Dạy và học toán bằng phương pháp dạy học nêu và giải quyết vấn đề

Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt A T VN I Li m u Ngh quyt s 40/2000/QH 10 ngy 09 thỏng 12 nm 2000 ca Quc Hi khúa X v i mi chng trỡnh giỏo dc ph thụng nờu rừ i mi chng trỡnh sỏch giỏo khoa, phng phỏp dy v hc phi c thc hin mt cỏch ng b vi vic ỏnh giỏ thi c v chun hoỏ trng S, o to, bi dng giỏo viờn v cụng tỏc qun lý giỏo dc Ngy 28 thỏng 12 nm 2001,Th tng Chớnh ph ó Quyt nh s 20/ 1/2001/Q v vic phờ duyt "Chin lc phỏt trin giỏo dc 2001-2010" Theo ú mt cỏc gii phỏp phỏt trin giỏo dc l i mi phng phỏp giỏo dc Cựng vi vic t chc thc hin phng phỏp dy hc theo hng phỏt huy tớnh tớch cc ch ng nhn thc ca hc sinh Trng THPT Sm Sn trờn tinh thn i mi, ó t chc cỏc hỡnh thc dy hc tớch cc, c bit mụ hỡnh dy hc nhúm, dy hc da trờn tỡnh cú , ly hc sinh lm trung tõm L mt giỏo viờn ang trc tip ging dy ti trng tụi luụn ng h v tớch cc tham gia tỡm hiu, nghiờn cu cỏc mụ hỡnh dy hc hay, mi m, v tin hnh dy th nghim mụn Toỏn Thc t cho thy cỏc em hc sinh rt phn ún nhn v t thớch thỳ, gi hc tr nờn khụng cng thng, hiu qu tip thu cao c s ng viờn ca Ban Giỏm Hiu, cỏc ng nghip tụi xin ghi li nhng hiu bit v suy ngh ca mỡnh v phng phỏp cng nh son chi tit mt s bi ging m tụi ó kim chng thc t cựng trao i, bn bc sõu rng hn vi cỏc ng nghip c bit vớ d : xut mt s bin phỏp i n bi toỏn tng quỏt hoc hỡnh thnh phng phỏp gii tng quỏt da trờn ng dng bt ng thc Cụsi cỏc ch gii toỏn s cp Khụng nhng lm sỏng t phng phỏp m cũn mang li cho ta cm xỳc tht tuyt vi trc cỏi hay, cỏi p ca t sỏng to II Thc trng ca nghiờn cu Thc trng: Trong xu th i mi phng phỏp ging dy theo hng ly ngi hc lm trung tõm, phng phỏp dy hc nờu gii quyt (DHGQV-ProblemBased Learning) ang c cỏc nn giỏo dc nhiu nc quan tõm nghiờn cu v ng dng Mc dự ú i t nhng nm 70 ca th k trc, cho n phng phỏp ny thu hỳt c s quan tõm ca nhng nh nghiờn cu giỏo dc Chng hn mt hi tho quc t riờng v phng phỏp DHGQV c t chc t ngy 16-20/6/2002 ti Baltimore, Bang Maryland ca Hoa K Phng phỏp ny cú th c xem nh mt cỏch xõy dng tng th mt cng ging dy hoc l mt nhng cỏch c ngi dy ỏp dng xõy dng cng ging dy cho mt mụn hc Phng phỏp ny xut hin vo nm 1970 ti trng Hamilton-Canada, sau ú c phỏt trin nhanh chúng ti Trng Maastricht-H Lan Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt Phng phỏp ny i v c ỏp dng rng rói da trờn nhng lp lun sau: S phỏt trin nh v bóo ca KHCN nhng thp niờn gn õy, trỏi ngc vi nú l kh nng khụng th dy ht cho ngi hc mi iu Kin thc ca ngi hc thỡ ngy cng hao mũn t nm ny qua nm khỏc, cng thờm l s chờch lch gia kin thc thc t v kin thc thu c t nh trng -Vic ging dy cũn quỏ nng v lý thuyt, cũn quỏ coi trng vai trũ ca ngi dy, cha sỏt thc v cha ỏp ng c yờu cu ca thc t -Tớnh cht th ng hc ca ngi hc so vi vai trũ truyn ti ca ngi dy cũn cao m s lng ngi hc mt lp ngy cng tng -Hot ng nhn thc cũn mc thp so vi yờu cu ca thc t (vớ d nh kh nng c v khai thỏc mt cun sỏch hoc mt cụng trỡnh nghiờn cu) -S nghốo nn v phng thc ỏnh giỏ ngi hc, vic ỏnh giỏ cũn quỏ nng v kim tra kh nng hc thuc Kt qu v hiu qu ca thc trng Chớnh vỡ nhng lý trờn m phng phỏp dy hc da trờn vic gii quyt xut phỏt t tỡnh thc t ca cuc sng, thc t ngh nghip c xõy dng da trờn nhng yờu cu sau: - Phi cú mt tỡnh c th cho phộp ta t c mt - Cỏc ngun lc (tr ging, ngi hng dn, ti liu, c s d liu.) u c gii thiu ti ngi hc v sn sng phc v ngi hc - Cỏc hot ng phi c ngi hc trin khai nh t , quan sỏt, phõn tớch, nghiờn cu, ỏnh giỏ, t duy, - Kin thc cn c ngi hc tng hp mt th thng nht (ch khụng mang tớnh lit kờ), iu ú cng cú ngha l vic gii quyt da trờn cỏch nhỡn nhn a dng v chng t c mi quan h gia cỏc kin thc cn huy ng - Phi cú khong cỏch thi gian gia giai on lm vic nhúm v giai on lm vic c lp mang tớnh cỏ nhõn - Cỏc hỡnh thc ỏnh giỏ phi a dng cho phộp chỳng ta cú th iu chnh v kim tra quỏ trỡnh cho khụng chch mc tiờu ú B C IM CA PHNG PHP DHGQV 1- Vn l bi cnh trung tõm ca hot ng dy v hc - Cú th núi rng phng phỏp DHDGQV o ln th t ca hot ng dy hc nu so vi cỏc phng phỏp truyn thng ú thụng tin c giỏo viờn Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt (GV) trỡnh by t thp n cao theo mt trỡnh t nht nh, v hc sinh (HS) s ch c tip cn vi mt cn c lý gii (nu cú) mt h ú c trang b y nhng kin thc cn thit Trong phng phỏp DHGQV, HS c tip cn vi giai on u ca mt n v bi ging Vn cú th l mt hin tng ca t nhiờn hoc l mt s kin, tỡnh ú, ang hoc cú th s din thc t v cha ng nhng iu cn c lý gii 1.1 Cỏc c trng ca mt hay Thc t ú ch l cú rt nhiu kiu , ch cú th la chn iu ny ph thuc vo tng hon cnh c th, tng cỏch xõy dng v cỏc hot ng cho ngi hc Phõn loi Vn dựng dy hc cú th c phõn thnh nm dng, t n gin n phc nh sau [5]: Dng I II III IV V Ni dung Phng phỏp Gii phỏp Giỏo viờn Ngi hc Giỏo viờn Ngi hc Giỏo viờn Ngi hc Bit Bit Bit Bit Bit Cha bit Bit Bit Bit Cha bit Bit Cha bit Bit Bit Bit ớt Cha bit Bit ớt Cha bit nhiu nhiu Bit Bit Cha bit Cha bit Cha bit Cha bit Cha bit Cha bit Cha bit Cha bit Cha bit Cha bit Dng I: Vn c giỏo viờn v ngi hc (NH) bit c v ni dung, phng phỏp v gii phỏp Dng ny c dựng kim tra nhng iu ngi hc ú c hc hoc ú c lm quen V d: Hóy tỡm nghim ca phng trỡnh: 3.2 8x + = Dng II: Vn c giỏo viờn v ngi hc bit v ni dung V phng phỏp v gii phỏp, giỏo viờn nm rừ cũn ngi hc thỡ cha bit v h cn phi a quan im riờng Vớ d: Hóy a cỏc gii phỏp nhm hn ch hao phớ in nng phm vi ca mt c quan, xớ nghip Dng III: Vn c giỏo viờn v ngi hc bit v ni dung V phng phỏp v gii phỏp, giỏo viờn cú th bit y hoc mt phn, cũn ngi hc thỡ cha bit v h cn phi a quan im riờng Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt Vớ d: Hóy xõy dng cỏc phng trỡnh toỏn bao hm ba s: 2, 3, Dng IV: Vn c giỏo viờn v ngi hc bit v ni dung V phng phỏp v gii phỏp, c giỏo viờn ln ngi hc u cha bit Vớ d: Lm th no mt trỏi búng ỏ cú th chỡm nc? Dng V: Giỏo viờn v ngi hc u cha bit ni dung ca cng nh phng phỏp v gii phỏp tin hnh Vớ d: Hóy a ba quan trng nht i vi s phỏt trin ca Quc gia v cỏch thc gii quyt cỏc ú Tuy nhiờn, c trng b ni ca mt thỡ khụng bao gi ri xa nhu cu ca ngi hc (nhu cu v nhn thc, lnh hi kin thc, ) cng nh khụng bao gi xa ri mc tiờu hc Sau õy l mt vi cỏch xõy dng m ta cú th tham kho - Xõy dng da vo kin thc cú liờn quan n bi hc Ton b bi ging c xõy dng di dng s kớch thớch tớnh t m v s hng thỳ ca ngi hc Tớnh phc hay n gin ca luụn luụn l yu t cn c xem xột - Xõy dng da trờn cỏc tiờu thng xuyờn bin i cụng vic, ngh nghip (Vn ú cú thng xuyờn gp phi ? V nú cú phi l ngun gc ca nhng thiu sút sn xut? Nú cú tỏc ng ln ti khỏch hng hay khụng? Tu theo tng hon cnh thỡ cỏc gii phỏp t cho ny cú a dng v khỏc bit khụng?) - Vn phi c xõy dng xung quanh mt tỡnh (mt s vic, hin tng,) cú thc cuc sng Vn cn phi c xõy dng mt cỏch c th v cú tớnh cht Hn na, t phi d cho ngi hc din t v trin khai cỏc hot ng liờn quan Mt hay l mt khụng quỏ phc cng khụng quỏ n gin Cui cựng l cỏch th hin v cỏch tin hnh gii quyt phi a dng - Vn t cn phi cú nhiu ti liu tham kho nhng trng tõm nhm giỳp ngi hc cú th t tỡm ti liu, t khai thỏc thụng tin v t trau di kin thc; cỏc phng tin thụng tin i chỳng nh sỏch v, bng cỏt sột, phn mm mụ phng, internet, cng cn phi a dng nhm phc v mc ớch trờn 1.2 Vn v cỏch tip cn 1- Vn t cn phi cú tỏc dng kớch thớch cỏc hot ng nhn thc cng nh cỏc hot ng xó hi ca ngi hc Theo chỳng tụi, cỏc hot ng ny thng gn kt vi mt hot ng nghiờn cu thc th m ú ngi hc cn phi: Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt - t (Vn t l gỡ ?) - Hiu c - a cỏc gi thuyt (Cỏc cõu tr li trc v i chng vi cỏc cõu hi ú c t tỡnh hung) - Tin hnh