Bài giảng 2: Tính đơn điệu của hàm số Bài 1. Tìm m để hàm số sau đồng biến trên ) 4, ⎡ +∞ ⎣ : 2 mx (1 m) x 2m y 2x 3 +− + = − Lời giải: Hàm số đồng biến trên ) 4, ⎡ +∞ ⎣ () ) 2 2 2mx 6mx (3 m) y0 2x 3 −−+ ⎡ ′ ⇔= ≥∀∈+∞ ⎣ − ,x4, 2 2mx 6mx (3 m) 0⇔−−+≥ ) x4, ⎡ ∀∈ +∞ ⎣ 2 3 m:f(x) 2x 6x 1 ⇔≥ = −− ) x4, ⎡ ∀∈ +∞ ⎣ ) x4, mmaxf(x ⎡ ∈+∞ ⎣ ⇔≥ ) Ta có: () () ) 2 2 62x 3 f(x) 0, x 4, 2x 6 x 1 −− ⎡ ′ =<∀∈ ⎣ −− +∞ Suy ra hàm f(x) nghịch biến trên ) 4, ⎡ +∞ ⎣ , nên ) x4, 3 mmaxf(x)f(4) 7 ⎡ ∈+∞ ⎣ ≥== Bài 2. Tìm m để hàm số sau nghịch biến trên 1;5 ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ : 32 11 ymx(13m)x(2m1)x 33 =+−+++ Lời giải: Hàm số nghịch biến trên , 1;5 ⎡⎤ ⎣⎦ 2 ymx 2(13m)x(2m1)0 ′ ⇔= + − + +≤ x1;5 ⎡⎤ ∀∈ ⎣⎦ , 2 m(x 6x 2) (2x 1 ) 0⇔−+++≤ x1;5 ⎡ ⎤ ∀∈ ⎣ ⎦ 2 2x 1 m:f(x) x6x2 + ⇔≥− = −+ x1;5 , ⎡ ⎤ ∀∈ ⎣ ⎦ ) x1;5 mmaxf(x ⎡⎤ ∈ ⎣ ⎦ ⇔≥ Ta có: () () 2 2 2 121 x 2x x 5 2 f(x) 0 121 x6x2 x 2 ⎡ −+ ⎢ = +− ⎢ ⎢ ′ ==⇔ ⎢ −− ⎢ −+ = ⎢ ⎣ Từ đó ta vẽ được bbt của hàm số f(x), do đó {} x1;5 11 max f (x ) max f(1);f(5) 3 ⎡⎤ ∈ ⎣ ⎦ == Vậy giá trị cần tìm là: 11 m 3 ≥ Bài 3. Tìm m để hàm số sau nghịch biến trên 1;1 ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ : 322 yx mx (m m2)x2=− − +− + Lời giải: Hàm số nghịch biến trên , 1;1 ⎡⎤ − ⎣⎦ 22 yf(x)3x2mx(mm2)0 ′ ⇔= = − − +−≤ x1; ⎡⎤ ∀∈− ⎣⎦ 1 Biệt thức 2 4m 3m 6 ′ Δ= + − • Nếu 0f(x)0,x 1;1 ⎡ ⎤ ′ Δ≤ ⇒ ≥ ∀ ∈− ⎣ ⎦ ⇒ VN • Nếu 0 ′ Δ> ⇒ tam thức f(x) có 2 nghiệm phân biệt 12 xx< Khi đó . Nên f( , 12 f(x) 0 x x x≤⇔ ≤≤ x) 0≤ x1;1 ⎡ ⎤ ∀∈− ⎣ ⎦ 12 x11x−<≤ ⇔≤ 2 2 2 3 105 3 105 mm 88 329 4m 3m 6 0 m 329 329 2 3f(1) 5 3m m 0 m m 22 3 105 m 3f( 1) 5 m m 0 321 321 8 mm 22 ⎧ ⎪ −+ −− ⎪ >∨< ⎪ ⎪ ⎧ ⎡ ⎪ ⎪ ′ + Δ= + − > ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ≥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ −+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⇔=−−≤⇔≤ ∨≥ ⇔ ⎨⎨ ⎢ ⎪⎪ −− ⎪⎪ ⎢ ⎪⎪ < −=+− ≤ ⎪⎪ ⎢ −+ ⎪⎪ ⎣ ⎪ ⎩ ⎪ ≤∨≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Vậy giá trị m cần tìm là: 329 m 2 3 105 m 8 ⎡ + ⎢ ≥ ⎢ ⎢ ⎢ −− ⎢ < ⎢ ⎣ Bài 4. Tìm m để hàm số sau đồng biến trên (-1;2) 22 mx (m 2)x m 1 y xm1 −+++ = −− Lời giải: TXĐ: xm1≠+ Hàm số đồng biến trên (-1;2) () 22 2 mx 2m(m 1)x (m 1)(m 1) y' 0 xm1 −+ +++ + ⇔= ≥ −− , x(1;2)∀∈− 22 m1(1;2) f(x) mx 2m(m 1)x (m 1)(m 1) 0, x ( 1;2) ⎧ +∉− ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ =− +−+ +≤∀∈− ⎪ ⎩ Ta có: () m1 1 m 2 m1 1;2 m12 m1 ⎡⎡ +≤− ≤− ⎢⎢ +∉− ⇔ ⇔ ⎢⎢ +≥ ≥ ⎣⎣ Khi đó 22 2 2 f m(m1) m(m1)(m 1)m(m1)(2m m1)0 ′ Δ= + + + + = + + + > Suy ra f(x) luôn có 2 nghiệm phân biệt . 12 xx< • Nếu 0≤ có nghiệm là 1 xx≤ hoặc 2 xx≥ . TH ta phải có: m2f(x)≤− ⇒ 12 12 2 1 x x xx ≤< ⎡ ⎢ <≤− ⎣ (các bạn tự giải đk này nhé) • Nếu 2 x x≤ ≤ , đk bài toán tương đương với: 1 m1 f(x)0 x≥⇒ ≤ ⇔ 2 12 2 mf( 1) m 2m(m 1) (m 1)(m 1 ) 0 x12x mf(2) 4m 4m( m 1) (m 1 )( m 1) 0 ⎧ ⎪ −= + +− + +≤ ⎪ ⎪ ≤− < ≤ ⇔ ⎨ ⎪ ⎪ =− +−+ +≤ ⎪ ⎩ Bạn đọc tự giải tiếp. . giảng 2: Tính đơn điệu của hàm số Bài 1. Tìm m để hàm số sau đồng biến trên ) 4, ⎡ +∞ ⎣ : 2 mx (1 m) x 2m y 2x 3 +− + = − Lời giải: Hàm số đồng biến trên ) 4, ⎡ +∞ ⎣ () ) 2 2 2mx 6mx. để hàm số sau nghịch biến trên 1;1 ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ : 322 yx mx (m m2)x2=− − +− + Lời giải: Hàm số nghịch biến trên , 1;1 ⎡⎤ − ⎣⎦ 22 yf(x)3x2mx(mm2)0 ′ ⇔= = − − +−≤ x1; ⎡⎤ ∀∈− ⎣⎦ 1 Biệt thức 2 4m. có 2 nghiệm phân biệt 12 xx< Khi đó . Nên f( , 12 f(x) 0 x x x≤⇔ ≤≤ x) 0≤ x1;1 ⎡ ⎤ ∀∈− ⎣ ⎦ 12 x11x−<≤ ⇔≤ 2 2 2 3 105 3 105 mm 88 329 4m 3m 6 0 m 329 329 2 3f(1) 5 3m m 0 m m 22 3