Toán Hàm Số 2 de cua bo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2014 Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thơng Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = −2 x + x −1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) đường thẳng y = x − Câu (2,5 điểm) 1) Giải phương trình log 22 x + 3log ( x ) − = tập hợp số thực 2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = ( x − x − x − x2 ) Câu (1,5 điểm) Tính tích phân I = ∫ − xe x dx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A SC = 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm M cạnh AB Góc đường thẳng SC (ABC) 60D Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Câu (2,0 điểm) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A (1; −1;0 ) mặt phẳng (P) có phương trình x − y + z − = 1) Viết phương trình tham số đường thẳng qua A vng góc với (P) 2) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho AM vng góc với OA độ dài đoạn AM ba lần khoảng cách từ A đến (P) - Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ………………………… Số báo danh: ……………………………… Chữ kí giám thị 1: ………………………… 34 Chữ kí giám thị 2: …………………… BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A Khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− x+2 x−1 (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số (1) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x Câu (1,0 điểm) Giải phương trình √ sin x + cos x = + sin 2x Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2 − x + đường thẳng y = 2x + Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = + 5i Tìm phần thực phần ảo z b) Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+y −2z −1 = y z+3 x−2 = = Tìm tọa độ giao điểm d (P ) Viết phương đường thẳng d : −2 trình mặt phẳng chứa d vuông góc với (P ) 3a , hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SD = Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1; 2) N(2; −1) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình √ x 12 − y + y(12 − x2 ) = 12 (x, y ∈ R) √ x3 − 8x − = y − Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x2 + y + z = Tìm giá trò lớn biểu thức P = x2 y+z + yz + − x2 + yz + x + x + y + z + −−−−−−Hết−−−−−− Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−− − ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3mx + (1), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò hàm số (1) m = b) Cho điểm A(2; 3) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò B C cho tam giác ABC cân A √ Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2(sin x − cos x) = − sin 2x x2 + 3x + dx x2 + x Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 − i) z = − 9i Tính môđun z b) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; −1) đường y+1 z x−1 = = Viết phương trình mặt phẳng qua A vuông góc với d thẳng d : 2 −1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A d Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A C mặt đáy 60 ◦ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC A ) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm M (−3; 0) trung điểm cạnh AB, điểm H(0; −1) hình chiếu vuông