ĐỀ và đáp án THI đại học khoi b 2002 2013 (2)

( !"#$ %&' ) ThS LU HUNH V N LONG (0986.616.225) (Gi ng viờn Tr ng H Th D u M t Bỡnh Dng) TON H C NM H C: 2002 - 2013 ! " LU HNH N I B 11/2013 giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao Đẳng năm 2002 đề thức : toán, Khối B (Thời gian làm : 180 phút) _ (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,5 điểm) Cho hàm số : y = mx + m x + 10 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị (ĐH : 3,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm) Giải phơng trình: sin x cos x = sin x cos x Giải bất phơng trình: log x log (9 x 72) ( ( ) (1) ( m tham số) ) x y = x y x + y = x + y + ( ĐH : 1,0 điểm; CĐ : 1,5 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng : x2 x2 y = y = 4 Giải hệ phơng trình: (ĐH : 3,0 điểm ; CĐ : 3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ;0 , phơng trình đờng thẳng AB x y + = AB = AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C , D biết đỉnh A có hoành độ âm Cho hình lập phơng ABCDA1 B1C1 D1 có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đờng thẳng A1 B B1 D b) Gọi M , N , P lần lợt trung điểm cạnh BB1 , CD , A1 D1 Tính góc hai đờng thẳng MP C1 N (ĐH : 1,0 điểm) Cho đa giác A1 A2 L A2 n (n 2, n nguyên ) nội tiếp đờng tròn (O ) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 ,L , A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 , A2 ,L , A2 n , tìm n Hết 1) Thí sinh cao đẳng b) 2) Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002 Đáp án thang điểm đề thi thức Môn toán, khối b Câu I ý Nội dung ĐH CĐ y = x x + 10 hàm chẵn đồ thị đối xứng qua Oy x=0 Tập xác định x R , y ' = x 16 x = x x , y '= x = 1,0 đ 1,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ Với m = ta có ( ) y" = 12 x 16 = 12 x , y" = x = 3 Bảng biến thiên: x y' y" + + lõm CT U + 0 10 CĐ lồi + y 0 + + + U lõm CT y Hai điểm cực tiểu : A1 ( 2;6 ) A2 (2;6 ) Một điểm cực đại: B (0;10 ) 10 10 ; ; U Hai điểm uốn: U Giao điểm đồ thị với trục tung B(0;10 ) Đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ: 10 B x = + x = U1 U2 -2 A1 -6 (Thí sinh lập bảng biến thiên) x A2 I II ( ) ( ) y ' = 4mx + m x = x 2mx + m , x=0 y' = 2 2mx + m = Hàm số có ba điểm cực trị phơng trình y '= có nghiệm phân biệt (khi y ' đổi dấu qua nghiệm) phơng trình 2mx + m = có nghiệm phân biệt khác m 2mx + m = m Phơng trình 2mx + m = x = 2m m < có nghiệm khác < m < m < Vậy hàm số có ba điểm cực trị < m < sin 3x cos x = sin x cos x cos x + cos x cos10 x + cos12 x = 2 2 (cos 12 x + cos 10 x ) (cos x + cos x ) = cos x(cos 11x cos x ) = cos x sin x sin x = k x = k Z sin x sin x = k x = Chú ý: Thí sinh sử dụng cách biến đổi khác để đa phơng trình tích ( ) log x log (9 x 72) (1) x > 0, x Điều kiện: x 72 > x 72 > x > log 73 log (9 x 72) > ( (2) 1,0 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ ) Do x > log 73 > nên (1) log x 72 x ( ) x x 72 x x 72 (3) Đặt t = x (3) trở thành t t 72 t x x Kết hợp với điều kiện (2) ta đợc nghiệm bất phơng trình là: log 73 < x x y = x y (1) x y Điều kiện: (3) x + y = x + y + (2) x + y x= y (1) x y x y = x = y + Thay x = y vào (2), giải ta đợc x = y = Thay x = y + vào (2), giải ta có: x = , y = 2 Kết hợp với điều kiện (3) hệ phơng trình có nghiệm: x = 1, y = x = , y = 2 Chú ý: Thí sinh nâng