ĐỀ và đáp án THI đại học CD TOAN 2008 2013

! "#$%& '() * ThS LU HUNH V N LONG (0986.616.225) (Gi ng viờn Tr ng H Th D u M t Bỡnh Dng) TON H C NM H C: 2008 - 2013 ! " LU HNH N I B 11/2013 B GIO D C V O T O THI TUY N SINH CAO NG N M 2008 Mụn thi: TON, kh i A Th i gian lm bi: 180 phỳt, khụng k th i gian phỏt CHNH TH C PH N CHUNG CHO T T C TH SINH Cõu I (2 i m) x x 1 Kh o sỏt s bi n thiờn v v th Cho hm s y = Tỡm m Cõu II (2 i m) Gi i ph (C) c a hm s ó cho ng th ng d : y = x + m c t th (C) t i hai i m phõn bi t ng trỡnh sin 3x cos 3x = 2sin 2x Tỡm giỏ tr c a tham s m h ph x my = cú nghi m ( x; y ) th a ng trỡnh mx + y = xy < Cõu III (2 i m) Trong khụng gian v i h t a Oxyz, cho i m A (1; 1; 3) v ng th ng d cú ph ng trỡnh x y z = = 1 Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (P) i qua A v vuụng gúc v i ng th ng d Tỡm t a i m M thu c ng th ng d cho tam giỏc MOA cõn t i nh O Cõu IV (2 i m) Tớnh di n tớch hỡnh ph ng gi i h n b i parabol ( P ) : y = x + 4x v ng th ng d : y = x Cho hai s th c x, y thay i v th a x + y = Tỡm giỏ tr l n nh t v giỏ tr nh ( ) nh t c a bi u th c P = x + y3 3xy PH N RIấNG Thớ sinh ch c lm cõu: V.a ho c V.b Cõu V.a Theo ch ng trỡnh KHễNG phõn ban (2 i m) Trong m t ph ng v i h to Oxy , tỡm i m A thu c tr c honh v i m B thu c tr c tung cho A v B i x ng v i qua ng th ng d : x 2y + = 18 Tỡm s h ng khụng ch a x khai tri n nh th c Niut n c a 2x + x Cõu V.b Theo ch Gi i ph ( x > 0) ng trỡnh phõn ban (2 i m) ng trỡnh log 22 ( x + 1) log x + + = Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang, BAD = ABC = 90o , AB = BC = a, AD = 2a, SA vuụng gúc v i ỏy v SA = 2a G i M, N l n l t l trung i m c a SA, SD Ch ng minh r ng BCNM l hỡnh ch nh t v tớnh th tớch c a kh i chúp S.BCNM theo a -H t Thớ sinh khụng c s d ng ti li u Cỏn b coi thi khụng gi i thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: B GIO D C V O T O P N - THANG I M THI TUY N SINH CAO NG N M 2008 Mụn: TON, kh i A ( ỏp ỏn - Thang i m g m 04 trang) CHNH TH C Cõu I N i dung i m 2,00 Kh o sỏt s bi n thiờn v v th c a hm s (1,00 i m) Ta cú y = + x T p xỏc nh: D = \ {1} S bi n thiờn: y ' = < 0, x D (x 1) B ng bi n thiờn: x + y' 0,25 0,25 + y Hm s khụng cú c c i v c c ti u Ti m c n: Ti m c n ng x = 1, ti m c n ngang y = th : 0,25 y 0,25 O x Tỡm m d : y = x + m c t (C) t i hai i m phõn bi t (1,00 i m) Ph ng trỡnh honh giao i m c a d v (C) l x = x + m x mx + m = (1) (do x = khụng l nghi m) x ng th ng d c t th (C) t i hai i m phõn bi t v ch ph ng trỡnh (1) cú hai nghi m phõn bi t i u ki n l : = m 4m > m > ho c m < V y m > ho c m < II 1 Gi i ph Ph ng trỡnh l ng giỏc (1,00 i m) sin 3x cos 3x = sin 2x 2 sin 3x = sin 2x 0,50 0,50 2,00 ng trỡnh ó cho 1/4 0,50 3x = 2x + k2 x = + k2 , x = (k Z ) +k 15 3x = 2x + k2 V y nghi m c a ph ng trỡnh ó cho l: (k Z ) x = + k2 , x = +k 15 Tỡm m h ph ng trỡnh cú nghi m th a xy < (1,00 i m) T ph ng trỡnh th nh t c a h ta cú x = my + (1) Thay vo ph 3m m2 + trỡnh th hai ta cú: m ( my + 1) + y = y = 0,50 ng (2) 0,50 3m + Thay (2) vo (1) ta cú x = m +1 Xột i u ki n xy < : m > 3m + 1)( m ) ( xy < ho c m < III 2,00 Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (P) (1,00 i m) Vect ch ph ng c a ng th ng d l u = (1; 1; ) Do (P) vuụng gúc v i d nờn (P) cú vect phỏp n l n P = (1; 1; ) Ph ng trỡnh m t ph ng (P) l: ( x 1) ( y 1) + ( z 3) = x y + 2z = 0,50 0,50 Tỡm t a i m M thu c d cho MOA cõn t i nh O (1,00 i m) +) M d M ( t; t; + 2t ) +) MOA cõn t i nh O OM = OA v M, O, A khụng th ng hng OM = OA t + t + ( 2t + 1) = 11 t = ho c t = 5 +) V i t = ta cú M (1; 1; 3) V i t = ta cú M ; ; 3 3 +) Th l i: c hai i m M tỡm c u th a i u ki n M, O, A khụng th ng hng V y cú hai i m M th a yờu c u bi toỏn l M1 (1; 1; 3) v 0,25 0,25 0,25 0,25 5 M2 ; ; 3 IV Tớnh di n tớch hỡnh ph ng (1,00 i m) Ph ng trỡnh honh