góc B AD điểm G ; trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ điểm B D Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình √ √ (1 − y) x − y + x = + (x − y − 1) y (x, y ∈ R) √ √ 2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện (a + b)c > Tìm giá trò nhỏ biểu thức P = a + b+c b c + a + c 2(a + b) −−−−− −Hết−−−−− − Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−− − ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3x − (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thò (C) hàm số (1) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc Câu (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Tính môđun z (3z − z)(1 + i) − 5z = 8i − π Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = (x + 1) sin 2x dx Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình log (x − 1) − log (3x − 2) + = b) Cho đa giác n đỉnh, n ∈ N n ≥ Tìm n biết đa giác cho có 27 đường chéo Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 6x + 3y − 2z − = mặt cầu (S) : x + y + z − 6x − 4y − 2z − 11 = Chứng minh mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Tìm tọa độ tâm (C) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác góc A điểm D(1; −1) Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y − = 0, tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y − = Viết phương trình đường thẳng BC √ √ Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình (x + 1) x + + (x + 6) x + ≥ x2 + 7x + 12 Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ 2; ≤ y ≤ Tìm giá trò nhỏ biểu thức P = x + 2y y + 2x + + x2 + 3y + y + 3x + 4(x + y − 1) −−−−− −Hết−−−−− − Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM 2014 Mơn thi: TỐN – Giáo dục trung học phổ thơng ĐỀ THI CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM THI (Văn gồm 04 trang) I Hướng dẫn chung 1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hố (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo khơng làm sai lệch hướng dẫn chấm 3) Sau cộng điểm tồn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,0 điểm) II Đáp án thang điểm CÂU Câu (3,0 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM 1) (2,0 điểm) a) Tập xác định: D = \ \ {1} 0,25 b) Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: y ' = − ( x − 1) < 0, ∀x ≠ 0,50 Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) • Giới hạn tiệm cận: lim y = −2 ⇒ đường thẳng y = – tiệm cận ngang 0,25 lim y = −∞; lim y = +∞ ⇒ đường thẳng x = tiệm cận đứng 0,25 x →±∞ x→1− • x→1+ Bảng biến thiên x −∞ y' −2 y − − +∞ 0,25 +∞ −∞ −2 c) Đồ thị (C): y O x −2 0,50 −3 2) (1,0 điểm) Câu Hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng y = x − nghiệm −2 x + = x − phương trình x −1 0,25 Giải phương trình ta nghiệm x = x = 0,25 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ y = − x − 0,25 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ y = − x + 0,25 1) (1,5 điểm) (2,5 điểm) Điều kiện: x > 0,25 Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với log 22 x + 3log x + = 0,25 ⎡log x = −1 ⇔⎢ ⎣log x = −2 0,50 log x = −1 ⇔ x = (thoả mãn điều kiện) log x = −2 ⇔ x = (thoả mãn điều kiện) 1 