Phương pháp giải các dạng vecto

Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan Đ1 Vectơ Dạng toán 1: Mở đầu vectơ Thí dụ Cho OAB vuông cân với OA = OB = a Hãy dựng vectơ sau tính độ dài chúng: OA + OB OA + OB , OA OB , 21 OA + 2.5 OB , 14 OA OB Giải a Với C đỉnh thứ t- hình vuông OACD, ta có ngay: OA + OB = OC , theo quy tắc hình bình hành Từ đó, suy ra: OA + OB = OC = OC = a b Ta có ngay: OA OB = BA , quy tắc hiệu hai vectơ gốc OA OB = BA = BA = a c Để dựng vectơ OA + OB ta lần l-ợt thực hiện: Trên tia OA lấy điểm A1 cho OA1 = 3OA Trên tia OB lấy điểm B1 cho OB1 = 4OB Dựng hình chữ nhật OA1C1B1 Từ đó, ta có: OA + OB = OA1 + OB1 = OC1 OA + OB = OC1 = OC1 = d Thực t-ơng tự câu c), ta dựng đ-ợc vectơ A B C A1 O A B C1 B1 OA C1A = 5a 2 21 OA + 2.5 OB a 541 21 OA + 2.5 OB = 4 e Thực t-ơng tự câu c), ta dựng đ-ợc vectơ O 14 OA OB a 6073 14 OA OB = 28 Thí dụ Cho ABC có cạnh a Tính độ dài vectơ tổng AB + AC Giải Gọi M trung điểm BC, lấy điểm A1 đối xứng với A qua M, ta có Bngay ABA1CA hình bình hành, suy ra: AB + AC = AA1 a AB + AC = AA1 = 2AM = = a A M C Chú ý: Với em học sinh ch-a nắm vững kiến thức tổng hai vectơ th-ờng kết luận rằng: AB + AC = AB + AC = a + a = 2a Dạng toán 2: Chứng minh đẳng thức vectơ Ph-ơng pháp áp dụng Ta lựa chọn h-ớng biến đổi sau: H-ớng 1: Biến đổi vế thành vế lại (VT VP VP VT) Khi đó: Nếu xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực việc đơn giản biểu thức Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực việc phân tích vectơ H-ớng 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh đẳng thức biết H-ớng 3: Biến đổi đẳng thức vectơ biết thành đẳng thức cần chứng minh H-ớng 4: Tạo dựng hình phụ Khi thực phép biến đổi ta sử dụng: Quy tắc ba điểm: AB = AC + CB Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD có: AC = AB + AD Hiệu hai vectơ gốc AB AC = CB Tính chất trung điểm: Với điểm M tuỳ ý I trung điểm AB có: MI = ( MA + MB ) Tính chất trọng tâm tam giác: Với ABC có trọng tâm G ta có: GA + GB + GC = MA + MB + MC = MG , với M tuỳ ý Các tính chất phép cộng, trừ vectơ phép nhân số với vectơ Thí dụ Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh AB + CD + BC = AD Giải Ta trình bày theo ba cách sau: Cách 1: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: VT = ( AB + BC ) + CD = AC + CD = AD , đpcm Cách 2: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: VT = AB + ( BC + CD ) = AB + BD = AD , đpcm Cách 3: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: AD = AC + CD = AB + BC + CD , đpcm Cách 4: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: AD = AB + BD = AB + BC + CD , đpcm Nhận xét: Việc trình bày thí dụ theo bốn cách mang tính chất minh hoạ cho ý t-ởng sau: Với cách cách 2, gom hai vectơ có "điểm cuối vectơ thứ trùng với điểm đầu vectơ thứ hai" từ sử dụng chiều thuận quy tắc ba điểm Với cách cách 4, sử dụng chiều ng-ợc lại quy tắc ba điểm, cụ thể "với vectơ AB xen thêm vào điểm tuỳ ý để từ phân tích đ-ợc vectơ AB thành tổng