Toán Hàm Số tiep tuyen

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng KSHS 04: TIẾP TUYẾN A Kiến thức • Ý nghĩa hình học đạo hàm: Đạo hàm hàm số y = f (x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số điểm M0 ( x0; f (x0)) Khi phương trình tiếp tuyến (C) điểm M0 ( x0; f (x0)) là: y – y0 = f ′(x0).(x – x0) ( y0 = f (x0)) • Điều kiện cần đủ để hai đường (C 1): y = f (x) (C2): y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x) = g(x)  f '(x) = g'(x) (*)  Nghiệm hệ (*) hồnh độ tiếp điểm hai đường • Nếu (C1) : y = px + q (C2): y = ax2 + bx + c (C1) (C2) tiếp xúc ⇔ phương trình ax2 + bx + c = px + q có nghiệm kép B Một số dạng câu hỏi thường gặp Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): y = f (x) điểm M (x0; y0) ∈ (C ) : • Nếu cho x0 tìm y0 = f (x0) Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình f (x) = y0 • Tính y′ = f ′(x) Suy y′(x0) = f ′(x0) • Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y – y0 = f ′(x0).(x – x0) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): y = f (x) , biết ∆ có hệ số góc k cho trước Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm • Gọi M (x0; y0) tiếp điểm Tính f ′(x0) • ∆ có hệ số góc k ⇒ f ′(x0) = k (1) • Giải phương trình (1), tìm x0 tính y0 = f (x0) Từ viết phương trình ∆ Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m • ∆ tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x) = kx + m (*)  f '(x) = k  • Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình ∆ Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến ∆ cho gián tiếp sau: + ∆ tạo với trục hồnh góc α k = tana + ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b k = a + ∆ vng góc với đường thẳng d : y = ax + b (a ≠ 0) k = − a k − a + ∆ tạo với đường thẳng d : y = ax + b góc α = tanα 1+ ka Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): y = f (x) , biết ∆ qua điểm A(xA; yA) Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm • Gọi M (x0; y0) tiếp điểm Khi đó: y0 = f (x0), y′(x0) = f ′(x0) • Phương trình tiếp tuyến ∆ M: y – y0 = f ′(x0).(x – x0) • ∆ qua A(xA; yA ) nên: yA – y0 = f ′(x0).(xA – x0) (2) • Giải phương trình (2), tìm x0 Từ viết phương trình ∆ Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc Trang 54 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng • Phương trình đường thẳng ∆ qua A(xA; yA) có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA ) • ∆ tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:  f (x) = k(x − xA ) + yA   f '(x) = k (*) • Giải hệ (*), tìm x (suy k) Từ viết phương trình tiếp tuyến ∆ Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): y = f (x) , biết ∆ tạo với trục Ox góc α • Gọi M (x0; y0) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k = f ′(x0) • ∆tạo với trục Ox góc α⇔f ′(x0) = tana Giải phương trình tìm x0 • Phương trình tiếp tuyến ∆ M: y – y0 = f ′(x0).(x – x0) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): y = f (x) , biết ∆ tạo với đường thẳng d: y = ax + b góc α • Gọi M (x0; y0) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k = f ′(x0) k− a = tanα Giải phương trình tìm x0 1+ ka • Phương trình tiếp tuyến ∆ M: y – y0 = f ′(x0).