, BC ) = d ( B,( SAN )) = d ( H ,( SAN )) Ta c ng cú Ax ( SHN ) nờn Ax HK Do ú HK ( SAN ) Suy d ( H ,( SAN )) = HK 2a a , HN = AH sin 60o = , HK = 3 SH HN SH + HN Trang 2/4 2 = a 42 a 42 V y d ( SA, BC ) = 12 0,25 0,25 Cõu ỏp ỏn i m Ta ch ng minh 3t t + 1, t (*) (1,0 i m) Xột hm f (t ) = 3t t , cú f '(t ) = 3t ln > 0, t v f (0) = , suy (*) ỳng 0,25 p d ng (*), ta cú | x y | + | y z | + | z x | 3+ | x y | + | y z | + | z x | p d ng b t ng th c | a | + | b | | a + b | , ta cú: (| x y | + | y z | + | z x |) = | x y |2 + | y z |2 + | z x |2 + | x y |(| y z | + | z x |) + | y z |(| z x | + | x y |) ( 2 ) 0,25 + | z x |(| x y | + | y z |) | x y | + | y z | + | z x | ( ) Do ú | x y | + | y z | + | z x| | x y |2 + | y z |2 + | z x |2 = x + y + z ( x + y + z ) 2 0,25 2 M x + y + z = 0, suy | x y | + | y z | + | z x | x + y + z Suy P = | x y | +3 | yz | + | zx | x + y + z Khi x = y = z = thỡ d u b ng x y V y giỏ tr nh nh t c a P b ng G i H l giao i m c a AN v BD K ng th ng qua H 7.a v song song v i AB, c t AD v BC l n l t t i P v Q (1,0 i m) t HP = x Suy PD = x, AP = 3x v HQ = 3x A B Ta cú QC = x, nờn MQ = x Do ú AHP = HMQ, suy AH HM H n n a, ta c ng cú AH = HM M 10 Do ú AM = MH = 2d ( M ,( AN )) = H Q P AAN, suy A(t; 2t 3) C D 11 45 10 N + 2t = MA = t 2 2 ) ( ( ) t 5t + = t = ho c t = V y: A(1; 1) ho c A(4;5) ) ( 2 IH = ; ; 3 3 Tam giỏc IAH vuụng cõn t i H, suy bỏn kớnh m t c u (S) l R = IA = IH = Do ú ph 0,25 0,25 0,25 0,25 8.a Vộc t ch ph ng c a d l a = (1; 2; 1) G i H l trung i m c a AB, suy IH AB (1,0 i m) Ta cú H d nờn t a H cú d ng H (t 1; 2t ; t + 2) IH = (t 1; 2t ; t 1) IH AB IH a = t + 4t + t = t = 0,25 ng trỡnh m t c u c n tỡm l ( S ): x + y + ( z 3)2 = 0,25 0,25 0,25 0,25 9.a n(n 1)(n 2) n (1,0 i m) 5Cn = Cn 5n = 0,25 n = (vỡ n nguyờn d 0,25 ng) n 2 x2 nx x Khi ú = = C7k x x k =0 14 S h ng ch a x5 t 7k ( 1x ) = (21)7kC7 x143k k k k 0,25 k=0 ng ng v i 14 3k = k = Do ú s h ng c n tỡm l (1)3 C73 35 x = x5 16 Trang 3/4 0,25 Cõu ỏp ỏn 7.b (1,0 i m) Ph y ng trỡnh chớnh t c c a (E) cú d ng: A a2 + y2 b2 = 1, 0,25 x Do (E) v (C) cựng nh n Ox v Oy lm tr c i x ng v cỏc giao i m l cỏc nh c a m t hỡnh vuụng nờn (E) v (C) cú m t giao i m v i t a d ng A(t ; t ), t > 0,25 A(C) t + t = 8, suy t = 0,25 A(2;2) ( E ) Ph 16 4 + = b2 = 16 b ng trỡnh chớnh t c c a (E) l 8.b (1,0 i m) M thu c d, suy t a c a M cú d ng