hai vectơ" Thí dụ Cho điểm A, B, C, D Chứng minh AB + CD = AD + CB Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: VT = ( AD + DB ) + CD = AD + CD + DB = AD + CB = VP Cách 2: Ta có: VT = ( AC + CB ) + CD = AC + CD + CB = AD + CB = VP Cách 3: Biến đổi t-ơng đ-ơng biểu thức dạng: AB AD = CB CD DB DB , Điều phải chứng minh Cách 4: Biến đổi t-ơng đ-ơng đẳng thức dạng: AB CB = AD CD AB + BC = AD + DC AC = AC , Nhận xét: Để thực chứng minh đẳng thức vectơ cho lựa chọn h-ớng biến đổi VT thành VP hai cách giải có chung ý t-ởng, cụ thể việc lựa chọn vectơ xuất phát AB ta có: Trong cách 1, ta ý thức đ-ợc cần tạo xuất vectơ AD ta xen vào điểm D Trong cách 2, ta ý thức đ-ợc cần tạo xuất vectơ CB ta xen vào điểm C Từ nhận xét hẳn em học sinh thấy đ-ợc thêm có cách khác để giải toán, cụ thể: Hai cách với việc lựa chọn vectơ xuất phát CD Hai cách theo h-ớng biến đổi VP thành VT Thí dụ Cho M N lần l-ợt trung điểm đoạn thẳng AB CD Chứng minh rằng: MN = AC + BD = AD + BC A M Giải B a Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có phân tích: (1) AC = AM + MN + NC , D C N BD = BM + MN + ND (2) Cộng theo vế (1) (2) với l-u ý AM + BM = NC + ND = (vì M N lần l-ợt trung điểm đoạn thẳng AB CD), ta đ-ợc: (*) AC + BD = MN , đpcm Cách 2: Ta có phân tích: (3) MN MA AC CN , (4) MN MB BD DN , Cộng theo vế (3) (4) với l-u ý MA MB NC ND (vì M N lần l-ợt trung điểm đoạn thẳng AB CD), ta đ-ợc: MN = AC + BD , đpcm b Ta có: (**) AC + BD = AD + DC + BC + CD = AD + BC , đpcm Từ (*) (**) ta đ-ợc đẳng thức cần chứng minh Thí dụ Cho O tâm hình bình hành ABCD Chứng minh với điểm M bất kì, ta có: MO = ( MA + MB + MC + MD ) Giải Ta có: MA + MB + MC + MD = MO + OA + MO + OB + MO + OC + MO + OD = MO + ( OA + OC ) + ( OB + OD ) = MO ( MA + MB + MC + MD ) = MO , đpcm Chú ý: Các em học sinh trình bày thêm cách biến đổi VT thành VP Thí dụ Cho ABC Gọi M, N, P lần l-ợt trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng: AM + BN + CP = Giải Sử dụng quy tắc trung điểm ta biến đổi: VT = = 1 (AB AC) + (BA BC) + (CA CB) 2 (AB BA AC CA BC CB) , đpcm Thí dụ Cho A1B1C1 A2B2C2 lần l-ợt có trọng tâm G1, G2 Chứng minh rằng: A1A + B1B2 + C1C = G1G Giải Với G1, G2 tâm A1B1C1 A2B2C2, ta có: G1A1 + G1B1 + G1C1 = (1) G A + G B2 + G C = (2) Mặt khác, ta có: A1A = A1G1 + G1G + G A (3) B1B2 = B1G1 + G1G + G B2 (4) C1C = C1G1 + G1G + G C (5) Cộng theo vế (3), (4), (5) sử dụng kết (1) (2), ta đ-ợc: A1A + B1B2 + C1C = G1G , đpcm Thí dụ Cho ABC Gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC, cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN a Chứng minh AK = 1 AB + AC b Gọi D trung điểm BC Chứng minh KD = 1 AB + AC Giải a Từ giả thiết ta nhận thấy: AB 2AM AB = AM ; AB AM AC 3AN AC = AN AC AN Vì K trung điểm MN nên: AK = 1 1 1 ( AM + AN ) = ( AB + AC ) = AB + AC , đpcm 2 b Vì D trung điểm BC nên: AD = ( AB + AC ) từ đó, suy ra: KD = AD AK = 1 1 ( AB + AC )( AB + AC ) = AB + AC , đpcm 4 Dạng toán 3: Xác định điểm M thoả đẳng thức vectơ cho