hai vế (1) lên luỹ thừa bậc để di đến kết quả: x= y x = y + ( ) III y x2 y= 4 y= -4 4 ] 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 1,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ x x2 x2 : y = 4 x4 x2 x2 x2 + = x2 = x = = 32 4 [ 0,25 đ A2 2 Tìm giao điểm hai đờng cong y = 0,25 đ -2 1,0 đ x2 A1 1,0 đ x2 Trên ; ta có hình đối xứng qua trục tung 4 8 x2 x x dx = S1 S nên S = dx = 16 x dx 2 0 x2 Để tính S1 ta dùng phép đổi biến x = sin t , t dx = cos tdt cos t > t 0; Do x S1 = 4 0 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 1,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 16 x dx = 16 cos tdt = (1 + cos 2t )dt = + S2 = 2 x dx = = x3 Vậy S = S1 S = + 3 2 x x dx 4 8 Chú ý: Thí sinh tính diện tích S = IV y B H O A C I x D Khoảng cách từ I đến đờng thẳng AB AD = Do A, B giao điểm đờng thẳng AB với đờng tròn tâm I bán kính R = Vậy tọa độ A, B nghiệm hệ : x 2y + = 2 x + y = 2 Giải hệ ta đợc A( 2;0 ), B(2;2 ) (vì x A < ) C (3;0 ), D( 1;2 ) IA = IB = Chú ý: Thí sinh tìm tọa độ điểm H hình chiếu I đờng thẳng AB Sau tìm A, B giao điểm đờng tròn tâm H bán kính HA với đờng thẳng AB IV 1,0 đ 1,5 đ 2a) Tìm khoảng cách A1 B B1 D z D1 A1 B1 C1 G I A yx D 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ C B x Cách I Chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho A(0;0;0), B(a;0;0), D(0; a;0 ), A1 (0;0; a ) C (a; a;0 ); B1 (a;0; a ); C1 (a; a; a ), D1 (0; a; a ) [ ] A1 B = (a;0; a ), B1 D = ( a; a; a ), A1 B1 = (a;0;0) A1 B, B1 D = (a ;2a ; a ) Vậy d ( A1 B, B1 D ) = [A B, B D].A B [A B, B D] 1 Cách II 1 = a3 a = a A1 BAB1 A1 B( AB1C1 D ) A1 B B1 D A1 BAD Tơng tự A1C1 B1 D B1 D( A1 BC1 ) Gọi G = B1 D ( A1 BC1 ) Do B1 A1 = B1 B = B1C = a nên GA1 = GB = GC1 G tâm tam giác A1 BC1 có cạnh a Gọi I trung điểm A1 B IG đờng vuông góc chung A1 B B1 D , nên 1 a d ( A1 B, B1 D ) = IG = C1 I = A1 B = 3 Chú ý: Thí sinh viết phơng trình mặt phẳng (P ) chứa A1 B song song với B1 D là: x + y + z a = tính khoảng cách từ B1 (hoặc từ D ) tới (P ) , viết phơng trình mặt phẳng (Q ) chứa B1 D song song với A1 B là: x + y + z 2a = tính khoảng cách từ A1 (hoặc từ B) tới (Q ) 1,0 đ 2b) Cách I a a a Từ Cách I 2a) ta tìm đợc M a;0; , N ; a;0 , P 0; ; a 2 a a a MP = a; ; , NC1 = ;0; a MP.NC1 = 2 Vậy MPC1 N 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ z A1 P D1 C1 B1 E M y A B Cách II 0,25 đ N C x Gọi E trung điểm CC1 ME(CDD1C1 ) hình chiếu vuông góc MP (CDD1C1 ) ED1 Ta có C1CN = D1C1 E C1 D1 E = CC1 N = 90 D1C1 N D1 EC1 N Từ theo định lý ba đờng vuông góc ta có MPC1 N 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ V Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 ,L , A2 n C 2n 0,25 đ Gọi đờng chéo đa giác A1 A2 L A2 n qua tâm đờng tròn (O ) đờng chéo lớn đa giác cho có n đờng chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 , A2 ,L, A2 n có đờng chéo hai đờng chéo lớn Ngợc lại, với cặp đờng chéo lớn ta có đầu mút chúng đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói số cặp đờng chéo lớn đa giác A1 A2 L A2 n tức C n2 Theo giả thiết thì: 0,25 đ C 23n = 20C n2 (2n )! 3!(2n 3)! = 20 n! n(n 1) 2n.(2n 1)(2n 2) = 20 2!(n 2)! 