hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàmsố KSHS 01: TÍNH ĐƠNĐIỆU CỦA HÀMSỐ A Kiến thức Giả sử hàmsố y = f (x) có tập xác định D • Hàmsố f đồng biến D ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ D y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Hàmsố f nghịch biến D ⇔ y′ ≤ 0,∀x∈ D y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Nếu y' = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thì: ∆ ≤ a> + y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔ ∆ ≤ a< + y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔ • Định lí dấu tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) : + Nếu ∆ < g(x) dấu với a b + Nếu ∆ = g(x) dấu với a (trừ x = − ) 2a + Nếu ∆ > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a • So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g(x) = ax2 + bx + c với số 0: ∆ ≥ ∆ ≥ x ≤ x < ⇔ P > 0 < x ≤ x ⇔ + + P > + x1 < < x2 ⇔ P < S < S > g(x) ≤ m; • g(x) ≤ m,∀x∈ (a; b) ⇔ max (a;b) g(x) ≥ m,∀x∈ (a; b) ⇔ ming(x) ≥ m (a;b) B Một số dạng câu hỏi thường gặp Tìm điều kiện để hàmsố y = f (x) đơnđiệu tập xác định (hoặc khoảng xác định) • Hàmsố f đồng biến D ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ D y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Hàmsố f nghịch biến D ⇔ y′ ≤ 0,∀x∈ D y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc D • Nếu y' = ax2 + bx + c (a ≠ 0) thì: ∆ ≤ a> + y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔ ∆ ≤ a< + y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔ Tìm điều kiện để hàmsố y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đơnđiệu khoảng (a ; b ) Ta có: y′ = f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c a) Hàmsố f đồng biến (a ; b ) ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ (a ; b ) y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ ⇔ h(m) ≥ g(x) (*) g(x) f đồng biến (a ; b ) ⇔h(m) ≥ (max a ;b ) • Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ ⇔ h(m) ≤ g(x) Trang (**) Khảo sát hàmsố Trần Sĩ Tùng g(x) f đồng biến (a ; b ) ⇔h(m) ≤ (min a ;b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ không đưa dạng (*) đặt t = x −a Khi ta có: y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a > ∆ > a > ∨ – Hàmsố f đồng biến khoảng (−∞; a) ⇔g(t) ≥ 0,∀t < ⇔ ∆ ≤ S > P ≥ a > ∆ > a > ∨ – Hàmsố f đồng biến khoảng (a; +∞) ⇔g(t) ≥ 0,∀t > ⇔ ∆ ≤ S < P ≥ b) Hàmsố f nghịch biến (a ; b ) ⇔ y′ ≥ 0,∀x∈ (a ; b ) y′ = xảy số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f ′(x) ≤ ⇔ h(m) ≥ g(x) (*) g(x) f nghịch biến (a ; b ) ⇔h(m) ≥ (max a ;b ) • Nếu bất phương trình f ′(x) ≥ ⇔ h(m) ≤ g(x) (**) g(x) f nghịch biến (a ; b ) ⇔h(m) ≤ (min a ;b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ′(x) ≤ không đưa dạng (*) đặt t = x −a Khi ta có: y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα + 2bα + c a < ∆ > a < ∨ – Hàmsố f nghịch biến khoảng (−∞; a) ⇔g(t) ≤ 0,∀t < ⇔ ∆ ≤ S > P ≥ a < ∆ > a < ∨ – Hàmsố f nghịch biến khoảng (a; +∞) ⇔g(t) ≤ 0,∀t > ⇔ ∆ ≤ S < P ≥ Tìm điều kiện để hàmsố y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d đơnđiệu khoảng có độ dài k cho trước ∆ > a≠ • f đơnđiệu khoảng (x1; x2) ⇔y′ = có nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ (1) • Biến đổi x1 − x2 = d thành (x1 + x2)2 − 4x1x2 = d2 • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Tìm điều kiện để hàmsố y = ax + bx + c (2), (a,d ≠ 0) dx + e a) Đồng biến (−∞;α ) b) Đồng biến (α ; +∞) c) Đồng biến (α ; β ) Trang (2) hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàmsố −e y' = adx + 2aex + be− dc = f (x) Tập xác định: D = R \ , 2 d ( dx + e) ( dx + e) Trường hợp Nếu: f (x) ≥ ⇔ g(x) ≥ h(m) (i) a) (2) đồng biến khoảng (−∞;α ) Trường hợp Nếu bpt: f (x) ≥ không đưa dạng (i) ta đặt: t = x − α Khi bpt: f (x) ≥ trở thành: g(t) ≥ , với: g(t) = adt2 + 2a(dα + e)t + adα + 2aeα + be− dc a) (2) đồng biến khoảng (−∞;α ) −e ⇔ d ≥α g(x) ≥ h(m),∀x < α −e ≥α ⇔d h(m) ≤ g(x) (−∞;α ] b) (2) đồng biến khoảng (α ; +∞) −e ⇔ d ≥α g(t) ≥ 0,∀t < (ii ) a > ∆ > a > (ii ) ⇔ ∨ ∆ ≤ S > P ≥ b) (2) đồng biến khoảng (α ; +∞) −e ⇔ d ≤α g(x) ≥ h(m),∀x > α −e ≤α ⇔d h(m) ≤ g(x) [α ;+∞ ) −e ⇔ d ≤α g(t) ≥ 0,∀t > (iii ) a > ∆ > a > (iii ) ⇔ ∨ ∆ ≤ S < P ≥ c) (2) đồng biến khoảng (α ; β ) −e ⇔ d ∉ ( α ;β ) g(x) ≥ h(m),∀x∈ (α ; β ) −e ∉ ( α ;β ) ⇔d h(m) ≤ g(x) [α ;β ] Tìm điều kiện để hàmsố y = ax + bx + c (2), (a,d ≠ 0) dx + e a) Nghịch biến (−∞;α ) b) Nghịch biến (α ; +∞) c) Nghịch biến (α ; β ) −e y' = adx + 2aex + be− dc = f (x) D = R \ Tập xác định: , 2 d ( dx + e) ( dx + e) Trang Khảo sát hàmsố Trường hợp Nếu f (x) ≤ ⇔ g(x) ≥ h(m) (i) a) (2) nghịch biến khoảng (−∞;α ) −e ⇔ d ≥α g(x) ≥ h(m),∀x < α −e ≥α ⇔d h(m) ≤ g(x) (−∞;α ] b) (2) nghịch biến khoảng (α ; +∞) −e ⇔ d ≤α g(x) ≥ h(m),∀x > α −e ≤α ⇔d h(m) ≤ g(x) [α ;+∞ ) c) (2) đồng biến khoảng (α ; β ) Trần Sĩ Tùng Trường hợp Nếu bpt: f (x) ≥ không đưa dạng (i) ta đặt: t = x − α Khi bpt: f (x) ≤ trở thành: g(t) ≤ , với: g(t) = adt2 + 2a(dα + e)t + adα + 2aeα + be− dc a) (2) đồng biến khoảng (−∞;α ) −e ⇔ d ≥α g(t) ≤ 0,∀t < (ii ) a < ∆ > a < (ii ) ⇔ ∨ ∆ ≤ S > P ≥ b) (2) đồng biến khoảng (α ; +∞) −e ⇔ d ≤α g(t) ≤ 0,∀t > (iii ) a < ∆ > a < (iii ) ⇔ ∨ ∆ ≤ S < P ≥ −e ⇔ d ∉ ( α ;β ) g(x) ≥ h(m),∀x∈ (α ; β ) −e ∉ ( α ;β ) ⇔d h(m) ≤ g(x) [α ;β ] Trang hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Câu Khảo sát hàmsố Cho hàmsố y = (m− 1)x3 + mx2 + (3m− 2)x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàmsố (1) m= 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàmsố (1) đồng biến tập xác định • Tập xác định: D = R y′= (m− 1)x2 + 2mx + 3m− (1) đồng biến R ⇔ y′≥ 0, ∀x ⇔ m≥ Cho hàmsố y = x3 + 3x2 − mx − (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàmsố (1) m= 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàmsố (1) đồng biến khoảng (−∞;0) Câu • Tập xác định: D = R y′= 3x2 + 6x − m y′ có ∆′ = 