CO HOC LI THUYET

Ta có định nghĩa sau: các liên kết của hệ được gọi là lí tưởng nếu tổng côngnguyên tố của các lực liên kết trên mọi di chuyển khả dĩ của hệ đều bằngkhông: = = 0 Các liên kết thường gặp s

TÌM HIỂU CÁC NGUYÊN LÝ CƠ HỌC

B NỘI DUNG:

CHƯƠNG 1: NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ

1.1.1 Liên kết:

sát trong không gian được gọi là liên kết

Ví dụ: cơ cấu tay quay thanh truyền Tay quay OA quay quanh trục O Thnahtruyền AB chuyển động song phẳng Con trượt B chuyển động thẳng theo 0x

J: là số thứ tự của phương trình liên kết

K: là số thứ tự của các chất điểm trong hệ

+ Nếu phương trình không chứa thừi gian t thì liên kết đó gọi là liên kếtdừng.

+ Nếu phương trình chứa thời gian t gọi là phương trình liên kết không dừng

+ Nếu phương trình mô tả đẳng thức thì ta gọi đó là phương trình liên kếtgiữ

+ Nếu phương trình mô tả bất đẳng thức thì ta gọi đó là phương trình liên kếtkhông giữ

+ Nếu phương trình không chứa vận tốc v gọi là liên kết hình học

+ Nếu phương trình có chứa vận tốc v gọi là liên kết động học

Ví dụ về các loại liên kết:

XA2 + YA2 = r2

( XB + XA)2 + YA2 = l2

YB = 0

Các phương trình liên kết trên thể hiện liên kết dừng, giữ và hô nô nôm

A

C

lại liên tục theo thời gian Giữ cho vật giao động trong mặt phẳng 0xy thẳngđứng ( ở hình dưới) , có phương trình liên kết là:

XA2 + YA2 l2

ZA = 0

Liên kết này không dừng không giữ và hô nô nôm

1.1.2 Tọa độ suy rộng:

- Tọa độ suy rộng là các thông số định vị của cơ hệ Ký hiệu là qj, giá trị này

có thể đo bằng đơn vị độ dài, đơn vị góc quay, điện lượng…

- Ta kí hiệu tọa độ suy rộng:

= q1, q2, …, qn

- Nếu các số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của hệ ta gọi là tọa độ suyrộng đủ rộng Nếu số tọa độ dư thừa nghĩa là vượt quá số tọa độ cần thiết đểxác định vị trí của hệ gọi là tọa độ dư

- Ta gọi dq gia số n phân tố của tọa độ suy rộng, ta có thể biểu diễn các tọa

độ Đề các, xk , yk , zk qua tọa độ suy rộng:

Xk = xk ( q1,q2,q3…,qm)

yk = yk ( q1,q2,q3…,qm)

zk = zk ( q1,q2,q3…,qm)

ví dụ về tọa độ suy rộng :

Cơ cấu tay quay thanh truyền biểu diễn trên hình một ở trên Nếu ta chọn

1.1.3 Di chuyển khả dĩ của cơ hệ:

Di chuyển khả dĩ là di chuyển vô cùng nhỏ của cơ hệ tại vị trí đang xét sang

vị trí lân cận mà cơ hệ có thể thực hiện phù hợp với liên kết đặt lên hệ Đểphân biệt với di chuyển thực dr ta lí hiệu di chuyển khả dĩ là r

Nếu gọi , ’, là vecto định vị của chất điểm thứ k trong hệ tại vị trí đang xét vàtại vị trí lân cận thì ta có:

Fi ( rk’,vk’, t) – fi( rk,vk, t) = 0

Với định nghĩa trên ta thấy di chuyển thực khác với di chuyển khả dĩ ở chổ:

lên hệ còn liên kết khả dĩ chỉ phụ thuộc vào liên kết đặt lên hệ mà thôi

hoặc nhiều

- Đối với hệ nhiều liên kết dừng, di chuyển thực sẽ trùng với một trong số các

di chuyển khả dĩ

tập hợp các véc tơ thỏa mãn điều liện liên kết sau: hình chiếu AB của , chấtđiểm đặt lên mặt cong có di chuyển khả dĩ là tập hợp các vecto tiếp tuyến vớimặt cong tại vị trí đang xét