cỏc hot ng thớch hp nhm kim tra cỏc gi thuyt ca mỡnh (nghiờn cu, phõn tớch, ỏnh giỏ ti liu liờn quan, sau cựng l tng hp vic nghiờn cu) - Tho lun v ỏnh giỏ cỏc gii phỏp khỏc da theo tng tiờu m hon cnh a - Thit lp mt bn tng quan v a kt lun Cỏc bc t trờn õy s giỳp cho ngi hc nõng cao kh nng tng hp kin thc Vớ d nh mt liờn quan n kho sỏt v v th hm s s cú nhiu khỏi nim liờn quan: cỏc khỏi nim hm s, th , cỏc khỏi nim v o hm, cc tr, tim cn, 2- Hc sinh t tỡm tũi xỏc nh nhng ngun thụng tin giỳp gii quyt Trờn c s c nờu ra, chớnh hc sinh phi ch ng tỡm kim thụng tin thớch hp gii quyt Thụng tin cú th nhiu dng v t nhiu ngun khỏc (sỏch, bỏo, phim, nh, t internet) Núi cỏch khỏc, chớnh ngi hc phi t trang b cho mỡnh phn lý thuyt nhm cú kin thc tip cn v gii quyt 3- Tho lun nhúm l hot ng ct lừi 4- Mc dự phng phỏp cú th c ỏp dng cho riờng tng hc sinh, a s cỏc ng dng ngi ta thng kt hp vi hot ng nhúm Thụng qua tho lun nhúm nh, hc sinh chia s ngun thng tin v cựng hỡnh thnh cỏc gi thuyt giỳp gii quyt , kim tra gi thuyt v i n kt lun Nh hot ng nhúm, hc sinh c rốn luyn thờm cỏc k nng cn thit khỏc ngoi mc ớch lnh hi kin thc 5- Vai trũ ca GV mang tớnh h tr GV úng vai trũ nh hng (ch nhng iu cn c lý gii ca ), tr giỳp (ch ngun thụng tin, gii ỏp thc mc,), ỏnh giỏ (kim tra cỏc gi thuyt v kt lun ca hs), h thng húa kin thc, khỏi quỏt hoỏ cỏc kt lun C TIN TRèNH DY HC THEO PHNG PHP DHGQV Trỡnh t t chc ging dy theo phng phỏp DHDTV cú th c quỏt qua cỏc bc sau: 1- GV xõy dng , cỏc cõu hi chớnh cn nghiờn cu, cỏc ngun ti liu tham kho Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt 2- T chc lp hc nghiờn cu : chia nhúm, giao , thng nht cỏc qui nh v thi gian, phõn cụng, trỡnh by, ỏnh giỏ, 3- Cỏc nhúm t chc nghiờn cu, tho lun nhm tr li cỏc cõu hi ca 4- T chc bỏo cỏo v ỏnh giỏ: cỏc nhúm trỡnh by kt qu nghiờn cu, GV t chc ỏnh giỏ Vic c th hoỏ cỏc bc núi trờn ph thuc rt ln vo nng lc, tớnh tớch cc ca hs (v ụi ca c GV) v cỏc iu kin hc tp, ging dy hin hu (ti liu, trang thit b, ni tho lun, tr ging, ) * Chu trỡnh v cỏch thc t chc dy hc gii quyt Trong chu trỡnh hc theo phng phỏp ny, thi gian lm vic c lp (cỏ nhõn) luụn luõn phiờn vi thi gian lm vic nhúm (cú s giỳp ca ging viờn, tr ging, hoc ngi hng dn) Cụng vic cn tho lun theo nhúm thng xut hin vo hai thi im c bit c miờu t chu trỡnh di õy: Lm vic c lp Tho lun nhỳm 2 Lm vic c lp Tho lun nhỳm Nh vy chu trỡnh dy hc da theo gm giai on: Sau kt thỳc giai on (Gii thiu ch , chun b cỏc hot ng v ngun lc cn thit), hc viờn bt u nhúm hp theo cỏc nhúm nh - giai on (cú hoc khụng s tr giỳp ca tr ging) nhm phõn tớch ch , a cỏc cõu hi v gi thit u tiờn, phõn chia nhim v cho cỏc thnh viờn nhúm Tip theo ú cỏc thnh viờn lm vic c lp theo nhim v ú c phõn chia (giai on 3) Kt thỳc giai on 3, tng cỏ nhõn s gii thiu thnh qu lm vic nhúm Cui cựng mi cỏ nhõn t vit mt bn bỏo cỏo (giai on 4) Kốm theo cỏc giai on ny thng cú cỏc bui hi tho mt nhúm ln, hoc cỏc hot ng thc t hay tin hnh thớ nghim Cú th kt thỳc quỏ trỡnh ti giai on ny hoc tip tc quỏ trỡnh nu mt mi c nờu Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt Vic tho lun nhúm l bt buc i vi tt c cỏc cỏ nhõn, nú khụng nhng giỳp hc viờn phỏt trin c kh nng giao tip v cỏc k nng xó hi m cũn phỏt trin c quỏ trỡnh nhn thc (c hiu, phõn tớch, ỏnh giỏ,) D/ XY DNG MT S VN MINH HA: Mt vi vớ d in hỡnh Vớ d : xut mt s bin phỏp i n bi toỏn tng quỏt hoc hỡnh thnh phng phỏp gii tng quỏt da trờn ng dng bt ng thc Cụsi cỏc ch gii toỏn s cp Trong chng trỡnh Toỏn trung hc ph thụng, bt ng thc Cụsi chim mt v trớ c bit quan trng Nú khụng ch cú mt ch bt ng thc m cũn cú mt hu ht cỏc ch khỏc ca toỏn s cp õy l ch hp dn nht i vi nhng hc sinh say mờ Toỏn vỡ ũi hi hc sinh phi t duy, tỡm tũi, sỏng to Bi v bt ng thc cha