giao i m c a hai ng ó cho l: x + 4x = x x = ho c x = Di n tớch c a hỡnh ph ng c n tỡm l: S= x + 4x x dx = x + 3x dx 2/4 2,00 0,25 0,25 Do x nờn x + 3x Suy 3 S= V y S= ( x3 x2 x + 3x dx = + = 2 ) 0,50 (vdt) Tỡm giỏ tr l n nh t v nh nh t c a P = ( x + y ) 3xy (1,00 i m) Ta cú: P = ( x + y ) ( x + y xy ) 3xy = ( x + y )( xy ) 3xy t x + y = t Do x + y = nờn xy = t2 Suy 0,25 t2 t2 = t t + 6t + P = 2t 2 Do ( x + y ) 4xy nờn t ( t ) t 0,25 Xột f ( t ) = t t + 6t + v i t [ 2; 2] Ta cú : f ' ( t ) = 3t 3t + t = [ 2; 2] f '( t ) = t = [ 2; 2] B ng bi n thiờn: t -2 f(t) + - 13 f(t) -7 V y max P = V.a 0,50 13 , P = Tỡm A Ox, B Oy (1,00 i m) +) A Ox, B Oy A ( a; ) , B ( 0; b ) , AB = ( a; b ) +) Vect ch ph 2,00 0,25 ng c a d l u = ( 2; 1) a b T a trung i m I c a AB l ; 2 +) A, B i x ng v i qua d v ch 2a + b = a = AB.u = a b = I d b + = V y A ( 2; ) , B ( 0; ) 3/4 0,25 0,50 Tỡm s h ng khụng ch a x khai tri n (1,00 i m) 18 S h ng t ng quỏt khai tri n Niut n c a 2x + l x k 18 k Tk +1 = C ( 2x ) = C18 218 k.x x 6k S h ng khụng ch a x ng v i k th a món: 18 = k = 15 V y s h ng c n tỡm l T16 = C15 18 = 6528 V.b 6k 18 k k 18 0,50 2,00 Gi i ph ng trỡnh logarit (1,00 i m) i u ki n x > Ph ng trỡnh ó cho t ng ng v i log 22 ( x + 1) 3log ( x + 1) + = t t = log ( x + 1) ta 0,50 0,25 c t 3t + = t = ho c t = 0,25 V i t = ta cú log ( x + 1) = x + = x = (th a i u ki n) V i t = ta cú log ( x + 1) = x + = x = (th a i u ki n) V y nghi m c a ph 0,50 ng trỡnh ó cho l: x = 1, x = Ch ng minh BCNM l hỡnh ch nh t v tớnh (1,00 i m) +) MN l ng trung bỡnh c a SAD MN // AD v MN = MN // BC v MN = BC BCNM l hỡnh bỡnh hnh (1) AD S M N A B 0,25 D C +) BC AB, BC SA BC ( SAB ) BC BM ( ) T (1) v (2) suy BCNM l hỡnh ch nh t 0,25 +) Ta cú: SBCNM = 2SBCM VS.BCNM = 2VS.BCM VS.BCM = VC.SBM 1 1 a3 = CB.SSBM = CB.SSAB = CB .SA.AB = 6 0,50 V y VS.BCNM = a (vtt) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà đợc đủ điểm phần nh đáp án quy định H t 4/4 B GIO D C V O T O THI TUY N SINH CAO NG N M 2009 Mụn: TON; Kh i: A Th i gian lm bi:180 phỳt, khụng k th i gian phỏt CHNH TH C PH N CHUNG CHO T T C TH SINH (7,0 i m) Cõu I (2,0 i m) Cho hm s y = x3 (2m 1) x + (2 m) x + (1), v i m l tham s th c Kh o sỏt s bi n thiờn v v th c a hm s (1) m = 2 Tỡm cỏc giỏ tr c a m hm s (1) cú c c i, c c ti u v cỏc i m c c tr c a th hm s (1) cú honh d ng Cõu II (2,0 i m) Gi i ph ng trỡnh (1 + 2sin x)2 cos x = + sin x + cos x Gi i b t ph ng trỡnh x + + x x + ( x ) Cõu III (1,0 i m) Tớnh tớch phõn I = (e2 x + x)e x dx Cõu IV (1,0 i m) Cho hỡnh chúp t giỏc u S ABCD cú AB = a, SA = a G i M , N v P l n l t l trung i m c a cỏc c nh SA, SB v CD Ch ng minh r ng ng th ng MN vuụng gúc v i ng th ng SP Tớnh theo a th tớch c a kh i t di n AMNP Cõu V (1,0 i m) Cho a v b l hai s th c th a < a < b < Ch ng minh r ng a ln b b ln a > ln a ln b PH N RIấNG (3,0 i m) Thớ sinh ch c lm m t hai ph n (ph n A ho c B) A Theo ch ng trỡnh Chu n Cõu VI.a (2,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy , cho tam giỏc ABC cú C ( 1; 2), ng trung n k t A v ng cao k t B l n l t cú ph ng trỡnh l x + y = v x + y = Tỡm t a cỏc nh A v B Trong khụng gian v i h t a Oxyz , cho cỏc m t ph ng ( P1 ) : x + y + 3z + = v ( P2 ) : 3x + y z + = Vi t ph m t ph ng ( P1 ) v ( P2 ) ng trỡnh m t ph ng ( P ) i qua i m A(1; 1; 1), vuụng gúc v i hai Cõu VII.a (1,0 i m) Cho s ph c z th a (1 + i )2 (2 i) z = + i + (1 + 2i) z Tỡm ph n th c v ph n o c a z B Theo ch ng trỡnh Nõng cao Cõu VI.b (2,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy , cho cỏc ng th ng : x y = v : x + y + = Tỡm t a i m M thu c ng th ng cho kho ng cỏch t i m M n ng th ng b ng 2 Trong khụng gian v i h t a Oxyz , cho tam giỏc ABC cú A(1; 1; 0), B (0; 2; 1) v tr ng tõm G (0; 2; 1) Vi t ph ng trỡnh ng th ng i qua i m C v vuụng gúc v i m t ph ng ( ABC ) Cõu VII.b (1,0 i m) z 7i Gi i ph ng trỡnh sau trờn t p h p cỏc s ph c: = z 2i z i H t -Thớ sinh khụng c s d ng ti li u Cỏn b coi thi khụng gi i thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: B P N THANG I M THI TUY N SINH CAO NG N M 2009 Mụn: TON; Kh i: A ( ỏp ỏn - thang i m g m 04 trang) GIO D C V O T O CHNH TH C P N THANG I M Cõu I (2,0 i m) ỏp ỏn i m (1,0 i m) Kh o sỏt s bi n thiờn v v th Khi m = 2, hm s (1) tr thnh y = x3 x + T p xỏc nh: Chi u bi n thiờn: - Ta cú y ' = x x; y ' = x = ho c x = - Hm s ng bi n trờn cỏc kho ng (; 0) v (2; + ) - Hm s ngh ch bi n trờn kho ng (0; 2) C c tr : - Hm s t c c i t i x = 0, yC = y(0) = - Hm s t c c ti u t i x = 2, yCT = y(2) = Cỏc gi i h n t i vụ c c: lim y = v lim y = + x B ng bi n thiờn: x + + + th 0,25 + y 0,25 x+ y' 0,25 y 2 O 0,25 x 2 (1,0 i m) Tỡm cỏc giỏ tr c a m Ta cú y ' = 3x ( 2m 1) x + m m th a yờu c u c a bi toỏn v ch ph nghi m d ng phõn bi t ' = (2m 1) 3(2 m) > 2(2m 1) S = >0 2m P = > < m < Trang 1/4 ng trỡnh y ' = cú hai 0,25 0,25 0,50 Cõu II (2,0 i m) ỏp ỏn (1,0 i m) Gi i ph Ph ng trỡnh ó cho t sin x = x = i m ng trỡnh ng ng v i (sin x + 1)(2sin x 1) = 0,50 + k (k ) 0,25 + k (k ) x = + k ho c x = 12 12 (1,0 i m) Gi i b t ph ng trỡnh sin x = 0,25 i u ki n: x 0,25 ng trỡnh ó cho t B t ph ng ng v i ( x + 1)( x 2) 0,25 x 0,25 K t h p i u ki n ta III (1,0 i m) 1 c t p h p nghi m c a b t ph I = e dx + xe dx = e x x x 1 ng trỡnh ó cho l [ 2; 3] 1 + xe dx = + xe x dx e 0 x 0,25 t u = x v dv = e x dx, ta cú du = dx v v = e x 1 1 I = + xe x e x dx = + e e x e e IV (1,0 i m) 0,25 0,25 = e 0,25 Ta cú MN //CD v SP CD, suy MN SP 0,50 G i O l tõm c a ỏy ABCD a Ta cú SO = SA2 OA2 = 1 VAMNP = VABSP = VS ABCD a 1 = SO AB = 48 S M N 0,50 A D P O B V (1,0 i m) 0,25 B t ng th c c n ch ng minh t ng C ng v i ln a a2 + < ln b b2 + (t + 1) 2t ln t ln t t Xột hm s f (t ) = , t (0; 1) Ta cú f '(t ) = > 0, t (0; 1) t +1 (t + 1) Do ú f (t ) ng bi n trờn kho ng (0; 1) M < a < b < 1, nờn f (a ) < f (b) V y ln a a +1 Trang 2/4 < ln b b2 + 0,25 0,50 0,25 Cõu VI.a (2,0 i m) ỏp ỏn i m (1,0 i m) Tỡm t a cỏc nh A v B ng th ng AC qua C v vuụng gúc v i Do ú AC : x y + = ng th ng x + y = x + y = A(1; 4) T a i m A th a h 3x y + = i m B thu c ng th ng x + y = v trung i m c a BC thu c x + 3y = th ng x + y = T a i m B th a h x y + = B (5; 0) VI.b (2,0 i m) 0,25 ng 0,25 0,25 (1,0 i m) Vi t ph VII.a (1,0 i m) 0,25 ng trỡnh m t ph ng (P) (P1) cú vect phỏp n n1 = (1; 2; 3) (P2) cú vect phỏp n n2 = (3; 2; 1) (P) cú vect phỏp n n = (4; 5; 2) 0,25 (P) qua A(1; 1; 1) nờn ( P ) : x y + z = 0,50 H th c ó cho t 0,25 ng ng v i (1 + 2i ) z = + i z = 3i 0,50 0,25 Do ú z cú ph n th c l v ph n o l (1,0 i m) Tỡm t a i m M M M (2t + 3; t ) 0,25 Kho ng cỏch t M n l d ( M , ) = | 2t + + t + 1| t = 1 d (M , ) = t = V y M (1; 1) ho c M ; 3 (1,0 i m) Vi t ph 0,25 ng trỡnh T a i m C th a h 0,25 0,25 0,25 ng th ng + x =0 3+ y = C ( 1; 3; 4) 1+ z = 0,25 Ta cú AB = ( 1; 1; 1), AG = ( 1; 1; 1) 0,25 M t ph ng ( ABC ) cú vect phỏp n n = (1; 1; 0) 0,25 Ph ng trỡnh tham s c a x = + t ng th ng l y = + t z = Trang 3/4 0,25 Cõu ỏp ỏn i m 2 x + y = x y (1) ng trỡnh 2 (2) x xy y = 2 (1,0 i m) Gi i h ph i u ki n: x + y ng trỡnh (1) tr thnh: t + 2t = t t = x + y , t Ph t = t = (loại) 0,25 x =1 c x2 + x = x = V i x = ta c y = 1, v i x = ta c y = V y h cú hai nghi m (x; y) l (1; 1) v (3;7) V i t = 1, ta cú y = x Thay vo (2) ta III (1,0 i m) 0,25 0,25 (1,0 i m) Tớnh tớch phõn I= 1 dx dx = dx x +1 x +1 = x 3ln IV (1,0 i m) 0,25 0 0,25 x +1 0,50 = 3ln (1,0 i m) Tớnh th tớch kh i chúp 0,25 S D A I 45o B C G i I l trung i m AB Ta cú SA = SB SI AB M ( SAB ) ( ABCD), suy SI ( ABCD) Gúc gi a SC v (ABCD) b ng SCI v b ng 45O, suy SI = IC = IB + BC = a Th tớch kh i chúp S.ABCD l V = SI S ABCD a3 ( n v th tớch) (1,0 i m) Tỡm