Bát đẳng thức bất phương trình

Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC Định nghĩa Số thực a gọi lớn b, kí hiệu a > b a−b > Khi ta kí hiệu b b  a-b > (b−ab c>d (hoặc a b ⇔ a+c > b+c (cộng vế bất đẳng thức số) a > b+ c ⇔ a−c > b (chuyển vế) u c> ac > bc nế 3) a > b ⇔  (nhân hai vế số) u c< ac < bc nế a > b ⇒ a+c >b+d 4)  c > d a > b > ⇒ ac > bd 5)  c > d > 6) Với n ngun dương: a > b ⇔ a2n+1 > b2n+1 a > b>0 ⇒ a2n > b2n 7) Nếu b>0 a>b ⇔ a > b ; a>b ⇔ a > b a > b ⇒a>c 8)  (bắc cầu) b > c 1 ab>  a < b 9) a > b ⇔   > ab<  a b 10) a > b > ⇒ an > bn ( n∈ N + ) 11) a > b > ⇒ n a > n b ( n ∈ N + ) Chú ý: Khơng có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức chiều PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp chung: Một số đảng thức: (a± b)2= a2 ± 2ab +b2 (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (a± b)3= a3 ± 3a2b+3ab2 ± b3 a2 −b2 = (a−b)(a+b) a3−b3= (a−b)(a2 +ab +b2) a3−b3= (a+b)(a2 −ab +b2) Ví dụ: Chứng minh a) Nếu a,b ≥ a+b ≥ ab b) Chứng minh a2+b2-ab ≥ Khi đẳng thức xảy Giải a) Cách 1: ta có a+b ≥ ab  a+b- ab ≥  ( a − b )2 ≥ với a,b ≥ Dấu '=' xảy a = b Cách 2: ta biết ( a − b )2 ≥ ∀a, b ≥ ⇒ a+b- ab ≥ ⇒ a+b ≥ ab ⇒ đpcm b 3b 2 b) Ta có: a2+b2-ab = a + b + b − ab = (a- ) + ≥ ∀a, b ∈ R 4 b  a− =0  a =  ⇔ dấu '=' xảy   ⇒ đpcm b = 3b =   4 Bất đẳng thức Cơsi a/ Định lý: Nếu a ≥ 0, b ≥ a+b ≥ ab hay a+b ≥ ab Dấu '=' xảy ⇔ a=b b/ Các hệ quả: b.1 Nế a ≥ 0,b ≥ có a+b=const (hằng số) a.b max ⇔ a = b b.2 Nếu a ≥ 0,b ≥ có a.b = const a + b ⇔ a = b b.3 Nếu a1, a2, a3,… ,an ≥ thì: a1 + a + + a n n ≥ a1 a a3 a n n ≥ 2, a > a * Ý nghĩa hình học: + Trong tất hình chữ nhật có chu vi, hình vng có diện tích lớn + Trong tất hình chữ nhật có diện tích, hình vng có chu vi nhỏ c Ví dụ: a b Ví dụ 1: cho hai số a, b> Chứng minh + ≥ b a Giải a b Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương , > ,ta có: b a a b a b a b + ≥ = ⇔ + ≥ => đpcm b a b a b a Ví dụ 2: Chứng minh với a,b>0 (a+b)(ab+1) ≥ 4ab Giải Ap dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương a,b>0 ta có: a+b ≥ ab (1) Ap dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương ab,1>0 ta có: ab + ≥ ab (2) Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) ≥ 4ab => đpcm Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối  x nếux ≥ Định nghĩa: |x| =  ; - x nếux < ∀a, b ∈ R ta có a + b ≤ a + b , dấu '=' xảy  a.b ≥ b.4 a + a − b ≤ a + b , dấu '=' xảy a.b ≤ a + b = a + b  a.b ≥ a − b = a + b  a.b ≤ Ví dụ: chứng minh | x-y | + | y-z | ≥ | x- z| Giải Ta có |x-y|+|y-z| ≥ |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho số thực a, b, c, d thì: (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)(b2+d2)  ab + cd ≤ (a + c )(b + d ) Chứng minh: Ta có (ab+cd)2 ≤ (a2+c2)(b2+d2) 2  a b +c2d2+2abcd ≤ a2b2+a2d2+b2c2+c2d2  a2d2+b2c2-2abcd ≥  (ad-bc)2 ≥ ∀a, b, c, d ∈ R => đpcm Ví dụ 1: cho x2+y2=1,chứng minh − ≤ x+ y ≤ Giải Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có: (1.x+1.y)2 ≤ (12+12)(x2+y2)  (x+y)2 ≤  − ≤ x + y ≤ => đpcm Ví dụ 2: Cho x+2y = , chứng minh x2+y2 ≥ Giải Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Với số thực x, y, z Chứng minh rằng: xyz ≤ x + y z HD: Đưa đẳng thức < a + − a − , ∀a ≥ 2/ Chứng minh rằng: a Giải 2   < a +1 − a −1 ⇔  ÷ < a +1 − a −1 a  a 1 ⇔ < (a + 1) + (a − 1) − a − ⇔ a − < 2a − Vì 2a − > nên a a a ( ) 1  ⇔ 4(a − 1) <  2a − ÷ ⇔ > đú ng a a  < a + − a − , ∀a ≥ ⇒ đpcm Vậy a 1 3/ Tìm Giá trị nhỏ hàm số y= + với 00 nên Áp dụng bđt Cơ-si cho hai số dương ta được: x 1− x 1 ≥ 1 = y= + x 1− x x 1− x x(1− x) x + (1− x) ≥ x(1− x) ⇒ ≤ mà x + (1− x) x(1− x) 1 1 1 ≥2 =2 ≥2 =4 y= + x 1− x x + (1− x) x (1 − x ) x 1− x 1 1  = 1 ⇒ y= + ≥ Dấu "=" xảy ⇔  x 1− x ⇔ x = x 1− x ∀x ∈ (0;1)  Vậy giá trị nhỏ hàm số y= 1 + x = x 1− x BÀI TẬP 1/ Cho a, b, c, d số dương; x, y, z số thực tùy ý Chứng minh rằng: a) x + y ≥ x y + xy3 Giải 4 3 (a) ⇔ x − x y + y − y x ≥ ⇔ x ( x − y ) + y3 ( y − x) ≥ ⇔ x ( x − y ) − y3 ( x − y ) ≥ ⇔ ( x − y )( x − y3 ) ≥  y  3y2  ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) ≥ ⇔ ( x − y )  x + ÷ +  ≥ 2   Vậy x + y ≥ x y + xy3 ⇒ đpcm b) x + 4y + 3z + 14 > x + 12 y + z Giải 2 (b) ⇔ x − x + + 4y − 2.2 y.3 + + 3z − 3.z + + > 2 2 ⇔ ( x − 1) + (2 y − 3) + ( 3.z − 3) + > đú ng Vậy x + 4y + 3z + 14 > x + 12 y + z ⇒ đpcm a b + ≥ a+ b c)* b a Giải ( a ) +( b ) b⇔ (c ) ⇔ a a +b b b a ≥ a+ b a ≥ a+ b ⇔ ( a + b )(a − a b + b) ≥ b a ( a + b ) ⇔ ( a + b )(a − a b + b) − b a ( a + b ) ≥ ⇔ ( a + b )(a − a b + b − b a ) ≥ ⇔ ( a + b )(a − a b + b) ≥ ⇔ ( a + b )( a − b ) ≥ ⇒ đpcm 1 d) + ≥ a b a+b Giải Áp dụng bđt Cơ-si cho hai số dương a, b: a + b ≥ ab (1) 1 1 (2) , : + ≥2 a b a b ab 1 1 Lấy (1) nhân (2) ta được: (a + b)( + ) ≥ ⇔ + ≥ ⇒ đpcm a b a b a+b a+b+c+d ≥ abcd (bđt Cơ-si cho số) e)* Giải Áp dụng bđt Cơ-si cho hai số dương a + b ≥ ab   ⇒ a + b + c + d ≥ 2( ab + cd ) ≥ 2.2 ab cd = abcd c + d ≥ cd  a+b+c+d ⇒ ≥ abcd 1 1 16 f) + + + ≥ a b c d a+b+c+d Giải Áp dụng bđt Cơ-si cho số dương a, b, c, d ta được: a + b + c + d ≥ 4 abcd (1) 1 1 Áp dụng bđt Cơ-si cho số dương , , , ta được; a b c d 1 1 (2) + + + ≥ 44 a b c d abcd 1 1 Nhân (1) với (2) ta được: (a + b + c + d )( + + + ) ≥ 16 a b c d 1 1 16 Vậy + + + ≥ a b c d a+b+c+d g) a b + ≥ 2a b Áp dụng bđt Cơ-si cho số dương a2b, 1/b h) (a + b)(b + c)(c + a ) ≥ 8abc Áp dụng bđt Cơ-si cho a, b b, c c, a i) ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab Khai triển đẳng thức áp dụng bđt Cơ-si cho (a + b) ab 1 j) + + ≥ a b c a+b+c Giải Áp