nhiu tim nng cú th khai thỏc rốn luyn khỏi quỏt hoỏ, c bit hoỏ v tng t cho hc sinh Vn t õy l : T nhng ng dng bt ng thc Cụsi cỏc ch sau: Trong bi toỏn gii phng trỡnh, bt phng trỡnh vụ t Trong bi toỏn gii phng trỡnh lng giỏc Trong gii phng trỡnh, bt phng trỡnh m, logarớt Trong h phng trỡnh, h bt phng trỡnh Trong tam giỏc Trong bi toỏn tỡm max, Trong bi toỏn hm s Trong bi toỏn hỡnh hc xut mt s bin phỏp i n bi toỏn tng quỏt hoc hỡnh thnh phng phỏp gii tng quỏt cho hc sinh t nhng bi c th I MC TIấU: - Giỳp cho hc sinh cú kh nng dng linh hot cỏc k thut s dng bt ng thc Cụsi vo cỏc ch khỏc ca toỏn s cp - Rốn luyn nng lc gii toỏn T ú giỳp cho hc sinh cú cỏch nhỡn tng th v bi toỏn s dng bt ng thc Cụsi II MT S BIN PHP: Yờu cu hc sinh gii mt s bi toỏn tng t bi toỏn ban u hoc yờu cu hc sinh t xut mt s bi toỏn tng t bi toỏn ó cho , da trờn ú tỡm c im bn cht ca bi toỏn v t ú i n bi toỏn tng quỏt Vớ d 1: Cho a, b, c Chng minh rng: a a3 + b3 + c3 a2b + b2c + c2a b a + b + c a bc + b ca + c ab Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt Sau gii xong bi toỏn ny, i n bi toỏn tng quỏt ta cú th yờu cu hc sinh gii tip mt s bi toỏn tng t hoc xut mt s bi toỏn tng t vi v trỏi l a4 + b4 + c4, chng hn: Cho a, b, c Chng minh rng: a4 + b4 + c4 a3b + b3c +c3a a4 + b4 + c4 a bc + b ca + c ab a4 + b4 + c4 a2bc + b2ca + c2ab Sau ú, yờu cu hc sinh nhn xột tng s m ca mi s hng vớ d ny tỡm c im bn cht ca bi toỏn, ú l: Tng s m ca mi s hng mi bi toỏn u bng T ú, yờu cu hc sinh phỏt hin bi toỏn tng quỏt vi v trỏi l: a n + bn + cn, n N, chng hn: Cho a, b, c v n N Chng minh rng: a n + b n + c n a n 1b + b n 1c + c n 1a a n + b n + c n a n bc + b n ca + c n ab a n + b n + c n a n b + b n c + c n a a n + b n + c n a n bc + b n ca + c n ab Vớ d 2: Cho a, b, c, d > Chng minh rng: a b3 c3 d3 a + + + a + b + c + d b c d a 2 a b c d2 1 1 b + + + + + + b c d a a b c d Sau gii xong bi toỏn ny, i n bi toỏn tng quỏt ta cú th yờu cu hc sinh gii tip mt s bi toỏn tng t hoc xut mt s bi toỏn tng t, chng hn: Cho a, b, c, d > Chng minh rng: a b4 c4 d4 a + + + a + b + c + d b c d a 3 a b c d3 1 1 b + + + + + + b c d a a b c d Sau ú, yờu cu hc sinh nhn xột s m ca mi s hng vớ d ny tỡm c im bn cht ca bi toỏn, ú l: +) S m ca a, b, c, d v phi l +) S m gia t s v mu s ca mi s hng v trỏi hn kộm n v, ỳng bng s m ca a, b, c, d v phi T c im bn cht ny ca bi toỏn, ta cú th yờu cu hc sinh phỏt hin cỏc bi toỏn tng quỏt nh: Cho a, b, c, d>0 Khi ú, ta cú: a n +1 b n +1 c n +1 d n +1 n + n + n + n a + b + c + d b c d a Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt an bn cn dn 1 1 n +1 + n +1 + n +1 + n +1 + + + b c d a a b c d Tỡm nhiu li gii ca mt bi toỏn, khai thỏc c im ca tng cỏch gii la chn li gii m cú th dn n bi toỏn tng quỏt: Vớ d 1: Gii phng trỡnh: x 2004 + 2006 x = (1) Ta xột cỏch gii sau: Cỏch 1: (Bin i tng ng a v phng trỡnh i s): iu kin 2004 x 2006 Khi ú: (1) + ( x 2004)(2006 x ) = (x 2004 )(2006 x) = (x 2004)(2006 x) = x2 4010x + 2004.2006 + = x2 4010x + (2005-1)(2005+1) + = x2 2.2005x + 20052 = (x - 2005)2 = x = 2005 (tm) Vy nghim ca (1) l: x=2005 Cỏch 2: (S dng bt ng thc Cụsi): iu kin 2004 x 2006 Khi ú: x 2004 0, 2006 - x Cosi x 2004 + x 2003 x 2004 = ( x 2004 ) = Cú 2 Cosi 2006 x + 2007 x 2006 x = ( 2006 x ).1 = 2 x 2003 + 2007 x =2 Do ú: x 2004 + 2006 x VT(1) VP(1) Do ú (1) Du = xy ra: x - 2004 = = 2006 x x = 2005 Vy nghim ca (1) l: x = 2005 Nhn xột hai cỏch gii ny, ta thy i vi cỏc bi toỏn tng t: x 2004 + 2006 x = , x 2004 + 2006 x = * Nu s dng cỏch gii 1, bin i tng ng a v phng trỡnh i s thỡ rt khú khn Do ú s dng cỏch gii thỡ ớt ngh n vic nõng lờn thnh bi toỏn tng quỏt * Nu s dng cỏch gii th 2, dựng bt ng thc Cụsi thỡ vic gii quyt cỏc vớ d tng t ny khụng my khú