M(2t 1; t; t + 2) x2 y + = 16 16 0,25 0,25 MN nh n A l trung i m, suy N(3 2t; t; t) 0,25 N(P) 2t t 2(2 t ) + = t = 2, suy M(3; 2; 4) 0,25 ng th ng i qua A v M cú ph 9.b (1,0 i m) x2 v i a > b > v 2a = Suy a = O i m ng trỡnh : x y + z = = 0,25 t z = a + bi (a, b ), z Ta cú 5( z + i ) = i (3a b 2) + (a 7b + 6)i = z +1 0,25 a = 3a b = b = a 7b + = 0,25 Do ú z =1+i Suy w = + z + z =1+1+ i + (1+ i )2 = + 3i 0,25 V y w = + 3i = 13 0,25 - H T - Trang 4/4 D ơ 2013 : ; m : 180 , (7,0 m) (2,0 m) m y = x3 + 3x2 + 3mx (1), m m ) m (1) m = ) m m m (1) (0; + ) (1,0 m) + tan x = 2 sin x + x + + x y4 + = y (1,0 m) x2 + 2x(y 1) + y 6y + = (x, y R) (1,0 m) x2 ln x dx x2 I= (1,0 m) S.ABC m A, ABC = 30 , SBC m a m SBC a S.ABC m C m (SAB) (1,0 m) a, b, c m (a + c)(b + c) = 4c2 m 32a3 32b3 a + b2 P = + (b + 3c)3 (a + 3c)3 c (3,0 m): m m ( ) 7. (1,0 m) m Oxy, ABCD m C d : 2x + y + = A(4; 8) M m B C, N B MD m m B C, N(5; 4) y+1 z+2 x6 = = 8. (1,0 m) Oxyz, : m A(1; 7; 3) m (P ) A m m M AM = 30 9. (1,0 m) S m 1; 2; 3; 4; 5; 6; S m S, 7. (1,0 m) m Oxy, : x y = (C) R = 10 m A B AB = (C) A B m m Oy (C) 8. (1,0 m) Oxyz, m (P ) : 2x + 3y + z 11 = m (S) : x2 + y + z 2x + 4y 2z = m (P ) (S) m m (P ) (S) 9. (1,0 m) z = + i z m w = (1 + i)z5 m : ; : B P N THANG I M THI TUY N SINH I H C N M 2013 Mụn: TON; Kh i A v kh i A1 ( ỏp ỏn - thang i m g m 04 trang) GIO D C V O T O CHNH TH C Cõu (2,0 i m) ỏp ỏn i m a (1,0 i m) Khi m = ta cú y = x3 + x T p xỏc nh: D = S bi n thiờn: 0,25 - Chi u bi n thiờn: y ' = 3x + x; y ' = x = ho c x = Kho ng ng bi n: (0; 2); cỏc kho ng ngh ch bi n: (; 0) v (2; + ) - C c tr : Hm s t c c ti u t i x = 0, yCT = 1; t c c i t i x = 2, yC = - Gi i h n: lim y = +; lim y = x 0,25 x+ - B ng bi n thiờn: x y' + 0 + + y 0,25 th : y 0,25 O x b (1,0 i m) Ta cú y ' = 3x + x + 3m Hm s (1) ngh ch bi n trờn kho ng (0; + ) v ch y ' 0, x > m x x, x > Xột f ( x) = x x v i x > Ta cú f '( x) = x 2; f '( x) = x = 0,25 0,25 B ng bi n thiờn: x f '( x) f ( x) + + + 0,25 D a vo b ng bi n thiờn ta c giỏ tr m th a yờu c u c a bi toỏn l m Trang 1/4 0,25 Cõu ỏp ỏn (1,0 i m) ng v i + ng sin x = 2(sin x + cos x) cos x 0,25 (sin x + cos x)(2cos x 1) = 0,25 sin x + cos x = x = 0,25 2cos x = x = i chi u i u ki n ta (1,0 i m) ng trỡnh ó cho t i u ki n: cos x Ph i m + k ( k ) + k (k ) 0,25 c nghi m: x = + k ho c x = + k (k ) x + + x y + = y (1) 2 