dụng bđt Cơ-si cho số dương a, b, c ta được: a + b + c ≥ 3 abcd (1) 1 Áp dụng bđt Cơ-si cho số dương , , ta được; a b c 1 1 (2) + + ≥ 33 a b c abc 1 Nhân (1) với (2) ta được: (a + b + c)( + + ) ≥ a b c 1 Vậy + + ≥ a b c a+b+c 2/ Chứng minh bất đẳng thức sau x+4 ≥2 a) Với x>−3 Chứng minh x+3 HD: x + ≥ x + Áp dụng bđt Cơ-si cho x+3 x2 y2 + = Chứng minh |x.y|≤3 x2 y2 HD: Áp dụng bđt Cơ-si cho , c)* Với a, b, c≥ a+b+c=1 Chứng minh: b+c ≥ 16abc HD: b+c ≥ bc ⇔ (b+c)2 ≥ 4bc (1) b) Với a+(b+c) ≥ a (b + c) ⇔ 1≥ 4a(b+c) (2) lấy (1)x(2) ta được⇒ đpcm d) Cho a, b, c, d ≥ Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) ≥ 32abcd HD: Áp dụng bđt Cơ-si cho: abc 2; bc 2; a d; d a b c e) Cho a,b,c >0 CMR : (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ b c a a b c HD: Áp dụng bđt Cơ-si cho 1, ; 1, ; 1, b c a f) Với a,b,c,d khơng âm CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≥ 16abcd HD: b g) Cho a,b,c > CMR : ca + ≥ ab c HD: 1 h) Cho a,b,c > CMR : (a+b+c)( + + ) ≥ a b c HD: 1 k) Cho a,b > CMR : (a+b)( + ) ≥ a b HD: a + bc l) Cho a,b,c > CMR : ≥ ab 2c a + bc a HD: ≥ ab ⇔ + bc ≥ ab c c 1 m) Cho a,b,c > a+b+c =1 CMR : (1 + )(1 + )(1 + ) ≥ 64 a b c HD: a n) Cho a > CMR : a − ≤ HD: bình phươn vế 1 1 1 + + o) Cho a,b,c >0 CMR : + + ≥ a b c ab bc ac 3/ Chứng minh bất đẳng thức 1 > b a b) a + b + c ≥ ab + bc + ca, ∀a,b,c ∈ ¡ Khi dấu "=" (đẳng thức) xảy ra? c) a + b + ab ≥ 0, ∀a, b ∈ ¡ Khi dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.? d) (a+b+c)2 ≤ 3(a2+b2+c2) với a,b,c∈ ¡ a) Chứng minh a > b > e) a2b+ab2 ≤ a3+b3 , với a, b dương Đẳng thức xảy xảy ? 4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với − ≤ x ≤ Xác định x cho f(x) đạt giá trị lớn nhất? 5/ Tìm già trị nhỏ hàm số sau x> a) f(x)= x + với b) f(x)= x + với x > x x −1 + với 0 ∀a∈R a2 + b2 + ≥ ab + 2(a +b) , ∀a, b∈R a2+ b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b +c + d + e) , ∀a, b, c, d, e∈R a2 a2 b2 Suy ≤ , ∀ a ∈ R + ≤ , ∀a, b∈R a4 + a + b4 + 2 2  a+b+c  a +b +c  , ∀a, b, c∈R ÷ ≤ 3   a3 + b3 ≥ ab(a+b) , ∀a, b ≥ a3b + ab3 ≤ a4 + b4 , ∀a, b∈R a4 + 16 ≥ 2a3 + 8a , ∀a∈R 10 (a + b)(c + d ) ≥ ac + bd , ∀a, b, c, d > a b + ≥ a + b , ∀a, b > 11 b a 12 a + ab + b ≥ a + b , ∀a, b∈R + a − < a + , ∀a ≥ a a b2 c2 14 + + ≥ a + b + c , ∀a, b, c > b c a 15 a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > , ∀a∈R 13  x5 ( x − 1) + x ( x − 1) + > nế ux ≥ 16 x – x + x – x + > , ∀x∈R Hd: BĐT ⇔  u x 0, b > 0, c > CMR: a a a+c a a a+c < > i Nếu < ii Nếu > b b b+c b b b+c a b c + + 0, b > 0, c > CMR: < a+b b+c c+a Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác CMR: a a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca) b abc ≥ (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > Cho