Vậy nghiệm phương trình x = , x = 0,25 0,25 2) (1,0 điểm) Tập xác định: D = [ 0; 4] Trên ( 0; ) , ta có f ' ( x ) = 0,25 x x−2 −1+ 2 4x − x ⎛1 f ' ( x ) = ⇔ ( x − 2) ⎜ + ⎜2 x − x2 ⎝ 0,25 ⎞ ⎟ = ⇔ x = ⎟ ⎠ 0,25 Ta có: f ( ) = 0, f ( ) = −3, f ( ) = Từ đó, giá trị lớn f ( x ) giá trị nhỏ f ( x ) −3 1 Câu x (1,5 điểm) Ta có I = ∫ dx − ∫ xe dx 0,25 0,25 1 Ta có: I1 = ∫ dx = x = 0,25 Tính I2 = ∫ xe x dx Đặt u = x dv = e x dx, ta có du = dx v = e x Do đó: 0,25 I2 = ∫ xe dx = xe x x1 1 − ∫ e x dx = e − e x = 0,50 0 Vậy I = I1 − I = 0,25 SM ⊥ ( ABC ) Câu (1,0 điểm) n = (n ⇒ SCM SC ;( ABC )) = 60D S SM = SC.sin 600 = a 15; MC = SC.cos 600 = a 0,25 0,25 Xét tam giác vng MAC, ta có: AC + AM = MC M A 60D B ⎛ AC ⎞ ⇒ AC + ⎜ ⎟ = 5a ⎝ ⎠ ⇒ AC = 2a 0,25 C Suy S∆ABC = AC = 2a Vậy VS ABC 2a 15 = SM S ∆ABC = 3 0,25 1) (1,0 điểm) Câu (2,0 điểm) Gọi d đường thẳng qua A vng góc với (P) G Vectơ pháp tuyến n = ( 2; −2;1) (P) vectơ phương d ⎧ x = + 2t ⎪ Do phương trình tham số d ⎨ y = −1 − 2t ⎪ z = t ⎩ 0,50 0,50 2) (1,0 điểm) Ta có: M ( a; b; c ) ∈ ( P ) ⇔ 2a − 2b + c − = ⇔ c = 2b − 2a + (1) 0,25 AM ⊥ OA ⇔ a − b = (2) Thế (2) vào (1), ta c = −3 Vì AM = 0,25 ( a − 1)2 + ( b + 1)2 + c = ( a − 1)2 + ( b + 1)2 + d ( A, ( P ) ) = nên: AM = 3d ( A, ( P ) ) ⇔ ( a − 1) + ( b + 1) = ⇔ a = 1, b = −1 (thỏa mãn (2)) 0,25 Vậy có điểm M cần tìm M (1; −1; −3) 0,25 - Hết - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A Khối A1 (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Câu a) (1,0 điểm) (2,0đ) • Tập xác đònh D = R \ {1} • Sự biến thiên: ; y < 0, ∀x ∈ D (x − 1)2 Hàm số nghòch biến khoảng (−∞; 1) (1; +∞) 0,25 - Chiều biến thiên: y = − - Giới hạn tiệm cận: lim y = lim y = 1; tiệm cận ngang: y = x→−∞ 0,25 x→+∞ lim y = −∞; lim y = +∞; tiệm cận đứng: x = x→1+ x→1− - Bảng biến thiên: x −∞ y y Điểm P P − +∞ − +∞ P PP PP PP q P 0,25 PP PP q −∞ • Đồ thò: y   ✆ 0,25 ✄ ✂ O −2 −2 ✁ ✝ x ☎ b) (1,0 điểm) M ∈ (C) ⇒ M a; a+2 , a = a−1 0,25 a+2 a+ √a − Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x d = √ a2 − 2a + = d = ⇔ |a2 + 2| = 2|a − 1| ⇔ a2 + 2a = • a2 − 2a + = 0: phương trình vô nghiệm a=0 • a2 + 2a = ⇔ Suy tọa độ điểm M cần tìm là: M (0; −2) M (−2; 0) a = −2 0,25 0,25 0,25 Đáp án Câu Phương trình cho tương đương với (1,0đ) ⇔ (sin x − 2)(2 cos x − 1) = sin x + cos x = + sin x cos x • sin x − = 0: phương trình vô nghiệm π • cos x − = ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z) π Nghiệm phương trình cho là: x = ± + k2π (k ∈ Z) 3 Phương trình hoành độ giao điểm đường cong y = x − x + đường thẳng x=1 (1,0đ) y = 2x + x2 − x + = 2x + ⇔ x = Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Diện tích hình phẳng cần tìm S = |x2 − 3x + 2|dx 0,25 x3 3x2 − + 2x (x2 − 3x + 2)dx = = 0,25 1 = 0,25 3a + b = a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết suy a−b=5 (1,0đ) ⇔ a = 2, b = −3 Do số phức z có phần thực 2, phần ảo −3 0,25 0,25 b) Số phần tử không gian mẫu là: C 416 = 1820 0,25 Số kết thuận lợi cho biến cố “4 thẻ đánh số chẵn” là: C 48 = 70 70 Xác suất cần tính p = = 1820 26 0,25 Gọi M giao điểm d (P ), suy M (2 + t; −2t; −3 + 3t) 0,25 Do M ; −3; 2 − → − → d có