Toán Hàm Số tiếp tuyến

1 Chủ đề 1: Bài toán tiếp tuyến M( x0 , y0 ) ∈ (C ) : y = f ( x) 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm y ' = f ' ( x) k = f ' ( x0 ) * Tính ; tính (hệ số góc tiếp tuyến) M ( x0 ; y0 ) y = f ( x) * Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có phương trình ' y − y0 = f ( x0 ) ( x − x0 ) y0 = f ( x0 ) với y = x − 3x + Ví dụ 1: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7) b) Tại điểm có hoành độ x = c) Tại điểm có tung độ y =5 Giải: M ( x0 ; y0 ) a) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm có dạng: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) Ta có y ' = 3x − ⇒ y '(−1) = y−7 = Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(-1; 7) là: hay y = x=2⇒ y =7 b) Từ y’(2) = Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x = là: y − = 9( x − 2) ⇔ y − = x − 18 ⇔ y = x − 11 x =  y = ⇔ x3 − 3x + = ⇔ x3 − 3x = ⇔  x = − x =  c) Ta có: +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (0; 5) Ta có y’(0) = -3 y − = −3( x − 0) Do phương trình tiếp tuyến là: hay y = -3x +5 +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (− 3;5) y '(− 3) = 3(− 3) − = Do phương trình tiếp tuyến là: y − = 6( x + 3) hay ( − 3;5) y = 6x + + y = 6x − + +) Tương tự phương trình tiếp tuyến (C) là: y = x − 2x + 2x − Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = Giải: M ( x0 ; y0 ) y ' = 3x − x + Ta có Gọi tiếp điểm tiếp tuyến có phương trình: y − y0 = y '( x0 )( x − x0 ) ⇔ y = y '( x0 )( x − x0 ) + y0 (1) M = (C ) I Ox a) Khi y0 = x0 nghiệm phương trình: x − 2x + 2x − = ⇔ x = ; y’(2) = 6, thay giá trị biết vào (1) ta y = 6( x − 2) phương trình tiếp tuyến: ⇒ y0 = y (0) = −4 y '( x0 ) = y '(0) = M = (C ) I Oy b) Khi x0 = , thay giá trị y = 2x − biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: c) Khi x0 nghiệm phương trình y”= Ta có: y” = 6x – 88 2 2 ⇔ x − = ⇔ x = = x0 ⇒ y0 = y  ÷ = − y '( x0 ) = y '  ÷ = 27 3 3 y” = ; 100 y = x− 27 Thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − x + 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) y '' ( x0 ) = x0 điểm có hoành độ thỏa mãn chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ Giải y ' = x − x + ⇒ y '' = x − Ta có y ''( x0 ) = ⇔ x0 − = ⇔ x0 = ⇒ M (2; ) Khi tiếp tuyến M có hệ số góc k0 = y ' ( x0 ) = y ' (2) = −1 Vậy tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm  2 M  2; ÷  3 có phương trình y − y0 = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) y− suy = −1( x − ) y = −x + hay k0 = Tiếp tuyến d có hệ số góc -1 Mặt khác tiếp tuyến đồ thi (C) điểm kỳ (C) có hệ số góc k = y ' ( x ) = x − x + = ( x − ) − ≥ −1 = k0 Dấu “=” xảy  2 M  2; ÷  3 ⇔ x =1 nên tọa độ tiếp điểm trùng với  2 M  2; ÷  3 Vậy tiếp tuyến d (C) điểm có hệ số góc nhỏ y= m x − x + 3 Ví dụ 4: Cho hàm số (Cm).Gọi M điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải y ' = x − mx Ta có Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến M song song với y ' (−1) = ⇔ m + = ⇔ m = đường thẳng d trước hết ta cần có 1 y = x3 − x + x0 = −1 y0 = −2 m=4 3 Khi ta có hàm số ta có ' y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0 ⇒ y = 5( x + 