Toán Hàm Số Sự tương giao

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ CHỦ ĐỀ : SỰ TƢƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ Học viên: Khóa : Lớp : TÀI LIỆU LƢU HÀNH NỘI BỘ Nói bạn tham gia trò chơi vƣợt sóng gió Tƣơng Giao Là giao cắt giữ hai hay nhiều ĐTHS Là gì? Va chạm Giải phương trình Tìm nghiệm ( số giao điểm ) Giao cắt F(x) = G (x) Sự tương giao 2 Điều kiện cắt số điểm xác định Gồm ? Điều kiện tiếp xúc Điều kiện cắt số điểm thoả mãn số tính chất Để xét tiếp xúc hai đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝐶 𝑦 = 𝑔 𝑥 𝐶 ′ , ta xét hệ: Điều kiện tiếp xúc Ta có: tiếp xúc hệ có nghiệm ; Nghiệm hoành độ tiếp điểm; hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến chung điểm có hoành độ là: Hệ Đường thẳng tuyến đồ thị hàm số hệ tiếp có nghiệm I Bài toán tương giao tổng quát: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) y = g(x,m) Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f(x, m) = g(x,m) (1)  Nhận xét: Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số Sau lập phương trình tương giao d (C) Bài toán Cho hai đồ thị hàm số 𝒇 𝒙, 𝒎 𝒗à 𝒈 𝒙 Tìm m để hai đồ thị cắt điểm thỏa mãn tính chất Phƣơng pháp giải Nhẩm nghiệm  Phương pháp nhẩm nghiệm nguyên - Nhẩm nghiệm theo x: sở phương pháp => làm x - Nhẩm nghiệm theo m: sở phương pháp => làm m  Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ Cho phương trình: Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ (p, q)=1 𝒒 𝒂𝒏 𝒑 𝒂𝒐 Trực tiếp Coi m ẩn , x tham số Xét hàm Phƣơng pháp hàm số Gián tiếp Biến đổ hàm 𝒇 𝒙 =𝒇 𝒎 Hãy xem số ví d Ví d Cho hàm số y   x  3x  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình x3  3x2  m  Giải a)  TXĐ: D = R  y '  3x  6x x  y '   3x  6x=0   x   Giới hạn: lim y  , lim y   x x  Bảng biến thiên:  Hàm số đồng biến (0 ; 2); hàm số nghịch biến (;0) (2; )  Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = -1  Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1) b)  x - 3x + m = Û - x + 3x - = m -  Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y   x3  3x  với đường thẳng y = m – Vậy m    m  : Phương trình có nghiệm m    m  : Phương trình có nghiệm  m   1   m  : Phương trình có nghiệm m   1  m  : Phương trình có nghiệm m   1  m  : Phương trình có nghiệm Ví d 2.Cho hàm số y  x3  3x  C  Gọi d đường thẳng qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt hai giao điểm B, C (B, C khác A ) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Giải Đường thẳng d qua A(-1; 0) với hệ số góc k, có phương trình là: y = k(x+1) = kx+ k Nếu d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình: x3 – 3x2 + = kx + k  x3 – 3x2 – kx + – k =  (x + 1)( x2 – 4x + – k ) =  x  1 có ba nghiệm phân biệt  g(x) = x2 – 4x + – k = có   g ( x)  x  x   k   '  k  hai nghiệm phân biệt khác -      k  (*)  g (1)  9  k  Với điều kiện: (*) d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), B,C có hoành độ hai nghiệm phương trình g(x) = Gọi B  x1; y1  ; C  x2 ; y2  với x1; x2 hai nghiệm phương trình: x2  x   k  Còn y1  kx1  k ; y2  kx2  k Ta có: BC   x2  x1; k  x2  x1    BC  Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: h   x2  x1  1  k   x 2  x1 1  k  k 1 k2 Vậy theo giả thiết: 1 k 1 S  h.BC  k 1 k  k3   k3   k3   k  2 1 k2 4 Ví d Cho hàm số y  2x   C  Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ x 1 thị hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm d (C): 2x   2 x  m ( x  1)  g ( x)  x  (m  4) x   m  (1) x 1 D cắt (C) điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1   (m  4)2  8(1  m)  m      m2    m  R  g (1)   g (1)  1  Chứng tỏ với m d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Gọi A  x1; 2 x1  m  ; B  x2 ; 2 x2  m  Với: x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1)   Ta có AB  x2  x1;2 x1  x2   AB   x  x1    x2  x1   x2  x1 2 Gọi H hình chiếu vuông góc O d, khoảng cách từ O đến d h: m m h  22  1 x2  x1  5  m2   Theo giả thiết: S  AB.h  2 2 Vậy: m2   42.3  m2   42.3  m2  40  m  10 (*) Với m thỏa mãn điều kiện (*) d cắt (C) A, B thỏa mãn yêu cầu toán Ví d Cho hàm số y  x   m  1 x  m  Cm  Xác định m  để đồ thị  Cm  cắt trục Ox điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn trục Ox có diện tích phần phía trục Ox diện tích phần phía