tr-ớc Ph-ơng pháp áp dụng Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho tr-ớc dạng: OM = v , điểm O cố định vectơ v biết Thí dụ Cho ABC nội tiếp đ-ờng tròn tâm O a Chứng minh OA OB OC b Hãy xác định điểm M, N, P cho: OM = OA OB ; ON = OB OC ; OP = OC OA Giải a Vì ABC nên O trọng tâm ABC, ta có ngay: A OA OB OC b Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự trung điểm BC, AC, AB M C1 O qua C1, Dựng hình bình hành AOBM việc lấy điểm M đối xứng với O ta có đ-ợc OM = OA OB B C Các điểm N, P đ-ợc xác định t-ơng tự Thí dụ Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB + MC = (*) Giải M A Biến đổi (*) dạng: BA + MC = MC = AB ABCM hình bình hành Từ đó, để xác định điểm M ta thực hiện: Kẻ Ax // BC Kẻ Cy // AB Giao Ax Cy điểm M cần tìm B C Thí dụ Cho ABC đều, nội tiếp đ-ờng tròn tâm O a Hãy xác định điểm M, N, P cho: OM = OA + OB , ON = OB + OC , OP = OC + OA b Chứng minh OA + OB + OC = A Giải P a Dựa theo quy tắc hình bình hành, ta lần l-ợt có: Với điểm M thoả mãn: M O C OM = OA + OB M đỉnh thứ t- hình bình hành AOBM CM đ-ờng kính (O), ABC Với điểm N thoả mãn: ON = OB + OC N đỉnh thứ t- hình bình hành BOCN AN đ-ờng kính (O), ABC Với điểm P thoả mãn: B N OP = OC + OA P đỉnh thứ t- hình bình hành AOCP BP đ-ờng kính (O), ABC Vậy, điểm M, N, P nằm đ-ờng tròn (O) cho CM, AN, BP đ-ờng kính đ-ờng tròn (O) b Dựa vào kết câu a) OC = MO , ta có ngay: OA + OB + OC = OM + MO = MO + OM = MM = Thí dụ Cho ABC a Tìm điểm I cho IA + IB = b Tìm điểm K cho KA + KB = CB c Tìm điểm M cho MA + MB + MC = Giải a Ta biến đổi: = IA + (IA AB) = IA + AB IA = AB , suy điểm I đ-ợc hoàn toàn xác định b Ta biến đổi: = KA + KB + ( KB + BC ) = KA + KB + KC K trọng tâm ABC c Gọi E, F, N trung điểm AB, BC, EF, ta có: = ( MA + MC ) + ( MB + MC ) = ME + MF = MN M N Thí dụ Cho tr-ớc hai điểm A, B hai số thực , thoả mãn + a Chứng minh tồn điểm I thoả mãn IA + IB = b Từ đó, suy với điểm M, ta có: MA + MB = ( + ) MI Giải a Ta có: IA + IB = IA + ( IA + AB ) = ( + ) IA + AB = AB ( + ) AI = AB AI = AB không đổi, tồn điểm I thoả mãn điều kiện đầu Vì A, B cố định nên vectơ b Ta có: MA + MB = ( MI + IA ) + ( MI + IB ) = ( + ) MI + ( IA + IB ) = ( + ) MI , đpcm Nhận xét quan trọng: Nếu = = điểm I trung điểm AB Bài toán đ-ợc mở rộng tự nhiên cho ba điểm A, B, C ba số thực , , cho tr-ớc thoả mãn + + 0, tức là: a Tồn điểm I thoả mãn: IA + IB + IC = b Từ suy với điểm M, ta có MA + MB + IC = ( + + ) MI = = = I trọng tâm ABC Việc mở rộng cho n điểm Ai, i = 1, n n số thực i, i = 1, n thoả mãn n i i 0, xin dành cho bạn đọc Kết đ-ợc sử dụng để giải toán: Cho n điểm Ai, i = 1, n n số thực i, 1, n thoả mãn n i i Tìm số thực k điểm cố định I cho đẳng thức vectơ n MA i i i = k MI , (1) thoả mãn với điểm M Ph-ơng pháp giải Vì (1) thoả mãn với điểm M, với M I, đó: n IA i i i = k II = (2) Xác định đ-ợc điểm I từ (2) Từ (2), suy n MA i i n i = i i MI (3) Từ (1) (3), suy ra: n i i MI = k MI k = n i i Thí dụ Cho tứ giác ABCD, M điểm tuỳ ý Trong tr-ờng hợp