1.1.4 Bậc tự do của cơ hệ:

Di chuyển khả dĩ của cơ hệ là có nhiều tuy nhiên mức độ nhiều có hạn chế.Trong số các di chuyển khả dĩ của cơ hệ có thể có một hay nhiều số m dichuyển cơ sở các di chuyển còn lại được biểu diễn qua các di chuyển cơ sởnói trên Các di chuyển cơ sở độc lập tuyến tính với nhau và đúng bằng thông

số định vị của cơ hệ tức là bằng số tọa độ suy rộng đủ Ta gọi các số di chuyểnkhả dĩ cơ sở của hệ là số bậc tự dô m của hệ

trong hayμ làm di chuyển cơ sở

càng lớn có thể xác định số bậc tự do của cơ hệ bằng biểu thức:

S = 3N – n

Trong đó: N là sỗ chất điểm trong cơ hệ

N là số phương trình liên kết

Ví dụ:

không đổi nên số bậc tự do tự do của cơ hệ là 5

đường thẳng trong không gian và chúng ở vị trí xác định

Số bậc tự do của vật rắn là 6

1.1.5 Liên kết lí tưởng:

Ta gặp những liên kết mà tổng cộng các lực liển kết sinh ra trên các độ dờiphân bố của hệ triệt tiêu Hay nói cánh khác liên kết này không ảnh hưởngđến biến thiên động năng của hệ trong quá trình chuyển động, ta gọi là liênkêt lí tưởng

Ta có định nghĩa sau: các liên kết của hệ được gọi là lí tưởng nếu tổng côngnguyên tố của các lực liên kết trên mọi di chuyển khả dĩ của hệ đều bằngkhông:

= = 0

Các liên kết thường gặp sau đây là liên kết lí tưởng:

Trong thực tế, nếu cần bỏ qua lực ma sát và tính đàn hồi của vật thể tạo thành

cơ hệ thì đa số các cơ hệ thõa mãn biểu thức trên như vậy chúng chịu các lựcliên kết lí tưởng Khi phải kể đến các lực ma sát và tính đàn hồi của vật thể tavẫn dùng được khái niệm liên kết lí tưởng trên đây nhưng phải xem các lực do

ma sát hoặc do tính đàn hồi của vật thể tác dụng lên cơ hệ như là các hoạt lực

Ví dụ: vật rắn tự do là một cư hệ chịu liên lí tưởng

Quả vậy nếu ta xét một cặp chất điểm M,N bất kì trong vật thì lực tác dụngtương hổ giữa chúng là F, F’ với F = -F’

Gọi r và r’ là các vecto di chuyển khả dĩ của chất điểm M,N, ta có:

Theo động học vật rắn ta có:

- ’ =

Vectơ MN có độ lớn không đổi nên vuông goc với vecto F

Cuối cùng ta có - ’ = = 0

Điều này cứng tỏ vật rắn tự do là cơ hệ chịu liên kết lí tưởng

liên kết lí tưởng

một cư hệ lú tưởng

- Dây mền không dãn vắt qua ròng rọc khi bỏ qua sự trượt của dây và bỏ qua

ma sát ổ trục cũng là cơ hệ chịu liên kết lí tưởng

1.1.6 Lực suy rộng:

- Xét cơ hệ N chất điểm, có m tọa độ suy rộng đủ q1, q2…., qm Biểu thức tổngcông của các hoạt lực trng một di chuyển khả dĩ nào đó của cơ hệ có thể viết: = �

Trong đó vecto lực là tổng các hoạt lực tác dụng lên chất điểm

Biểu diễn các vecto định vị của và di chuyển khả dĩ qua cáctọa độ suy rộng ta có:

= ( q1, q2…, qm)

Thay kết quả vào các biểu trên ta có:

Qj = : được gọi là lực suy rộng ứng với tọa đọ suy rộng qj

Ta có định nghĩa: Lực suy rộng Qj ứng với tọa đọ suy rộng qj là đại lượng vôhướng biểu thị bằng hằng số của biến phân tương ứng trong biểu thức tổngcông của các hoạt lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển khả dĩ bất kì của cơ

hệ đó

rộng tương ứng Chẳng hạn ta găp :

+ Tọa độ suy rộng qj là đọ dài thì Qj là lực, là góc quay thì Qj là momen lực

+ Cho hệ một di chuyển khả dĩ, các biến phân khác của tọa độ suy rộng chobằng không, sau đó, tính công của lực trong di chuyển đó của hệ

Theo định nghĩa ta có:

Vì các biến phân đều triệt tiêu nên biểu thức trên được viết:

Từ đây ta suy ra biểu thức xác đingj lực suy rộng:

Ta phải chứng minh điều kiện cần có là: = 0.

