Chuyên đề: Vectơ và các tính chất về vectơ

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, trong đó có điểm đầu và điểm cuối Để xác định một vectơ cần biết 1 trong 2 điều kiện sau: Điểm đầu và điểm cuối của vectơ Độ dài và hướng Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, trong đó có điểm đầu và điểm cuối Để xác định một vectơ cần biết 1 trong 2 điều kiện sau: Điểm đầu và điểm cuối của vectơ Độ dài và hướng

Chủ đề 1: Vectơ và các tính chất về vectơ

A Tóm tắt lí thuyết

1 Định nghĩa:

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, trong đó có điểm đầu và điểm cuối

* Để xác định một vectơ cần biết 1 trong 2 điều kiện sau:

- Điểm đầu và điểm cuối của vectơ

- Độ dài và hướng

2 Hai vectơ a và b cùng phương khi giá của chúng // hoặc  nhau

Hai vectơ a và b cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc

ngược hướng

3 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ

đó

4 a = bkhi a  b và a, bcùng hướng

5 Với mỗi diểm A ta gọi AA là vectơ không Vectơ không được kí hiệu là

0và quy ước 0 0, vectơ không cùng phương và cùng hướng với mọi

vectơ

B Phương pháp giải toán

Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai

vectơ

Phương pháp giải:

 Để xác định vectơ ta cần biết độ lớn và hướng của vectơ, hoặc biết

điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó Ví dụ 2 điểm phân biệt A, B

ta có 2 vectơ khác nhau là ABvà BA

 Vectơ a là vectơ-không khi và chỉ khi a 0hoặc a  AA với A là

điểm bất kì

C Bài tập có hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định được hai vectơ khác

vectơ –không là AB

và BA

Mà từ bốn đỉnh còn lại của ngũ giác ta có 6 cặp đểm phân biệt Do đó ta có tất cả 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài

toán

Chọn đáp án A

Bài tập mẫu 2: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung

điểm của các cạnh BC, CA, AB

a Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không cùng phương với vectơ

MN



có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm đã cho

A 4 B.7 C 12 D 15

Bài tập mẫu 1: Cho ngũ giác ABCDE Có bao nhiêu vectơ khác

vectơ – không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của ngũ giác

A 12 B 13 C.14 D 16

Hướng dẫn giải

a Các vectơ khác vectơ- không mà cùng phương với vectơ MN

là

NM AB BA AP PA PB BP

      

Chọn đáp án A

b Các vectơ khác vectơ – không cùng hướng với vectơ AB

:   AP PB NM, ,

Chọn đáp án B

c Trên tia CB, Lấy điểm B’ sao cho BB' NP

Qua A dựng đường thẳng song song với đường thẳng NP Trên đường

thẳng đó lấy điểm A’ sao cho AA'

cùng hường với NP

và AA' NP

Khi đó AA'

là vectơ có điểm đầu là A và bằng vectơ NP

Bài tập mẫu 3: Cho hình vuông ABCD có tâm O cạnh bằng a Gọi

M là trung điểm của AB Tính độ dài của vectơ MD

2

a

MD 



3

a

MD 



2

a

MD 



4

a

MD 



b Có bao nhiêu vectơ khác vectơ – không cùng hướng với vectơ AB

có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm đã cho

A 0 B 2 C 3 D 6

c Vẽ các vectơ bằng vectơ NP

mà có điểm đầu là A và B

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAD ta có

DM AM AD   a  DM 

 

Từ đây suy ra: 5

2

a

MD MD



Chọn đáp án C

Hướng dẫn giải

Qua N kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt AB tại P

Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông

a

PM PAAM a 

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NPM ta có:

2 2

2 2 2 2 3a 13a 13

a

MN NP PM a    DM 

Bài tập mẫu 3: Cho hình vuông ABCD có tâm O cạnh bằng a Gọi

M là trung điểm của AB, N là điểm đối xứng với C qua D Tính độ

dài của vectơ MN

2

a

MN 



3

a

MN 



2

a

MN 



2

a

MN 



Từ đây suy ra: 13

2

a

MN MN



Chọn đáp án D

phương pháp giải: Để chứng minh 2 vectơ bằng nhau có 3 cách:



