Đáp án đề thi giúp cho các bạn sinh viên nắm bắt được cấu trúc và cách giải đề thi, dạng đề thi chính để có kế hoạch ôn thi một cách tốt hơn. Tài liệu hữu ích cho các các bạn sinh viên đang theo học môn này và những ai quan tâm đến môn học này dùng làm tài liệu tham khảo
ĐÁP ÁN ĐỀ Câu +) Điều kiện xác định: −1 ≤ 2x + ≤ , +) ⇔ −1 ≤ x ≤ Tập xác định D = [ − 1,0] − cos2x = +) Hàm số liên tục x = ⇔ m = f (0) = lim f ( x ) = x →0 x →0 x2 Câu +) lim f ( x ) = lim x →0 x → 0+ : + ) α ( x ) = x + x ~ x , +) β ( x ) = (e sinx −1) + (1 − cos2x) , e sinx −1 ~ sinx ~ x , − cos2x ~ 2x ⇒ β ( x ) ~ x Vậy α ( x ) ~ β ( x ) Câu Khi Câu +) x > −2, f '( x ) = −x −1 −1 = = ⇔ x = −1 x+2 x+2 +) Xét dấu f '( x ) ta có f ( x ) đạt cực đại x = −1 Câu +) I = ∫ ( x + 1)dx −1 = ∫ + dx ,+) I = − ln | x + | +2 ln | x + | +C ( x + 2)( x + 3) x + x + Câu +) f +' (3) = lim x →3+ x−3 (2 − x )(3 − x) = +) f −' (3) = lim− = KL: f ' (3) = f +' (3) = f −' (3) = x → x−3 x−3 Câu +) I = lim x→3 L' ( x − 2) ln( x − 2) − x + ( x − 2) ln( x − 2) − x + ln( x − 2) = lim x →3 , +) = lim x →3 = ( x − 3) ln[1 + ( x − 3)] ( x − 3) 2( x − 3) Câu +) ∫ arcsin xdx = x arcsin x − ∫ xdx 1− x ,+) = x arcsin x + − x + C 1 Câu +) Xét g ( x ) = f , x ∈ (0,1] , g (0) := lim g ( x ) = lim f ( x ) = f (1) ⇒ g (0) = g (1) x →+∞ x →0 x + +) g ( x) thỏa mãn định lí Rolle [0,1] nên ∃x0 ∈ (0,1) | g '( x0 ) = 0, đặt c = x ta có f '(c) = Câu10.+) ∀x0 ∈ ℝ , f ( x ) − f ( x0 ) ≤ x − x0 sin( x − x0 ) , ∀x ≠ x0 ⇒ +) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) ≤ sin( x − x0 ) , ∀x ≠ x0 ⇒ f '( x0 ) = lim =0 x → x0 x − x0 x − x0 f ' ≡ ⇒ f = const (thỏa mãn) Thang điểm: dấu +) 0,5 điểm ĐÁP ÁN ĐỀ Câu +) Điều kiện xác định: −1 ≤ − 2x ≤ , +) ⇔ ≤ x ≤ Tập xác định D = [0,1] − cos4x = +) Hàm số liên tục x = ⇔ m = f (0) = lim f ( x ) = x →0 x →0 x2 Câu +) lim f ( x ) = lim x →0 x → : + ) α ( x ) = x + x ~ x , +) β ( x ) = (e tan x −1) + (1 − cos4x) , e tanx −1 ~ tan x ~ x , − cos4x ~ 8x ⇒ β ( x ) ~ x Vậy α ( x ) ~ β ( x ) Câu Khi Câu 4.