vectơ phương u = (1; −2; 3), (P ) có vectơ pháp tuyến n = (2; 1; −2) → − Mặt phẳng (α) cần viết phương trình có vectơ pháp tuyến [ − u,→ n ] = (1; 8; 5) 0,25 Ta có A(2; 0; −3) ∈ d nên A ∈ (α) Do (α) : (x − 2) + 8(y − 0) + 5(z + 3) = 0, nghóa (α) : x + 8y + 5z + 13 = 0,25 (1,0đ) M ∈ (P ) suy 2(2 + t) + (−2t) − 2(−3 + 3t) − = ⇔ t = (1,0đ) Gọi H trung điểm AB, suy √ SH ⊥ (ABCD) Do SH ⊥ HD Ta có SH = SD − DH = SD − (AH + AD ) = a S B ✍ E ✟ ✠ ✌ H ☛ ✞ A a3 SH.SABCD = 3 Gọi K hình chiếu vuông góc H BD E hình chiếu vuông góc H SK Ta có BD ⊥ HK BD ⊥ SH, nên BD ⊥ (SHK) Suy BD ⊥ HE Mà HE ⊥ SK, HE ⊥ (SBD) √ a Ta có HK = HB sin KBH = HS.HK a Suy HE = √ = 2 HS + HK 2a Do d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE = Suy V S.ABCD = ☞ K ✡ D C 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đáp án √ Ta có M N = 10 Gọi a độ dài cạnh của√ hình vuông ABCD, I C 3AC 3a a (1,0đ) D = , a > Ta có AM = AN = 4 5a2 N nên M N = AM + AN − 2AM.AN cos M AN = 5a Do = 10, nghóa a = Gọi I(x; y) trung điểm CD Ta có IM = AD = BD √ A M B = 2, nên ta có hệ phương trình IN = x = 1; y = −2 (x − 1)2 + (y − 2)2 = 16 ⇔ 17 (x − 2)2 + (y + 1)2 = x= ;y = − 5 −−→ • Với x = 1; y = −2 ta có I(1; −2) IM = (0; 4) −−→ Đường thẳng CD qua I có vectơ pháp tuyến IM, nên có phương trình y + = Câu ✒ ✕ Điểm ✑ ✔ 0,25 ✖ ✎ ✓ ✏ 17 17 −−→ 12 16 ; y = − ta có I ;− IM = − ; 5 5 5 −−→ Đường thẳng CD qua I có vectơ pháp tuyến IM, nên có phương trình 3x−4y−15 = • Với x = (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 √ x 12 − y + √ √ y(12 − x2 ) = 12 (1) Điề u kiệ n : −2 ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 √ x3 − 8x − = y − (2) √ x2 + 12 − y y + 12 − x2 Ta có x 12 − y ≤ y(12 − x2 ) ≤ 2 √ x≥0 nên x 12 − y + y(12 − x ) ≤ 12 Do (1) ⇔ y = 12 − x2 √ √ Thay vào (2) ta x3 − 8x − = 10 − x2 ⇔ x3 − 8x − + 2(1 − 10 − x2 ) = 2(x + 3) √ ⇔ (x − 3) x2 + 3x + + = (3) + 10 − x2 Do x ≥ nên x2 + 3x + + 2(x + 3) √ > + 10 − x2 Do (3) ⇔ x = Thay vào hệ đối chiếu điều kiện ta nghiệm: (x; y) = (3; 3) Ta có ≤ (x − y − z)2 = x2 + y + z − 2xy − 2xz + 2yz = 2(1 − xy − xz + yz), (1,0đ) nên x2 + yz + x + = x(x + y + z + 1) + (1 − xy − xz + yz) ≥ x(x + y + z + 1) x2 x Suy ≤ x + yz + x + x+y+z+1 Mặc khác, (x + y + z) = x2 + y + z + 2x(y + z) + 2yz = + 2yz + 2x(y + z) x+y+z (x + y + z)2 ≤ + 2yz + [x2 + (y + z)2 ] = 4(1 + yz) Do P ≤ − x+y+z+1 36 Đặt t = x + y + z, suy t ≥ t = (x + y + z)2 = (x2 +√ y + z ) + 2xy + 2yz + 2zx ≤ + (x2 + y ) + (y + z ) + (z + x2 ) = Do ≤ t ≤ √ t t2 Xét f (t) = − , với ≤ t ≤ t + 36 t (t − 2)(t2 + 4t + 9) Ta có f (t) = − = − , nên f (t) = ⇔ t = (t + 1)2 18 18(t + 1)2 √ √ √ 31 Ta có f (0) = 0; f (2) = f ( 6) = − , nên f (t) ≤ ≤ t ≤ 30 5 Do P ≤ Khi x = y = z = P = Do giá trò lớn P 9 −−−−−−Hết−−−−−− 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Câu a) (1,0 điểm) (2,0đ) Với m = 1, hàm số trở thành: y = x − 3x + • Tập xác đònh: D = R • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y = 3x2 − 3; y = ⇔ x = ±1 0,25 Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) (1; +∞); khoảng nghòch biến: (−1; 1) - Cực trò: Hàm số đạt cực đại x = −1, y CĐ = 3; đạt cực tiểu x = 1, y CT = −1 - Giới hạn vô cực: lim y = −∞; lim y = +∞ x→−∞ Điểm 0,25 x→+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ y y −∞ −1 + − ✶ PP ✏ ✏✏ PP ✏ PP q ✏✏ −1 • Đồ thò: +∞ + ✶ +∞ ✏ ✏✏ ✏ ✏✏ 0,25 y ✁ ✂ 0,25 ✞ ✄ ✝ ✆ −1 O −1   x ☎ b) (1,0 điểm) Ta có y = 3x2 − 3m Đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò ⇔ phương trình y = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > √ √ √ √ Tọa độ điểm cực trò B, C B(− m; m3 + 1), C( m; −2 m3 + 1) √ √ −−→ Suy BC = (2 m; −4 m3 ) − → −−→ Gọi I trung điểm BC, suy I(0; 1) Ta có tam giác ABC cân A ⇔ AI.BC = √ √ ⇔ −4 m + m3 = ⇔ m = m = Đối chiếu điều kiện tồn cực trò, ta giá trò m cần tìm m = 0,25 0,25 0,25 0,25 Đáp án Câu √ Phương trình cho tương đương với sin x cos x − 2 cos x + √ √ (1,0đ) ⇔ (sin x − 2)(2 cos x + 2) = √ • sin x − = 0: phương trình vô nghiệm √ 3π • cos x + = ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z) 3π + k2π (k ∈ Z) Nghiệm phương trình cho là: x = ± Ta có I = (1,0đ) x2 + 3x + dx = x2 + x Điểm sin x − = 0,25 0,25 0,25 0,25 2x + dx x2 + x dx + 1 √ 0,25 • 0,25 dx = 1 2x + dx = ln |x2 + x| x2 + x • 0,25 1 = ln Do I = + ln 0,25 a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết suy (1,0đ) √ ⇔ a = 2, b = Do môđun z 13 5a − 3b = 3a + b = 0,25 0,25 b) Số phần tử không gian mẫu là: C 312 = 220 Số cách chọn hộp sữa có đủ loại 5.4.3 = 60 Do xác suất cần tính p = 0,25 60 = 220 11 → Vectơ phương d − u = (2; 2; −1) (1,0đ) → Mặt phẳng (P ) cần viết phương trình mặt phẳng qua A nhận − u làm vectơ pháp tuyến, nên (P ) : 2(x − 1) + 2(y − 0) − (z + 1) = 0, nghóa (P ) : 2x + 2y − z − = Gọi H hình chiếu vuông góc A d, suy H(1 + 2t; −1 + 2t; −t) A ✡ ✍ B K ✑ ✟ A ✏ I ✎ ☛ H ✠ B Gọi H trung điểm AB, suy A H ⊥ (ABC) 3a A CH = 60◦ Do A H = CH tan A CH = C Thể tích khối lăng trụ V ABC.A B C = A H.S∆ABC ✌ ☞ C √ 3 a3 = Gọi I hình chiếu vuông góc H AC; K hình chiếu vuông góc H A I Suy HK = d(H, (ACC A )) √ 3a , Ta có HI = AH sin IAH = √ 1 52 13 a = + = , suy HK = HK HI HA 9a 26 √ 13 a Do d(B, (ACC A )) = 2d(H, (ACC A )) = 2HK = 13 0,25 0,25 0,25 1 Ta có H ∈ (P ), suy 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) − (−t) − = ⇔ t = Do H ; − ; − 3 3 (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đáp án Câu (1,0đ) B E ✚ ✛ ✓ M ✔ G I ✗ F ✙ ✘ ✒ ✖ A ✕ H D Điểm Gọi E F giao điểm HM HG −−→ −−→ −−→ − −→ C với BC Suy HM = M E HG = 2GF , Do E(−6; 1) F (2; 5) −−→ Đường thẳng BC qua E nhận EF làm vectơ phương, nên BC : x − 2y + = Đường thẳng −−→ BH qua H nhận EF làm vectơ pháp tuyến, nên BH : 2x + y + = Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ x − 2y + = phương trình Suy B(−2; 3) 2x + y + = Do M trung điểm AB nên A(−4; −3) −→ −→ Gọi I giao điểm AC BD, suy GA = 4GI Do I 0; Do I trung điểm đoạn BD, nên D(2; 0) √ √ (1 − y) x − y + x = + (x − y − 1) y (1) √ √ (1,0đ) 2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − (2) 1 + √ x−y+1 1+ y 1 y=1 + √ > nên (3) ⇔ y = x − x−y+1 1+ y • Với y = 1, phương trình (2) trở thành − 3x = ⇔ x = • Với y = x − √ 1, điều kiện (∗) trở thành ≤ x ≤ 2.