Nếu gọi và là hạt lực và phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm khảo sát ta

Sau đay ta chứng minh điều kiện đủ:

Giả sử cơ hệ thõa mãn điều kiện = 0 ta phải chứng minh rằng điều kiện này đủ

để cho hệ tự cân bằng ở vị trí đang xét

Thật vậy, nếu cơ hệ thõa mãn điều liện trên mà không căn bằng thì chứng tỏ

nó phải khởi động tại vị trí đang xét Như vậy biến thiên của hệ phải dương.Theo định lí động năng ta có:

1.1.8 Phương trình cân bằng tổng quát của cơ hệ không tự do:

Từ điều kiện cân bằng = 0

Ta có thể thiết lập phương trình tổng quát ch cơ hệ dưới dạng tạ độ Đề các vàtọa độ suy rộng

Gọi Xk, Yk Zk, là hình chiếu của của hoạt lực và xk, yk, zk, là hình chiếu của

di chuyển khả dĩ lên các trục tọa độ 0xyz Ta có thể viết phương trình cânbằng của hệ dưới dạng phương trình đây:

C2 C1

Y o

Các phương trình trên chính là điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ chịuliên kết dừng, hô nô nôm là lí tưởng

1.2 Các dạng bài tập minh họa về nguyên lí di chuyển khả dĩ:

1.2.1 Dạng bài toán về lực suy rộng;

Bài 1: Xác định lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng của hệ con lắcvật lí kép biểu diễn bởi hình ở dưới, Cho biết trọng lượng của mỗi cn lắc đềubằng P và đặt tại điểm C1 và C2, chứng từ của con lắc, độ dài của mỗi con lắc

là một

Bài giải:

Chọn gốc tọa độ suy rộng đủ của hệ là các góc 1 và 2 như trên hình vẽ:

Gọi các lực tương ứng là Q1 , Q2 Trước hết xác định Q1 , ta cho hệ mọt dichuyển khả dĩ sao cho 1 0 và 2 = 0

Công thức của các hoạt lực P1 , và P2 trong di chuyển đó được tính:

= - P sin1,1 – P2 l sin1,1

= l sin1,1

Suy ra :

Q1 = - l sin1

Để tinh Q2 cho hệ một di chuyển khả dĩ với 2 0 và 1 = 0

Khi đó chỉ có con lắc AB di chuyển và công của hoạt lực trong di chuyển nàylà:

E D

b

L2 L1

a

Bài 1: Xà kép gồm hai đoạn AC và chuyển động nối với nhau bằng khớp bản

lề ở C Trên đoạn chuyển động cs lực tập trung P tác dụng theo phươngvuông góc với xà phòng tại E Xác định phản lực tại gối đỡ di động B Kíchthước kết cấu xà phòng cho trên hình:

Bài giải:

Để xác định phản lực NB ta giải phóng liên kết ( gối tựa di động) tại B và thay

cà đó phản lực NB

Cho hệ di chuyển khả dĩ với , , SE

Phương trình cân bằng tổng quát cho hệ được viết:

= NB - P.SE

Trong đó:

SE =

Suy ra: NB = P

Bài 2: Cho cơ cấu chịu tác dụng các lực cân bằng biểu diễn trên hình bêndưới Xác định độ biến dạng h của lò xo nếu cho Q = 100 N độ cứng của lò

vecto F của lò xo

Trng đó các lực sinh ra công là: Q và F

Cho hệ một di chuyển khả dĩ với s là di chuyển của vật d làm cơ sở ta có thểtìm được di chuyển của điểm B như sau:

Ta có: 1 =

Điểm tiếp xúc K và giữa hai bánh răng 2 va3 có di chuyển s1 với:

s1 = r1 1 = s di chuyển một góc quay của bánh răng 3 sẽ là:

s3 = s1

O3.A s3 = l s1

song phẳng với P là tâm vận tốc tức thời nên suy ra:

=

Trong tam giác ABM ta có: =

Nên :

sB = s

Thiết lập điều kiện cân bằng cho hệ nhờ nguyên lí di chuyển khả dĩ, ta có: = 0

Thay F = c h

Ta được: Qs – c.h s = 0

Thay số vào biểu thức trên ta được h = 1,74cm

Như vậy hệ cân bằng khi lò xo bị nén một đoạn h = 1,74cm

1.3 Các bài tập tự rèn luyện:

CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ DALAMBE

Xét chất điểm có khói lượng m chuyển động với vecto gia tốc W dưới tácdụng của các vect lực F1, F2…, Fn