khn Do ú mun nõng bi toỏn ban u lờn thnh bi toỏn tng quỏt thỡ trc ht ta hng dn hc sinh gii theo cỏch 2, sau ú cú th yờu cu h gii cỏc bi toỏn tng t trờn T ú m hc sinh cú th phỏt hin bi toỏn tng quỏt: Gii cỏc phng trỡnh: 2n x 2004 + n 2006 x = , n x 2004 + n 2006 x = Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt Vớ d 2: Gii phng trỡnh: sin x + cos x = (1) Ta xột cỏch gii sau: Cỏch 1: (Bin i tng ng a v phng trỡnh c bn): 2 4 2 Cú (1) 4(sin x + cos x )(sin x + cos x sin x cos x ) = 4[(sin2x + cos2x)2 - 3sin2xcos2x]=1 3sin22x = sin22x = cos22x = 2x = + k k Vy nghim ca (1) l: x = + , k Z Cỏch 2: (S dng bt ng thc Cụsi): 1 Cosi 1 Ta cú: sin x + + 33 sin x = sin x 8 8 1 Cosi 1 cos x + + 33 cos x = cos x 8 8 4 sin x + cos x (sin x + cos x ) = Do ú VT(1) VP(1) nờn (1) Du = xy ra: 1 sin x = sin x = sin x = 1 2 cos x = cos x = cos x = cos x = 2x = + k k Vy nghim ca (1) l: x = + , k Z Nhn xột hai cỏch gii ny, ta thy i vi cỏc bi toỏn tng t: 1 sin x + cos x = , sin 10 x + cos10 x = 16 * Nu s dng cỏch 1, bin i tng ng a v phng trỡnh c bn gii cỏc bi tng t thỡ rt phc Do ú s dng cỏch thỡ ớt ngh n vic nõng lờn thnh bi toỏn tng quỏt * Nu s dng cỏch gii th 2, dựng bt ng thc Cụsi thỡ vic gii quyt cỏc vớ d tng t ny khụng my khú khn Do ú mun nõng bi toỏn ban u lờn thnh bi toỏn tng quỏt thỡ trc ht ta hng dn hc sinh gii theo cỏch 2, sau ú cú th yờu cu h gii cỏc bi toỏn tng t trờn T ú m hc sinh cú th phỏt hin bi toỏn tng quỏt: Gii cỏc phng trỡnh: sin n x + cos n x = n 10 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt 2 n Vớ d 3: Cho a, b, c v a + b + c=3 Chng minh rng: a3 + b3 + c3 a2 + b2 + c2 (1) Ta xột cỏch gii sau: Cỏch 1: (S dng k thut cõn bng bc) (1) 3(a3 + b3 + c3) 3(a2 + b2 + c2) 3(a3 + b3 + c3) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) 3(a3 + b3 + c3) a3 + ab2 + ac2 + ba2 + b3 + bc2 + ca2 + cb2 + c3 2a3 + 2b3 + 2c3 ab2 + ac2 + ba2 + bc2 + ca2 + cb2 (a - b)(a2 b2) + (b c)(b2 c2) + (c a)(c2 a2) (a - b)2(a + b) + (b c)2(b + c) + (c a)2(c + a) Luụn ỳng Du = xy a = b = c Cỏch 2: (S dng bt ng thc Cụsi): Cosi Cú a + a + 33 a a = 3a 2a 3a Tng t: 2b3 3b2 1, 2c3 3c2 2(a3 + b3 + c3) 3(a2 + b2 + c2) = = 2(a2 + b2 + c2) + (a2 + b2 + c2 3) M a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 2(a3 + b3 + c3 ) 2(a2 + b2 + c2) pcm Du = xy a = b = c sinn x + cosn x = ,0 x Nhn xột cỏch gii ny, ta thy: * Da vo cỏch 1, hc sinh cú th gii hoc xut c cỏc bi toỏn tng t nh: Cho a, b, c v a + b + c=3 Chng minh rng: a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3 a5 + b5 + c5 a4 + b4 + c4 Sau cỏc bi toỏn ny, hc sinh tỡm c c im bn cht ca bi toỏn l: S m v trỏi v v phi hn kộm n v, bng ỳng s m ca a, b, c gi thit T ú hc sinh phỏt hin c bi toỏn tng quỏt: Cho a, b, c v a + b + c=3 Chng minh rng: an+1 + bn+1 + cn+1 an + bn + cn * Da vo cỏch gii 2, hc sinh cú th gii c cỏc bi toỏn tng t khụng cn s m hn kộm n v nh: Cho a, b, c v a + b + c=3 Chng minh rng: a5 + b5 + c5 a2 + b2 + c2 a5 + b5 + c5 a3 + b3 + c3 T ú phỏt hin bi toỏn tng quỏt hn sau: Cho a, b, c v a + b + c=3 Chng minh rng: am + bm + cm an + bn + cn , n < m N 11 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt Khỏi quỏt hoỏ t cỏc bi toỏn c th lờn bi toỏn tng quỏt l mt khú vi hc sinh Do ú giỏo viờn cn luyn cho hc sinh hot ng ny mt cỏch thng xuyờn: Cỏc bi toỏn ng dng bt ng thc Cụsi cha ng nhiu yu t cú th khai thỏc i n bi toỏn tng quỏt Tuy nhiờn cỏc ch khỏc ca toỏn s cp, nu giỏo viờn khộo lộo khai thỏc, thit k cỏc bi toỏn thỡ cng to c nhiu c hi hc sinh khỏi quỏt hoỏ t cỏc bi toỏn c th thnh bi toỏn tng quỏt hoc khỏi quỏt hoỏ t nhng bi toỏn c th cú cỏch gii tng t thnh phng phỏp gii mt lp cỏc bi toỏn Cỏc hot ng ny cn cho hc sinh luyn mt cỏch thng xuyờn Vớ d: (Trong h phng trỡnh ): Gii h phng trỡnh: x+ y =1 3 2 x + y = x + y Ta xột cỏch gii sau: Cỏch 1: (t S, P theo h i xng loi 1): t S = x + y, P = xy, S2 4P H tr thnh: S = S= S = x = y = , S(S 3P) =S 2P 3P = 2P P = y = x = x = x = , Vy nghim h ó cho l: y = y = Cỏch 2: (S dng k thut cõn bng bc): Quan sỏt s m ca cỏc v ca tng phng trỡnh, ta cú nhn xột: + S m ca x, y phng trỡnh th nht l + S m ca x, y v trỏi v v phi ca phng trỡnh th hai hn n v, bng ỳng s m v trỏi ca phng trỡnh th nht T ú giỳp ta ngh n vic bin i phng trỡnh th hai to s m ca hai v bng v ta i n li gii sau: x+ y=1 x+ y=1 H 3 2 3 2 x + y = (x + y)(x + y ) x + y = x + xy + x y + y x + y = x + y = x = x = , xy = xy(x + y) = y = y = x = x = , Vy nghim ca h ó cho l: y = y = Nhn xột cỏc cỏch gii trờn ta thy: i vi cỏc bi toỏn tng t: x + y3 = x 13 + y13 = 5 2 , 20 20 7 x + y = x + y x + y = x + y 12 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt * Nu s dng cỏch gii 1, t S, P theo h i xng loi gii cỏc bi tng t ny thỡ rt phc Do ú s dng cỏch gii thỡ ớt ngh n vic nõng lờn thnh bi toỏn tng quỏt * Nu s dng cỏch gii th 2, nh nhn xột s m ca cỏc s hng tham gia vo bi toỏn cõn bng bc thỡ vic gii quyt cỏc vớ d tng t ny khụng my khú khn Do ú mun nõng bi toỏn ban u lờn thnh bi toỏn tng quỏt thỡ trc ht ta hng dn hc sinh gii theo cỏch 2, sau ú cú th yờu cu h gii cỏc bi toỏn tng t trờn T ú m hc sinh cú th phỏt hin bi toỏn x n + yn = , n < m N tng quỏt: m m mn mn x + y = x + y Nh vy t mt bi toỏn gii h bỡnh thng, nh khộo lộo khai thỏc li gii ta a c phng phỏp chung gii mt lp cỏc bi toỏn tng t v t ú xut c bi toỏn tng quỏt Vớ d 2: Khai thỏc cỏc phng phỏp khỏc gii quyt mt bi toỏn Sỏch hỡnh hc lp 12 ( chng trỡnh c ) v sỏch hỡnh hc lp 10 ban KHTN ( mi ) cú trỡnh by v phng trỡnh phõn giỏc ca gúc to bi ng thng ct nh sau: Cho ng thng ct ( ) a1x + b1y + c1 = ( ) a2x + b2y + c2 = Phng trỡnh cỏc phõn giỏc ca gúc to bi ( ) v ( ) l a1x + b1y + c1 a12 + b12 = a x + b2 y + c2 a22 + b22 (1) Trong thc hnh, vit phng trỡnh phõn giỏc ( hoc ngoi ) mt gúc ca tam giỏc, ngha l mt gúc hon ton xỏc nh, hc sinh thng lỳng tỳng vic chn cụng thc ( ) Vic gii quyt bi ton ny khụng khú song t l cú th cú bao nhiờu cỏch ( phng phỏp ) vit phng trỡnh phõn giỏc v nờn sa dng phng phỏp no ( cỏch no ) l cú li nht mi trng hp c th Ta th xột vớ d sau: Bi toỏn Cho ABC vi A ( ; ) ; B ( ; ) ; C ( ; ) Lp phng trỡnh ng phõn giỏc ca gúc BA C Phng phỏp : - Lp phng trỡnh hai cnh AB v AC - V cỏc vộc t phỏp tuyn n1 v n2 ca AB v AC + Nu ng thng cú h s gúc k > thỡ vộc t phỏp tuyn n hng xung 13 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt + Nu k < thỡ thỡ vộc t phỏp tuyn n hng lờn * Nu im M thuc phõn giỏc nm cựng bờn vi phỏp vộc t n i vi ng thng tng ng thỡ khong cỏch i s t M n ng thng l s t > * Nu M v n nm v bờn i vi ng thng thỡ t < phng trỡnh phõn giỏc T ú suy áp dng : Ta d thy phng trỡnh cnh AB l : 3x 4y + = 0; Phng trỡnh cnh AC l : 4x 3y + = im M v n1 nm v hai bờn cnh AB nờn t1 < im M v n2 nm cựng bờn vi AC nờn t2 > phng trỡnh phõn giỏc gúc A : t1 = -t2 3x y + 4x y + = 5 x y + = Phng phỏp 2: Dựng tớnh cht ca xỏc nh bi ng thng Trong mt phng Oxy ; ng thng ( d ) f ( x ; y ) = ax + by + c = chia mt phng thnh hai Khi im M ( x0 ; y0 ) lu ng mt xỏc nh biu thc f( x0 ; y0 ) = ax0 + by0 + c luụn cú du khụng i v du ny cng gi l du ca cha im M i vi ( d ) Mi ng thng ( d ) u chia mt phng thnh hai i du p dng : Ta cú phng trỡnh phõn giỏc gúc A l : 4x y + 3x y + = + x + y = 0(d ) 5 3x y + = x y + x y + = 0(d ) 5 Xột f( x ; y ) = x y + , ta cú f ( B ) = f ( ; ) = + = > f ( C ) = f ( ; ) = + = -1 < B v C khỏc phớa vi ( d2 ) ( d2 ) l phõn giỏc gúc A Phng phỏp 3: Tỡm h s gúc k1 v k2 ca cỏc ng thng AB v AC Gi k l h s gúc ca phõn giỏc ( d ) ca gúc BA C ta cú : ( AB ; d ) = ( AC ; d ) + m180 , m Z 14 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt tg ( AB ; d ) = tg ( AC ; d ) k k1 k k = k kk1 kk Suy phõn giỏc ( d ) y yA = k ( x xA ) p dng : Ta cú h s gúc ca AB l k1 = ; h s gúc ca k2 = Ta cú ( AB ; d ) = ( d ; AC ) + m1800 , m Z k = k = k k k Mt khỏc, k1 < k < k2 k = Vy phng trỡnh phõn giỏc gúc A l y = ( x ) x y + = Phng phỏp 4: - Gi E l chõn ng phõn giỏc gúc BA C ta cú : BE AB AB AB = BE = EC EB = EC E l im chia on BC theo t s EC AC AC AC x kxC xE = B AB k k= to E AC y = y B ky C E k to im E phng trỡnh phõn giỏc AE áp dng : - Ta cú AB 10 EB AB = =2 = = EB = EC AC EC AC - x B + xC 17 x E = + = To im E l y = y B + y C = 20 E 1+ - 20 y2 = = x y +1 = Phng trỡnh phõn giỏc AE ca gúc BA C l x 17 Phng phỏp : - Tỡm mt vộc t ch phng ca ng phõn giỏc nh cỏc chỳ ý sau: 15 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt k b= a cựng hng vi a v cú di b = k + Nu a v k > thỡ + Nu hai vộc t OA v OB cú di bng thỡ vộc t OC = OA + OB l mt vộc t ch phng ca ng phõn giỏc gúc AO B hỡnh thoi OACB a - Vit phng trỡnh phõn giỏc gúc A bit qua im v vộc t ch phng áp dng : Ta cú AB = ( ; ) AB = 10 AC = ( ; ) AC = t a = AB = AB = (4;3), a AB AB b = AC = (3;4) Ta cú a = b = nờn v = a + b = ( ; ) l mt vộc t ch phng ca phõn giỏc BA C phng trỡnh phõn giỏc BA C l x y = x y +1 = 1 Phng phỏp : a bi toỏn v bi toỏn vit phng trỡnh phõn giỏc gúc nhn ( hoc gúc tự ) nh s dng kt qu sau: + Nu AB AC > thỡ BA C nhn, nu AB AC < thỡ BA C tự + t t1 = a x + b y + c1 a +b 2 Du ca n1 n2 ; t2 = a 2x + b2 y + c2 a 22 + b22 ú ta cú Phng trỡnh phõn giỏc ca Phng trỡnh phõn giỏc gúc nhn to bi ca gúc tự to bi ( ) v ( ) ( ) v ( ) n1 n > t1 = -t2 t1 = t n1 n < t1 = t t1 = -t2 áp dng : Ta cú AB AC = 8.3 + 6.4 = 48 > nờn gúc BA C nhn phng trỡnh phõn giỏc ca gúc nhn BA C l 16 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt 3x y + 4x y + = n1 n2 = 24 > x y + = 5 Phng phỏp : a bi toỏn v dng vit phng trỡnh ng phõn giỏc ca gúc cha im P( xp ; yp ) to bi cỏc ng thng ( ) v ( ) - Gi Q l giao im ( ) v ( ) - Xột ng thng ( ) bt k ( chn Ox hoc Oy ) ct ng ( ) ; - ( 2); phõn giỏc ( d ) v PQ ti cỏc im I ; J ; D ; E + Cỏc im E ; D cựng thuc on thng IJ + Cỏc im E ; D u nm ngoi on IJ - Chn = phng trỡnh phõn giỏc a x + b y + c1 a12 + b12 = a x + b2 y + c2 a 22 + b22 tho cỏc iu kin trờn thỡ xỏc nh c phõn giỏc ( d ) áp dng : Gi P l trung im BC P ( 13/2 ; ) Phng trỡnh phõn giỏc gúc BA C cú dng 3x y + 4x 3y + = 5 ( - )x + ( - )y + - = ( d ) phng trỡnh PQ AP : 10x 11y + 12 = Xột ng thng ( ) Ox : y = Khi ú ta cú AB Ox = I ( ( d ) Ox = D ( ; ) ; AC Ox = J ( - ; ) ; AP Ox = E ( - ; ) ; 5 ;0) < - < - xI < xE < xJ im E nm on IJ Nu ly = thỡ E v D nm on IJ phõn giỏc ca gúc BA C cha im P l x Vỡ - y + = ( ng = -1 ) Trờn õy l phng phỏp khỏc vit phng trỡnh phõn giỏc ca gúc tam giỏc Khi vit phng trỡnh ng phõn giỏc tu theo yờu cu ca bi toỏn m ta chn cỏch cú li nht Chng hn: - Nu bi toỏn cho to nh , yờu cu tớnh di cnh, vit phng trỡnh phõn giỏc gúc BA C , tỡm to giao im ca phõn giỏc vi cnh BC thỡ ta nờn s dng phng phỏp hoc hoc 17 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt - Nu bi toỏn khụng cho to nh m cho phng trỡnh ng thng AB ; AC ; BC thỡ nờn dựng phng phỏp hoc hoc hoc E U NHC IM CA PHNG PHP DHGQV *u im: 1- Phỏt huy tớnh tớch cc, ch ng hc Vỡ phng phỏp DHGQV da trờn c s tõm lý kớch thớch hot ng nhn thc bi s t m v ham hiu bit cho nờn thỏi hc ca hs mang nhiu yu t tớch cc Nng lc t ca hs mt c dy s giỳp cỏc em cm thy thớch thỳ v tr nờn t giỏc hn trờn ng tỡm kim tri thc 2- HS c rốn luyn cỏc k nng cn thit Thụng qua hot ng tỡm kim thụng tin v lý gii ca cỏ nhõn v th, hs c rốn luyn thúi quen, k nng c ti liu, phng phỏp t khoa hc, tranh lun khoa hc, lm vic th õy