2n = 15 n = 0,5 đ Chú ý: Thí sinh tìm số hình chữ nhật cách khác Nếu lý luận để n(n 1) cho điểm tối đa phần đến kết số hình chữ nhật Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi thức Môn thi : toán Khối B Nội dung Câu 1) Đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 cho y ( x0 ) = y ( x0 ) tồn x0 cho x03 x02 + m = ( x0 )3 3( x0 )2 + m điểm 2điểm điểm 0, 25 đ 0, 25 đ 0,25 đ tồn x0 cho 3x02 = m m >0 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 0,25 đ điểm Khi m = hàm số trở thành y = x3 x + Tập xác định : x=0 y ' = x x, y ' = x = y " = x y '' = x = y " triệt tiêu đổi dấu qua x = (1;0) điểm uốn 0,25đ 0,25đ Bảng biến thiên: x y y + 0 CĐ + + 0,25đ + CT Đồ thị cắt trục hoành điểm (1;0), (1 3;0) cắt trục tung điểm (0; 2) y 0,25đ O 2 x B GIO D C V O T O THI TUY N SINH I H C N M 2011 Mụn: TON; Kh i: B Th i gian lm bi: 180 phỳt, khụng k th i gian phỏt CHNH TH C PH N CHUNG CHO T T C TH SINH (7,0 i m) Cõu I (2,0 i m) Cho hm s y = x 2(m + 1) x + m (1), m l tham s Kh o sỏt s bi n thiờn v v th hm s (1) m = Tỡm m th hm s (1) cú ba i m c c tr A, B, C cho OA = BC; ú O l g c t a , A l i m c c tr thu c tr c tung, B v C l hai i m c c tr cũn l i Cõu II (2,0 i m) Gi i ph ng trỡnh sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx Gi i ph ng trỡnh + x x + 4 x = 10 x ( x ) Cõu III (1,0 i m) Tớnh tớch phõn I = + x sin x dx cos x Cõu IV (1,0 i m) Cho l ng tr ABCD.A1B1C1D1 cú ỏy ABCD l hỡnh ch nh t, AB = a, AD = a Hỡnh chi u vuụng gúc c a i m A1 trờn m t ph ng (ABCD) trựng v i giao i m c a AC v BD Gúc gi a hai m t ph ng (ADD1A1) v (ABCD) b ng 60o Tớnh th tớch kh i l ng tr ó cho v kho ng cỏch t i m B1 n m t ph ng (A1BD) theo a Cõu V (1,0 i m) Cho a v b l cỏc s th c d ng th a 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) a b3 a b2 Tỡm giỏ tr nh nh t c a bi u th c P = + + a a b b PH N RIấNG (3,0 i m): Thớ sinh ch c lm m t hai ph n (ph n A ho c B) A Theo ch ng trỡnh Chu n Cõu VI.a (2,0 i m) Trong m t ph ng t a Oxy, cho hai ng th ng : x y = v d: 2x y = Tỡm t a i m N thu c ng th ng d cho ng th ng ON c t ng th ng t i i m M th a OM.ON = x y +1 z v m t Trong khụng gian v i h t a Oxyz, cho ng th ng : = = ph ng (P): x + y + z = G i I l giao i m c a v (P) Tỡm t a i m M thu c (P) cho MI vuụng gúc v i v MI = 14 5+i Cõu VII.a (1,0 i m) Tỡm s ph c z, bi t: z = z B Theo ch ng trỡnh Nõng cao Cõu VI.b (2,0 i m) ng trũn n i ti p Trong m t ph ng t a Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh B ; tam giỏc ABC ti p xỳc v i cỏc c nh BC, CA, AB t ng ng t i cỏc i m D, E, F Cho D (3; 1) v ng th ng EF cú ph ng trỡnh y = Tỡm t a nh A, bi t A cú tung d ng x + y z + Trong khụng gian v i h to Oxyz, cho ng th ng : v hai = = i m A( 2; 1; 1), B( 3; 1; 2) Tỡm to i m M thu c ng th ng cho tam giỏc MAB cú di n tớch b ng B B 1+ i Cõu VII.b (1,0 i m) Tỡm ph n th c v ph n o c a s ph c z = 1+ i Thớ sinh khụng - H t -c s d ng ti li u Cỏn b coi thi khụng gi i thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: B P N THANG I M THI TUY N SINH I H C N M 2011 Mụn: TON; Kh i B ( ỏp ỏn - thang i m g m 04 trang) GIO D C V O T O CHNH TH C P N THANG Cõu I (2,0 i m) I M i m ỏp ỏn (1,0 i m) Khi m = 1, ta cú: y = x4 4x2 + T p xỏc nh: D = R 0,25 S bi n thiờn: Chi u bi n thiờn: y' = 4x3 8x; y' = x = ho c x = Hm s ngh ch bi n trờn cỏc kho ng ( ; ) v (0; ); ng bi n trờn cỏc kho ng ( 2; 0) v ( 2; + ) C c tr : Hm s t c c ti u t i x = 2; yCT = 3, t c c i t i x = 