A

1

Phương trình cơ bản của động lực học viết cho chất điểm :

Đây chính là biểu thức Dalambe cho chất điểm

Phát biểu định lý Dalambe: Khi chất điểm chuyển động, các lực thực sự tácdụng lên chất điểm ( bao gồm các hoạt lực và phản lực liên kết) cùng với lựcquán tính của nó tạo thành một hệ lực cân bằng

điểm viết được:

I = X1 + X2 +…… + Xn + Xqt = 0

I = Y1 + Y2 +…… + Yn + Yqt = 0

G1

M

I = Z1 + Z2 +…… + Zn + Zqt = 0Trong đó:

Xi, Yi , Zi và Xqt , Yqt , Zqt là các hình chiếu của lực Fi thực sự tác động lên chấtđiểm của lực quán tính lên trục oxyz

Chú ý:

có nhuyên lý Đalambe Thực tế lực quán tính đặt vào liên kế của chất điểm

Ví dụ: Khi buộc một vật nặng vào đầu một sợi dây và quay thì lực thực sự tác dụng lên vật trong trường hợp này chỉ có trọng lực, lực căng của sợi dây, lực cản không khí, còn lực quán tính của vật lại đặt lên sợi dây và có xu hướng đứt dây

tiếp tuyến và pháp tuyến do đó lực quán tính cũng có hai thành phần tương ứng Ta có:

= t + n

= - m = - t - n = t + n

Trong đó lực quán tính tiếp tuyến có phương tiếp tuyến với quĩ đạo có chiềuphụ thuộc vào tính chất chuyển động của chất điểm Nếu Wt = > 0

Thì lực quán tính tiếp tuyến ngực chiều với vận tốc của chất điểm

Wt = < 0 thì lực quán tính tiếp cùng chiều cùng chiều với vận tốc của chất

cong ra ngoài vì thế n được gọi là lực quán tính li tâm Như hình bên dưới

2.2 Nguyên lý Đălămbe đối với hệ:

2.2.1 Nguyên lý :

Xét hệ gồm N chất điểm: M1 , M2, ….Mn

Tách một chất điểm Mk ra xét Gọi và là tổng các nội lực và các ngoại lựctác dụng lên chất điểm Nếu chất điểm chuyển động với gai tốc thì lực quántính của chất điểm sẽ là Gọi = -mk

Áp dụng nguyên lý Đalambe cho chất điểm ta có:

1

Nếu viết dưới dạng hình chiếu có 6 phương trình sau:

+ Xqt = 0 + Yqt = 0 + Zqt = 0( Fke ) + Mqt

x = 0( Fke ) + Mqt

y = 0( Fke ) + Mqt

z = 0Trong đó: Xe

k , Ye

k , Ze

k , Xqt , Yqt , Zqt, là các thành phần hình chiếu lên cáctrục 0xyz của ngoại lực Fke là vecto chính của lực quán tính còn

mx( Fke ), my( Fke ), my( Fke ) và Mqt

x, Mqt

y, Mqt

oxyz của ngoại lực và momen chính của lực quán tính đối với ba trục

Cũng như đối với chất điểm nguyên lý Dalambe đối với hệ cho ta phươngpháp giải các bài toán động lực học cho hệ theo phương pháp tĩnh học vàđược gọi là phương pháp tĩnh động … Phương pháp tĩnh động được ápdụng rộng rãi để giải các bài toán động lực học đặc biệt là những bài toánxác định các phản lực liên kết Khi sử dụng phương pháp khó khăn chính là

c 2.2.2 Thu gọn hệ lực quán tính:

a) Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động tịnh tiến:

Các chất điểm trong vật có gia tốc như nhau và bằng gia tốc khối tâm : = ( k = 1…n)

Khi thu gọn hệ lực quán tính về khối tâm C ta được:

= mk = -M

Mqt

c = - ) = 0

Vì = 0 do ta chọn C làm tâm thu gọn

Kết quả thu gọn hệ lực quán tính của hệ chuyển động quay quanh một trục

đi qua khối tâm là:

= 0 và Mqt

cz = -J0z c) Thu gọn hệ lực quán tính của vật rắn chuyển động song phẳng

Theo động học chuyển động song phẳng của vật có thể phân tích thành haichuyển động cơ bản là tịnh tiến theo khối tâm và chuyển động quay quanhtrục z đi qua khối tâm C vuông góc với mặt phẳng cơ sở

