Đề cương môn giải tích 1 – MI1113

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng Tin học ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - TỪ K62 Nhóm ngành Mã số : MI 1113 1) Kiểm tra kỳ hệ số 0.3: Tự luận, 60 phút Nội dung: Chương 1, chương đến hết tích phân bất định hàm phân thức hữu tỉ 2) Thi cuối kỳ hệ số 0.7: Tự luận, 90 phút Chương Phép tính vi phân hàm biến số 1.1-1.4 Dãy số, hàm số Tìm tập xác định hàm số a) y = d) y = arccos (sin x) log(tan x) 2x b) y = arcsin 1+x √ x c) y = sin πx e) y = arcsin(sin x) f) y = sin(arcsin x) Tìm miền giá trị hàm số a) y = lg (1 − cos x) c) y = arctan(sin x) b) y = arcsin lg d) y = arctan(ex ) x 10 Tìm f (x) biết a) f x+ x = x2 + x2 b) f Tìm hàm ngược hàm số x 1+x = x2 a) y = 2x + b) y = 1−x 1+x c) y = x (e − e−x ) Xét tính chẵn lẻ hàm số a) f (x) = ax + a−x (a > 0) b) f (x) = ln x + √ c) f (x) = sin x + cos x d) f (x) = arcsin x + x2 Chứng minh hàm số f (x) xác định khoảng đối xứng (−a, a), (a > 0) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn với hàm số lẻ Xét tính tuần hoàn tìm chu kỳ hàm số sau (nếu có) a) f (x) = A cos λx + B sin λx d) f (x) = cos2 x b) f (x) = sin(x2 ) √ e) f (x) = cos x + cos x 1 c) f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x √ f) f (x) = sin x + sin x 1.5-1.6 Giới hạn hàm số Tìm giới hạn x100 − 2x + a) lim 50 x→1 x − 2x + (xn − an ) − nan−1 (x − a) , b) lim x→a (x − a)2 n ∈ N Tìm giới hạn a) lim x→+∞ b) lim x→+∞ x+ √ √ x+ √ √ m √ + αx − n + βx c) lim x→0 x √ √ m + αx n + βx − d) lim x→0 x x x+1 x3 + x2 − − x 10 Tìm giới hạn √ cos x − cos x c) lim x→0 sin2 x − cos x cos 2x cos 3x d) lim x→0 − cos x √ sin x − sin a a) lim x→a x−a √ √ b) lim sin x + − sin x x→+∞ 11 Tìm giới hạn x2 − a) lim x→∞ x2 + √ b) lim+ (cos x) x c) lim [sin (ln (x + 1)) − sin (ln x)] x−1 x+1 x→∞ √ √ d) lim n2 ( n x − n+1 x) , x > n→∞ x→0 12 Khi x → 0+ cặp VCB sau có tương đương không? α(x) = x+ √ x β(x) = esin x − cos x 1.7 Hàm số liên tục 13 Tìm a để hàm số liên tục x =    − cos x , x = 0, x2 a) f (x) =  a, x =   ax2 + bx + 1, x ≥ 0, b) g(x) =  a cos x + b sin x, x < 14 Điểm x = điểm gián đoạn loại hàm số a) y = − 2cot x b) y = sin x1 ex + 1.8 Đạo hàm vi phân eax − ebx c) y = , x (a = b) 15 Tìm đạo hàm hàm số    − x, x < 1,     f (x) = (1 − x)(2 − x), ≤ x ≤ 2,      x − 2, x > 16 Với điều kiện hàm số   xn sin , x = 0, x f (x) =  0, x = (n ∈ Z) a) Liên tục x = b) Khả vi x = c) Có đạo hàm liên tục x = 17 Chứng minh hàm số f (x) = |x − a|ϕ(x), ϕ(x) hàm số liên tục ϕ(a) = 0, không khả vi điểm x = a 18 Tìm vi phân hàm số x arctan , (a = 0) a a x b) y = arcsin , (a = 0) a x−a ln , (a = 0) 2a x+a √ d) y = ln x + x2 + a a) y = c) y = 19 Tìm a) d d(x2 ) sin x x b) d(sin x) d(cos x) c) 20 Tính gần giá trị biểu thức a) log 11 b) − 0.02 + 0.02 d x3 − 2x6 − x9 d(x ) 21 Tìm đạo hàm cấp cao hàm số x2 , tính y (8) a) y = 1−x 1+x b) y = √ , tính y (100) 1−x x2 , tính y (8) c) y = 1−x d) y = x2 sin x, tính y (50) 22 Tính đạo hàm cấp n hàm số x x2 − 1 b) y = x − 3x + c) y = √ a) y = x 1+x d) y = eax sin(bx + c) 1.9 Các định lý hàm khả vi ứng dụng 23 Chứng minh phương trình xn + px + q = với n nguyên dương có nghiệm thực n chẵn, nghiệm thực n lẻ f ′ (c) f (b) − f (a) = ′ không 24 Giải thích công thức Cauchy dạng g(b) − g(a) g (c) áp dụng hàm số f (x) = x2 , g(x) = x3 , −1 ≤ x ≤ 25.Chứng minh bất đẳng thức a) |sin x − sin y| ≤ |x − y| b) a−b a a−b < ln < , < b < a a b b 26 Tìm giới hạn a) lim x+ b) lim x − x − ln x x→+∞ x→1 x+ √ x− √ e) lim tan x x→1 f) lim − atan2 x x→∞ tan π2 x g) lim− x→1 ln(1 − x) e x − cos x1 1− 1− x sin x x→0 c) lim πx ln(2 − x) x2 h) lim (1 − cos x)tan x ex sin x − x(1 + x) d) lim x→0 x3 x→0 27 Xác định a, b cho biểu thức sau có giới hạn hữu hạn x → a b f (x) = − − − x x sin x x 28 Cho f hàm số thực khả vi [a, b] có đạo hàm f ′′ (x) (a, b) Chứng minh với x ∈ (a, b) tìm điểm c ∈ (a, b) cho (x − a)(x − b) ′′ f (b) − f (a) (x − a) = f (c) b−a 29 Khảo sát tính đơn điệu hàm số f (x) − f (a) − b) y = arctan x − x a) y = x3 + x 30 Chứng minh bất đẳng thức a) 2x arctan x ≥ ln + x2 với x ∈ R x2 b) x − ≤ ln(1 + x) ≤ x với x ≥ 31 Tìm cực trị hàm số a) y = 3x2 + 4x + x2 + x + c) y = (1 − x)(x − 2)2 2 d) y = x + (x − 2) b) y = x − ln(1 + x) 1.10 Giới thiệu dạng đường cong 32 Khảo sát hàm số 2t − t2 e)  y= t 1+t   x = 2t − t2 f)  y = 3t − t3 − x2 a) y = + x4 √ b) y = x3 − x2 − x + c) y =   x= x4 + x3 + x−2 d) y = √ x2 + g) r = a + b cos ϕ, (0 < a ≤ b) h) r = √ a , (a > 0) cos 3ϕ Chương Phép tính tích phân hàm biến số 2.1 Tích phân bất định Tính tích phân a) b) c) d) √ x xdx e) xdx (x + 2)(x + 5) |x2 − 3x + 2|dx f) dx x x2 + xdx dx (x + a)2 (x + b)2 g) sin x sin(x + y)dx h) + sin x dx sin2 x e) dx (x2 + 2x + 5)2 f) sinn−1 x sin(n + 1)xdx g) e−2x cos 3xdx h) arcsin2 xdx 1− x2 √ (x2 − 1) 3/2 Tính tích phân a) arctan xdx b) √ c) d) x+2 dx x2 − 5x + xdx x2 + x + √ x −x2 + 3x − 2dx √ Lập công thức truy hồi tính In a) In = xn ex dx b) In = dx cosn x 2.2 Tích phân xác định Tính đạo hàm a) d y t2 e dt dx x b) d dy y et dt x dt d x √ c) dx x2 + t4 Dùng định nghĩa cách tính tích phân xác định, tìm giới hạn a) lim n→∞ 1 1 , (α, β > 0) + + + ··· + nα nα + β nα + 2β nα + (n − 1)β n→∞ n b) lim 1+ + n 1+ + ··· + n 1+ n n Tính giới hạn sin x √ a) lim+ x→0 x tan tdt tan x √ b) lim x→+∞ sin tdt (arctan t)2 dt √ x2 + Tính tích phân sau e