(x – x0) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C): y = f (x) , biết ∆ cắt hai trục toạ độ A B • ∆tạo với d góc α⇔ cho tam giác OAB vng cân có diện tích S cho trước • Gọi M (x0; y0) tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc k = f ′(x0) • ∆OAB vng cân ⇔∆tạo với Ox góc 450 O ∉∆ (a) = 2S • S∆OAB = S ⇔ OAOB (b) • Giải (a) (b) tìm x0 Từ viết phương trình tiếp tuyến ∆ Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị (C1) : y = f (x), (C2) : y = g(x) a) Gọi ∆: y = ax + b tiếp tuyến chung (C1) (C2) u hồnh độ tiếp điểm ∆ (C1), v hồnh độ tiếp điểm ∆ (C2) • ∆ tiếp xúc với (C1) (C2) hệ sau có nghiệm:  f (u) = au + b (1)  f '(u) = a (2)  g(v) = av + b (3)  (4)  g'(v) = a • Từ (2) (4) ⇒ f ′(u) = g′(v) ⇒ u = h(v) • Thế a từ (2) vào (1) ⇒ b = k(u) (5) (6) • Thế (2), (5), (6) vào (3) ⇒ v ⇒ a ⇒ u ⇒ b Từ viết phương trình ∆ b) Nếu (C1) (C2) tiếp xúc điểm có hồnh độ x0 tiếp tuyến chung (C1) (C2) tiếp tuyến (C1) (và (C2)) điểm Tìm điểm đồ thị (C): y = f (x) cho tiếp tuyến (C) song song vng góc với đường thẳng d cho trước • Gọi M (x0; y0) ∈ (C) ∆ tiếp tuyến (C) M Tính f ′(x0) f ′(x0) = kd • Vì ∆ // d nên (1) ∆ ⊥ d nên f ′(x0) = − kd (2) • Giải phương trình (1) (2) tìm x0 Từ tìm M (x0; y0) ∈ (C) 10 Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f (x) Giả sử d : ax + by + c = M (xM ; yM )∈ d • Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM ) + yM Trang 55 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số • ∆ tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:  f (x) = k(x − xM ) + yM   f '(x) = k (1) (2) • Thế k từ (2) vào (1) ta được: f (x) = (x – xM ) f ′(xM ) + yM (3) • Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3) 11 Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f (x) tiếp tuyến vng góc với Gọi M (xM ; yM ) • Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM ) + yM • ∆ tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:  f (x) = k(x − xM ) + yM   f '(x) = k (1) (2) f (x) = (x – xM ) f ′(xM ) + yM (3) • Thế k từ (2) vào (1) ta được: • Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) ⇔ (3) có nghiệm phân biệt x1, x2 • Hai tiếp tuyến vng góc với ⇔ f ′(x1) f ′(x2) = –1 Từ tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục (3) có2 nghiệ m phâ n biệ t hồnh  f (x ) f (x ) <  Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d Trang 56 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Cho hàm số y = 2x3 − 3x2 + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ Câu • Giả sử M (x0; y0) ∈ (C ) ⇒y0 = 2x03 − 3x02 + Ta có: y′ = 3x2 − 6x PTTT ∆tại M: y = (6x02 − 6x0)(x − x0) + 2x03 − 3x02 + ∆đi qua P(0;8) ⇔8 = −4x03 + 3x02 + ⇔x0 = −1 Vậy M(−1; −4) Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Câu • Giả sử A(a; a3 − 3a2 + 1), B(b; b3 − 3b2 + 1) thuộc (C), với a ≠ b Vì tiếp tuyến (C) A B song song với nên: y′(a) = y ′(b) ⇔ 3a2 − 6a = 3b2 − 6b ⇔ a2 − b2 − 2(a − b) = ⇔ (a − b)(a + b − 2) = ⇔ a + b − = ⇔ b = − a Vì a ≠ b nên a ≠ − a ⇔ a ≠ Ta có: AB = (b − a)2 + (b3 − 3b2 + 1− a3 + 3a2 − 