0; yC = Gi i h n: lim y = lim y = + x x + B ng bi n thiờn: x y' + + + y 3 + + 0,25 y th : 0,25 2 O x 0,25 (1,0 i m) II (2,0 i m) y'(x) = 4x3 4(m + 1)x = 4x(x2 m 1); y'(x) = x = ho c x2 = m + (1) 0,25 th hm s cú ba i m c c tr , v ch khi: (1) cú hai nghi m phõn bi t khỏc m > (*) 0,25 Khi ú: A(0; m), B( m + 1; m2 m 1) v C( m + 1; m2 m 1) Suy ra: OA = BC m2 = 4(m + 1) m2 4m = 0,25 m = 2; th a (*) V y, giỏ tr c n tỡm: m = 2 ho c m = + 2 0,25 (1,0 i m) Ph ng trỡnh ó cho t ng ng v i: sinx(1 + cos2x) + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx cos2x(sinx 1) + cosx(sinx 1) = (sinx 1)(cos2x + cosx) = sinx = x = + k2 0,25 0,25 0,25 +k 3 ng trỡnh ó cho cú nghi m: x = + k2; x = + k (k Z) 3 cos2x = cosx = cos( x) x = V y, ph Trang 1/4 0,25 Cõu i m ỏp ỏn (1,0 i m) i u ki n: x (*) + x 2 x + 4 x =10 x (1) 0,25 t t = + x 2 x , (1) tr thnh: 3t = t2 t = ho c t = t = 0, suy ra: + x = 2 x + x = 4(2 x) x = , th a (*) t = 3, suy ra: + x = 2 x + 3, vụ nghi m (do + x v 2 x + v i m i x [ 2; 2]) V y, ph ng trỡnh ó cho cú nghi m: x = 0,25 Khi ú, ph III (1,0 i m) I = ng trỡnh ó cho t ng 3 + x sin x cos2 x dx = cos2 x dx + ng: ( ) 0,25 0,25 cos x sin x dx x 0,25 0,25 = = tan x x d ( ) cos2 x Ta cú: v: x x d cos x = cos x x sin x cos2 x dx = 3 dx cos x = + d sin x x sin 0,25 1 + d sin x sin x sin x + = = IV (1,0 i m) sin x = + ln + ln(2 3) V y, I = sin x + 3 + + ln(2 3) G i O l giao i m c a AC v BD A1O (ABCD) G i E l trung i m AD OE AD v A1E AD 0,25 0,25 A1 EO l gúc gi a hai m t ph ng (ADD1A1) v (ABCD) A1 EO = 60 B1 C1 D1 A1 B A O H E a AB tan A1 EO = 2 Di n tớch ỏy: SABCD = AB.AD = a Ta cú: B1C // A1D B1C // (A1BD) d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) H CH BD (H BD) CH (A1BD) d(C, (A1BD)) = CH B B B CD.CB Suy ra: d(B1, (A1BD)) = CH = B V (1,0 i m) V i a, b d 0,25 3a Th tớch: VABCD A1B1C1D1 = SABCD.A1O = C D A1O = OE tan A1 EO = CD + CB = a 0,25 0,25 ng, ta cú: 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) 2 a b 1 + + = (a + b) + + b a a b 2(a + b ) + ab = a b + ab + 2(a + b) Trang 2/4 0,25 Cõu i m ỏp ỏn 1 1 a b (a + b) + + 2(a + b) + = 2 + + , suy ra: a b b a a b a b a b a b + + 2 + + + b a b a b a a b + , t , suy ra: P = 4(t3 3t) 9(t2 2) = 4t3 9t2 12t + 18 b a Xột hm f(t) = 4t3 9t2 12t + 18, v i t 0,25 tt= 0,25 23 Ta cú: f '(t ) = 6(2t2 3t 2) > 0, suy ra: f (t ) = f = 2;+ V y, minP = 0,25 23 a b 1 ; v ch khi: + = v a + b = + b a a b (a; b) = (2; 1) ho c (a; b) = (1; 2) VI.a (1,0 i m) (2,0 i m) d M N O N d, M cú t a d ng: N(a; 2a 2), M(b; b 4) O, M, N cựng thu c m t ng th ng, v ch khi: 4a a(b 4) = (2a 2)b b(2 a) = 4a b = 2a 0,25 OM.ON = (5a2 8a + 4)2 = 4(a 2)2 0,25 2 (5a 6a)(5a 10a + 8) = 5a 6a = a = ho c a = V y, N(0; 2) ho c N ; 5 0,25 0,25 (1,0 i m) x y +1 z = = T a i m I l nghi m c a h : I(1; 1; 1) x + y + z = G i M(a; b; c), ta cú: a + b + c = M (P), MI v MI = 14 a 2b c + = (a 1) + (b 1) + (c 1) = 224 VII.a (1,0 i m) 0,25 0,25 b = 2a c = 3a + (a 1) + (2a 2) + (3a + 3) = 224 0,25 (a; b; c) = (5; 9; 11) ho c (a; b; c) = ( 3; 7; 13) V y, M(5; 9; 11) ho c M( 3; 7; 13) 0,25 G i z = a + bi v i a, b R v a2 + b2 0, ta cú: z 5+i 5+i 1=0 = a bi a + bi z Trang 3/4 0,25 Cõu i m ỏp ỏn 2 2 0,25 a + b i a bi = (a + b a 5) (b + )i = 2 a + b a = b + = (2,0 i m) 0,25 b = (a; b) = ( 1; VI.b a a = ) ho