3(m+ 3) + Nếu m≤ −3 ∆′ ≤ ⇒y′ ≥ 0,∀x ⇒hàm số đồng biến R ⇒m≤ −3 thoả YCBT + Nếu m> −3 ∆′ > ⇒PT y′ = có nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) Khi hàmsố đồng biến khoảng (−∞; x1),(x2; +∞) ∆′ > m> −3 S > −2 > Do hàmsố đồng biến khoảng (−∞;0) ⇔0≤ x1 < x2 ⇔ P ≥ ⇔ −m≥ (VN) Vậy: m≤ −3 Cho hàmsố y = 2x3 − 3(2m+ 1)x2 + 6m(m+ 1)x + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàmsố m = 2) Tìm m để hàmsố đồng biến khoảng (2; +∞) Câu • Tập xác định: D = R y' = 6x2 − 6(2m+ 1)x + 6m(m+ 1) có ∆ = (2m+ 1)2 − 4(m2 + m) = 1> x = m y' = ⇔ Hàmsố đồng biến khoảng (−∞; m), (m+ 1; +∞) x = m+ Do đó: hàmsố đồng biến (2; +∞) ⇔ m+ 1≤ ⇔ m≤ Cho hàmsố y = x3 + (1− 2m)x2 + (2 − m)x + m+ 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàmsố m = 2) Tìm m để hàm đồng biến khoảng K = (0; +∞) Câu • Hàm đồng biến (0; +∞) ⇔ y ′= 3x2 + 2(1− 2m)x + (2 − m) ≥ với ∀x∈ (0; +∞) ⇔ f (x) = Ta có: f ′(x) = 6(2x2 + x − 1) (4x + 1) 3x2 + 2x + ≥ m với ∀x∈ (0; +∞) 4x + = ⇔ 2x2 + x − 1= ⇔ x = −1; x = 1 Lập BBT hàm f (x) (0; +∞) , từ ta đến kết luận: f ÷ ≥ m⇔ ≥ m 2 Câu hỏi tương tự: a) y = (m+ 1)x3 − (2m− 1)x2 + 3(2m− 1)x + (m≠ −1) , K = (−∞; −1) b) y = (m+ 1)x3 − (2m− 1)x2 + 3(2m− 1)x + (m≠ −1) , K = (1; +∞) c) y = (m+ 1)x3 − (2m− 1)x2 + 3(2m− 1)x + (m≠ −1) , K = (−1;1) Trang ĐS: m≥ 11 ĐS: m ≥ ĐS: m≥ Khảo sát hàmsố Câu Trần Sĩ Tùng Cho hàmsố y = (m2 − 1)x3 + (m− 1)x2 − 2x + (1) (m≠ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàmsố m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (−∞;2) • Tập xác định: D = R; y′ = (m2 − 1)x2 + 2(m− 1)x − Đặt t = x– ta được: y′ = g(t) = (m2 − 1)t2 + (4m2 + 2m− 6)t + 4m2 + 4m− 10 Hàmsố (1) nghịch biến khoảng (−∞;2) ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t < a < m2 − 1< TH1: ⇔ ∆ ≤ 3m2 − 2m− 1≤ Vậy: Với Câu m2 − 1< a < ∆ > 3m − 2m− 1> TH2: ⇔4m2 + 4m− 10 ≤ S > −2m− P ≥ >0 m+ −1 ≤ m< hàmsố (1) nghịch biến khoảng (−∞;2) Cho hàmsố y = (m2 − 1)x3 + (m− 1)x2 − 2x + (1) (m≠ ±1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàmsố m = 2) Tìm m để hàm nghịch biến khoảng K = (2; +∞) • Tập xác định: D = R; y′ = (m2 − 1)x2 + 2(m− 1)x − Đặt t = x– ta được: y′ = g(t) = (m2 − 1)t2 + (4m2 + 2m− 6)t + 4m2 + 4m− 10 Hàmsố (1) nghịch biến khoảng (2; +∞) ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t > m2 − 1< a < ∆ > 3m − 2m− 1> a < m2 − 1< TH1: ⇔ TH2: ⇔4m2 + 4m− 10 ≤ ∆ ≤ 3m − 2m− 1≤ S < −2m− P ≥ , y′= có nghiệm phân biệt: − m, 0, m Hàmsố (1) đồng biến (1; 2) ⇔ m ≤ ⇔ < m≤ Vậy m∈ ( −∞;1 Câu hỏi tương tự: a) Với y = x4 − 2(m− 1)x2 + m− ; y đồng biến khoảng (1;3) ĐS: m≤ Câu 10 Cho hàmsố y = mx + x+ m (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàmsố (1) m= −1 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàmsố (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) • Tập xác định: D = R \ {–m} y ′= m2 − (x + m)2 Hàmsố nghịch biến khoảng xác định ⇔ y′< ⇔ −2 < m< (1) Để hàmsố (1) nghịch biến khoảng (−∞;1) ta