a) 1/e e b) |ln x| (x + 1) dx d) (x ln x)2 dx e) sin2 x cos x (1 + tan2 x) arcsin 3π/2 c) dx x dx 1+x π/2 dx + cos x cosn x cos nxdx f) Chứng minh f (x) liên tục [0, 1] π/2 a) f (sin x)dx = π π π/2 b) f (cos x)dx xf (sin x)dx = 0 π f (sin x)dx Cho f (x), g(x) hai hàm số khả tích [a, b] Khi f (x), g (x) f (x).g(x) khả tích [a, b] Chứng minh bất đẳng thức (với a < b) b f (x)g(x)dx a b ≤ b f (x)dx a g (x)dx a (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz) 2.3 Tích phân suy rộng 10 Xét hội tụ tính (trong trường hợp hội tụ) tích phân sau a) c) x xe dx −∞ −∞ b) +∞ +∞ d) cos xdx 0 dx (x2 + 1)2 dx x(1 − x) 11 Xét hội tụ tích phân sau a) b) c) dx tan x − x √ xdx sin e x−1 √ xdx √ − x4 12 Nếu +∞ Xét ví dụ d) +∞ ln (1 e) +∞ f) +∞ √ + x) dx x dx x + x3 x2 dx x4 − x2 + f (x)dx hội tụ có suy f (x) → x → +∞ không? +∞ sin x2 dx 13 Cho hàm f (x) liên tục [a, +∞) lim f (x) = A = Hỏi x→+∞ +∞ f (x)dx có hội tụ không a 2.4 Ứng dụng tích phân xác định 14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn a) Đường parabol y = x2 + đường thẳng x − y + = b) Parabol bậc ba y = x3 đường y = x, y = 2x, (x ≥ 0) c) Đường tròn x2 + y = 2x parabol y = x, (y ≤ x) d) Đường y = x2 − x4 15 Tính thể tích vật thể phần chung hai hình trụ x2 + y ≤ a2 y + z ≤ a2 , (a > 0) 16 Tìm thể tích vật thể giới hạn mặt paraboloit z = − y , mặt 10 phẳng tọa độ x = 0, z = mặt phẳng x = a (a = 0) 17 Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên quay hình giới hạn đường y = 2x − x2 y = a) Quanh trục 0x vòng b) Quanh trục 0y vòng 18.Tính độ dài đường cong ex + a) y = ln x x biến thiên từ đến e −1    x = a cos t + ln tan t π π t biến thiên từ đến b)   y = a sin t (a > 0) 19 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên quay đường sau a) y = sin x, ≤ x ≤ π quay quanh trục 0x b) y = (1 − x)3 , ≤ x ≤ quay quanh trục 0x 11 Chương Hàm số nhiều biến số 3.1 Các khái niệm Tìm miền xác định hàm số sau a) z = b) z = c) z = arcsin x2 + y − (x2 + y − 1) (4 − x2 − y ) d) z = √ y−1 x x sin y Tìm giới hạn có hàm số sau x2 − y , (x → 0, y → 0) a) f (x, y) = x + y2 πx , (x → ∞, y → ∞) b) f (x, y) = sin 2x + y x3 − y c) f (x, y) = , x + y2 d) f (x, y) = (x → 0, y → 0) − cos x2 + y , x2 + y (x → 0, y → 0) 3.2 Đạo hàm riêng vi phân Tính đạo hàm riêng hàm số sau a) z = ln x + b) z = y sin d) z = xy , (x > 0) x2 + y x y c) z = arctan e) u = xy , (x, y, z > 0) z x2 − y x2 + y f) u = e x2 +y2 +z2 Khảo sát liên tục tồn tại, liên tục đạo hàm riêng hàm số f (x, y) sau   x arctan y x a) f (x, y) =  0, , x = 0, x = 12   x sin y − y sin x   , (x, y) = (0, 0), + y2 x b) f (x, y) =   0, (x, y) = (0, 0) Giả sử z = yf (x2 − y ), f hàm số khả vi