c (a; b) = (2; ) V y z = i ho c z = i 0,25 (1,0 i m) BD = ; BD // EF tam giỏc ABC cõn t i A; ng th ng AD vuụng gúc v i EF, cú ph 0,25 ng trỡnh: x = 25 F cú t a d ng F(t; 3), ta cú: BF = BD t + 22 = t = ho c t = t = F( 1; 3); suy ng th ng BF cú ph 4x + 3y = A F E B D 0,25 ng trỡnh: A l giao i m c a AD v BF A 3; , khụng th a yờu c u (A cú tung d ng) t = F(2; 3); suy ph ng trỡnh BF: 4x 3y + = 13 13 C A 3; , th a yờu c u V y, cú: A 3; 0,25 0,25 (1,0 i m) VII.b (1,0 i m) M , suy t a M cú d ng: M( + t; + 3t; 2t) 0,25 AM = (t; 3t; 2t) v AB = ( 1; 2; 1) AM , AB = ( t 12; t + 6; t) 0,25 SMAB = (t + 12)2 + (t + 6)2 + t2 = 180 0,25 t2 + 12t = t = ho c t = 12 V y, M( 2; 1; 5) ho c M( 14; 35; 19) 0,25 + i = + i = cos + i sin v + i = 3 2 ( cos + i sin ) suy ra: z = 3 2 cos + i sin 4 cos + i sin ; 4 0,25 0,25 = 2 cos + i sin 4 0,25 = + 2i V y s ph c z cú: Ph n th c l v ph n o l 0,25 - H t - Trang 4/4 B THI TUY N SINH I H C N M 2012 Mụn: TON; Kh i B Th i gian lm bi: 180 phỳt, khụng k th i gian phỏt GIO D C V O T O CHNH TH C I PH N CHUNG CHO T T C TH SINH (7,0 i m) Cõu (2,0 i m) Cho hm s y = x3 3mx + 3m3 (1), m l tham s th c a) Kh o sỏt s bi n thiờn v v th c a hm s (1) m = b) Tỡm m th hm s (1) cú hai i m c c tr A v B cho tam giỏc OAB cú di n tớch b ng 48 Cõu (1,0 i m) Gi i ph ng trỡnh 2(cos x + sin x) cos x = cos x sin x + Cõu (1,0 i m) Gi i b t ph ng trỡnh x + + x x + x Cõu (1,0 i m) Tớnh tớch phõn I = x3 x + 3x2 + dx Cõu (1,0 i m) Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC v i SA = 2a, AB = a G i H l hỡnh chi u vuụng gúc c a A trờn c nh SC Ch ng minh SC vuụng gúc v i m t ph ng (ABH) Tớnh th tớch c a kh i chúp S.ABH theo a Cõu (1,0 i m) Cho cỏc s th c x, y, z th a cỏc i u ki n x + y + z = v x + y + z = Tỡm giỏ tr l n nh t c a bi u th c P = x5 + y5 + z II PH N RIấNG (3,0 i m): Thớ sinh ch A Theo ch c lm m t hai ph n riờng (ph n A ho c ph n B) ng trỡnh Chu n Cõu 7.a (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho cỏc ng trũn (C1 ): x + y = 4, (C2 ): x + y 12 x + 18 = v ng th ng d : x y = Vi t ph ng trỡnh ng trũn cú tõm thu c (C2 ), ti p xỳc v i d v c t (C1 ) t i hai i m phõn bi t A v B cho AB vuụng gúc v i d x y z v hai = = 2 ng trỡnh m t c u i qua A, B v cú tõm thu c ng th ng d Cõu 8.a (1,0 i m) Trong khụng gian v i h t a Oxyz, cho i m A(2;1; 0), B (2;3; 2) Vi t ph ng th ng d : Cõu 9.a (1,0 i m) Trong m t l p h c g m cú 15 h c sinh nam v 10 h c sinh n Giỏo viờn g i ng u nhiờn h c sinh lờn b ng gi i bi t p Tớnh xỏc su t h c sinh c g i cú c nam v n B Theo ch ng trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú AC = BD v ng trũn ti p xỳc v i cỏc c nh c a hỡnh thoi cú ph ng trỡnh x + y = Vi t ph t c c a elip (E) i qua cỏc nh A, B, C, D c a hỡnh thoi Bi t A thu c Ox ng trỡnh chớnh Cõu 8.b (1,0 i m) Trong khụng gian v i h t a Oxyz, cho A(0; 0;3), M (1; 2; 0) Vi t ph ng trỡnh m t ph ng (P) qua A v c t cỏc tr c Ox, Oy l n l t t i B, C cho tam giỏc ABC cú tr ng tõm thu c ng th ng AM Cõu 9.b (1,0 i m) G i z1 v z2 l hai nghi m ph c c a ph ng trỡnh z i z = Vi t d ng l ng giỏc c a z1 v z2 H T -Thớ sinh khụng c s d ng ti li u Cỏn b coi thi khụng gi i thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: ; S bỏo danh: B GIO D C V O T O CHNH TH C P N THANG I M THI TUY N SINH I H C N M 2012 Mụn: TON; Kh i B ( ỏp ỏn - thang i m g m 04 trang) Cõu ỏp ỏn i m a) (1,0 i m) (2,0 i m) Khi m = 1, ta cú: y = x3 3x + T p xỏc nh: D = S bi n thiờn: 0,25 Chi u bi n thiờn: y ' = x x; y ' = x = ho c x = Cỏc kho ng ng bi n: ( ; 0) v (2; + ) , kho ng ngh ch bi n: (0; 2) C c tr : Hm s t c c i t i x = 0, yC = 3; t c c ti u t i x = 2, yCT = Gi i h n: lim y = v lim y = + x B ng bi n thiờn: 0,25 x+ x y' + + + + 0,25 y th : y 0,25 O x b) (1,0 i m) y ' = x 6mx; y ' = x = ho c x = 2m th hm s cú i m c c tr v ch m (*) Cỏc i m c c tr c a th l A(0; 3m3 ) v B (2m; m3 ) Suy OA = | m3 | v d ( B, (OA)) = | m | 0,25 0,25 S OAB = 48 3m4 = 48 0,25 m = 2, th a (*) 0,25 Trang 1/4 Ph (1,0 i m) ng trỡnh ó cho t ( cos x ng ng v i: cos x + sin x = cos x sin x 0,25 ) = cos(x + 3) 0,25 ( ) 0,25 x = x + + k (k ) 3 x= (1,0 i m) 2 (k ) + k ho c x = k 3 0,25 i u ki n: x ho c x + (*) Nh n xột: x = l nghi m c a b t ph ng trỡnh ó cho V i x > 0, b t ph ng trỡnh ó cho t t t= x+ (2), b t ph x t Thay vo (2) ta ng ng v i: x+ c + x + (1) x x x+ ng trỡnh (1) tr thnh t < t t t t (3 t ) 2 x ho c x ho c x K t h p (*) v nghi m x = 0, ta trỡnh ó cho l: 0; [4; +) 0< x 0,25 x 0,25 c t p nghi m c a b t ph ng 0,25 t t = x , suy dt = xdx V i x = thỡ t = 0; v i x =1 thỡ t =1 (1,0 i m) Khi ú I = = ( ) ( 0,25 ) 1 dt = ln|t + 2| ln|t +1| t + t +1 = ln3 (1,0 i m) 0,25 1 x 2 xdx td t = ( x +1)( x + 2) (t +1)(t + 2) 0 0,25 ln2 0,25 G i D l trung i m c a c nh AB v O l tõm c a ABC Ta cú AB CD v AB SO nờn AB ( SCD ), ú AB SC S M t khỏc SC AH , suy SC ( ABH ) Ta cú: CD = H C A D 0,25 a 33 a a nờn SO = SC OC = , OC = 3 11a SO.CD a 11 Do ú DH = = Suy S ABH = AB.DH = SC Ta cú SH = SC HC = SC CD DH = O B Do ú VS ABH 11a = SH S ABH = 96 Trang 2/4 7a 0,25 0,25 0,25 0,25 V i x + y + z = v x + y + z = 1, ta cú: (1,0 i m) = ( x + y + z ) = x + y + z + x( y + z ) + yz =1 x + yz , nờn yz = x 2 y + z x2 1 x 6 M t khỏc yz = , suy ra: x , ú x (*) 2 2 3 0,25 Khi ú: P = x5 + ( y + z )( y + z ) y z ( y + z ) ( ) 12 x 1 x = (2 x3 x) = x5 + (1 x ) x(1 x ) + x x + x 6 Xột hm f ( x) = x3 x trờn ; , suy f '( x) = x 1; f '( x) = x = 6 6 , f = f Ta cú f = Do ú f ( x) = f = 9 = x5 + (1 x ) ( y + z )( y + z ) yz ( y + z ) + x 0,25 ( ) ( ) Suy P Khi x = 36 6 thỡ d u b ng x y V y giỏ tr l n nh t c a P l , y = z = 36 7.a (1,0 i m) (C) A d I (C1) cú tõm l g c t a O G i I l tõm c a ng trũn (C) c n vi t ph ng trỡnh, ta cú AB OI M AB d v O d nờn OI//d, ú OI cú ph ng trỡnh y = x 0,25 0,25 M t khỏc I (C2 ), nờn t a c a I th a h : y = x x = I (3;3) 2 x + y 12 x +18 = y = 0,25 Do (C) ti p xỳc v i d nờn (C) cú bỏn kớnh R = d ( I , d ) = 2 0,25 ng trỡnh c a (C) l ( x 3) + ( y 3) = 0,25 B (C1) (C2) V y ph 8.a (1,0 i m) 0,25 G i (S) l m t c u c n vi t ph ng trỡnh v I l tõm c a (S) Do I d nờn t a c a i m I cú d ng I (1+ 2t ; t ; 2t ) 0,25 Do A, B( S ) nờn AI = BI , suy (2t 1) + (t 1) + 4t = (2t + 3) + (t 3) + (2t + 2) t =1 0,25 Do ú I (1; 1; 2) v bỏn kớnh m t c u l IA = 17 0,25 V y, ph ng trỡnh m t c u (S) c n tỡm l ( x + 1) + ( y + 1) + ( z 2) = 17 9.a (1,0 i m) S cỏch ch n h c sinh l p l C25 =12650 0,25 0,25 1 S cỏch ch n h c sinh cú c nam v n l C15 C103 + C152 C102 + C153 C10 0,25 = 11075 0,25 Xỏc su t c n tớnh l P = 11075 443 = 12650 506 Trang 3/4 0,25 7.b (1,0 i m) y B H A C O D x2 ( E ): + y2 =1( a > b > 0) Hỡnh thoi ABCD cú a b2 AC = BD v A, B, C, D thu c (E) suy OA = 2OB Gi s Khụng m t tớnh t ng quỏt, ta cú th xem A(a;0) v x B 0; a G i H l hỡnh chi u vuụng gúc c a O trờn AB, suy OH l bỏn kớnh c a ng trũn (C ) : x + y = 0,25 1 1 = = + = + 2 2 OH OA OB a a2 0,25 ( ) Ta cú: Suy a = 20, ú b2 = V y ph ng trỡnh chớnh t c c a (E) l x2 y + = 20 8.b Do B Ox, C Oy nờn t a c a B v C cú d ng: B(b; 0; 0) v C (0; c; 0) (1,0 i m) b c G i G l tr ng tõm c a tam giỏc ABC, suy ra: G ; ; 3 ( Ta cú AM = (1;2; 3) nờn Do G thu c Do ú ph 0,25 ng th ng AM cú ph ) ng trỡnh x y z3 = = b c ng th ng AM nờn = = Suy b = v c = ng trỡnh c a m t ph ng (P) l x y z + + = 1, ngh a l ( P) : x + y + z 12 = 9.b Ph ng trỡnh b c hai z i z = cú bi t th c = (1,0 i m) Suy ph ng trỡnh cú hai nghi m: z1 = + i v z2 = + 3i D ng l ng giỏc c a z1 l z1 = 2cos + isin D ng l 2 ng giỏc c a z2 l z2 = 2cos + isin 3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 H T Trang 4/4 0,25 0,25 D ơ 2013 : ; m : 180 , (7,0 m) (2,0 m) m y = 2x3 3(m + 1)x2 + 6mx (1), m m ) m (1) m = ) m m m (1) m A B AB y = x + (1,0 m) sin 5x + cos2 x = (1,0 m) (1,0 m) 2x2 + y 3xy + 3x 2y + = (x, y R) 4x2 y + x + = 2x + y + x + 4y x x2 dx I= (1,0 m) S.ABCD a, m SAB m m m m a S.ABCD m A m (SCD) (1,0 m) a, b, c m P = a + b + c2 + (a + b) (a + 2c)(b + 2c) (3,0 m): m m ( ) 7. (1,0 m) m Oxy, ABCD AD = 3BC BD x + 2y = m ABD m H(3; 2) m C D 8. (1,0 m) Oxyz, m A(3; 5; 0) m (P ) : 2x + 3y z = A (P ) m m A (P ) 9. (1,0 m) , m , m 7. (1,0 m) m Oxy, m ABC 17 ; , A D(5; 3) m A H 5 AB M(0; 1) m C 8. (1,0 m) Oxyz, m A(1; 1; 1), B(1; 2; 3) x+1 y2 z : = = A, AB 9. (1,0 m) x2 + 2y = 4x log (x 1) log3(y + 1) = m : ; : B P N THANG I M THI TUY N SINH I H C N M 2013 Mụn: TON; Kh i B ( ỏp ỏn - thang i m g m 04 trang) GIO D C V O T O CHNH TH C Cõu (2,0 i m) ỏp ỏn i m a (1,0 i m) Khi m = ta cú y = x3 x T p xỏc nh: D = 0,25 S bi n thiờn: - Chi u bi n thiờn: y ' = x 6; y ' = x = Cỏc kho ng ng bi n: (; 1) v (1; + ); kho ng ngh ch bi n: (1; 1) - C c tr : Hm s t c c ti u t i x = 1, yCT = 4; t c c i t i x = 1, yC = 0,25 - Gi i h n: lim y = ; lim y = + x x+ - B ng bi n thiờn: x y' + + + y 0,25 + th : y 0,25 1 x O b (1,0 i m) Ta cú y ' = x 6(m + 1) x + 6m; y ' = x = ho c x = m i u ki n th hm s cú hai i m c c tr l m Ta cú A(1;3m 1), B(m; m3 + 3m2 ) H s gúc c a ng th ng AB vuụng gúc v i 0,25 0,25 ng th ng AB l k = (m 1)2 ng th ng y = x + v ch k = 0,25 m = ho c m = V y giỏ tr m c n tỡm l m = ho c m = Trang 1/4 0,25 Cõu (1,0 i m) ỏp ỏn Ph ng trỡnh ó cho t ng v i sin x + cos x = 0,25 cos x + = cos x 0,25 5x + 0,25 = x + k (k ) x = + k x = + k 14 (1,0 i m) ng i m (k ) 0,25 2 x + y xy + x y + = x y + x + = x + y + x + y (1) i u ki n: x + y 0, x + y T (1) ta V i y = x + 1, thay vo (2) ta 0,25 (2) c y = x + ho c y = x + c 3x x + = 3x +1 + x + 3( x x) + ( x +1 3x +1) + ( x + x + 4) = 0,25 1 ( x x) + + =0 x +1+ 3x +1 x + + x + x x = x = ho c x = Khi ú ta V i y = x + 1, thay vo (2) ta 0,25 c nghi m ( x; y ) l (0;1) v (1;2) c x = x +1 + x + 3x + ( x +1 1) + ( x + 2) = x 3+ + = x = Khi ú ta x + + x + + i chi u i u ki n ta (1,0 i m) 0,25 c nghi m ( x; y ) l (0; 1) c nghi m ( x; y ) c a h ó cho l (0;1) v (1;2) t t = x tdt = xdx Khi x = thỡ t = 2, x = thỡ t = Suy I = 0,25 t dt 0,25 t3 = = (1,0 i m) 0,25 2 0,25 S I A D