tìm số k điểm cố định I, J, K cho đẳng thức vectơ sau thoả mãn với điểm M a MA + MB = k MI b MA + MB + MC = k MJ c MA + MB + MC + MD = k MK Giải a Vì (1) thoả mãn với điểm M, với M I, đó: IA + IB = k II = (1.1) Từ (1.1), ta đ-ợc: IA + ( IA + AB ) = IA = AB xác định đ-ợc điểm I Từ (1.1), ta đ-ợc: MA + MB = (2 + 1) MI = MI (1.2) Từ (1) (1.2), suy ra: MI = k MI k = b Vì (2) thoả mãn với điểm M, với M J, đó: (2.1) JA + JB + JC = k JJ = Gọi E trung điểm AB, từ (2.1), ta đ-ợc: JE + JC = J trung điểm CE Từ (2.1), ta đ-ợc: MA + MB + MC = (1 + + 2) MJ = MJ (2.2) Từ (2) (2.2), suy ra: MJ = k MJ k = c Vì (3) thoả mãn với điểm M, với M K, đó: KA + KB + KC + KD = k KK = (3.1) Gọi G trọng tâm ABC, từ (3.1), ta đ-ợc: KG + KD = K trung điểm GD Từ (3.1), ta đ-ợc: MA + MB + MC + MD = MK (3.2) Từ (3) (3.2), suy ra: MK = k MK k = Chú ý: Bài toán tìm điểm đ-ợc mở rộng thành toán tìm tập hợp điểm (quĩ tích) Với toán quĩ tích ta cần nhớ rằng: Nếu | MA | = | MB |, với A, B cho tr-ớc M thuộc đ-ờng trung trực đoạn AB | MC | = k| AB |, với A, B, C cho tr-ớc M thuộc đ-ờng tròn tâm C, bán kính k.AB Nếu MA = k BC , với A, B, C cho tr-ớc a Với k điểm M thuộc đ-ờng thẳng qua A song song với BC + b Với k điểm M thuộc nửa đ-ờng thẳng qua A song song với BC theo h-ớng BC c Với k điểm M thuộc nửa đ-ờng thẳng qua A song song với BC ng-ợc h-ớng BC Thí dụ Cho ABC, tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a MA + k MB k MC = b (1k) MA + MB k MC = (1) (2) Giải a Ta biến đổi (1) dạng: MA = k( MC MB ) MA = k BC M thuộc đ-ờng thẳng qua A song song với BC b Ta biến đổi (2) dạng: MA + MB k( MA + MC ) = (3) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB AC, ta đ-ợc: (3) ME 2k MF = ME = k MF M thuộc đ-ờng trung bình EF ABC Dạng toán 4: Biểu diễn vectơ thành tổ hợp vectơ Ph-ơng pháp áp dụng Ta lựa chọn hai h-ớng: H-ớng 1: Từ giả thiết xác định đ-ợc tính chất hình học, từ khai triển vectơ cần biểu diễn ph-ơng pháp xen điểm hiệu hai vectơ gốc H-ớng 2: Từ giả thiết thiết lập đ-ợc mối liên hệ vectơ đối t-ợng, từ khai triển biểu thức ph-ơng pháp xen điểm hiệu hai vectơ gốc Thí dụ Cho đoạn thẳng AB điểm I cho IA + IB = a Tìm số k cho AI = k AB b Chứng minh với điểm M ta có MI = MA + MB 5 Giải a Biến đổi giả thiết: = IA + IB = IA + 3( IB IA ) = AI + AB AI = AB Vậy, với k = thoả mãn điều kiện đầu b Biến đổi giả thiết: = IA + IB = 2( MA MI ) + 3( MB MI ) MI = MA + MB MI = MA + MB , đpcm 5 Thí dụ Cho OAB Gọi M, N lần l-ợt trung điểm hai cạnh OA OB Hãy tìm số m n thích hợp đẳng thức sau đây: OM = m OA + n OB ; MN = m OA + n OB ; AN = m OA + n OB ; MB = m OA + n OB ; Giải a Ta có OM = O OA M đẳng thức OM = m OA + n OB có m = A n = N B b Ta có: 1 1 AB = ( OB OA ) = OA + OB 2 2 1 đẳng thức MN = m OA + n OB có m = n = 2 MN = c Ta có: AN = AO + ON = OA + OB đẳng thức AN = m OA + n OB có m = n = d Ta có: MB = MO + OB = OA + OB đẳng thức MB = m OA + n OB có m = n = Thí dụ Gọi G trọng tâm ABC Đặt a = GA b = GB Hãy biểu thị vectơ AB , GC , BC , CA qua