+) x > −3, f '( x ) = − x+2 = = ⇔ x = −2 x+3 x+3 +) Xét dấu f '( x ) ta có f ( x ) đạt cực tiểu −2 x = −2 Câu +) I = ∫ ( x + 2)dx −1 = ∫ + dx ,+) I = − ln | x + | +2 ln | x + | +C ( x + 3)( x + 4) x + x + Câu +) f +' (4) = lim x →4 + 4− x (3 − x )( x − 4) = −1 +) f −' (4) = lim− = −1 KL: f ' (4) = f +' (4) = f −' (4) = −1 x → x−4 x−4 Câu +) I = lim x→2 L' ( x − 1) ln( x − 1) − x + ( x − 1) ln( x − 1) − x + ln( x − 1) = lim x →2 , +) = lim x →2 = ( x − 2) ln[1 + ( x − 2)] ( x − 2) 2( x − 2) Câu +) ∫ arccos xdx = x arccos x + ∫ xdx 1− x ,+) = x arccos x − − x + C 1 Câu +) Xét g ( x ) = f + , x ∈ [ − 1,0) , g (0) := lim g ( x ) = lim f ( x ) = f (1) ⇒ g (0) = g ( −1) x x →0− x →−∞ +) g ( x) thỏa mãn định lí Rolle [ − 1,0] nên ∃x0 ∈ ( −1,0) | g '( x0 ) = 0, ta có f '( x + 2) = Câu10.+) ∀x0 ∈ ℝ , f ( x ) − f ( x0 ) ≤ x − x0 e x − x − , ∀x ≠ x0 ⇒ +) f ( x ) − f ( x0 ) f ( x ) − f ( x0 ) ≤ e x − x0 − , ∀x ≠ x0 ⇒ f '( x0 ) = lim =0 x → x x − x0 x − x0 f ' ≡ ⇒ f = const (thỏa mãn) Thang điểm: dấu +) 0,5 điểm ĐÁP ÁN ĐỀ Câu +) x ≠ − , y = 2x + 3 − 5y 1 − 5x ⇔x= , y ≠ +) Hàm số ngược cần tìm: y = ,x ≠ 4x + 4y − 2 4x − Câu + ) lim f ( x ) = 0, lim f ( x ) = +) lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) ⇒ x = x→ π− x→ π+ x→ π+ x→ π− π 1 2 điểm gián đoạn loại 2 Câu +) ( xe3x ) = x (e3x )(5) + C51 ( x ) '(e3x )(4) , +) = 35 xe3x + 5.34 e3x (5) Câu +) Xét hàm số f ( x ) = x arctan x − ln(1 + x ), x ≥ , f '( x ) = arctan x > 0, ∀x > +) ⇒ f ( x ) đồng biến x ≥ ⇒ f ( x ) ≥ f (0) = 0, ∀x ≥ Câu +) I = lim(cos x )cot x = lim ecot x ln cos x = e x →0 lim cot x ln cos x x →0 x →0 ln cos x L ' − tan x = lim = 0, ⇒ I = x → t anx x → cos2 x +) lim cot x ln cos x = lim x→0 Câu +) I = ∫ arctan(2 x )dx = x arctan(2 x ) − ∫ 2xdx , +) I = x arctan(2 x ) − ln(1 + 4x ) + C + 4x L' e x sin x − x L ' e x sin x + e x cos x − 2e x cos x = lim , + ) = lim = x →0 x →0 x →0 x2 2x Câu +) lim Câu +) dx ∫ ( x + 2) ( x + 3) Câu +) y ' = 1− x 2 2 1 = ∫ + + dx, + ) = -2ln|x+2|+2ln|x+3|+C x+2 x+3 (x+2)² x+2 (x+3)² x+3 ⇒ (1 − x ) y ' = − x ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = −x 1− x = − xy ' ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = +) ⇒ ( (1 − x ) y ''− xy ' ) = ⇒ (1 − x ) y ( n +2) − n.2x y ( n +1) − n( n − 1) y n − x y ( n +1) − ny n = , (n) ⇒ y ( n +2) (0) = n y ( n ) (0) ⇒ y (19) (0) = 172 y (17) (0) = ⋯ = (17!!) y '(0) = (17!!) 