à cùng huong

a b

a b

a v b







 

 ABCD là hbh   ABDC

và BC  AD

 Nếu a = b,b = cthì a = c

C Bài tập có hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Từ đây suy ra:

/ / 1 2

MN AC

MN AC











(1)

Tương tự ta cũng có QP là đường trung bình của tam giác ADC

Từ đây suy ra:

/ / 1 2

QP AC

QP AC











(2)

Bài tập mẫu 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N , P, Q lần lượt là trung

điểm của AB, BC, CD, DA Khẳng định nào sau đây là đúng

A MN  QP

B MN  2QP

C MN  3QP

D 3MN  2QP

Từ (1) và (2) ta suy ra: MN/ /QP

MN QP









Do đó: Tứ giác MNQP là hình bình hành

Nên ta được: MN  QP

Chọn đáp án A

Hướng dẫn giải

Vì I là trung điểm của BC nên ta có:

BI CI và BI

cùng hướng với IC

Do đó: hai vectơ BI

và IC

bằng nhau hay nói cách khác BI IC

Chọn đáp án A

Hướng dẫn giải

Bài tập mẫu 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tậm Gọi I là trung

điểm của BC Dựng điểm B’ sao cho B B '  AG

Gọi J là trung điểm của BB’ Khẳng định nào sau đây là đúng

A 3BJ 2IG

B BJ IG

C BJ2IG

D 2BJ IG

Bài tập mẫu 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tậm Gọi I là trung

điểm của BC Dựng điểm B’ sao cho B B ' AG

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A BI IC

B 3BI2IC

C BI2IC

D 2BI IC

Ta có:

' '

'/ /

BB AG

BB AG

BB AG







 

Do đó: BJ IG  ,

cùng hướng với nhau

Mặt khác: G là trọng tâm của tam giác ABC

Nên 1

2

IG AG

Ngoài ra J là trung điểm của BB’ nên 1 '

2

BJ  BB

Vậy: BJ IG  2

Từ (1) và (2) ta suy ra: BJ  IG

Chọn đáp án B

Hướng dẫn giải

Bài tập mẫu 4: Cho hình bình hành ABCD Trên các đoạn thẳng

DC, AB theo thứ tự lấy các điểm M, N sao cho DM BN Gọi P là

giao điểm của AM và DB, gọi Q là giao điểm của CN và DB Khẳng

định nào sau đây là đúng ?

A  AM NC

B DB  QB

C Cả A, B đúng D Cả A, B sai

Ta có: DM BN AN MC

Mặt khác: AN song song

MC

Do đó tứ giác ANCM là hình bình hành

Từ đây suy ra:  AM NC

Xét hai tam giác DMP và tam giác BNQ

Ta có:  

AM NB

PDM QBN











Mặt khác: DMP APB (đối đỉnh) và APQNQB(hai góc đồng vị)

Từ đây suy ra: DMP BNQ

Do đó: DMP BNQ(c-g-c)

Từ đây suy ra: DBQB

Dễ thấy: DB QB  ,

cùng hướng nên DB  QB

Chọn đáp án C

D Bài tập trắc nghiệm có đáp án

Bài tập 1: Hai vec tơ được gọi là bằng nhau nếu :

a) Chúng có độ dài bằng nhau và cùng phương

b) Chúng có độ dài bằng nhau và cùng hướng

c) Chúng có độ dài bằng nhau

d) Chúng có độ dài bằng nhau và ngược hướng

Bài tập 2: Cho tam giác ABC cân tại C , ta có :

a) CA  CB b) CA  CB

c) CA cùng phương CB d) Cả a và b đều đúng

Bài tập 3: Cho tam giác ABC Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của