giỏ tr nh nh t c a bi u th c 1 + Ta cú A = + x xy x x + y 0,25 0,25 8 = = x x+ y x( x + y ) x + ( x + y ) x + y D u b ng x y v ch x = y = V y giỏ tr nh nh t c a A b ng VI.a (2,0 i m) 0,25 0,25 = V (1,0 i m) 0,25 0,50 0,25 (1,0 i m) Tỡm t a hỡnh chi u vuụng gúc Hỡnh chi u vuụng gúc A' c a A trờn (P) thu c vect ch ph ng T a A' cú d ng A '(1 + t ; + t ; + t ) Ta cú: A ' ( P) 3t + = t = ng th ng i qua A v nh n u = (1; 1; 1) lm V y A '(1; 4;1) 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 2/3 Cõu ỏp ỏn (1,0 i m) Vi t ph ng trỡnh m t c u AB = ng th ng AB nờn t a I cú d ng I (1 + t ; t ;3 + t ) Ta cú AB = ( 2; 2; 2) = 2(1; 1; 1) Bỏn kớnh m t c u l R = 0,25 Tõm I c a m t c u thu c 0,25 Ta cú: d ( I ,( P)) = t+6 t = AB = 3 t = t = I ( 4;3; 2) M t c u (S) cú ph t = I ( 6;5; 4) M t c u (S) cú ph ng trỡnh l ( x + 4)2 + ( y 3)2 + ( z + 2)2 = 2 ng trỡnh l ( x + 6) + ( y 5) + ( z + 4) = VII.a (1,0 i m) (1,0 i m) Tỡm ph n th c v ph n o G i z = a + bi (a , b ) ng th c ó cho tr thnh 6a + 4b 2(a + b)i = 6i VI.b (2,0 i m) 6a + 4b = a = 2a + 2b = b = V y z cú ph n th c b ng 2, ph n o b ng (1,0 i m) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng d cú vect ch ph ng a = ( 2; 1; 1), (P) cú vect phỏp n n = (2; 1;2) G i (Q) l m t ph ng ch a d v vuụng gúc v i (P) Ta cú A(0;1;0)d nờn (Q) i qua A v [a , n ] l vect phỏp n c a (Q) 1 2 Ta cú [a , n ] = ; ; = 3(1; 2; 0) 2 2 Ph ng trỡnh m t ph ng (Q) l x + y = (1,0 i m)Tỡm t a i m M M d nờn t a i m M cú d ng M (2t ;1 + t ; t ) VII.b (1,0 i m) i m 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta cú MO = d ( M ,( P)) 4t + (t + 1)2 + t = t + 0,25 5t = t = Do ú M (0;1;0) (1,0 i m) Gi i ph ng trỡnh 0,25 Ph ng trỡnh cú bi t th c = (1 + i )2 4(6 + 3i ) = 24 10i = (1 5i ) Ph 0,25 0,25 0,50 ng trỡnh cú hai nghi m l z = 2i v z = 3i - H t - Trang 3/3 0,25 B GIO D C V O T O THI TUY N SINH CAO NG N M 2011 Mụn: TON; Kh i: A Th i gian lm bi: 180 phỳt, khụng k th i gian phỏt CHNH TH C PH N CHUNG CHO T T C TH SINH (7,0 i m) x + x x +1 Kh o sỏt s bi n thiờn v v th (C) c a hm s ó cho Vi t ph ng trỡnh ti p n c a th (C) t i giao i m c a (C) v i tr c tung Cõu I (2,0 i m) Cho hm s y= Cõu II (2,0 i m) Gi i ph ng trỡnh cos x + 12sin x = Gi i b t ph ng trỡnh x 3.2 x + x2 x Cõu III (1,0 i m) Tớnh tớch phõn I = 41+ x2 x > 2x +1 dx x( x + 1) Cõu IV (1,0 i m) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn t i B, AB = a, SA vuụng gúc v i m t ph ng (ABC), gúc gi a hai m t ph ng (SBC) v (ABC) b ng 30o G i M l trung i m c a c nh SC Tớnh th tớch c a kh i chúp S.ABM theo a Cõu V (1,0 i m) Tỡm cỏc giỏ tr c a tham s th c m ph ng trỡnh sau cú nghi m + x + (4 x)(2 x 2) = m + 4 x + x ( x ) ( PH N RIấNG (3,0 i m): Thớ sinh ch A Theo ch ) c lm m t hai ph n (ph n A ho c B) ng trỡnh Chu n Cõu VI.a (2,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho ng th ng d : x + y + = Vi t ph ng trỡnh ng th ng i qua i m A(2; 4) v t o v i ng th ng d m t gúc b ng 45o Trong khụng gian v i h t a Oxyz, cho hai i m A(1; 2; 3), B(1; 0; 5) v m t ph ng ( P) : x + y 3z = Tỡm t a i m M thu c (P) cho ba i m A, B, M th ng hng Cõu VII.a (1,0 i m) Cho s ph c z th a (1 + 2i ) z + z = 4i 20 Tớnh mụun c a z B Theo ch ng trỡnh Nõng cao Cõu VI.b (2,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho tam giỏc ABC cú ph ng trỡnh cỏc c nh l AB: x + y = 0, BC: x + y = 0, CA : 3x + y = Vi t ph ng trỡnh ng cao k t nh A c a tam giỏc ABC x y +1 z = = Vi t ph ng trỡnh Trong khụng gian v i h t a Oxyz, cho ng th ng d : m t c u cú tõm I(1; 2; 3) v c t ng th ng d t i hai i m A, B cho AB = 26 Cõu VII.b (1,0 i m) Cho s ph c z th a z 2(1 + i ) z + 2i = Tỡm ph n th c v ph n o c a - H t -Thớ sinh khụng c s d ng ti li u Cỏn b coi thi khụng gi i thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: .; S bỏo danh: z B P N THANG I M THI