a + b = CMR: a2 + b2 ≥ 2 2 Cho x + y + z = CMR: x + y + z ≥ CMR: a x + + x − ≥ , ∀x∈R b x + + y + + x + y − ≥ , ∀x, y∈R III.CMR a+b+c+d ≥ abcd (a, b , c, d ≥ 0) a+b+c ≥ abc (a, b , c ≥ 0) 1 + + ≥ (a, b , c > 0) a b c a +b+c a b c 1 + + ≥ + + (a, b , c > 0) bc ca ab a b c ab bc ca + + ≥ a+b+c (a, b , c > 0) c a b 1 2 x + y + + ≥ 2( x + y ) (x , y > 0) x y (a + b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc (a, b , c ≥ 0)  a  b  c   + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ (a, b , c > 0)  b  c  a  (a + 2)(b + 8) (a + b) ≥ 32ab (a, b ≥ 0) 10 (1 –a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc với a + b + c = a, b, c ≥    11  + ÷1 + ÷ ≥ với x+y =1 x , y > y  x  12 (a + 2) (b + 8) ≥ 36 với ab = a, b > 13 a b − + b a − ≤ ab ∀a, b ≥ 1 14 4a + + 4b + + 4c + < với a + b + c = a, b, c ≥ - IV.CMR: (ab +by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 +y2) ,∀a, b, x, y∈R Dấu xảy nào? 2 x + y ≤ 13 với x2 + y2 = 3 x − y ≤ với 9x2 + 4y2 = x + y ≤ 35 với 2x2 + 3y2 = 2 x + y ≥ biết 4x + 6y = Dấu xảy nào? 2 x + y ≥ biết 4x - 3y = Dấu xảy nào? V.Tìm GTLN hàm số sau: y = (x + 5)(7 – x) với -5 ≤ x ≤ (maxy = 36 x = 1) 10 y = (2x - 3)(10 – 3x) với ≤ x ≤ x−4 y = với x ≥ (maxy = x = 8) 2x y = x + − x VI.Tìm GTNN hàm số sau: x+5 + y = với x > -5 x+5 (maxy = x = ± 2) (miny = x = -1) 10 7/ Giải bất phương trình sau (3 − x)( x − 2) a) ≤0 x +1 c) | x − | + | − x |> x − ≥ − x 2x + d) | ( − 3) x + |≤ + −4 x + ≤ −3 e) ( − x+2)(x+1)(2x−3)>0 f) 3x + Đáp số: a) S=(−1;2] ∪ [3;+∞) b) S=(−∞;−1/2) ∪ [2/11;1) c) S= (−∞;1) d) [−5−2 + + 2; 5+2 + + ] e) S=(−∞;−1) ∪( ;3/2) f) S=[−4/5;−1/3) 8/ Giải biện luận bất phương trình a) mx+4>2x+m2 b) 2mx+1≥ x+4m2 d) x(m −1) < m −1 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x−1) 9/ Giải bất phương trình sau − 2x a ) ( − x + 2)( x + 1)(4 x − 5) > b)  ≤   a)  x − b)  x − − x < x+3  | x |<  b) Đáp số: a) S= ( ;3) b) S=(−1;1/2) 11/ Tìm nghiệm ngun hệ bất phương trình   6 x + > x + 15 x − > x + a)  b)  x +  2( x − 4) < 3x − 14 < x + 25   Đáp số: a) S={4;5;6;7;8;9;10;11} b) S={1} 12/ Giải phương trình bất phương trình sau | 2x − | > a) |x+1|+|x−1|=4 b) c) |5+x|+|x−3|=8 ( x + 1)( x − 2) d) |x2−5x+6|=x2−5x+6 e) |2x−1|= x+2 f) |x+2|+|x−1|=5 2− x ≥2 g) |3x−5|2x−3 x +1 l) |x+1|≤ |x|−x+2 Đáp số: a) S={−2;2} b) S= (−4;−1)∪(2;5) c) S=[−5;3] d) S= x≤2 x>3 e) S={−1/3;3} f) S={−3;2} g) S=(1;7/3) h) S=(−4;−1)∪(−1;0] k) S=(−∞;5/3) l)S=(−∞;1] 13 Giải bất phương trình (chứa giá trò tuyệt đối) : 26 a / x − − x < 0; b / 2x + ≥ − 4x ; c / − x > x − 1; x − 4x ≥1 x + 3x + 14 Giải bất phương trình (chứa thức) : d / − x + x − x < x − 6; e/ a / x + 18 < − x; b / x ≥ 24 − x ; c / − 13 − x > x; d / − x > x − 2; e / x − 3x + ≥ x − f / − − 3x − x < x + 15/* Giải biện luận phương trình a) (2x− )(x−m)>0 16/* Giải biện luận hệ phương trình ( x − 5)( − x) > a)   x − m ≤ b) 3−x ≤0 x − 2m +  <  b)  x − x −  x − m ≥ 27 BÀI TẬP Bài 1: Giải biện luận bất phương trình sau theo tham số m a) m(x-m) ≤ x-1 b) mx+6 > 2x+3m c) (m+1)x + m < 3x+4 Bài 2: Giải bất phương trình sau: 3x − 2x − >1 ≥ −1 a) b) x−2 2−x −4 ≤ < c) d) x − 2x − 3x + − x Đáp số: a) S=(−∞;−1) ∪ (2;+∞) b) S=(2;3] c) S=(1/2;1) ∪[3;+∞) d) S=(−∞;−11/5)∪(−1/3;2) Bài 3: Giải bất phương trình sau: a) | 2x-5 | ≤ x+1 b) | 2x+1 | < x c) | x-2 | > x+1 d) | x+2 | ≥ x+1 Đáp số: a) S=[4/3;6] b) Vơ nghiệm c) S=(−∞;1/2) d) S=R Bài 4: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) | 2x-1 | = x+m b) | x-1 | =x+m Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: a) m2x+4m-3 < x+m2 b) m2x+1 ≥ m+(3m-2)x Bài 6: Giải hệ bất phương trình sau 15 −  4x −   < x + 8 x − > a)  b)  2(2 x − 3) > x −  3x + > x −   4 Đáp số: a) Vơ nghiệm b) S=(−26/3;28/5) Bài 7: Tìm nghiệm ngun hệ bất phương trình sau:   6 x + > x + 15 x − > x + a)  b)   x + < x + 25 2( x − 4) < x − 14   Đáp số: a) S={4;5;…;11} b) S= {1} Bài 8: Tìm số ngun lớn thoả mãn hệ bất phương trình: − 3x  x − 3( x − 2) −1 >  −  3 − x − > x − − − x  18 12 Đáp số: S= {4} 28 BÀI TẬP 1/ Giải biện luận bất phương trình sau a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m2+m)x - m2 - 2m ≥ c) (m+1)x ≤ 2m(x+1)+2+x d) m2x-1 > x+m mx + mx − x -1 x+1 > > − (m + 2)x m ≠ -1 e) m ≠ ±1 f) x + m -1 m +1 m +1 m +1 2/ Giải bất phương trình a) 2x2 - 5x + > b) (x-2)2(x-4) < c) -4 + x2 ≤ 10 >0 d) 25(x+10)(-x+1) ≤ e) 16x2 + 40x + 25 < f) x( x + 1) − 25 5x − x + − 2x + l) m) − x + n) x− x − 2x − x − 3x + x +1 2 > o) x + x + x +1 3/ Giải hệ bất phương trình sau  2x +  x −1 ≥  b)   ( x + 2)(2 x − 4) ≤0  x −1 3 x + ≥ x + a)  4 x + < x + 19  x +1  2x + ≥  c)    x + x ≥ x −  x +1 x + x + > x +  e)   x + 3x +  x + ≤ x +  (4 x + x)(1 − x)   i)   x − x − ≥ 2( x + 1) x −1  Đáp số: a) S = [6 ; 8)  x + > x − d)   2 (5 x − 19) < ( x − 23) ( x + )( x + )( x + ) >  f)  ( x + 1)(3 − x)( x + 2) ≥0  − x2  − 2x  − ≤  x +1 x − x + x3 +  h)   x(1 − x ) >0   2x + b) S =(- ∞ ; -4] ∪ (1;2] c) S = (- ∞ ;-1] ∪ (- ;+ ∞ ) 29 d) S = (-1;2) e) S = (- 4; - ) f) S = (-2;- ) ∪ [-1; ) ∪ [ ;+ ∞ ) 1 ;- ) ∪ (0; ) ∪ ( ;3) ∪ [4;+ ∞ ) 3 h) S = (-1 ; - ) ∪ (0;1) i) S = (- ∞ ; -3 ] ∪ [0 ; ) 4/ Giải hệ bất phương trình sau x +1  2x > 2  ( x + 2) ( x − 3) > ( x − 1) ≤  2x + x + a)  b)  c)  x+3 ( x + 1)( x − 2) < 2 x − x + <  x−2  x + ≥ x −  x + 3x −  x + 2x + x +  > −x  ≥ x−3 x + >  − x   x +1 d)  e)  f)   x+2  ( x − 1) ( x + 2) ( x + 6)  x−2 x+ ≥4 ≤0 >    x+2   3x + x −  ( x − 7) ( x − 2)  x + 2x +  2x +  ≥ x+4  x −1 ≥ x − 5x +   x +1 ≤1 g)  h) i)  x2 −  x+2  ( x + 2)(2 x − 4) x+4 ≤0 <   x −1  2x + 2x − 1 Đáp số: a) Vơ nghiệm b) Vơ nghiệm c) S = (-2;- ) ∪ (1; ) 2 1 d) S = (- ;0) ∪ ( ;8) e) S = [1;2) f) S = (-2;-1) g) Vơ nghiệm h) S = [0; ] ∪ [ ;+ ∞ ) i) S = (- ∞ ;-4] ∪ (1;2] g) S = (- ∞ ; -3) ∪ ( − 30 §4 Bất phương trình bậc hai ẩn I/ Bất phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: bất phương trình có dạng ax+by+c > ; ax+by+c < ,trong a,b,c ∈ R , a2+b2 ≠ Cách giải : để giải bpt ax+by+c > ta vẽ đồ thị đường thẳng ax+by+c = Khi đó: + Nếu đường thẳng khơng qua gốc toạ độ ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm + Nếu đường thẳng qua góc toạ độ ta lấy điểm mặt phẳng thay vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm * Ví dụ: Giải bất phưng trình sau: a) x-3y < -3  x-3y+3 < (1) Vẽ đường thẳng x-3y+3= y x-3y+3=0 -3 x Thay O(0;0) vào (1)⇒ 3 vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = , thay (0;1) vào vế trái ta VT= -2 > (!) => miền chứa (0;1) khơng phải miền nghiệm y 1/2 x II Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Định nghĩa: hệ có từ hai bất phương trình bậc hai ẩn trở lên Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn ta giải bất phương trình hệ biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ, miền trống miền nghiệm hệ bất phương trình (1) x − y >  Ví dụ 1: giải hệ  x − y < −3 (2) x + y > (3)  Giải Ta vẽ đường thẳng (d1): x-y= (d2): x-3y+3= (d3): x+y-5= 31 (d3) (d1) (d2) -3 I x Miền I miền nghiệm Ví dụ 2:  x > Giải hệ  y >  x + y > Giải Vẽ đường thẳng : (d1): x= (d2): y= (d3): x+y= y S -1 x 32 BÀI TẬP Bài 1: Giải bất phương trình bậc hai ẩn a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9 c) 2x-y≤ d) 3+2y >0 e) 2x-1 h) -3x+y+2 ≤ k) 2x-3y+5 ≥ Bài 2: Giải hệ bất phương trình hai ẩn x y 2 + −1 ≥ x − y >  3y   ≤4 a)  x − y < −3 b) 2( x − 1) + x + y >   x ≥   3 x + y ≥ x ≥ y −  3− y < d)  e) 2x − 3y + > 2 y ≥ − x  y ≤ Bài 3: Gọi S tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:  − x + y ≤ −2 x − y ≤  Tìm điểm S làm cho biểu thức F = y-x đạt giá trị nhỏ  x + y ≤  x ≥ Bài 4: Gọi S tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình: { x + y + ≤   x − y − ≤ Tìm điểm S làm cho biểu thức F =2x+3y đạt giá trị max, 2 x − y + ≥ §5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI I/ Tam thức bậc hai Định nghĩa: Tam thức bậc hai biểu thức có dạng f(x) = ax2+bx+c (a ≠ 0) Định lý (về dấu tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c (a ≠ 0) ∆ = b2-4ac + Nếu ∆ < f(x) dấu với hệ số a với x b + Nếu ∆ = f(x) dấu với hệ số a với ∀ ≠ − 2a + Nếu ∆ > f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1< x2) : - ∞x1 x2 +∞ x Dấ u củ a Cù ng dấ u f(x) hệsốa Trá i dấ u hệsốa * Chú ý : ta thay ∆ ∆' Ví dụ 1: xét dấu tam thức sau