K H B a M (SAB) vuụng gúc v i (ABCD) theo giao n AB, nờn SH (ABCD) 0,25 a3 Do ú VS ABCD = SH S ABCD = 0,25 G i H l trung i m c a AB, suy SH AB v SH = C Do AB || CD v HAB nờn d ( A,( SCD )) = d ( H ,( SCD)) G i K l trung i m c a CD v I l hỡnh chi u vuụng gúc c a H trờn SK Ta cú HKCD M SHCD CD(SHK) CD HI Do ú HI (SCD) Suy d ( A,( SCD)) = HI = Trang 2/4 SH HK SH + HK = a 21 0,25 0,25 Cõu (1,0 i m) ỏp ỏn i m 2 Ta cú: (a + b) (a + 2c)(b + 2c) (a + b) a + b + 4c = a + b + 2ab + 4ac + 4bc 2(a + b + c ) 2 t t = a + b + c + 4, suy t > v P t 2(t 4) Xột f (t ) = 9t (t 4)(4t + 7t 4t 16) , v i t > Ta cú f '(t ) = + = t 2(t 4) t (t 4) t (t 4)2 0,25 0,25 V i t > ta cú 4t + 7t 4t 16 = 4(t 4) + t (7t 4) > Do ú f '(t ) = t = B ng bi n thiờn: t + f '(t ) + f (t ) 0,25 c P 5 Khi a = b = c = ta cú P = V y giỏ tr l n nh t c a P l 8 T b ng bi n thiờn ta 7.a (1,0 i m) B 0,25 G i I l giao i m c a AC v BD IB = IC C M IB IC nờn IBC vuụng cõn t i I ICB = 45o BH AD BH BC HBC vuụng cõn t i B I 0,25 I l trung i m c a o n th ng HC H A D Do CH BD v trung i m I c a CH thu c BD nờn t a 2( x + 3) ( y 2) = i m C th a h x y + + = Do ú C (1;6) CH 10 IC IB BC = = = ID = 3IC CD = IC + ID = IC 10 = = ID ID AD t = Ta cú D (6 2t ; t ) v CD = suy (7 2t )2 + (t 6)2 = 50 t = Do ú D (4;1) ho c D(8;7) 0,25 Ta cú 8.a (1,0 i m) 0,25 (P) cú vộct phỏp n n = (2;3; 1) 0,25 ng th ng qua A v vuụng gúc v i (P) nh n n lm vộct ch ph ng, nờn cú ph ng trỡnh x3 y z = = 9.a (1,0 i m) 0,25 0,25 G i B l i m i x ng c a A qua (P), suy B thu c Do ú B (3 + 2t ;5 + 3t ; t ) 0,25 10 + 3t t Trung i m c a o n th ng AB thu c (P) nờn 2(3 + t ) + = t = Do ú B (1; 1; 2) 0,25 S cỏch ch n viờn bi, m i viờn t m t h p l: 7.6 = 42 0,25 S cỏch ch n viờn bi , m i viờn t m t h p l: 4.2 = 0,25 S cỏch ch n viờn bi tr ng, m i viờn t m t h p l: 3.4 = 12 0,25 Xỏc su t viờn bi c l y cú cựng mu l: p = Trang 3/4 +12 10 = 42 21 0,25 Cõu ỏp ỏn Ta cú H AH v AH HD nờn AH cú ph x + y = Do ú A(3 2a; a ) Do M l trung i m c a AB nờn MA = MH 7.b (1,0 i m) A N M B 8.b (1,0 i m) H D C i m ng trỡnh: Suy (3 2a)2 + (a 1)2 = 13 a = ho c a = Do A khỏc H nờn A(3;3) Ph ng trỡnh ng th ng AD l y = G i N l i m i x ng c a M qua AD Suy N AC v t a i m N th a h + y = N (0;5) 1.x + 0.( y 1) = ng th ng AC cú ph ng trỡnh: x y + 15 = ng th ng BC cú ph ng trỡnh: x y = x y = Suy t a i m C th a h : x y + 15 = Do ú C (9;11) Ta cú AB = ( 2;3;2 ) , vect ch ph ng c a l u = (2;1;3) ng th ng vuụng gúc v i AB v , cú vect ch ph ng l v = AB, u Suy v = ( 7; 2; ) i u ki n: x > 1; y > H ó cho t x2 2x = y = x2 x = 1, y = x = 3, y = i chi u i u ki n ta 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x y + z = = x + y = x ng v i log3 ( x 1) = log3 ( y +1) ng th ng i qua A, vuụng gúc v i AB v cú ph 9.b (1,0 i m) 0,25 ng ng trỡnh l: 0,25 0,25 0,25 0,25 c nghi m ( x; y ) c a h ó cho l (3;1) - H t - Trang 4/4 0,25 ... Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002 Đáp án thang điểm đề thi thức Môn toán,... phần đến kết số hình chữ nhật Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi thức Môn thi : toán Khối B Nội dung Câu 1) Đồ thị hàm số (1) có hai điểm... + Cn = n +1 n +1 3 0,5 đ 0,5 đ Bộ giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi thức Môn thi : toán Khối B Nội dung Câu 1) Đồ thị hàm số (1) có hai điểm