1)2 = (b − a)2 + (b3 − a3 − 3(b2 − a2))2 = (b − a)2 + (b − a)3 + 3ab(b − a) − 3(b − a)(b + a) = (b − a)2 + (b − a)2 (b − a)2 + 3ab − 3.2 2 2 2 = (b − a)2 + (b − a)2 (b + a)2 − ab − 6 = (b − a) + (b − a) (−2 − ab) AB2 = (b − a)2 1+ (−2 − ab)2  = (2 − 2a)2 1+ (a2 − 2a − 2)2  2  = 4(a − 1)2 1+ (a − 1)2 − 3  = 4(a − 1)2 (a − 1)4 − 6(a − 1)2 + 10 = 4(a − 1)6 − 24(a − 1)4 + 40(a − 1)2 Mà AB = nên 4(a − 1)6 − 24(a − 1)4 + 40(a − 1)2 = 32 ⇔ (a − 1)6 − 6(a − 1)4 + 10(a − 1)2 − = (*) Đặt t = (a − 1)2, t > Khi (*) trở thành:  a = ⇒ b = −1 t3 − 6t2 + 10t − = ⇔ (t − 4)(t2 − 2t + 2) = ⇔ t = ⇒(a − 1) = ⇔  a = −1⇒ b =  Vậy điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(−1; −3) Câu hỏi tương tự: a) Với y = x3 − 3x2 + 2; AB = ĐS: A(3;2), B(−2; −2) Cho hàm số y = f (x) = x3 + 6x2 + 9x + (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm tất giá trị k, để tồn tiếp tuyến với (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục O x, Oy tương ứng A B cho OA = 2011.OB • PTTT (C) có dạng: y = kx + m Hồnh độ tiếp điểm x0 nghiệm phương trình: Câu f ′(x0) = k ⇔ 3x02 + 12x0 + − k = (1) Để tồn tiếp tuyến phân biệt phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt Trang 57 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số ⇔∆′ = + 3k > ⇔ k > −3 (2) ⇒Toạ độ tiếp điểm (x0; y0) tiếp tuyến nghiệm hệ:  y = x3 + 6x2 + 9x +  y = k − x + 2k − 0 ⇔ 3  02 x + 12 x + = k 3x + 12x + = k  0  k− 2k − x+ 3 Do d cắt trục Ox, Oy tương ứng A B cho: OA = 2011.OB nên xảy ra: + Nếu A ≡ O B ≡ O Khi d qua O ⇒k = OB k− + Nếu A ≠ O ∆OAB vng O Ta có: tan·OAB = = 2011 ⇒ = ±2011 OA ⇒k = 6039 (thoả (2)) k = −6027 (khơng thoả (2)) Vậy: k = ; k = 6039 ⇒Phương trình đường thẳng d qua tếp điểm là: y = Cho hàm số y = x3 + (1− 2m)x2 + (2 − m)x + m+ (1) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = 2) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + = Câu góc α , biết cosα = 26 r • Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có VTPT n1 = (k; −1) r Đường thẳng d có VTPT n2 = (1;1) r r n1.n2 k−1 = ⇔ 12k2 − 26k + 12 = ⇔ k = ∨ k = Ta có cosα = r r ⇔ n1 n2 26 k2 + YCBT thoả mãn ⇔ hai phương trình sau có nghiệm:  ′  y = 3x + 2(1− 2m)x + − m= ⇔   y ′= 3x2 + 2(1− 2m)x + − m=   3  /  2 ⇔  ∆ ≥ ⇔ 8m − 2m− 1≥ /  4m − m− ≥  ∆ ≥  1  m≤ − 4; m≥ 1 ⇔ ⇔ m≤ − m≥  m≤ − ; m≥  Câu hỏi tương tự: a) Với y = x − 3mx + 2; d : x + y + = 0; cosα = Câu 26 ĐS: m≥ − Cho hàm số y = f (x) = mx3 + (m− 1)x2 + (4 − 3m)x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm giá trị m cho đồ thị (C m) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x + 2y − = • (d) có hệ số góc − ⇒ tiếp tuyến có hệ số góc k = Gọi x hồnh độ tiếp điểm thì: f '(x) = ⇔ mx2 + 2(m− 1)x + (4 − 3m) = ⇔ mx2 + 2(m− 1)x + − 3m= YCBT ⇔ (1) có nghiệm âm Trang 58 (1) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số + Nếu m= (1) ⇔ −2x = −2 ⇔ x = (loại) Trần Sĩ Tùng − 3m m + Nếu m≠ dễ thấy phương trình (1) có nghiệm x = hay x= Do để (1) có nghiệm âm Vậy m< hay m> Câu − 3m < ⇔ m< hoặ c m> m 3 Cho hàm số y = mx3 + (m− 1)x2 + (4m− 3)x + (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m= 