Toán Hàm Số Sự tương giao(LT và VD)

1 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation SUCCESS TRAINING ACADEMY CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ CHỦ ĐỀ III: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ Học viên: Khóa : Lớp : TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ GIỚI THIỆU TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Một lần cảm ơn chúc mừng bạn nhập đại gia đình STA! Để bắt đầu hành trình leo núi tới đỉnh vinh quang STA mong muốn bạn hiểu thêm đôi điều trung tâm: “ STA đời dựa NIỀM ĐAM MÊ - SỰ KHÁT KHAO cống hiến cho cộng đông để mang lại giá trị vô to lớn thiết thực ” Với lí STA mang vai TẦM NHÌN : “ Trở thành tập đoàn giáo dục đào tạo số Châu Á STA khát vọng đồng hành 10 triệu thiếu niên thiếu niên Việt Nam phát triển toàn diện thái độ tư kĩ năng, hướng tới xây dựng Việt Nam trở thành cường quốc giới” Với SỨ MỆNH : “ Đào tạo thái độ tư kĩ thành công cho hệ thiếu niên Việt Nam Hướng tới mục tiêu nâng tầm người Việt.” Với tầm nhìn sứ mệnh theo đuổi giá trị cốt lõi là: 3S : SÁNG TẠO - SAN SẺ - SẴN SÀNG 3T : TÂM - TẦM - TÀI 3A : ANH MINH - ANH DŨNG - ANH HÙNG Hơn mang tới khác biệt mô hình giáo dục: + Truyền cảm hứng học tập cho bạn học sinh có cấp độ người thầy - Người thầy bình thường người thầy nói cho học sinh hiểu - Người thầy giỏi người thầy giải thích vấn đề sâu - Người thầy xuất chúng người thầy họa trực quan vấn đề - Người thầy vĩ đại người thầy truyền cảm hứng cho học sinh học tập, khiến học sinh yêu thích đam mê việc học cách tự nhiên + Cài đặt tư tự học cho bạn học sinh( khảo sát khoa học cho thấy 80% học sinh xuất sắc tự học) + Áp dụng mô hình đào tạo tiên tiến bậc giới => ĐÀO TẠO GIA TỐC - Phát huy tối đa bán cầu não: kết hợp massage não phải tăng tốc logic cho não trái - Kích thích giác quan đa chiều ( âm thanh, hình ảnh )=> tạo chuyển biến lớp học - Môi trường giàu lượng: hifive, nhắc lại, tuyên bố, làm việc theo nhóm CHỦ TỊCH NGUYỄN VĂN SƠN TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation TÂM THƯ STA GỬI HỌC VIÊN Chúng hướng tới phát triển toàn diện cho hệ học sinh Việt Nam môn văn hóa lẫn kỹ sống, động lực tinh thần sống! Một tuần học chuyên môn có buổi học động lực, kỹ vào cuối tuần nạp thêm nhiều lượng hứng khởi để tập trung kiên trì trình luyện tập môn văn hóa Khi có chuyên môn văn hóa kỹ tinh thần, động lực định bạn thành công bền vững! Trong trình giảng dạy, có đội ngũ giảng viên vô trẻ trung nhiệt huyết, đam mê đặc biệt tinh thần cống hiến, làm điều để truyền cảm hứng cho hệ trẻ sau Họ sinh viên xuất sắc trương Bách Khoa, Giao Thông Vân Tải, Sư Phạm, Kinh Tế Quốc Dân,… với điểm thi đại học thuộc hàng cao Việt Nam từ 26 điểm trở lên Sẽ có hoài nghi khả sư phạm có trình đào tạo quan trọng muốn phong cách giảng dạy phải thật gần gũi, vui vẻ, hài hước hiệu quả, kích thích hào hứng, tò mò say mê khám phá em học sinh Chúng muốn em học sinh đa phần em học sinh Hà Nội có gương gần gũi ý chí, nghị lực, đam mê anh chị giảng viên để khao khát phấn đấu trân trọng thân điều có sống! Ngoài hoạt động học tập, STA thường xuyên có hoạt động ngoại khóa Từ thiện Chùa, Trại trẻ mồ côi, Người già neo đơn, Thăm danh lam thắng cảnh có ý nghĩa lịch sử Đền thờ Trạng trình Nguyễn Bỉnh Khiêm, Văn Miếu Quốc Tử Giám, với mục đích giúp