x + x( y 1) + y y + = (2) 4 i u ki n: x T (2) ta 0,25 c y = ( x + y 1) , suy y t u = x 1, suy u Ph ng trỡnh (1) tr thnh: Xột f (t ) = t + + t , v i t Ta cú f '(t ) = Do ú ph ng trỡnh (3) t Thay vo ph ng ng trỡnh (2) ta 2t t +2 u4 + + u = y + + y (3) + > 0, t ng v i y = u, ngh a l x = y + c y ( y + y + y 4) = (4) Hm g ( y ) = y + y + y cú g '( y ) = y + y + > v i m i y M g (1) = 0, nờn (4) cú hai nghi m khụng õm l y = v y = V i y = ta c nghi m ( x; y ) = (1; 0); v i y = ta c nghi m ( x; y ) = (2; 1) V y nghi m ( x; y ) c a h ó cho l (1; 0) v (2; 1) (1,0 i m) t u = ln x, dv = x2 x 2 dx du = dx , v= x+ x x (1,0 i m) 0,25 0,25 0,25 G i H l trung i m c a BC, suy SH BC M (SBC) vuụng gúc v i (ABC) theo giao n BC, nờn SH (ABC) Ta cú BC = a, suy SH = S AB = BC cos30o = Do ú VS ABC = H C 0,25 2 1 = x + ln x x x x = ln 2 I 0,25 0,25 1 Ta cú I = x + ln x x + dx x xx 1 B 0,25 A 0,25 a a ; AC = BC sin 30o = ; 2 a 0,25 a3 SH AB AC = 16 Tam giỏc ABC vuụng t i A v H l trung i m c a BC nờn HA = HB M SH (ABC), suy SA = SB = a G i I l trung i m c a AB, suy SI AB 0,25 AB a 13 = 4 3V 6V a 39 Suy d (C ,( SAB )) = S ABC = S ABC = 13 S SAB SI AB 0,25 Do ú SI = SB Trang 2/4 Cõu ỏp ỏn (1,0 i m) t x= a b , y = Ta c c c x > 0, y > i m i u ki n c a bi toỏn tr thnh xy + x + y = 3 32 y x2 + y2 Khi ú P = 32 x + 3 ( y + 3) ( x + 3) (u + v) V i m i u > 0, v > ta cú u + v = (u + v) 3uv(u + v) (u + v) (u + v)3 = 4 3 3 0,25 3 32 x3 + 32 y x + y = ( x + y ) xy + x + y xy + x + y + y +3 x+3 ( y + 3)3 ( x + 3)3 Thay xy = x y vo bi u th c trờn ta c Do ú 3 32 x3 + 32 y ( x + y 1)( x + y + 6) = ( x + y 1)3 Do ú 2( x + y + 6) ( y + 3)3 ( x + 3)3 0,25 P ( x + y 1)3 x + y = ( x + y 1)3 ( x + y ) xy = ( x + y 1)3 ( x + y ) + 2( x + y ) t t = x + y Suy t > v P (t 1)3 t + 2t ( x + y)2 t2 nờn (t 2)(t + 6) Do ú t =t+ 4 t +1 Xột f (t ) = (t 1)3 t + 2t 6, v i t Ta cú f '(t ) = 3(t 1) t + 2t Ta cú = x + y + xy ( x + y ) + V i m i t ta cú 3(t 1) v t +1 t + 2t = 1+ 0,25 + = , nờn 2 (t + 1) > Suy f (t ) f (2) = Do ú P Khi a = b = c thỡ P = Do ú giỏ tr nh nh t c a P l Do C d nờn C (t ; 2t 5) G i I l tõm c a hỡnh ch nh t ABCD, suy I l trung i m c a AC Do ú I t ; 2t + 2 Tam giỏc BDN vuụng t i N nờn IN = IB Suy IN = IA A D Do ú ta cú ph ng trỡnh f '(t ) 7.a (1,0 i m) ) ( ( I N B 8.a (1,0 i m) cú vộct ch ph C M ) ( ) 2 t + 2t + = t + 2t + 2 t = Suy C (1; 7) Do