TUY N SINH CAO NG N M 2011 Mụn: TON; Kh i A ( ỏp ỏn - thang i m g m 03 trang) GIO D C V O T O CHNH TH C P N THANG Cõu I (2,0 i m) I M ỏp ỏn i m (1,0 i m) T p xỏc nh: D = x =1 y ' = x + x 3; y ' = x = Gi i h n: 0,25 lim y = + , lim y = x x + B ng bi n thiờn: x y + y + + 0,25 - Hm s ng bi n trờn kho ng (1; 3); ngh ch bi n trờn m i kho ng ( ; 1) v (3; + ) - Hm s t c c i t i x = 3, yC = 1; t c c ti u t i x = 1, yCT = th : 0,25 y O 3 x 0,25 (1,0 i m) T a giao i m c a (C) v i tr c tung l (0; 1) 0,25 H s gúc c a ti p n l k = y '(0) = 0,25 Ph ng trỡnh ti p n l y = k ( x 0) + y = x + II (2,0 i m) 0,25 0,25 (1,0 i m) Ph ng trỡnh ó cho t ng ng v i 2cos 2 x + 6(1 cos x) = 0,25 cos 2 x 3cos x + = 0,25 cos2x = 2: Vụ nghi m 0,25 cos x = x = k (k Z) 0,25 Trang 1/3 Cõu ỏp ỏn i m (1,0 i m) i u ki n: x ho c x B t ph ng trỡnh ó cho t t t = x x x ng ng v i x x x 3.2 x x x 0,25 > > 0, b t ph ng trỡnh trờn tr thnh t 3t > t > (do t > 0) x2 x < x < x < K t h p v i i u ki n, ta c nghi m c a b t ph ng trỡnh ó cho l x < III (1,0 i m) 0,25 0,25 0,25 Ta cú I = + dx x x +1 x dx = l n | x | = ln 2 0,25 0,25 x + dx = l n | x + 1| = ln ln 2 0,25 IV Do ú I = ln S 0,25 (1,0 i m) M A C Ta cú SA BC, AB BC SB BC Do ú, gúc gi a (SBC) v (ABC) b ng SBA = 30o 0,25 1 VS ABM = VS ABC = SA AB.BC 12 0,25 BC = AB = a; SA = AB.tan 30o = V y VS ABM = V (1,0 i m) B i u ki n: x Xột f ( x) = x + x 2, x 1 f '( x) = ; f '( x) = x = + x 2x B ng bi n thiờn (hỡnh bờn) t t = x + x Ph thiờn, ta c ph a 0,25 a3 36 0,25 x f(x) 3 + 0,25 f(x) ng trỡnh ó cho tr thnh t 4t + = m (1) D a vo b ng bi n ng trỡnh ó cho cú nghi m (1) cú nghi m t th a Xột g (t ) = t 4t + 4, t g '(t ) = 2t 4; g '(t ) = t = B ng bi n thiờn (hỡnh bờn) t g(t) t 3 74 0,25 + 0,25 g(t) VI.a (2,0 i m) D a vo b ng bi n thiờn, ta c giỏ tr m c n tỡm l m 1 (1,0 i m) Ph ng trỡnh c a ng th ng qua A(2; 4) v cú vect phỏp n v = (a; b) l a( x 2) + b( y + 4) = 0, v i a + b Vect phỏp n c a d l u = (1; 1) Do ú cos(d , ) = |a+b| a + b cos(d , ) = cos 45o ab = V i a = 0, ta cú ph 0,25 0,25 0,25 0,25 ng trỡnh : y + = 0; v i b = 0, ta cú ph Trang 2/3 ng trỡnh : x = 0,25 Cõu ỏp ỏn i m (1,0 i m) A, B, M th ng hng M thu c VII.a (1,0 i m) ng th ng AB Ta cú AB = (2; 2; 8) = 2(1; 1; 4); M AB M (1 + t ; t ; 4t ) 0,25 M ( P ) 2( + t ) + (2 t ) 3(3 4t ) = 0,25 0,25 t = V y M (0; 1; 1) t z = a + bi (a, b ) ng th c ó cho tr thnh (3 + 4i )(a + bi ) + (a bi ) = 4i 20 a + 2b = 10 a b = a = b = (2,0 i m) 0,25 0,25 0,25 Do ú | z | = 42 + 32 = VI.b 0,25 0,25 (1,0 i m) T a c a i m A th a h ph x + 3y = ng trỡnh 3x + y = 0,25 A(1; 2) 0,25 ng cao k t A cú vect phỏp n l n = (5; 4) Ph ng trỡnh ng cao l 5( x 1) 4( y 2) = x y + = 0,25 0,25 (1,0 i m) M t ph ng (P) qua I v vuụng gúc v i d cú ph x y + z + = T a giao i m H c a d v (P) th a h ng trỡnh l 4( x 1) 3( y 2) + ( z + 3) = x y +1 z = = 1 H 1; ; 2 x y + z + = 0,25 0,25 AB Bỏn kớnh m t c u l R = IH + = Ph VII.b (1,0 i m) ng trỡnh m t c u l ( x 1) + ( y 2) + ( z + 3) = 25 Ph ng trỡnh b c hai theo z cú = 4(1 + i )2 8i = z =1+ i 1 1 = = i z 1+ i 2 1 1 V y ph n th c c a b ng , ph n o c a b ng z z 2 - H t - Trang 3/3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 B THI TUY N SINH CAO NG N M 2012 Mụn: TON; Kh i A, Kh i A1, Kh i B v Kh i D Th i gian lm bi: 180 phỳt, khụng k th i gian phỏt GIO D C V O T O CHNH TH C I PH N CHUNG CHO T T C TH SINH (7,0 i m) 2x + Cõu (2,0 i m) Cho hm s y = (1) x +1 a) Kh o sỏt s bi n thiờn v v th c a hm s (1) b) Vi t ph ng trỡnh ti p n d c a th hm s (1), bi t r ng d vuụng gúc v i ng th ng y = x + Cõu (2,0 i m) a) Gi i ph ng trỡnh 2cos x + sin x = sin 3x b) Gi i b t ph ng trỡnh log (2 x).log3 (3x) > Cõu (1,0 i m) Tớnh tớch phõn I = x x +1 dx Cõu (1,0 i m) Cho kh i chúp S ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn t i A, AB = a , SA = SB = SC Gúc