em vượt qua ích kỷ thân, hòa đồng, hướng tới cộng đồng tăng cường tâm thánh thiện học sinh! Tất phát triển toàn diện học sinh STA hướng tới phục vụ cống hiến đất nước Việt Nam yêu dấu chúng ta! Trân trọng Diễn giả - Tác giả - CEO Lê Văn Thành TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation SƠ ĐỒ TỔNG QUAN TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation Đầu tiên tìm hiểu lý thuyết ! TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) y = g(x,m) Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f(x, m) = g(x,m) (1)  Nhận xét: Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số Sau lập phương trình tương giao d (C) I Bài toán bản: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) d: y =ax+b Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình f(x,m) = ax+b (1) Chú ý: + Nếu đường thẳng d qua điểm M(x 0; y0) có hệ số góc k phương trình d có Dạng: y – y0 = k(x – x0) M ( xM ; y M ) xM + Khai thác tọa độ giao điểm ( (C) d, ta cần ý: yM = axM + b nghiệm (1);M thuộc d nên + Nếu (1) dẫn đên phương trình bậc hai, ta sử dụng định lý Viet phương pháp nhẩm nghiệm nguyên - Nhẩm nghiệm theo x: sở phương pháp => làm x Nhẩm nghiệm theo m: sở phương pháp => làm m -  Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = Cho phương trình: p x= q \ an p \ a0 q Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ (p, q)=1 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation  Phương pháp hàm số +) Xét hàm gián tiếp -Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = g(m) Khi số nghiệm số giao điểm đồ thị y = g(x) đường thẳng y = g(m) +) Xét hàm trưc tiếp - Xét trực tiếp hàm số f(x) : coi m ẩn biến x tham số • Ví dụ tập Ví dụ Cho hàm số y = − x3 + x − a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình Giải a) • • TXĐ: D = R y ' = −3x + 6x x = y ' = ⇔ −3x + 6x=0 ⇔  x = lim y = +∞, lim y = −∞ • Giới hạn: x →−∞ x →+∞ x3 − 3x + m = TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation • Bảng biến thiên: (−∞;0) (2; +∞) Hàm số đồng biến (0 ; 2); hàm số nghịch biến • Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = -1 • Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1) • b) • • x3 - 3x2 + m = Û - x3 + 3x2 - = m - Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = − x3 + 3x − với đường thẳng y = m – Vậy m −1 > ⇔ m > m −1 = ⇔ m = : Phương trình có nghiệm : Phương trình có nghiệm > m − > −1 ⇔ > m > : Phương trình có nghiệm m − = −1 ⇔ m = : Phương trình có nghiệm 9 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation m − < −1 ⇔ m < : Phương trình có nghiệm ( C) Ví dụ 2.Cho hàm số Gọi d đường thẳng qua điểm A(- 1; 0) với hệ số góc k ( k thuộc R) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt hai giao điểm B, C (B, C khác A ) với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Giải Đường thẳng d qua A(-1; 0) với hệ số góc k, có phương trình là: y = k(x+1) = kx+ k Nếu d cắt (C) ba điểm phân biệt phương trình: x3 – 3x2 + = kx + k ⇔ ⇔ x – 3x2 – kx + – k = (x + 1)( x2 – 4x + – k ) =  x = −1  ⇔  g ( x) = x − x + − k = ⇔ có ba nghiệm phân biệt g(x) = x2 – 4x + – k = có y = x3 − 3x + ∆ ' > k > ⇔ ⇔ ⇔ < k ≠ (*)  g (−1) ≠ 9 − k ≠ hai nghiệm phân biệt khác - Với điều kiện: (*) d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C.Với A(-1;0), B,C có hoành độ hai