a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x2+12x-9 Cù ng dấ u hệsốa c) f(x) = x2-4x-5 33 Giải a) cho f(x) =  3x2-2x+1 = tính ∆' = -2 < f(x) > ∀ x b) cho f(x) =  -4x2+12x-9 = tính ∆' = f(x) < ∀x ≠ 2 c) cho f(x)= 0 x -4x-5 = tính ∆' = => x1=-1 ;x2 = - ∞-1 x + f(x) _ +∞ + f(x) > ∀x ∈ (−∞ ;−1) ∪ (5;+∞) f(x) < ∀x ∈ (−1;5) f(x) = x= -1 , x = Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức sau a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6) b) B = −2 x − x + − x − 3x + 10 Giải  x1 = −1 a) Đặt 2x +9x+7 =    x2 = −   x1 = x2+x-6 =    x = −3 -∞ x x2+9x+7 x2+x-6 A + + + -3 -1 +∞ - + + + -0+ - + - 0+ II/ Bất phương trình bậc hai Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai bất phương trình có dạng sau: ax2+bx+c > ; ax2+bx+c < ; ax2+bx+c ≤ ax2+bx+c ≥ ( a ≠ 0) Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai , kết hợp với chiều bất phương trình ta tìm nghiệm bất phương trình Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau a) 3x2+2x+5 > S=R b) -2x2+3x+5> S=(-1;5/2) c) -3x +7x-4 < S=(-∞;1) ∪(4/3;+∞) d) 4x2-3x+1 b) B = −2 x − x + − x − 3x + 10 ∆= −20m+1 c) mx −10x−50 với x nên qui dồng bỏ mẫu > −1 x − 3x + 36 ∆= m + m − 2 e) m(m+2)x +2mx+2>0 ∆= −4m −16m Đáp số: a) khơng có m b) m> 1/20 c) m< −5 d) −7 ; S= (−∞ ; ) ∪( ;+∞) 2 h) x2 + ≥ | 3x + | - 7x ; S = (−∞ ;−5 − 19 ] ∪ [ −2 + ;+∞) | x + | +x >1 i) ; S = (-5 ; -2 ) ∪ (-1 ; + ∞ ) x+2 j) | x +1 | + | x - | > ; x < -2 x > k) ; x < 1/8 x − 6x + > x + l) x + x − 12 < x + ; S = (-169/25 ; -1] ∪ [0;+ ∞ ) m) x − x − 12 < − x ; x ≤ -3 < x < 61/13 n) x − 3x + 10 ≥ x − ; S = R o) − x < x + p) − x < x + q) r) s) x − 2x > 2x − ; − ≤ x < −4 / < x ≤ ; < x < 1/4 ;x>3 2+2 ;+∞ ) − x − − − x < − x ; x < -2 x +1 < x −1 + x − ;S=( 38 14 + < x ≤ Bài : Giải phương trình,bất phương trình sau ( Đặt ẩn số phụ ) a) x2 - 4x = x − x + 12 − ;x=2 t) x −5 − 9− x >1 b) 3x − x + 15 + 3x − x + = c) x + x + + x + x + = x + x + 19 ; x = -2;1 ; ; x = ; -1/3 d) (x + 1)(x + 4) - x + x + = ; x = -7 ; e) x2 + x − 3x + 11 ≤ x + f) (x + 5)(x - 2) + x( x + 3) > ; x ∈ [1;2] 3x + x + − x + x + ≥ ; x < -4 x >1 ; x ∈ [-2;-1] ∪ [-2/3;1/3] 39 40 ... m) Hệ bất phương trình ẩn Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc ẩn Để giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm 3 − x ≥ Ví dụ: Giải hệ  x + ≥ III Bất phương trình. .. ;2) 15 5/ Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối Định nghĩa: phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối biến x phương trình Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình Nếu... thức f(x) B3 : Kết hợp với chiều bất phương trình => tập nghiệm Giải hệ gồm bất phương trình bậc dạng pt(1)  Bất (I)   Bất pt(2) B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1 B2 : Giải bất