trục Ox Giải Đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt  x4   m  1 x  m  (1) có nghiệm phân biệt  t   m  1 t  m  (2) có nghiệm dương phân biệt    m  12  4m    m    m  0& m  m   Hai nghiệm (2) t  1, t  m , m  nên nghiệm phân biệt (1) theo thứ tự tăng là:  m ,  1,1, m Hàm số chẵn nên hình phẳng toán nhận Oy làm trục đối xứng Khi đồ thị có dạng hình bên Bài toán thỏa mãn S H1  S H   x   m  1 x  m dx  m  x   m  1 x  m dx 1 m    x   m  1 x  m  dx     x   m  1 x  m  dx m    x   m  1 x  m  dx  0 m  x5  x3 m m 1  m  1   m     mx      5  0 KL: m  thỏa mãn yêu cầu Ví d Cho hàm số y  x4   m  1 x  2m  có đồ thị  Cm  Định m để đồ thị  Cm  cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm: x4   m  1 x  2m   (1) Đặt t  x , t  (1) trở thành: f (t )  t   m  1 t  2m   Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt f (t )  phải có nghiệm dương phân biệt  '  m2    m     S   m  1    (*)  P  2m   m   Với (*), gọi t1  t2 nghiệm f (t )  , hoành độ giao điểm (Cm) với Ox là: x1   t2 ; x2   t1 ; x3  t1 ; x4  t2 x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số cộng  x2  x1  x3  x2  x4  x3  t2  9t1 m  5m  4m   m   m   m   m   m   m  1    m    m  m    4  Vậy m  4;   9  Bạn tìm cho ngƣời bạn đồng hành để giải tập !!! Bài (Cho hàm số y  x3  3(m  1) x  3mx  đường thẳng d : y  5x  Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt a) có hoành độ dương b) có hoành độ lớn c) có hoành độ x1; x2 ; x3 thỏa mãn x12  x22  x32  21 Bài Cho hàm số y  x3  3mx2  (m  1) x  m  đường thẳng d : y  x  m  Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt có hoành độ lớn Bài Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Cho d đường thẳng có phương trình y = x + điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích TÔI LÀ ………………………………………………………………………… SƠ ĐỒ CON ĐƢỜNG 10 Bạn chiến đấu với nhũng tập tƣơng lai Bài Cho hàm số: y  x3  3x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho 11 xA  MN  2 Bài :Cho hàm số y  x3  3x2   m  1 x  11 có đồ thị  Cm  với m tham số a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m  1 b) Tìm m để đường thẳng  d  : y  x  cắt đồ thị  Cm  điểm phân biệt P  0,1 , M , N cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN O  0;0  với Bài :Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vuông góc với Bài :Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ với giá trị khác m, đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A, B, C B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị m để tiếp tuyến B, C song song với 2x  Bài Cho hàm số y  C  1 x a) Khảo sát hàm số b) Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N MN  10 2x 1 Bài 10 Cho hàm số y  có đồ thị (C) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để đường thẳng y  x  m cắt (C) hai điểm A, B cho AB  2x  có đồ thị (C) Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m x2 luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ x2 Bài 12: Cho hàm số y = (C) đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị  C  điểm x 1 A B cho tam giác IAB nhận điểm H  4; 2  làm trực tâm Với I giao điểm Bài 11:Cho hàm số y  hai đường tiệm cận 2x  (1).Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C), đường thẳng x 1 (d ) : x  y   cắt (C ) hai điểm A, B với A có hoành độ dương Viết phương trình Bài 13: Cho hàm số y  12 tiếp tuyến (C ) vuông góc với IA x 1 Tìm a b để đường thẳng (d): y  ax  b cắt (C) hai x 1 điểm phân biệt đối xứng qua đường thẳng (  ): x  y   Bài 14 :Cho hàm số y  TEAMWORK Hãy tham gia người bạn thân thiết bạn ! Họ tên người thắng : ………………………………………………………………… SĐT / Facebook : …………………………………………………………………………… Địa :………………………………………………………………………………………… 13 ... trò chơi vƣợt sóng gió Tƣơng Giao Là giao cắt giữ hai hay nhiều ĐTHS Là gì? Va chạm Giải phương trình Tìm nghiệm ( số giao điểm ) Giao cắt F(x) = G (x) Sự tương giao 2 Điều kiện cắt số điểm xác... I Bài toán tương giao tổng quát: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) y = g(x,m) Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f(x, m) = g(x,m) (1)  Nhận xét: Số nghiệm (1) số giao điểm hai... m) = g(x,m) (1)  Nhận xét: Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số Sau lập phương trình tương giao d (C) Bài toán Cho hai đồ thị hàm số