√Phương trình (2) trở thành 2x2 − x − = − x ⇔ 2(x2 − x − 1) + (x − − − x) = √ ⇔ (x2 − x − 1) + =0 x−1+ 2−x √ 1± ⇔ x −x−1 = ⇔ x = Đối chiếu điều kiện (∗) kết hợp trường hợp trên, ta √ √ + −1 + nghiệm (x; y) hệ cho (3; 1) ; 2 a 2a ≥ b+c a+b+c 2(a + b) c 2(a + b) a+b+c Do P ≥ + = + − a + b + c 2(a + b) a+b+c 2(a + b) ≥2− = 2 Khi a = 0, b = c, b > P = 0,25 0,25 = (3) Do √ Ta có a + b + c ≥ a(b + c) Suy (1,0đ) b 2b Tương tự, ≥ a+c a+b+c 0,25 0,25   y≥0 Điều kiện: x ≥ 2y (∗)  4x ≥ 5y + √ √ Ta có (1) ⇔ (1 − y)( x − y − 1) + (x − y − 1)(1 − y) = ⇔ (1 − y)(x − y − 1) √ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 Do giá trò nhỏ P 2 −−−−−−Hết−−−−−− 0,25 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối D (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Câu a) (1,0 điểm) (2,0đ) • Tập xác đònh D = R • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y = 3x2 − 3; y = ⇔ x = ±1 0,25 Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) (1; +∞); khoảng nghòch biến: (−1; 1) - Cực trò: Hàm số đạt cực đại x = −1, y CĐ = 0; đạt cực tiểu x = 1, y CT = −4 - Giới hạn vô cực: lim y = −∞; lim y = +∞ x→−∞ Điểm 0,25 x→+∞ - Bảng biến thiên: x −∞ y y • Đồ thò: −∞ −1 + − ✶ PP ✏ ✏✏ PP ✏ Pq P ✏✏ −4 0,25 ✶ +∞ ✏ ✏✏ ✏ ✏✏ y ✁ −1 +∞ + ✄ ✂ ✆ ✝   x O 0,25 −2 ✞ −4 ☎ b) (1,0 điểm) M ∈ (C) ⇒ M (a; a3 − 3a − 2) 0,25 Hệ số góc tiếp tuyến M ⇔ y (a) = 0,25 ⇔ 3a2 − = ⇔ a = ±2 0,25 Tọa độ điểm M thỏa mãn yêu cầu toán M (2; 0) M (−2; −4) 0,25 Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết ta [3(a + bi) − (a − bi)](1 + i) − 5(a + bi) = 8i − (1,0đ) 3a + 4b = ⇔ 2a − b = a=3 ⇔ b = −2 √ Do môđun z 32 + (−2)2 = 13 0,25 0,25 0,25 0,25 Đáp án Câu Điểm π I = (x + 1) sin 2x dx Đặt u = x + dv = sin 2xdx, suy du = dx v = − cos 2x (1,0đ) π π 4 cos 2xdx Ta có I = − (x + 1) cos 2x + 20 = − (x + 1) cos 2x = π + sin 2x π 0,25 0,25 0,25 0,25 x−1 = −2 a) Điều kiện: x > Phương trình cho tương đương với log 3x − (1,0đ) x−1 = ⇔ x = ⇔ 3x − Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm phương trình cho x = b) Số đường chéo đa giác n đỉnh C 2n − n = Từ giả thiết ta có phương trình n(n − 3) = 27 ⇔ n(n − 3) n=9 n = −6 0,25 0,25 0,25 0,25 Do n ∈ N n ≥ nên ta giá trò n cần tìm n = (1,0đ) Mặt cầu (S) có tâm I(3; 2; 1) bán kính R = Ta có khoảng cách từ I đến (P ) d(I, (P )) = |6.3 + 3.2 − 2.1 − 1| = < R 62 + 32 + (−2)2 0,25 0,25 Do (P ) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Tâm (C) hình chiếu vuông góc H I (P ) Đường thẳng ∆ qua I vuông góc x−3 y−2 z−1 với (P ) có phương trình = = Do H ∈ ∆ nên H(3 + 6t; + 3t; − 2t) −2 3 13 Ta có H ∈ (P ), suy 6(3+6t)+3(2+3t)−2(1−2t)−1 = ⇔ t = − Do H ; ; 7 7 (1,0đ) BC a Gọi H trung điểm BC, suy AH = = , 2 √ 3a a2 SH ⊥ (ABC), SH = S∆ABC = BC.AH = 2 √ 3a Thể tích khối chóp V S.ABC = SH.S∆ABC = 24 S ☛ ✌ B ✠ K ✟ A ☞ H Gọi K hình chiếu vuông góc H SA, suy HK ⊥ SA Ta có BC ⊥ (SAH) nên BC ⊥ HK Do HK đường vuông góc chung BC SA 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ✡ C Ta có Do 1 16 = + = HK SH AH 3a √ 3a d(BC, SA) = HK = 0,25 Đáp án Câu (1,0đ) Điểm 3x + 2y − = x + 2y − = Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình A Suy A(1; 3) ✏ ✍ ✑ ✎ ✒ E B D C Gọi ∆ tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E giao điểm ∆ với đường thẳng BC (do AD không vuông góc với ∆ nên E tồn ta giả sử EB < EC) Ta có EAB = ACB BAD = DAC, suy EAD = EAB + BAD = ACB + DAC = ADE Do đó, tam giác ADE cân E E giao điểm ∆ với đường trung trực đoạn AD, nên x + 2y − = tọa độ điểm E thỏa mãn hệ phương trình y − = Suy E(5; 1) −−→ Đường thẳng BC qua E nhận DE = (4; 2) làm vectơ phương, nên BC : x − 2y − = Điều kiện: x ≥ −2 Bất phương trình cho tương đương với √ √ (1,0đ) (x + 1)( x + − 2) + (x + 6)( x + − 3) − (x2 + 2x − 8) ≥ ⇔ (x − 2) √ x+1 x+6 +√ − x − ≥ (1) x+2+2 x+7+3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Do x ≥ −2 nên x + ≥ x + > Suy x+6 x+2 x+2 x+1 √ +√ −x−4= √ − + x+2+2 x+7+3 x+2+2 x+6 x+6 √ −√ − < x+7+3 x+2+2 Do (1) ⇔ x ≤ 0,25 Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm bất phương trình cho là: −2 ≤ x ≤ 0,25 Do ≤ x ≤ nên (x − 1)(x − 2) ≤ 0, nghóa x + ≤ 3x Tương tự, y + ≤ 3y (1,0đ) x + 2y y + 2x x+y Suy P ≥ + + = + 3x + 3y + 3y + 3x + 4(x + y − 1) x + y + 4(x + y − 1) t + , với ≤ t ≤ Đặt t = x + y, suy ≤ t ≤ Xét f (t) = t + 4(t − 1) 1 Ta có f (t) = − Suy f (t) = ⇔ t = (t + 1)2 4(t − 1)2 Mà f (2) = 11 53 ; f (3) = ; f (4) = nên f (t) ≥ f (3) = 12 60 Khi x = 1, y = P = 7 Vậy giá trò nhỏ P 8 −−−−−−Hết−−−−−− Do P ≥ 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu lạc Thủ khoa _Tư lớn, thành tích cao CÙNG THƯ GIÃN CHÚT TRƯỚC KHI BƯỚC VÀO LUYỆN ĐỀ Kết thi đại học Sau kì thi đại học vừa qua, phóng viên có vấn số thí sinh tham dự kì thi Phóng viên: Bạn đánh giá đề thi năm nay? Thí sinh 1: - Năm ngối em khơng may mắn cho lắm, em thiếu có nửa điểm (12/24 điểm) Phóng viên (hơi chống): Vậy năm bạn tiếp tục? Thí sinh 1: - Vâng! Nói chung đề năm dễ, riêng đề tốn cần học thuộc đầy đủ cơng thức làm hết Cá nhân em làm sai câu câu lại em khơng làm Phóng viên: *#* ^~^ *#* !!!!!? Tiếp tục hỏi thí sinh thứ 2: Bạn đánh giá đề thi năm nay? Thí sinh 2: - Nói chung đề thi năm tương đối dễ đọc, em vừa chép hết đề hết Phóng viên: !!! Tiếp tục hỏi thí sinh thứ 3: Bạn đánh giá đề thi năm nay? Thí sinh 3: - Đề thi năm tương đối dễ em thấy bạn bảo Phóng viên: Thế thân em nào? Thí sinh 3: - Em thấy dễ, em vừa trượt tốt nghiệp xem bạn thi đại học Phóng viên: Ngơ ngác :) Tiếp tục hỏi thí sinh thứ 4: Bạn đánh giá đề thi năm nay? Đó chuyện thi năm ngối Còn năm tới đề thi thú vị nhiều Các bạn chịu khó luyện đề học thật "Trên đường thành cơng khơng có dấu chân kẻ lười biếng." Thí sinh 4: Phóng viên: xỉu!!!! 52 | NÀO HÃY BẮT ĐẦU! ... kiệ n : 2 ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 √ x3 − 8x − = y − (2) √ x2 + 12 − y y + 12 − x2 Ta có x 12 − y ≤ y( 12 − x2 ) ≤ 2 √ x≥0 nên x 12 − y + y( 12 − x ) ≤ 12 Do (1) ⇔ y = 12 − x2 √ √ Thay vào (2) ta x3... M a; a +2 , a = a−1 0 ,25 a +2 a+ √a − Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x d = √ a2 − 2a + = d = ⇔ |a2 + 2| = 2| a − 1| ⇔ a2 + 2a = • a2 − 2a + = 0: phương trình vô nghiệm a=0 • a2 + 2a = ⇔... = ± + k2π (k ∈ Z) 3π + k2π (k ∈ Z) Nghiệm phương trình cho là: x = ± Ta có I = (1,0đ) x2 + 3x + dx = x2 + x Điểm sin x − = 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 2x + dx x2 + x dx + 1 √ 0 ,25 • 0 ,25 dx = 1 2x + dx