2 Câu 10 +) Phản chứng, giả sử có x0 > cho f '( x0 ) > Do f ''( x ) ≥ nên f '( x ) ≥ f '( x0 ), ∀x > x0 x →+∞ +) Theo Lagrange: ∃c ∈ ( x0 , x ) | f ( x ) = f ( x0 ) + f '(c)( x − x0 ) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) → + ∞ > (trái gt) Thang điểm: dấu +) 0,5 điểm ĐÁP ÁN ĐỀ Câu +) x ≠ − , y = 3x + 4 − 6y 3 − 6x 3 ⇔x= , y ≠ +) Hàm số ngược cần tìm: y = ,x ≠ 5x + 5y − 5 5x − 5 Câu +) lim f ( x ) = 0, lim f ( x ) = +) lim f ( x ) ≠ lim f ( x ) ⇒ x = điểm gián đoạn loại x → 0+ x → 0− Câu +) ( xe2x ) (6) x → 0+ x → 0− +) = 26 xe2x + 6.25 e2x = x ( e 2x )(6) + C61 ( x ) '( e2x )(5) , Câu +) Xét hàm số x − ln( x + 1), x ≥ f '( x) = − x = ≥ x +1 x +1 +) ⇒ f ( x ) đồng biến, f ( x ) ≥ f (0) = 0, ∀x ≥ lim tan x ln sin x Câu +) I = lim(sin x ) tan x = limπ e tan x ln sin x = e π x→ x→ x→ π L' +) lim tan x ln sin x = lim ln sin x = lim x→ π x→ π cotx cot x = 0, ⇒ I = 1 2 sin x π x→ − Câu +) I = ∫ arctan(3x )dx = x arctan(3x ) − ∫ 3xdx , +) I = x arctan(3x ) − ln(1 + 9x ) + C + 9x L' e x cos x − − x L ' e x cos x − e x sin x − −2e x sin x = + = lim , ) l i m =− x →0 x → x → x 3x 6x Câu +) lim Câu +) ∫ dx 2 1 = ∫ + + dx, + ) = -2ln|x+3|+2ln|x+4|+C 2 ( x + 3) ( x + 4) x+3 x+4 (x+3)² x+3 (x+4)² x+4 Câu +) y ' = −1 1− x ⇒ (1 − x ) y ' = − − x ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = x 1− x = − xy ' ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = +) ⇒ ( (1 − x ) y ''− xy ' ) = ⇒ (1 − x ) y ( n +2) − n.2x y ( n +1) − n(n − 1) y n − x y ( n +1) − ny n = , (n) ⇒ y ( n +2) (0) = n2 y ( n ) (0) ⇒ y (17) (0) = 152 y (15) (0) = ⋯ = (15!!) y '(0) = − (15!!) 2 Câu 10 +) Phản chứng, giả sử có x0 < cho f '( x0 ) < Do f ''( x ) ≥ nên f '( x ) ≤ f '( x0 ), ∀x < x0 x →−∞ +) Theo Lagrange: ∃c ∈ ( x, x0 ) | f ( x ) = f ( x0 ) + f '(c)( x − x0 ) ≥ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 ) → + ∞ > (trái gt) Thang điểm: dấu +) 0,5 điểm ... x+3 ⇒ (1 − x ) y ' = − x ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = −x 1? ?? x = − xy ' ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = +) ⇒ ( (1 − x ) y ''− xy ' ) = ⇒ (1 − x ) y ( n +2) − n.2x y ( n +1) − n( n − 1) y n − x y ( n +1) − ny... +) ⇒ ( (1 − x ) y ''− xy ' ) = ⇒ (1 − x ) y ( n +2) − n.2x y ( n +1) − n(n − 1) y n − x y ( n +1) − ny n = , (n) ⇒ y ( n +2) (0) = n2 y ( n ) (0) ⇒ y (17 ) (0) = 15 2 y (15 ) (0) = ⋯ = (15 !!) y... 2 1 = ∫ + + dx, + ) = -2ln|x+3|+2ln|x+4|+C 2 ( x + 3) ( x + 4) x+3 x+4 (x+3)² x+3 (x+4)² x+4 Câu +) y ' = ? ?1 1− x ⇒ (1 − x ) y ' = − − x ⇒ (1 − x ) y ''− xy ' = x 1? ?? x = − xy ' ⇒ (1 −