vectơ a b Giải a Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ gốc, ta có ngay: AB = GB GA = b a b Vì G trọng tâm ABC nên: GA + GB + GC = GC = GA GB = a b c Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ gốc kết b), ta có: BC = GC GB = a b b = a b d Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ gốc kết b), ta có: 10 CA = GA GC = a ( a b ) = a + b Thí dụ Cho ABC Gọi M, N, P lần l-ợt trung điểm BC, CA, AB Tính vectơ AB , BC , CA theo vectơ BN CP Giải Ta lần l-ợt có: AB = AM MB = 3GM (GB GM) = 2GM GB 2 = (GB GC) GB = 2GB GC = BN CP 3 A = BN CP P 2 BC = GC GB = CP BN 3 B G N C M Vectơ CA đ-ợc biểu diễn t-ơng tự AB Thí dụ Cho ABC a Tìm điểm M N cho: MA MB + MC = , NA + NB + NC = b Với điểm M N câu a), tìm số p q cho: MN = p AB + q AC Giải a Ta lần l-ợt thực hiện: = MA MB + MC = BA + MC = AB + MC MC = AB M đỉnh thứ t- hình bình hành ABCM = NA + NB + NC = NA + NE , với E trung điểm BC NA + NE = N trung điểm AE b Ta có biểu diễn: MN = MA + AN = CB + = ( AB AC ) + AE ( AB + AC ) = AB AC 4 Thí dụ Cho ABC trọng tâm G Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI J điểm BC kéo dài cho 5JB = 2JC a Tính AI , AJ theo AB AC A b Tính AG theo AI AJ Giải a Ta có: 2CI 3BI IC = IB J IC IB 2( AC AI ) = 3( AB AI ) AI = AB + AC G B I C 11 AI = AB + AC 5 (1) Ta có: 5JB 2JCI JB = JC 5( AB AJ ) = 2( AC AJ ) JB JC AJ = AB AC AJ = AB AC 3 (2) b Gọi M trung điểm BC, ta có: AG = 2 1 AM = ( AB + AC ) = ( AB + AC ) 3 Mặt khác từ hệ tạo (1) (2), ta nhận đ-ợc: 25 AB = AI + AJ AC = AI AJ 16 16 Thay (4) vào (3) ta nhận đ-ợc: 35 AI AG = AJ 16 48 (3) (4) Dạng toán 5: Chứng minh hai điểm trùng Ph-ơng pháp áp dụng Muốn chứng minh hai điểm A1 A2 trùng nhau, ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Chứng minh A1A = Cách 2: Chứng minh OA1 = OA với O điểm tuỳ ý Thí dụ Chứng minh AB = CD trung điểm hai đoạn thẳng AD BC trùng Giải Ta có: Nếu AB = CD ABCD hình bình hành Do đó, AD BC có trung điểm trùng Nếu AD BC có trung điểm trùng ABCD hình bình hành Do đó: AB = CD Thí dụ Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần l-ợt trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh hai tam giác MPR NQS có trọng tâm Giải Gọi G trọng tâm MPR, ta có: GM + GP + GR = Lại có: GM = GA + GB , GP = GC + GD , GR = GE + GF 2( GM + GP + GR ) = GA + GB + GC + GD + GE + GF Suy ra: GA + GB + GC + GD + GE + GF = (do(1)) Do đó: ( GA + GF ) + ( GB + GC ) + ( GD + GE ) = GS + GN + GQ = GS + GN + GQ = (1) 12 Vậy, ta đ-ợc G trọng tâm SNQ Tóm lại, MPR NQS có trọng tâm Dạng toán 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Ph-ơng pháp áp dụng Muốn chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: AB = k AC , k Để nhận đ-ợc (1), ta lựa chọn hai h-ớng: H-ớng 1: Sử dụng quy tắc biến đổi vectơ biết H-ớng 2: Xác định vectơ AB AC thông qua tổ hợp trung gian (1) Chú ý: Ta có kết quả: Cho ba điểm A, B, C Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng là: MC = MA + (1) MB , với điểm tuỳ ý M số thực Thí dụ Cho ABC, lấy