nghiệm phương trình g(x) = B ( x1 ; y1 ) ; C ( x2 ; y2 ) x1; x2 x2 − 4x + − k = Gọi với hai nghiệm phương trình: y1 = kx1 + k ; y2 = kx2 + k Còn uuur BC = ( x2 − x1 ; k ( x2 − x1 ) ) ⇒ BC = ( x2 − x1 ) + k = x2 − x1 + k Ta có: k h= 1+ k2 Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: ( ) ( ) 10 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation Vậy theo giả thiết: S= 1 k 1 h.BC = k 1+ k = k3 =1 ⇒ k3 = ⇔ k3 = ⇒ k = 2 1+ k2 4 y= Ví dụ Cho hàm số 2x + ( C) x +1 Tìm tham số m để đường thẳng d: y = - 2x + m cắt đồ thị hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB Giải Xét phương trình hoành độ giao điểm d (C): 2x + = −2 x + m ( x ≠ −1) ⇔ g ( x) = x − ( m − 4) x + − m = (1) x +1 D cắt (C) điểm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 ∆ = (m − 4) − 8(1 − m) > m + > ⇔ ⇔  g (−1) ≠  g (−1) = −1 ≠ ⇔ m + > ⇒ m ∈ R Chứng tỏ với m d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B A ( x1 ; −2 x1 + m ) ; B ( x2 ; −2 x2 + m ) x1 , x2 Gọi Với: hai nghiệm phương trình (1) uuur 2 AB = x2 − x1 ; x1 − x2 ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + ( x2 − x1 ) = x2 − x1 Ta có Gọi H hình chiếu vuông góc O d, khoảng cách từ O đến d h: m m ⇒h= = 22 + ( ( S= Theo giả thiết: )) 1 x2 − x1 AB.h = 2 ∆ 5= = m2 + = 2 m + = 42.3 ⇔ m + = 2.3 ⇒ m = 40 ⇔ m = 10 (*) Vậy: Với m thỏa mãn điều kiện (*) d cắt (C) A, B thỏa mãn yêu cầu toán 11 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation y = x − ( m + 1) x + m ( Cm ) m >1 ( Cm ) Ví dụ Cho hàm số Xác định để đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn trục Ox có diện tích phần phía trục Ox diện tích phần phía trục Ox Giải ⇔ x − ( m + 1) x + m = Đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt ⇔ t − ( m + 1) t + m = (2) có nghiệm dương phân biệt ∆ = ( m + 1) − 4m >  ⇔ m + > ⇔ m > 0& m ≠ m >  Hai nghiệm (2) t = 1, t = m , m >1 nên nghiệm phân biệt (1) theo thứ tự tăng là: − m , − 1,1, m Hàm số chẵn nên hình phẳng toán nhận Oy làm trục đối xứng Khi đồ thị có dạng hình bên Bài toán thỏa mãn S H1 = S H ⇔ ∫ x − ( m + 1) x + m dx = m ∫ x − ( m + 1) x + m dx 1 m ⇔ ∫ ( x − ( m + 1) x + m ) dx = − ∫ ( x − ( m + 1) x + m ) dx m ⇔ ∫ ( x − ( m + 1) x + m ) dx = 12 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation m  x5  x3 m m +1 +1 = ⇔ m =  − ( m + 1) + mx ÷ = ⇔ −  0 KL: m=5 thỏa mãn yêu cầu Ví dụ Cho hàm số ( Cm ) y = x − ( m + 1) x + 2m + có đồ thị ( Cm ) Định m để đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Giải x − ( m + 1) x + 2m + = Xét phương trình hoành độ giao điểm: (1) 2 f (t ) = t − ( m + 1) t + 2m + = t = x ,t ≥ Đặt (1) trở thành: f (t ) = Để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt phải có nghiệm dương phân biệt ∆ ' = m >   m > − ⇔  S = ( m + 1) > ⇔   P = 2m + > m ≠  (*) t1 < t2 f (t ) = Với (*), gọi nghiệm , hoành độ giao điểm (Cm) với Ox x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 là: x1 , x2 , x3 , x4 ⇔ x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔ t2 = 9t1 lập thành cấp số cộng m = 5m = m + ⇔ m + + m = ( m + − m ) ⇔ m = ( m + 1) ⇔  ⇔ m = −  −5m = 4m +  13 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation Vậy 4  m = 4; −  9   Bài tập đề nghị Bài tập đội nhóm y = x3 + 3(m − 1) x − 3mx + Bài (Cho hàm số đường thẳng đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt a) có hoành độ dương b) có hoành độ lớn c) có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 21 d : y = x − Tìm m để 14 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation y = x3 − 3mx + (m − 1) x + m + d : y = x − m − Bài Cho hàm số đường thẳng Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt có hoành độ lớn 15 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation Bài Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4, có đồ thị (Cm) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Cho d đường thẳng có phương trình y = x + điểm K(1 ; 3) Tìm m để d cắt (Cm) ba điểm phân biệt A(0 ; 4), B, Csao cho tam giác KBC có diện tích 16 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG 17 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation Bài tập nhà y = x3 − 3x − Bài Cho hàm số: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt A, M, N cho xA = MN = 2 Bài :Cho hàm số y = x3 − x + ( m + 1) x + 1( 1) có đồ thị ( Cm ) với m tham số m = −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ( d ) : y = x +1 ( Cm ) b) Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị điểm phân biệt P ( 0,1) , M , N cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN 2 với O ( 0;0 ) Bài :Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + có đồ thị (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt C(0;1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D E vuông góc với Bài :Cho hàm số y = x3- (m+1)x2 + (m - 1)x + 1Chứng tỏ với giá trị khác m, đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A, B, C B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị m để tiếp tuyến B, C song song với 2x + y= ( C) 1− x Bài Cho hàm số a) Khảo sát hàm số b) Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N MN = 10 18 TRUNG TÂM HUẤN LUYỆN TỰ HỌC STA Website : http://sta.edu.vn/ Hotline : 0985.828.366 Trụ sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation y= 2x −1 x −1 Bài 10 Cho hàm số có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x+m AB = b) Tìm m để đường thẳng cắt (C) hai điểm A, B cho y= 2x + x+2 Bài 11:Cho hàm số có đồ thị (C) Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ x+2 ( C) x −1 Bài 12: Cho hàm số y = (C) đường thẳng d: y = x+m cắt đồ thị điểm A B cho tam giác hai đường tiệm cận y= IAB nhận điểm H ( 4; −2 ) làm trực tâm Với I giao điểm 2x + x −1 Bài 13: Cho hàm số (1).Gọi I giao điểm hai tiệm cận (C), đường thẳng (d ) : x − y + = (C ) A cắt hai điểm A, B với có hoành độ dương Viết phương trình (C ) tiếp tuyến vuông góc với IA y= x −1 x +1 y = ax + b Tìm a b để đường thẳng (d): cắt (C) hai ∆ x − 2y + = điểm phân biệt đối xứng qua đường thẳng ( ): Bài 14 :Cho hàm số ... Nhận xét: Số nghiệm (1) số giao điểm hai đồ thị hàm số Sau lập phương trình tương giao d (C) I Bài toán bản: Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x,... sở : số ngõ 199 Trường Chinh - Thanh Xuân - Hà Nội Facebook : https://www.facebook.com/STAeducation • Bảng biến thiên: (−∞;0) (2; +∞) Hàm số đồng biến (0 ; 2); hàm số nghịch biến • Hàm số đạt... thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt A, B, C B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị m để tiếp tuyến B, C song song với 2x + y= ( C) 1− x Bài Cho hàm số a) Khảo sát hàm số b)