1) − ⇔ y = x + Phương trình tiếp tuyến có dạng Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d m=4 Vậy giá trị cần tìm y = x3 − x + m Ví dụ 5: Cho hàm số (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hoành độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB Giải x0 = ⇒ y0 = m − ⇒ Với M(1 ; m – 2) y = (3x0 − x0 )( x − x0 ) + m − - Tiếp tuyến M d: ⇒ d: y = -3x + m + m+2 m+2  = −3 x A + m + ⇔ x A = ⇒ A ; 0÷   - d cắt trục Ox A: yB = m + ⇒ B (0 ; m + 2) - d cắt trục Oy B: 3 m+2 SOAB = ⇔ | OA || OB |= ⇔| OA || OB |= ⇔ m + = ⇔ ( m + 2) = 2 m + = m = ⇔ ⇔  m + = −3  m = −5 Vậy m = m = - 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thi hàm số y = f ( x) (C) biết trước hệ số góc f ' ( x0 ) = k ⇒ x = x0 y0 = f ( x0 ) + Gọi tiếp điểm, giải phương trình , + Đến trở dạng 1,ta dễ dàng lập tiếp tuyến đồ thị: y = k ( x − x0 ) + y0 M ( x0 , y0 )  Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com k = 5; k = ±1; k = ± 3; k = ± *) Cho trực tiếp: *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc α , với 2π π   α ∈ 150 ;300 ;450 ; ;  3   tan α Khi hệ số góc k = *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi hệ số góc k = a −1 ⇒ ka = −1 ⇔ k = a *) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b k −a = tan α + ka α *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b góc Khi đó, y = x − 3x Ví dụ 6: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 Giải: y ' = 3x − x Ta có: k = f ' ( x0 ) = 3x02 − x0 M ( x0 ; y0 ) ⇒ Gọi tiếp điểm Tiếp tuyến M có hệ số góc Theo giả thiết, hệ số góc tiếp tuyến k = - nên: x02 − x0 = −3 ⇔ x02 − x0 + = ⇔ x0 = Vì x0 = ⇒ y0 = −2 ⇒ M (1; −2) Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −3( x − 1) − ⇔ y = −3 x + Ví dụ 7: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tuyến song song với đường thẳng y = 9x + y = x3 − 3x + (C) Biết tiếp Giải: y ' = 3x − x Ta có: k = f ' ( x0 ) = 3x02 − x0 M ( x0 ; y0 ) ⇒ Gọi tiếp điểm Tiếp tuyến M có hệ số góc ⇒ Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + +6 tiếp tuyến có hệ số góc k =  x0 = −1 ⇒ M (−1; −3) x02 − x0 = ⇔ x02 − x0 − = ⇔   x0 = ⇒ M (3;1) ⇒ Phương trình tiếp tuyến (C) M(-1;-3) là: Phương trình tiếp tuyến (C) M(3;1) là: y = 9( x + 1) − ⇔ y = x + (loại) y = 9( x − 3) + ⇔ y = x − 26 y= Ví dụ 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x+ 5y – 2015 =0 x + 2x2 Giải: (d) có phương trình: y = − x + 402 5 nên (d) có hệ số góc - − k = −1 ⇔ k = ( ∆ ⊥ (d )) ∆ Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k 3 y ' = x + 4x x + 4x = Ta có: nên hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: ⇔ x3 + x − = ⇔ ( x − 1)( x + x + 5) = ⇔ x − = ⇔ x = ⇒ y = Vậy tiếp điểm M có tọa độ  9 M 1; ÷  4 y− Tiếp tuyến có phương trình: 11 = 5( x − 1) ⇔ y = x − 4 , biết tiếp y = 5x − Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: 11 2x −1 x −1 Ví dụ 9: Cho hàm số y = có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB Giải M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) Giả sử tiếp tuyến d (C) cắt Ox A, Oy B cho OA = 4OB OB 1 tan A = = − OA 4 Do ∆OAB vuông O nên ⇒ Hệ số góc d   x0 = −1 ( y0 = )  1 ′ x = ( y = 5) y ( x0 ) = −