phải có − m≥ 1⇔ m≤ −1 (2) Kết hợp (1) (2) ta được: −2 < m≤ −1 Câu 11 Cho hàmsố y = 2x2 − 3x + m (2) x−1 Tìm m để hàmsố (2) đồng biến khoảng (−∞; −1) 2x2 − 4x + 3− m f (x) = • Tập xác định: D = R \ {1} y' = 2 (x − 1) (x − 1) Ta có: f (x) ≥ ⇔ m≤ 2x2 − 4x + Đặt g(x) = 2x2 − 4x + ⇒ g'(x) = 4x − g(x) Hàmsố (2) đồng biến (−∞; −1) ⇔ y' ≥ 0, ∀x∈ (−∞; −1) ⇔ m≤ (−∞ ;−1] Dựa vào BBT hàmsố g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy m≤ Vậy m≤ 9thì hàmsố (2) đồng biến (−∞; −1) Câu 12 Cho hàmsố y = 2x2 − 3x + m (2) x−1 Tìm m để hàmsố (2) đồng biến khoảng (2; +∞) 2x2 − 4x + 3− m f (x) = • Tập xác định: D = R \ {1} y' = 2 (x − 1) (x − 1) Ta có: f (x) ≥ ⇔ m≤ 2x − 4x + Đặt g(x) = 2x − 4x + ⇒ g'(x) = 4x − 2 g(x) Hàmsố (2) đồng biến (2; +∞) ⇔ y' ≥ 0, ∀x∈ (2; +∞) ⇔ m≤ [2; +∞ ) Trang Khảo sát hàmsố Trần Sĩ Tùng Dựa vào BBT hàmsố g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy m≤ Vậy m≤ hàmsố (2) đồng biến (2; +∞) Câu 13 Cho hàmsố y = 2x2 − 3x + m (2) x−1 Tìm m để hàmsố (2) đồng biến khoảng (1;2) 2x2 − 4x + 3− m f (x) = • Tập xác định: D = R \ {1} y' = 2 (x − 1) (x − 1) Ta có: f (x) ≥ ⇔ m≤ 2x2 − 4x + Đặt g(x) = 2x2 − 4x + ⇒ g'(x) = 4x − g(x) Hàmsố (2) đồng biến (1;2) ⇔ y' ≥ 0, ∀x∈ (1;2) ⇔ m≤ [1;2] Dựa vào BBT hàmsố g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy m≤ Vậy m≤ hàmsố (2) đồng biến (1;2) Câu 14 Cho hàmsố y = x2 − 2mx + 3m2 (2) 2m− x Tìm m để hàmsố (2) nghịch biến khoảng (−∞;1) • Tập xác định: D = R \ {2m} y' = − x2 + 4mx − m2 (x − 2m) = f (x) (x − 2m)2 Đặt t = x − Khi bpt: f (x) ≤ trở thành: g(t) = −t2 − 2(1− 2mt ) − m2 + 4m− 1≤ 2m> Hàmsố (2) nghịch biến (−∞;1) ⇔ y' ≤ 0, ∀x∈ (−∞;1) ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t < (i ) m= ∆ ' = m≠ ∆ ' > m= (i ) ⇔ ⇔ ⇔ 4m− > S > m≥ + m2 − 4m+ 1≥ P ≥ Vậy: Với m≥ + hàmsố (2) nghịch biến (−∞;1) Câu 15 Cho hàmsố y = x2 − 2mx + 3m2 (2) 2m− x Tìm m để hàmsố (2) nghịch biến khoảng (1; +∞) • Tập xác định: D = R \ {2m} y' = − x2 + 4mx − m2 (x − 2m) = f (x) (x − 2m)2 Đặt t = x − Khi bpt: f (x) ≤ trở thành: g(t) = −t2 − 2(1− 2mt ) − m2 + 4m− 1≤ 2m< Hàmsố (2) nghịch biến (1; +∞) ⇔ y' ≤ 0, ∀x∈ (1; +∞) ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t > (ii ) m= ∆ ' = m≠ ∆ ' > (ii ) ⇔ ⇔ ⇔ m≤ − 4m− < S < m2 − 4m+ 1≥ P ≥ Vậy: Với m≤ − hàmsố (2) nghịch biến (1; +∞) Trang ... đại học môn toán Trần Sĩ Tùng Câu Khảo sát hàm số Cho hàm số y = (m− 1)x3 + mx2 + (3m− 2)x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m= 2) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số (1) đồng... Trang Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Dựa vào BBT hàm số g(x), ∀x∈ (−∞; −1] ta suy m≤ Vậy m≤ hàm số (2) đồng biến (2; +∞) Câu 13 Cho hàm số y = 2x2 − 3x + m (2) x−1 Tìm m để hàm số (2) đồng biến... m+ Vậy: Với −1< m< hàm số (1) nghịch biến khoảng (2; +∞) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m (1), (m tham số) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến đoạn