gi a ng th ng SA v m t ph ng ( ABC ) b ng 60o Tớnh th tớch kh i chúp S ABC v bỏn kớnh m t c u ngo i ti p hỡnh chúp S ABC theo a Cõu (1,0 i m) Gi i ph ng trỡnh x3 + x ( x + 1) x + = ( x ) II PH N RIấNG (3,0 i m): Thớ sinh ch c lm m t hai ph n riờng (ph n A ho c ph n B) A Theo ch ng trỡnh Chu n Cõu 6.a (2,0 i m) a) Trong m t ph ng v i h t a Oxy , cho ng trũn (C ) : x + y x y + = v ng th ng d : x y + m = Tỡm m d c t (C ) t i hai i m A, B cho AIB = 120o , v i I l tõm c a (C ) b) Trong khụng gian v i h t a Oxyz , cho hai ng th ng: x = t d1 : y = 2t (t ), z = t Ch ng minh d1 v d c t Vi t ph ng trỡnh m t ph ng ch a hai Cõu 7.a (1,0 i m) Cho s ph c z th a (1 2i ) z m t ph ng t a Oxy x = + 2s d : y = + 2s (s ) z = s ng th ng d1 , d 2i = (3 i ) z Tỡm t a i m bi u di n c a z 1+ i B Theo ch ng trỡnh Nõng cao Cõu 6.b (2,0 i m) a) Trong m t ph ng v i h t a Oxy , cho tam giỏc ABC Cỏc ng th ng BC , BB ', B ' C ' l n l t cú ph ng trỡnh l y = 0, x y + = 0, x y + = 0; v i B ', C ' t ng ng l chõn cỏc ng cao k t B, C c a tam giỏc ABC Vi t ph ng trỡnh cỏc ng th ng AB, AC x y +1 z +1 v m t ph ng b) Trong khụng gian v i h t a Oxyz , cho ng th ng d : = = 1 ( P ) : x + y z = ng th ng n m ( P ) vuụng gúc v i d t i giao i m c a d v ( P) Vi t ph ng trỡnh ng th ng Cõu 7.b (1,0 i m) G i z1 , z2 l hai nghi m ph c c a ph Thớ sinh khụng ng trỡnh z z + + 2i = Tớnh z1 + z2 - H t -c s d ng ti li u Cỏn b coi thi khụng gi i thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh B P N THANG I M THI TUY N SINH CAO NG N M 2012 Mụn: TON; Kh i A, Kh i A1, Kh i B v Kh i D ( ỏp ỏn - thang i m g m 04 trang) GIO D C V O T O CHNH TH C Cõu (2,0 i m) ỏp ỏn i m a) (1,0 i m) Kh o sỏt s bi n thiờn v v th c a hm s y= 2x + x +1 (1) T p xỏc nh: R \ {1} S bi n thiờn: - o hm: y ' = 0,25 , y ' < , x ( x + 1) - Hm s ngh ch bi n trờn cỏc kho ng ( ; 1) v (1; + ) - Gi i h n v ti m c n: lim y = lim y = ; ti m c n ngang y = x x + lim y = v x ( 1) lim y = + ; ti m c n ng x = x ( 1) + 0,25 - Hm s khụng cú c c tr - B ng bi n thiờn: x y' y + + 0,25 th : y 0,25 -1 b) (1,0 i m) Vi t ph y = x + d vuụng gúc v i x0 = : Ph (2,0 i m) ng th ng y = x + d cú h s gúc b ng x0 = = ( x0 + 1) x0 = ng trỡnh ti p n d l y = x + ng trỡnh ti p n d l y = x a) (1,0 i m) Gi i ph Ph x ng trỡnh ti p n d c a th hm s (1), bi t r ng d vuụng gúc v i Honh ti p i m l x0 : y '( x0 ) = x0 = : Ph O ng trỡnh ó cho t ng th ng 0,25 0,25 0,25 0,25 ng trỡnh: 2cos x + sin x = sin x ng ng v i: 2cos x + sin x sin x = 2cos x 2cos x sin x = 1/4 0,25 cos2 x = 2cos x(sin x 1) = sin x = cos x = x = sin x = x = +k 0,25 0,25 + k 0,25 b) (1,0 i m) Gi i b t ph ng trỡnh log ( x ) log ( x ) > i u ki n x > B t ph ng trỡnh t (1 + log x )(1 + log x ) > ng ng v i 0,25 log x < log (1 + log x)(1 + log 2.log x) > log x [ (log3 2).log x + log3 6] > log x > 0,25 log x < log < x < 0,25 log x > x > T p nghi m c a b t ph (1,0 i m) Tớnh tớch phõn I = x x +1 t ng trỡnh ó cho: 0; (1; + ) 0,25 dx x + = t ; dx = 2tdt ; x = t = 1; x = t = 0,25 Ta cú I = 2(t 1)dt 0,25 t3 Suy I = t 0,25 I= (1,0 i m) 0,25 Cho kh i chúp S ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn t i A, AB = a , SA = SB = SC Gúc gi a ng th ng SA v m t ph ng ( ABC ) b ng 60o Tớnh th tớch kh i chúp S ABC v bỏn kớnh m t c u ngo i ti p hỡnh chúp S ABC theo a G i H l trung i m c a BC HA = HB = HC K t h p v i gi thi t SA = SB = SC suy SH BC , SHA = SHB = SHC S SH ( ABC ) v SAH = 60o 0,25 H 2a B 60o C a A ABC vuụng cõn t i A : AC = AB = a BC = 2a AH = a 1 3a SHA vuụng : SH = AH tan 60o = a VS ABC = AB AC SH = 3 2/4 0,25 G i O, R l n l t l tõm, bỏn kớnh c a m t c u ngo i ti p hỡnh chúp S ABC O thu c SH O thu c m t ph ng ( SBC ) R l bỏn kớnh ng trũn ngo i ti p SBC Xột SHA, ta cú SA = (1,0 i m) 2a 2a SH = = 2a SBC u cú di c nh b ng a R = o o 2sin 60 sin 60 ng trỡnh x3 + x ( x + 1) x + = Gi i ph i u ki n x Ph ng trỡnh ó cho t ng (2 x)3 + x = Xột hm s f (t ) = t + t trờn f (t ) ng bi n trờn Gi i ph 6.a (2,0 i m) ng th ng ng trỡnh trờn ( 0,25 ( x ) ng v i: ) 0,25 2x + + 2x + (1) V i m i t , f '(t ) = 3t + > 0,25 Do ú (1) x = x + c nghi m x = 0,25 0,25 1+ 0,25 a) (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho ng trũn (C ) : x + y x y + = v ng th ng d : x y + m = Tỡm m d c t (C ) t i hai i m A, B cho AIB = 120o , v i I l tõm c a (C ) ng trũn (C ) cú tõm I (1;2), bỏn kớnh R = 0,25 G i H l hỡnh chi u c a I trờn d , ú: AIB = 120o IH = IA cos60o = |m2| =1 m = m = Do ú 0,25 0,25 0,25 b) (1,0 i m) Trong khụng gian v i h t a Oxyz, cho hai ng th ng: x = + 2s d : y = + s (s ) z = s x = t d1 : y = 2t (t ), z = t Ch ng minh d1 v d c t Vi t ph ng trỡnh m t ph ng ch a hai ng th ng d1 , d t = + 2s Xột h 2t = + 2s (*) t = s Gi i h (*) 0,25 t = d1 , d c t c s = 0,25 d1 cú VTCP u1 = (1; 2; 1) , d cú VTCP u2 = ( 2; 2; 1) M t ph ng c n tỡm l m t ph ng i qua i m I (0;0;1) d1 v cú m t VTPT l [u1 , u ] = ( 0; 1; ) Ph 7.a (1,0 i m) ng trỡnh m t ph ng c n tỡm: y + z = Cho s ph c z th a (1 2i) z Oxy Ph ng trỡnh ó cho t ng 0,25 0,25 2i = (3 i ) z Tỡm t a i m bi u di n c a z m t ph ng t a 1+ i ng v i (1 2i) z (3 i) z = 3/4 2i 1+ i 0,25 (2 i) z = z= 3i 0,25 + i 10 10 0,25 0,25 i m bi u di n c a z l M ; 10 10 6.b (2,0 i m) a) (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho tam giỏc ABC Cỏc ng th ng BC , BB ', B ' C ' l n l t cú ph ng trỡnh l y = 0, x y + = 0, x y + = 0; v i B ', C ' t ng ng l chõn cỏc ng B, C c a tam giỏc ABC Vi t ph ng trỡnh cỏc ng th ng AB, AC cao k t x y + = , gi i h ta x 3y + = x = c B '(2;0) y = ng th ng AC i qua B ' v vuụng gúc v i BB ' nờn AC cú ph ng trỡnh x + y + = T a c a i m B ' l nghi m c a h T a c a i m B l nghi m c a h T a c a i m C l nghi m c a h x y + = , gi i h ta y = x + y + = , gi i h ta y = x = c B (0; 2) y = x = c C ( 4;2) y = C '(3t 2; t ) B ' C ', t BC ' CC ' suy C '( ; ) ho c C '( 2;0) 5 N u C '( ; ) thỡ ng th ng AB cú ph ng trỡnh l x y + = 5 N u C '(2;0) thỡ ng th ng AB cú ph ng trỡnh l x y + = (1,0 i m) 0,25 0,25 ng th ng d : G i I l giao i m c a d v ( P) ; I (1; 2;0) 0,25 ( P) cú m t VTPT l nP = (2;1; 2) , d cú m t VTCP l ud = ( 1; 1;1) 0,25 [ nP , ud ] = ( 1;0; 1) n m ( P) vuụng gúc v i d cú m t VTCP l u = [nP ; ud ] 0,25 Ph 7.b 0,25 x y +1 z +1 = = v m t 1 ng th ng n m ( P) vuụng gúc v i d t i giao i m c a d v ng th ng b) (1,0 i m) Trong khụng gian v i h t a Oxyz, cho ph ng ( P) : x + y z = ( P ) Vi t ph ng trỡnh 0,25 ng trỡnh x = t ng th ng : y = ( t ) z = t G i z1 , z2 l nghi m ph c c a ph Ph ng trỡnh ó cho t ng 0,25 ng trỡnh z z + + 2i = Tớnh z1 + z2 ng v i ( z 1) (1 i ) = ( z i )( z + i ) = 0,25 0,25 z = i z = i z1 + z2 =| i | + | i |= + 0,25 0,25 H T 4/4 D ơ 2013 : ; , 1, D m : 180 , (7,0 m) 2x + (2,0 m) m y = x1 ) (C) m ) M m (C) (C) M Ox Oy A B m OAB (1,0 m) cos x + sin 2x = xy 3y + = (x, y R) (1,0 m) 4x 10y + xy = (1,0 m) I= dx + 2x (1,0 m) ABC.AB C AB = a AB m 60 M N m AC BC a ABC.AB C MN (1,0 m) m m (x m) x m m (3,0 m): m m ( ) 7. (1,0 m) m Oxy, d : x + y = 0, : x y + = m M(1; 3) M, m d, m A B AB = 8. (1,0 m) Oxyz, m A(4; 1; 3) y+1 z3 x1 = = m m A d d: 1 9. (1,0 m) z m (3 + 2i)z + (2 i)2 = + i m w = (1 + z) z 7. (1,0 m) m Oxy, m ABC A(3; 2) 1 A m ABC m P (2; 0) m G ; 3 m m B C 8. (1,0 m) Oxyz, m A(1; 3; 2) m (P ) : 2x 5y + 4z 36 = I A m (P ) m m I m A 9. (1,0 m) z + (2 3i)z 3i = C m : ; : B P N THANG I M THI TUY N SINH CAO NG N M 2013 Mụn: TON; Kh i A, Kh i A1, Kh i B v Kh i D ( ỏp ỏn - thang i m g m 03 trang) GIO D C V O T O CHNH TH C Cõu (2,0 i m) ỏp ỏn i m a (1,0 i m) T p xỏc nh: D = \{1} S bi n thiờn: - Chi u bi n thiờn: y ' = 0,25 ; y ' < 0, x D ( x 1)2 Hm s ngh ch bi n trờn t ng kho ng ( ;1) v (1; + ) - Gi i h n v