Chứng minh hàm số z hệ thức sau thỏa mãn ′ ′ z zx + zy = x y y Tìm đạo hàm riêng hàm số hợp sau a) z = eu −2v , u = cos x, v = x2 + y b) z = ln u2 + v , u = xy, v = x y c) z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t3 Tìm vi phân toàn phần hàm số a) z = sin(x2 + y ) b) z = ln tan c) z = arctan y x d) u = xy z x+y x−y Tính gần a) A = (1, 02) + (0, 05) b) B = ln √ 1, 03 + √ 0, 98 − Tìm đạo hàm, đạo hàm riêng hàm số ẩn xác định phương trình sau a) x3 y − y x = a4 , tính y ′ b) x + y + z = ez , tính zx ′ , zy ′ c) arctan y x+y = , tính y ′ a a d) x3 + y + z − 3xyz = 0, tính zx ′ , zy ′ 13 x+z , tính ux ′ , uy ′ biết z hàm số ẩn x, y xác định y+z phương trình zex = xex + yey 10 Cho u = 11 Tìm đạo hàm hàm  số ẩn y(x), z(x) xác định hệ  x+y+z =0 12 Phương trình z + = x  x2 + y + z = y − z , xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh 1 x2 z x ′ + z y ′ = y z 13 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau a) z = (x2 + y )3 y c) z = arctan x b) z = x2 ln(x + y) 3.3 Cực trị hàm số nhiều biến số 14 Tính vi phân cấp hai hàm số sau a) z = xy − x2 y b) z = 2(x2 + y2) 15 Tìm cực trị hàm số sau a) z = x2 + xy + y + x − y + c) z = x2 + y − e−(x b) z = x + y − xey d) z = 2x4 + y − x2 − 2y 16 Tìm cực trị có điều kiện a) z = 1 1 + với điều kiện + = x y x y a b) z = xy với điều kiện x + y = 17 Tính giá trị lớn bé hàm số 14 +y ) a) z = x2 y(4 − x − y) hình tam giác giới hạn đường thẳng x = 0, y = 0, x + y = b) z = sin x+sin y +sin(x+y) hình chữ nhật giới hạn đường π π thẳng x = 0, x = , y = 0, y = 2 3.4 Tích phân kép 18 Tính tích phân sau x sin (x + y) dxdy, D = (x, y) ∈ R2 : a) D y D 19 Đổi thứ tự lấy tích phân 1−x2 dx −1 b) √ − 1−x2 1+ √ f (x, y) dx 2−y √ 2x dx √ d) √ 2x−x2 f (x, y) dx y √ f (x, y) dx+ dy f (x, y) dy 1−y dy c) √ 4−y f (x, y) dx dy 20 Tính tích phân sau a) D b) D x x2 (y − x) dxdy, D giới hạn y = x2 x = y b) I = a) π 2, dxdy 2, (x2 +y ) D : 1−x2 −y 1+x2 +y dxdy   4y  x x2 + y 8y, √ y x D : x2 + y 15 π c) D xy x2 +y dxdy D :     x2 + y        x2 + y    x2 + y       x 0, y 16 12 2x √ 3y  ... x x→+∞ x 1 x+ √ x− √ e) lim tan x x 1 f) lim − atan2 x x→∞ tan π2 x g) lim− x 1 ln (1 − x) e x − cos x1 1 1 x sin x x→0 c) lim πx ln(2 − x) x2 h) lim (1 − cos x)tan x ex sin x − x (1 + x) d)... = 0, x = , y = 0, y = 2 3.4 Tích phân kép 18 Tính tích phân sau x sin (x + y) dxdy, D = (x, y) ∈ R2 : a) D y D 19 Đổi thứ tự lấy tích phân 1 x2 dx 1 b) √ − 1 x2 1+ √ f (x, y) dx 2−y √ 2x dx... trường hợp hội tụ) tích phân sau a) c) x xe dx −∞ −∞ b) +∞ +∞ d) cos xdx 0 dx (x2 + 1) 2 dx x (1 − x) 11 Xét hội tụ tích phân sau a) b) c) dx tan x − x √ xdx sin e x 1 √ xdx √ − x4 12 Nếu +∞ Xét ví