2) Tìm giá trị m cho (Cm) tồn hai điểm có hồnh độ dương mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x + 2y − = • Ta có: y′ = mx2 + 2(m− 1)x + − 3m; d : y = − x + YCBT ⇔phương trình y′ = có nghiệm dương phân biệt ⇔mx2 + 2(m− 1)x + − 3m= có nghiệm dương phân biệt  m≠   ∆′ >  < m< ⇔ ⇔ S >   < m<  P >    1 2  2  3 Vậy m∈  0; ÷∪  ; ÷ Cho hàm số y = x3 − mx + m− (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m= 2) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (Cm) điểm M có hồnh độ x = −1 cắt đường tròn (C) có phương trình (x − 2)2 + (y − 3)2 = theo dây cung có độ dài nhỏ Câu • Ta có: y′ = 3x2 − m ⇒y′(−1) = 3− m; y(−1) = 2m− (C) có tâm I (2;3) , R = PTTT d M (−1;2m− 2) : y = (3− m)x + m+ ⇔(3− m)x − y + m+ 1= d(I ,d) = 4− m = 1+ (3− m) ≤ (3− m)2 + = 2< R (3− m)2 + (3− m)2 + (3− m)2 + Dấu "=" xảy ⇔m= Dó d(I ,d) đạt lớn ⇔m= Tiếp tuyến d cắt (C) điểm A, B cho AB ngắn ⇔d(I ,d) đạt lớn ⇔m= Khi đó: PTTT d: y = x + Câu hỏi tương tự: 5 a) y = x3 − mx + m− 1; xM = 1;(C):(x − 2)2 + (y − 3)2 = ĐS: m= 1; m= Cho hàm số y = 3x − x3 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng (d): y = − x điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) • Gọi M (m; −m) ∈ d PT đường thẳng ∆qua M có dạng: y = k(x − m) − m Câu 3x − x3 = k(x − m) − m (1) (2) 3− 3x = k ∆là tiếp tuyến (C) ⇔hệ PT sau có nghiệm:  Thay (2) vào (1) ta được: 2x3 − 3mx2 + 4m= ⇔m= Trang 59 2x3 3x2 − (**) (*) Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Từ M kẻ tiếp tuyến với (C) ⇔(**) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f (x) = f ′(x) = 6x − 24x 2 (3x − 4) 2x3 3x −  3  ;   Tập xác định D = R \ − x = ; f ′(x) = ⇔   x = ±2  m= −2 Vậy: M(−2;2) M(2; −2)  m= Dựa vào BBT, (**) có nghiệm phân biệt ⇔ Cho hàm số y = x3 − 3x + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng d : y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến với (C) • Gọi M (m;4)∈ d PT đường thẳng ∆qua M có dạng: y = k(x − m) + Câu  x3 − 3x + = k(x − m) + 3x − = k ∆là tiếp tuyến (C) ⇔hệ PT sau có nghiệm:  Thay (2) vào (1) ta được: (x + 1) 2x2 − (3m+ 2)x + 3m+ 2 =  x = −1 2x − (3m+ 2)x + 3m+ = ⇔ (1) (2) (*) (3) (4) YCBT ⇔(3) có nghiệm phân biệt + TH1: (4) có nghiệm phân biệt, có nghiệm –1 ⇔m= −1 + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔m= − ∨ m=   Vậy điểm cần tìm là: (−1;4) ;  − ;4÷; (2;4)   Câu 10 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (m− 1)x + 2m (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m= 2) Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ tiếp tuyến với (Cm) • PT đường thẳng ∆qua M có dạng: y = k(x − 1) + ∆là tiếp tuyến (Cm) ⇔hệ PT sau có  x3 − 2x2 + (m− 1)x + 2m= k(x − 1) + nghiệm:  3x − 4x + m− 1= k ⇒f (x) = 2x3 − 5x2 + 4x − 3(m− 1) = (*) Để qua M kẻ hai tiếp tuyến đến (Cm) (*) có nghiệm phân biệt  109  ⇒Các điểm cực trị (Cm) là: A(1;4 − 3m), B ; − 3m÷  27   m=   A ∈ Ox ⇔ Do (*) có nghiệm phân biệt ⇔ B ∈ Ox 109   m=  81 Ta có f ′(x) = 6x2 − 10x + ⇒ f ′(x) = ⇔ x = 1; x = Câu 11 Cho hàm số y = − x3 + 3x2 − (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) • Gọi M (m;2) ∈ (d) PT đường thẳng ∆ qua điểm M có dạng : y = k(x − m) + Trang 60 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng − x + 3x − = k(x − m) + 2  −3x + 6x = k ∆ tiếp tuyến (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm  (1) (2) (*) Thay (2) (1) ta được: 2x3 − 3(m+ 1)x2 + 6mx − = ⇔ (x − 2) 2x2 − (3m− 1)x + 2 = x = 2  f (x) = 2x − (3m− 1)x + = (3) ⇔ Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) ⇔ hệ (*) có nghiệm x phân biệt   ∆ > ⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt khác ⇔  ⇔ m< −1 ∨ m>  f (2) ≠ m≠    m< −1 ∨ m> Vậy từ điểm M(m; 2) ∈ (d) với  kẻ tiếp tuyến với (C)  m≠ Câu hỏi tương tự: a) y = − x + 3x − 2, d ≡ Ox  m> ĐS: M (m;0) với  −1≠ m< −   Dạng 2: Tiếp tuyến đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c Câu 12 Cho hàm số y = f (x) = x4 − 2x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện đối Trang 61 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số với a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với • Ta có: f '(x) = 4x3 − 4x Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B kA = f '(a) = 4a3 − 4a, kB = f '(b) = 4b3 − 4b Tiếp tuyến A, B có phương trình là: y = f ′(a)(x − a) + f (a) ⇔ y = f ′(a)x + f (a) − af ′(a) y = f ′(b)(x − b) + f (b) ⇔ y = f ′(b)x + f (b) − bf ′(b) Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi: (1) kA = kB ⇔ 4a3 − 4a = 4b3 − 4b ⇔ (a − b)(a2 + ab + b2 − 1) = Vì A B phân biệt nên a ≠ b, (1) ⇔ a2 + ab + b2 − 1= (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng khi: a2 + ab + b2 − 1= a2 + ab + b2 − 1= ⇔ (a ≠ b) ⇔  4 −3a + 2a = −3b + 2b  f (a) − af ′(a) = f (b) − bf ′(b) Giải hệ ta nghiệm (a; b) = (−1;1) (a; b) = (1; −1) , hai nghiệm tương ứng với cặp điểm đồ thị (−1; −1) (1; −1) Vậy điều kiện cần đủ để hai tiếp tuyến (C) A B song song với là:  a2 + ab + b2 − 1=   a ≠ ±1; a ≠ b Câu 13 Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m (1) , m tham số 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ 3  điểm B ; 1÷ đến tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A lớn 4  • A∈ (Cm) nên A(1;1− m) y' = 4x3 − 4mx ⇒ y'(1) = − 4m Phương trình tiếp tuyến (Cm) A: y − (1− m) = y′(1).(x − 1) ⇔(4 − 4m)x − y − 3(1− m) = Khi d(B; ∆) = −1 ≤ , Dấu ‘=’ xảy ⇔khi m = 16(1− m) + d ( B ; ∆ ) Do lớn m = Câu 14 Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) 2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(a;0) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) • Ta có y = x4 − 2x2 + PT đường thẳng d qua A(a;0) có hệ số góc k : y = k(x − a)  x4 − 2x2 + 1= k(x − a) (I ) d tiếp tuyến (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm:  x − x = k  k =  4x(x − 1) = k ( A) (B) Ta có: (I ) ⇔    f (x) = 3x − 4ax + 1= (1)  x − 1= + Từ hệ (A), cho ta tiếp tuyến d1 : y = + Vậy để từ A kẻ tiếp tuyến phân biệt với (C) điều kiện cần đủ hệ (B) phải có nghiệm phân biệt (x; k) với x ≠ ±1, tức phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt  ′ khác ±1 ⇔  ∆ = 4a − > ⇔ −1≠ a < − hoặ c 1≠ a >  f (±1) ≠ Trang 62 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Tiếp tuyến đồ thị hàm số biến y = Câu 15 Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) x+1 ax + b cx + d 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị có khoảng cách Trang 63 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số đến đường thẳng d :3x + 4y − = 2x0 + x0 + • Giả sử M (x0; y0) ∈ (C ) ⇒y0 = Ta có: d(M ,d) = ⇔ 3x0 + 4y0 − 2 +4 = ⇔ 3x0 + 4y0 − 12 = 3x0 + 4y0 + =  2x + 3 • Với 3x0 + 4y0 − 12 = ⇔ 3x0 + 4 ÷÷− 12 = ⇔  x0 +   x0 = ⇒ M1(0;3)   x0 = 1⇒ M2  1;11÷  3 4   7  x0 = −5 ⇒ M3  −5; ÷  2x0 + 3  4 + 8= ⇔  • Với 3x0 + 4y0 + = ⇔ 3x0 + 4 ÷ ÷  x + 4  x = − ⇒ M − ; −1   ÷ 4     11 47 ⇒PTTT M1(0;3) y = − x + ; PTTT M2  ; ÷ y = − x + ; 16 16    7 23 PTTT M3  −5; ÷ y = − x + ;  Câu 16 Cho hàm số y = 16     PTTT M4  − ; −1÷ y = −9x − 13 16  2x − x−1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến • Tiếp tuyến (C) điểm M (x0; f (x0)) ∈ (C ) có phương trình: y = f '(x0)(x − x0) + f (x0) ⇔ x + (x0 − 1)2 y − 2x02 + 2x0 − 1= (*) 2⇔ Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) − 2x0 x = = 2⇔   x0 = 1+ (x0 − 1) Các tiếp tuyến cần tìm : x + y − 1= x + y − = Câu 17 Cho hàm số y = 2x (C) x+ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn • Tiếp tuyến (d) đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a ≠ −2 thuộc (C) có phương trình: y= (a + 2)2 (x − a) + 2a ⇔ 4x − (a + 2)2 y + 2a2 = a+ Tâm đối xứng (C) I ( −2;2) Ta có: d(I ,d) = a+ 16 + (a + 2)4 ≤ a+ 2.4.(a + 2)2 = a+ 2 a+  d(I ,d) lớn (a + 2)2 = ⇔  a =  a = −4 y = x Từ suy có hai tiếp tuyến y = x + Câu hỏi tương tự: a) Với y = x x−1 ĐS: y = − x; y = − x + Trang 64 =2 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Câu 18 Cho hàm số y = 2x + x+ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cách hai điểm 4), B(−4; −2) • Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm ( x0 ≠ −1) PTTT (d) y = (x0 + 1) (x − x0) + A(2; 2x0 + ⇔ x − (x0 + 1)2 y + 2x02 + 2x0 + 1= x0 + Ta có: d(A,d) = d(B,d) ⇔ − 4(x0 + 1)2 + 2x02 + 2x0 + = −4 + 2(x0 + 1)2 + 2x02 + 2x0 + ⇔ x0 = ∨ x0 = ∨ x0 = −2 Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: y = x + ; y = x + 1; y = x + Câu 19 Cho hàm số y = 2x − x−1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng MI • Giao điểm hai tiệm cận I(1; 2) Gọi M(a; b) ∈ (C) ⇒ b = PTTT (C) M: y = − (x − a) + (a − 1) (x − 1) + PT đường thẳng MI: y = (a − 1)2 2a − (a ≠ 1) a− 2a − a− Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có: − 1 = −1 ⇔  a = (b = 1) (a − 1) (a − 1)  a = (b = 3) Vậy có điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3) Câu 20 Cho hàm số y = (2m− 1)x − m2 x−1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = –1 2) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x • TXĐ: D = R \ {1}  (2m− 1)x − m2 =x (*)   x−1 y = x Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng thì:   (m− 1) = (**)  (x − 1)2 x = m Từ (**) ta có (m− 1)2 = (x − 1)2 ⇔   x = 2− m • Với x = m, thay vào (*) ta được: 0m= (thoả với m) Vì x ≠ nên m ≠ • Với x = – m, thay vào (*) ta được: (2m− 1)(2 − m) − m2 = (2 − m)(2 − m− 1) ⇔ 4(m− 1)2 = ⇔ m= ⇒ x = (loại) Vậy với m ≠ đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x Trang 65 