M i x ng v i B qua C nờn CM = CB M CB = AD v CM||AD nờn t giỏc ACMD l hỡnh bỡnh hnh Suy AC||DM Theo gi thi t, BN DM, suy BN AC v CB = CN V y B l i m i x ng c a N qua AC ng th ng AC cú ph ng trỡnh: x + y + = ng th ng BN qua N v vuụng gúc v i AC nờn cú ph ng trỡnh x y 17 = Do ú B(3a + 17; a ) Trung i m c a BN thu c AC nờn 3a + 17 + a + = a = V y B ( 4; 7) + 2 ng l u = (3; 2;1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (P) qua A v nh n u lm vộct phỏp n, nờn (P) cú ph 3( x 1) 2( y 7) + ( z 3) = 3x + y z 14 = ng trỡnh 0,25 M thu c nờn M (6 3t ; 2t ; + t ) 0,25 AM = 30 (6 3t 1) + (1 2t 7)2 + (2 + t 3)2 = 120 7t 4t = 51 ; ; 17 t = ho c t = Suy M (3; 3; 1) ho c M 7 7 Trang 3/4 ( ) 0,25 Cõu 9.a (1,0 i m) 7.b (1,0 i m) ỏp ỏn S ph n t c a S l A37 = 210 S cỏch ch n m t s ch n t S l 3.6.5 = 90 (cỏch) 90 = Xỏc su t c n tớnh b ng 210 G i M l giao i m c a ti p n t i A v B c a (C), H l giao i m c a AB v IM Khi ú M (0; t ), v i t 0; H l trung i m AB = 2 c a AB Suy AH = M 1 = + , suy AM = 10 2 AH AM AI B Do ú MH = AM AH = |t | , nờn t = Do ú M (0; 8) M MH = d ( M , ) = H ng th ng IM qua M v vuụng gúc v i nờn cú ph ng I x + y = Do ú t a i m H th a h trỡnh A x y = H (4;4) x + y = 1 Ta cú IH = IA2 AH = = HM , nờn IH = HM 4 Do ú I (5;3) V y 8.b (1,0 i m) i m ng trũn (C) cú ph | 2.1 + 3(2) + 1.1 11| = 14 = R Do ú (P) ti p xỳc v i (S) 14 22 + 32 + 12 G i M l ti p i m c a (P) v (S) Suy M thu c ng th ng qua I v vuụng gúc v i (P) Do ú M (1 + 2t ; + 3t ;1 + t ) Do M thu c (P) nờn 2(1 + 2t ) + 3(2 + 3t ) + (1 + t ) 11 = t = V y M (3;1; 2) 9.b (1,0 i m) z = + 3i = + i 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ng trỡnh ( x 5) + ( y 3) = 10 (S) cú tõm I (1; 2;1) v bỏn kớnh R = 14 d ( I ,( P)) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = cos + i sin 3 5 Suy z = 25 cos + i sin = 16(1 3i ) 3 Do ú w = 16( + 1) + 16(1 3)i V y w cú ph n th c l 16( + 1) v ph n o l 16(1 3) - H t - Trang 4/4 0,25 0,25 0,25 ... Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi thức Môn thi : toán Khối A... -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh Bộ giáo dục đào tạo Đáp án - Thang điểm đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Đề thức Câu... giáo dục đào tạo -Đề thức đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Môn thi : Toán , Khối A Thời gian làm : 180 phút, không kể thời gian phát đề