l nhng k nng rt quan trng cho hs i vi cụng vic sau ny ca cỏc em 3- HS c sm tip cn nhng thc tin Giỏo dc i hc thng b phờ phỏn l xa ri thc tin Phng phỏp ny cú th giỳp hs tip cn sm vi nhng ang din thc t cú liờn quan cht ch vi chuyờn ngnh ang hc; ng thi cỏc em cng c trang b nhng kin thc, k nng gii quyt nhng ú 4- Bi hc c tip thu va rng va sõu, c lu gi lõu trớ nh hs Do c ch ng tỡm kim kin thc v dng kin thc gii quyt , hs cú th nm bt bi hc mt cỏch sõu sc v vỡ vy h nh bi rt lõu so vi trng hp tip nhn thụng tin mt cỏch th ng thụng qua nghe ging thun tỳy 5- ũi hi GV khụng ngng lờn Vic iu chnh vai trũ ca GV t v trớ trung tõm sang h tr cho hot ng hc ũi hi nhiu n lc t phớa GV ng thi theo phng phỏp ny, GV cn tỡm tũi, xõy dng nhng va lý thỳ va phự hp vi mụn hc v thi gian cho phộp; bit cỏch x lý khộo lộo nhng tỡnh din tho lun Cú th núi rng phng phỏp DHGQV to mụi trng giỳp GV khụng ngng t nõng cao trỡnh v cỏc k nng s phm tớch cc Tỏc ng tớch cc ca phng phỏp dy hc da trờn - Hc sinh cú th thu c nhng kin thc tt nht, cp nht nht - Cú th bao ph c trờn mt din rng cỏc trng hp v cỏc bi cnh thng gp - Tớnh ch ng, tinh thn t giỏc ca ngi hc c nõng cao - ng c hc v tinh thn trỏch nhim ca hc viờn c nõng cao 18 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt - Vic nghiờn cu v gii quyt ngy cng c bo m * Nhc im: 1- Khi dng nhng mụn hc cú tớnh tru tng cao Phng phỏp ny khụng cho kt qu nh i vi tt c cỏc mụn hc, mc dự nú cú th c ỏp dng mt cỏch rng rói Thc t cho thy nhng mụn hc gn bú cng nhiu vi thc tin thỡ cng d xõy dng , v vỡ vy kh nng ng dng ca phng phỏp cng cao 2- Khú dng cho lp ụng Lp cng ụng thỡ cng cú nhiu nhúm nh vỡ vy vic t chc, qun lý s cng phc Mt giỏo viờn rt khộo theo dừi v hng dn tho lun cho c chc nhúm hc sinh Trong trng hp ny, vai trũ tr ging s rt cn thit F MT S GII PHP XUT Tuy nhiờn, ỏp dng phng phỏp ny vi c hi thnh cụng cao ũi hi chỳng ta phi tin hnh mt lot nhng chuyn i sau: - Chuyn i cỏc hot ng ca ngi hc t tớnh th ng sang tớnh tớch cc, ch ng - Chuyn i cỏc hot ng ca ngi dy (ngi dy cú vai trũ dy cỏc v hng dn ngi hc) - Chuyn i mi quan h gia vai trũ ca ngi hc v ngi dy - Chuyn i h thng ỏnh giỏ ngi hc Coi trng thi gian t hc ca ngi hc nh thi gian hc trờn lp * Sau õy l mt s gi ý tt dnh cho GV mun ng dng phng phỏp DHGQV cho nhng lp cú ụng hc sinh: 1- Tỡm : t cỏc phng tin thụng tin i chỳng, thc t sn xut v i sng, nhng hin tng t nhiờn, xó hi ú v ang din hng ngy GV cng cú th sỏng to nhng chỳng cha ng nhng yu t gn gi vi thc t, phự hp vi mụn hc, v cú kh nng thu hỳt s quan tõm ca hc sinh 2- D kin thi gian hp lý: bao nhiờu cho mụn hc, t trng thi gian 3- Chun b tt t tng cho hc sinh: lp hc khụng phi l ni thu lm kin thc mt cỏch th ng v ngi hc cn c chun b nhng k nng cn thit cho tng lai ngh nghip v sau 4- Chun b tt khõu ti liu tham kho: nờn chun b trc mt s ti liu tham kho c bn, hng dn hc sinh cỏc ngun ti liu cú th cú (th vin, sỏch bỏo, internet,) 19 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn Dy v hc toỏn bng phng phỏp dy hc nờu v gii quyt 5- Chun b tt khõu t chc: bao nhiờu nhúm, mi nhúm bao nhiờu hc sinh? a im tho lun? 6- Nhng bin phỏp b tr: lm th no hn ch hc sinh vng mt? Lm th no hc sinh tớch cc tham gia? (cho im thng, treo gii thng?) Lời kết: Vi thi gian nghiờn cu cú hn v kinh nghim nghiờn cu cha nhiu, ti SKKN ny chc chn khụng trỏnh nhng thiu sút Tụi xin chõn thnh mong i nhng li nhn xột, gúp ý v ch dn ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn ng nghip tụi b sung v hon thin thờm cho ti cng nh cho cụng vic ging dy v nghiờn cu khoa hc Xin kớnh chỳc gia ỡnh cỏc ng chớ,cỏc ng nghip mnh khe, hnh phỳc v thnh t Xin chõn thnh cm n ! Sầm Sơn, ngày 10 tháng 05 năm 2011 Ngời viết Lê Thị Minh 20 Giỏo viờn thc hin: Lờ Th Minh - Trng THPT Sm Sn