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Câu 21 Cho hàm số: y = x+ (C) x−1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(0; a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh • Phương trình đường thẳng d qua A(0; a) có hệ số góc k: y = kx + a  x+  x − = kx + a d tiếp tuyến (C) ⇔ Hệ PT  có nghiệm −3 k = (x − 1)2  ⇔ PT: (1− a)x2 + 2(a + 2)x − (a + 2) = (1) có nghiệm x ≠ Để qua A có tiếp tuyến (1) phải có nghiệm phân biệt x1, x2 a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ ′  ∆ = 3a + > a > −2 (*) 3 2(a + 2) a+ ; y2 = 1+ ; x1x2 = y1 = 1+ x1 − x2 − a−1 a− Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh y1.y2 < Khi ta có: x1 + x2 =  ⇔  1+  x1.x2 + 2(x1 + x2) +   < ⇔ 3a + > ⇔ a > − ÷. 1+ ÷< ⇔ x1 − 1  x2 − 1 x1.x2 − (x1 + x2) +  a > − Kết hợp với điều kiện (*) ta được:   a ≠ Câu 22 Cho hàm số y = x+ x+ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Gọi I giao điểm đường tiệm cận, ∆ tiếp tuyến đồ thị (C) d khoảng cách từ I đến ∆ Tìm giá trị lớn d • y′ =  −1 x + 2 ∈ (C ) Giao điểm hai đường tiệm cận I(–1; 1) Giả sử M  x0; ÷ x0 + ÷ (x + 1)   Phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thi hàm số M là: y= −1 ( x0 + 1) (x − x0) + x0 + 2 x0 + ⇔ x+ ( x0 + 1) y− x0 − ( x0 + 1) ( x0 + 2) = Khoảng cách từ I đến ∆ d = Vậy GTLN d Câu 23 Cho hàm số y = 2 x0 + 1 + ( x0 + 1) = ( x0 + 1) + ( x0 + 1) ≤ x0 = x0 = −2 −x+ 2x − 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Chứng minh với m, đường thẳng d : y = x + m ln cắt (C) điểm phân biệt A, B Gọi k1,k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Trang 66 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ơn thi đại học mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng  x ≠ −x+ • PT hồnh độ giao điểm d (C): = x + m ⇔ 2x −  g(x) = 2x2 + 2mx − m− 1= (*)  ∆′ = m2 + 2m+ > 0, ∀m  g Vì    nên (*) ln có nghiệm phân biệt x1, x2  g ÷ ≠   2 − m− Theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = −m; x1x2 = Giả sử: A(x1; y1), B(x2; y2) 1 ;k = − Tiếp tuyến A B có hệ số góc là: k1 = − 2 (2x1 − 1) (2x2 − 1)2 ⇒k1 + k2 = −4(m+ 1)2 − ≤ −2 Dấu "=" xảy ⇔m= −1 Vậy: k1 + k2 đạt GTLN −2 m= −1 x+ 2x + Câu 24 Cho hàm số y = (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O • Gọi (x0; y0) toạ độ tiếp điểm ⇒ y′(x0) = −1 (2x0 + 3)2 0; g(0) = 4m2 =  2 ⇔g(k) = có nghiệm k ≠ ⇔ ∆′ = −32(m − m− 2) > 0; g(0) = 4m =   m− 1= ⇒ 16k + = ⇒ k = −  m= ⇒ M (0;1)  m= −1 ⇒ M (−1; −1) ⇔  m= ⇒ M (2;5)  m= ⇒ M (1;3) Trang 74 ... qua tếp điểm là: y = Cho hàm số y = x3 + (1− 2m)x2 + (2 − m)x + m+ (1) (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m = 2) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo... mơn tốn Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Dạng 3: Tiếp tuyến đồ thị hàm số biến y = Câu 15 Cho hàm số y = 2x + có đồ thị (C) x+1 ax + b cx + d 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Lập phương... Vậy với m ≠ đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x Trang 65 Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Câu 21 Cho hàm số: y = x+ (C) x−1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A(0;