CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ ĐALAMBE – LAGORANGE 3.1 Nguyên lý:
Kết hợp hai nguyên lý : Di chuyển khả dĩ và nguyên ký Đalambe. Ta có thể phát biểu như sau:
Tại mỗi thời điểm cơ hệ chịu liên kết hình học lý tưởng là tổng công củ các lực chủ động cà các phản lực quán tính trong mọi di chuyển khả dĩ bằng không.
dA(ch) + dA(qt) = 0
3.2 Phương trình tổng quát của động lực học:
Như chúng ta đã biết , nguyên lý Đalambe cho ta phương pháp tĩnh động để giải quyết các bài toán động lực học, còn nguyên lý di chuyển khả dĩ cho ta phương pháp tổng quát giải các bài toán cân bằng của cơ hệ tự do. Kết hợp hai guyên lý trên cho chúng ta thiết lập phương trình vi phân của chuyển động của cơ hệ tự do gọi là phương trình tổng quát của động lực học.
Xét cơ hệ chịu liên kết dừng và lí tưởng chuyển động dưới tác dụng của các hoạt lực và phản lực liên kết.
Gọi , , là hoạt lực và phản lực liên kết tác dụng lên chất điểm Mk .
Nguyên lý Đalambe cho chất điểm Mk có thể viết:
+ - mk. =0 (1)
Cho hệ di chuyển khả dĩ. Gọi là di chuyển của chất điểm Mk
Nhân hai vế của phương trình (1) với ta được: + - mk. =0 (2)
Viết phương trình 2 cho tất cả các chất điểm trong hệ nghĩa là cho k = 1….N ta sẽ được hệ N phương trình:
+ – m1. = 0 + – m2. = 0
……… + – mn. = 0
Tiến hành cộng vế với vế của hệ phương trình trên ta được: + - = 0 (3)
Vì liên kết đặt lên hệ là liên kết lý tưởng nên số hàng thứ hai trong phương trình (3) triệt tiêu:
= 0.
Cuối cùng ta có: - = 0 Hay : = 0 (4)
Phương trình (4) là phương trình vi phân chuyển động của hệ được gọi là phương trình tổng quát của động lực học dưới dạng véc tơ.
Ta cũng có thể viết phương trình này dưới dạng tọa độ Đề các sau đây: + + = 0
Từ các phương trình tổng quát của động lực học ta khi cơ hệ chịu liên kết dừng và liên kết lí tưởng tổng vi phân công của các hoạt lực và các lực quán tính luôn luôn bằng không. Ta có:
+ = 0
3.3 Phương trình Lagange loai II:
Phương trình tổng quát cảu động lực học viết dươi dạng tọa độ suy rộng được gọi là phương trình Lagange loại II.
Xét hệ chịu liên kết dừng và liên kết lý tưởng . Phưng trình tổng quát của hệ là; - = 0
Chúng ta có thể thay: =
Trong đó Qj là lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng qj .
Để có phương trình Lagrange loại 2 ta còn phải biến đổi trực tiếp số hạng sang tọa đọ suy rộng.
Ta có: = ) =
Đặt : = Zj ta sẽ đưa phương trình về dạng: =
Sau đây tìm biểu thức của Zj: Zj = = -
Từ kết quả này ta suy ra hệ thức sau: = (5)
Theo tính toán ta có: ( ) = (6)
Thay kết quả kết quả tìm được từ biểu thức (5) và (6) và biểu thức của Zj ta được: Zj = ( ) -
Thay kết quả tìm được vào phương trên ta có: ( ) - = Qj ( j = 1…m) (7)
Hệ phương trình trên được gọi là phương trình Lagrange loại 2. Trong đs T là động năng của hệ. Qj là lực suy rộng qj
Trong trường hợp hoạt động là lực có thế Qj = thì phương trình (7) trở thành: ( ) - =
Cần chú ý rằng = 0. Do đó : ( ) –( - =
Nếu đặt T – = L ( qj , , t) thì phương trình Lagrange loại 2 có dạng: ( ) - = 0 ( j = 1…..m)