Thu gọn hệ lực quán tính với từng chuyển động cơ bản đó đã được trình bàytrong hai trường hợp trên Dễ nhận thấy khi thu gọn các hệ lực quán tính của

hệ chuyển động sng phẳng có kết quả sau:

= -M và Mqt

cz = -J0z

M

quay cz Wc và là gia tốc khối tâm và gia tốc của hệ

2.3 các bài tập minh họa:

Bài 1: Một bóng đèn có trọng lượng P treo trên trần của toa tàu đang chạy.tại một thờ điểm nào đó người ta thấy dây treo đèn lệch đi so với phươngthẳng đứng một góc Tìm gia tốc của tàu tại thời điểm đó? Tính lực căngcủa sợi dây?

Bài giải:

Xét chuyển động của bóng đèn Gọi gia tốc của bngs đèn là:

Ta có: các lực thực sự tác dụng lên bóng đèn là trọng lực P, lực căng dây Của dây Lực quán tính của bóng đèn là:

x B

K

G3 R3

Ta có phương chương biểu diễn như hình vẽ

Bài 2: Một bình hình trị chứa chất lỏng quay quanh trục thẳng đứng với vậntốc không đổi 0 Tìm dạng mặt thoáng chất lỏng ở vị trí cân bằng tương đối:

Bài giải:

Xét một phần tử chất lỏng M nằm trên mặt thoáng:

Giả thiết mặt phẳng oxy cắt mặt thoáng theo giao tuyến OAB di chuyển qua

M ( như hình vẽ ở trên) Các lực thực sự tác động lên chất điểm M gồm: trọng lực , phản lực , củaphần chất lỏng còn lại tác dụng lên chất điểm có hướng theo pháp tuyến Mn

Lực quán tính của chất điểm:

= m

Vì khối chất lỏng quay đều quanh trục quay nên gia tốc chỉ gồm thành phần

Fqt = Fn

qt = m x 2

Trong đó x là tọa độ của chất điểm M

Áp dụng nguyên lí Đalambe cho chất M ta có:

Bài giải:

A Q

12

Q

1

phản lực pháp tuyến , lực ma sát trượt , , và lực kéo Q

Gọi lực quán tính đặt lên vật A và vật B là , ta có:

YA h

xA

Y

X

E B

Kết quả này cho thấy lực căng dây không phụ thuộc vào lực ma sát

Bài 4: Thanh đồng chất có chiều dài l, trọng lượng P Đầu A được giữ bằng khớp bản lề và đầu B được giữ bằng sợi dây Xác định lực căng T của sợi dây

BD khi trục quay đều với vận tốc

Cho biết góc hợp bởi giữa thanh AB và trục quay AD là

Bài giải:

Xét chuyển động của thanh AB Các lực ngoài tác dụng lên thanh là:

Trọng lực , phản lực , và lực căng của sợi dây Gọi hợp của các lực quán tính là Theo nguyên lý Đalambe ta có:

(, , , ) = 0

Ta có nhận xét:

Lực quán tính của các phần tử trên thanh có cùng phương chiều và tỉ lệ với tọa độ

xk của nó Điều này cho phép ta vẽ biểu đồ phân bố các lực quán tính theo hình trên

Ta nhận thấy rằng hợp lực của hệ này là = M và đi qua trọng tâm của tam giác ABE, nghĩa là đi qua điểm F cách A một đoạn bằng 21/3

Dễ dàng tìm thấy phương trình cân bằng của hệ lực:

= - T + XA + Rqt = 0

= YA – P = 0

(Fi) = T.l cos – Rqt cos - P.sin = 0

Thay Rqt = MWc = sin và giải hệ phương trình ta được:

T = P ( sin + tan )

YA = P

Và XA = P ( sin + tan ) - sin

2.4 Bài tập tự ren luyện:

CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ ĐALAMBE – LAGORANGE

3.2 Phương trình tổng quát của động lực học:

Như chúng ta đã biết , nguyên lý Đalambe cho ta phương pháp tĩnh động để giải quyết các bài toán động lực học, còn nguyên lý di chuyển khả dĩ cho ta phương pháp tổng quát giải các bài toán cân bằng của cơ hệ tự do Kết hợp hai guyên lý trên cho chúng ta thiết lập phương trình vi phân của chuyển động của cơ hệ tự do gọi là phương trình tổng quát của động lực học