ti m c n: lim y = lim y = ; ti m c n ngang: y = x x+ 0,25 lim y = , lim y = + ; ti m c n ng: x = x1 x1+ - B ng bi n thiờn: x y' + 0,25 + y th : y 0,25 O x b (1,0 i m) M (m;5) (C ) = Ph 2m + m = Do ú M (2;5) m ng trỡnh ti p n d c a (C) t i M l: y = y '(2)( x 2) + 5, hay d : y = x + 11 d c t Ox t i A (113 ; 0), c t Oy t i B(0; 11) 1 11 121 Di n tớch tam giỏc OAB l S = OA.OB = 11 = 2 Trang 1/3 0,25 0,25 0,25 0,25 Cõu (1,0 i m) ỏp ỏn Ph ng trỡnh ó cho t ng i m ng v i sin x = sin x 0,25 sin x = sin( x ) 0,25 2x = x + k (k ) x = + x + k 0,25 x = k (k ) x = + k V y nghi m c a ph (1,0 i m) { 0,25 ng trỡnh ó cho l x = k , x = + k ( k ) xy y +1 = (1) x 10 y + xy = (2) y (3) c x= y Nh n xột: y = khụng th a (1) T (1) ta Thay vo (2) ta c y3 11 y +12 y = y = ho c y = ho c y = Thay vo (3) ta (1,0 i m) 0,25 0,25 c nghi m (x; y) c a h l (2;1), (52; 2) v (32 ; 23) t t = x Suy dx = tdt ; x = thỡ t =1, x = thỡ t = ( ) t dt = dt t +1 t +1 Khi ú I = = (t ln | t +1|) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = ln (1,0 i m) 0,25 A AA ' ( ABC ) A ' BA l gúc gi a A' B v i ỏy A ' BA = 60o C N AA ' = AB.tan A ' BA = a B Do ú VABC A' B 'C ' = AA '.SABC = C M A Suy MNK vuụng t i K, cú MK = B Do ú MN = MK + NK = i u ki n: x 3a3 AB a = , NK = AA ' = a 2 a 13 0,25 0,25 t t = x 1, suy t t3 t + t +1 (t 1)(2t + 5t + 5) t3 t + Xột f (t ) = , v i t Ta cú f '(t ) = ; f '(t ) = t = t +1 (t +1)2 B ng bi n thiờn: + t B t ph 0,25 G i K l trung i m c a c nh BC K (1,0 i m) 0,25 ng trỡnh ó cho tr thnh m f '(t ) 0,25 + + f (t ) 0,25 0,25 D a vo b ng bi n thiờn ta c b t ph ng trỡnh ó cho cú nghi m v ch m Trang 2/3 0,25 Cõu ỏp ỏn G i (C) l ng trũn c n vi t ph Do I d , suy I (t ;3 t ) 7.a (1,0 i m) M 8.a (1,0 i m) 9.a (1,0 i m) 7.b (1,0 i m) IH = d ( I ; ) = B H ng trỡnh v I l tõm c a (C) G i H l trung i m c a AB, suy AH = I A i m AB v = 2 | 2t 1| Do ú IA = IH + AH = 2t 2t + T IM = IA ta Do ú I (1;2) c 2t + 2t +1 = 2t 2t + 5, suy t = Bỏn kớnh c a (C) l R = IM = Ph ng trỡnh c a (C) l ( x 1)2 + ( y 2)2 = G i (P) l m t ph ng qua A v vuụng gúc v i d Ph ng trỡnh c a (P) l x y + z 12 = G i H l giao i m c a d v (P) Suy H (1 + 2t ; t ; + t ) Do H ( P) nờn 2(1 + 2t ) (1 t ) + (3 + t ) 12 = Suy t = Do ú H (3; 2;4) G i A ' l i m i x ng c a A qua d, suy H l trung i m c a o n AA ' Do ú A '(2; 3;5) (3 + 2i ) z + (2 i )2 = + i (3 + 2i ) z = + 5i z = + i Suy w = (2 + i )(1 i ) = i V y w cú ph n th c b ng v ph n o b ng G i M l trung i m c a c nh BC Suy AM = AG Do ú M 2; 2 A ng th ng BC i qua M v vuụng gúc v i AP, nờn cú ph ng trỡnh x y = Tam giỏc ABC vuụng t i A nờn B v C thu c ng trũn tõm M, G P 5 B C bỏn kớnh MA = T a cỏc i m B v C l nghi m c a h M x y = 125 + + = x y ( 2) x = 7, y = x = 3, y = V y B(7;2), C (3; 3) ho c B(3; 3), C (7;2) Do IA ( P ) nờn I (1+ 2t ;3 5t ;2 + 4t ) Do I ( P ) nờn 2(1 + 2t ) 5(3 5t ) + 4(2 + 4t ) 36 = 0, suy t = Do ú I (1; 2;6) ( ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ( ) 8.b (1,0 i m) Ta cú IA = Ph ng trỡnh m t c u tõm I v i qua i m A l ( x 1)2 + ( y + 2)2 + ( z 6)2 = 45 9.b (1,0 i m) Ph ng trỡnh z + (2 3i ) z 3i = cú bi t th c = Suy = i Nghi m c a ph ho c z = + i ng trỡnh ó cho l z = + 2i - H t - Trang 3/3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ... VS.BCNM = a (vtt) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà đợc đủ điểm phần nh đáp án quy định H t 4/4 B GIO D C V O T O THI TUY N SINH CAO NG N M 2009 Mụn: TON; Kh i: A Th... N i dung i m 2,00 Kh o sỏt s bi n thi n v v th c a hm s (1,00 i m) Ta cú y = + x T p xỏc nh: D = {1} S bi n thi n: y ' = < 0, x D (x 1) B ng bi n thi n: x + y' 0,25 0,25 + y Hm... O T O THI TUY N SINH CAO NG N M 2008 Mụn thi: TON, kh i A Th i gian lm bi: 180 phỳt, khụng k th i gian phỏt CHNH TH C PH N CHUNG CHO T T C TH SINH Cõu I (2 i m) x x 1 Kh o sỏt s bi n thi n