điểm I, J thoả mãn IA = IB , JA + JC = Chứng minh IJ qua trọng tâm G ABC Giải Viết lại IA = IB d-ới dạng: IA IB = Biến đổi JA + JC = dạng: 3( IA IJ ) + 2( IC IJ ) = IA + IC = IJ Trừ theo vế (1) cho (2), ta đ-ợc: 2( IA + IB + IC ) = IJ IG = IJ I, J, G thẳng hàng (1) (2) Thí dụ Cho ABC Gọi O, G, H theo thứ tự tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm ABC Chứng minh rằng: A a AH = OE , với E trung điểm BC b OH = OA + OB + OC c Chứng minh O, G, H thẳng hàng Giải H O B a Gọi A1 điểm đối xứng với A qua O, ta đ-ợc: E C A1 BH // CA1 vu ông góc với AC A1BHC hình bình hành CH // BA1 vu ông góc với AB A1, E, H thẳng hàng AH = OE , đpcm b Ta có: OH = OA + AH = OA + OE = OA + OB + OC , đpcm c Ta có: 1 OG = ( OA + OB + OC ) = OH O, G, H thẳng hàng 3 13 Thí dụ Cho ABC, lấy điểm M, N, P thoả mãn: MA + MB = , AN AC = , PB = PC Chứng minh M, N, P thẳng hàng Giải Ta có: MP AP AM , MN AN AP Ta tính AP, AM, AN theo AB AC , cụ thể từ giả thiết: MA + MB = AM AB 2 AN AC = AN = AC PB = PC AB AP (AC AP) AP = AB 2AC Thay (3), (4), (5) vào (1) (2) ta đ-ợc: MP AB 2AC AB AB 2AC 2 MN AC + AB 2AC AB AC 3 Từ (6) (7) ta nhận thấy: MN = MP M, N, P thẳng hàng (1) (2) (3) (4) (5) (7) Dạng toán 7: Xác định đặc tính K đối t-ợng S thoả mãn đẳng thức vectơ Ph-ơng pháp áp dụng Phân tích đ-ợc định tính xuất phát từ đẳng thức vectơ giả thiết L-u ý tới hệ thức biết trung điểm đoạn thảng trọng tâm tam giác Thí dụ Cho ABC, có cạnh a, b, c trọng tâm G thoả mãn: a GA + b GB + c GC = (1) Chứng minh ABC tam giác Giải Ta có: (2) GA + GB + GC = GA = GB GC Thay (2) vào (1), ta đ-ợc: a.( GB GC ) + b GB + c GC = (ba) GB + (ca) GC = (3) Vì GB GC hai vectơ không ph-ơng, (3) t-ơng đ-ơng với: b a a = b = c ABC tam giác c a Thí dụ Cho tứ giác ABCD Giả sử tồn điểm O cho: 14 | OA || OB || OC || OD | OA OB OC OD Chứng minh ABCD hình chữ nhật Giải Từ ph-ơng trình thứ hệ , ta suy ra: O tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD (1) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA , từ ph-ơng trình thứ hai hệ ta đ-ợc: = OA + OB + OC + OD = OM + OP OM + OP = M, P, O thẳng hàng O trung điểm MP (2) = OA + OB + OC + OD = ON + OQ ON + OQ = N, Q, O thẳng hàng O trung điểm NQ (3) Từ (2), (3), suy MNPQ hình bình hành suy A, C, O thẳng hàng O trung điểm AC B, D, O thẳng hàng O trung điểm BD Do ABCD hình bình hành (4) Từ (1) (4) suy ABCD hình chữ nhật 15 ... bốn cách mang tính chất minh hoạ cho ý t-ởng sau: Với cách cách 2, gom hai vectơ có "điểm cuối vectơ thứ trùng với điểm đầu vectơ thứ hai" từ sử dụng chiều thuận quy tắc ba điểm Với cách cách... CD = AD + CB Giải Ta trình bày theo cách sau: Cách 1: Ta có: VT = ( AD + DB ) + CD = AD + CD + DB = AD + CB = VP Cách 2: Ta có: VT = ( AC + CB ) + CD = AC + CD + CB = AD + CB = VP Cách 3: Biến... AJ 16 48 (3) (4) Dạng toán 5: Chứng minh hai điểm trùng Ph-ơng pháp áp dụng Muốn chứng minh hai điểm A1 A2 trùng nhau, ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Chứng minh A1A = Cách 2: Chứng minh