BC , CA và AB Các vectơ bằng với CM là

a) MB , PN ,CN b) BM , NC , NP

c) BM , PN , NC d) MB , NP ,CM

Bài tập 4: Cho 4 điểm phân biệt A,B,C,D thỏa AB  CD Khi đó ta có :

a) ABCD là hình bình hành

b) ABDC là hình bình hành

c) A,B,C,D thẳng hàng hoặc ABCD là hình bình hành

d) A,B,C,D thẳng hàng hoặc ABDC là hình bình hành

Bài tập 5: Cho tam giác đều ABC, cạnh a Mệnh đề nào sau đây đúng:

A  ABAC

B ACa

C AC BC

D AB a

Bài tập 6: Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

A AD C B

B AC BD

C AB D C

D ABC D

Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD Có thể xác định được bao nhiêu vectơ

(khác 0

) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?

A 4 B 8 C.10 D 12

Bài tập 8: Khẳng định nào sau đây đúng ?

A Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba thì cùng phương

B Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác 0thì cùng phương

C Hai vectơ ngược hướng với 1 vectơ thứ ba thì ngược hướng

D Hai vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau

Bài tập 9: Cho tam giác đều ABC cạnh 2a Đẳng thức nào sau đây đúng?

A  ABAC

B AB2a

C AB  2a



D  AB  AB

Bài tập 10: Cho tam giác ABC Có thể xác định được bao nhiêu vectơ

(khác 0

) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C ?

Bài tập 11: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Ba vectơ bằng vecto BA 

là:

A OF DE OC    , ,

B CA OF DE    , ,

C OF DE CO    , ,

D   , ,

OF ED OC

Bài tập 12: Mệnh đề nào sau đây đúng:

A Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng phương

B Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba khác 0

thì cùng phương

C Hai vectơ cùng phương với một vectơ thứ ba thì cùng hướng

D Hai vectơ ngược hướng với một vectơ thứ ba thì cùng hướn

Bài tập 13: Phát biểu nào sau đây là đúng

A Hai vectơ không bằng nhau thì có độ dài không bằng nhau

B Hiệu của 2 vectơ có độ dài bằng nhau là vectơ – không

C Tổng của hai vectơ khác vectơ –không là 1 vectơ khác vectơ -không

D Hai vectơ cùng phương với 1 vec tơ khác 0

thì 2 vec tơ đó cùng phương với nhau

Bài tập 14: Hãy chọn câu sai

A Giá của véctơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của

véctơ đó

B Hai véctơ cùng phương thì cùng hướng

C Hai véctơ cùng hướng với một véctơ khác véc tơ không thì chúng

cùng hướng

D Độ dài của véctơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của

véctơ đó

Bài tập 15: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng; trong đó điểm N nằmgiữa

2 điểm M và P khi đó các cặp vectơ nào sau đây cùng hướng ?

A MN

vàPN

B MN

vàMP



C MP



vàPN

D NM



vàNP

Bài tập 16: Cho 3 điểm phân biệt A, B, C Có bao nhiêu vecto khác

vecto-không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho?

Bài tập 17: Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB Hãy chọn khẳng

a 

AB và 

AC cùng hướng b  

CA = CB

c 

AB và 

CB ngược hướng d  

AB = CB Bài tập 18: Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các

cạnh BC, CA, AB Số vectơ bằng vectơ MN

có điểm đầu và điểm cuối là A,

B, C, M, N, P bằng:

Bài tập 19: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Có bao nhiêu vectơ

AB và khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đã cho và

cùng phương với vectơ AB?

A 1 B 2 C 3 D 4

Bài tập 20: Với hai điểm A, B phân biệt có bao nhiêu vectơ-không bằng

nhau? Hãy chọn kết quả đúng:

A 1 B 2 C 3 D 4

Bài tập 22: Với ba điểm A, B, C phân biệt có bao nhiêu vectơ không

bằng nhau? Hãy chọn kết quả đúng:

A 3 B 4 C 6 *D 7

Bài tập 23: Véctơ có điểm đầu là D điểm cuối là E được kí hiệu là

A DE B DE C ED



D DE



Bài tập 24: Với véctơ ED



(khác véctơ không) thì độ dài đoạn thẳng ED được gọi là:

A Phương của véctơ ED



B Hướng của véctơ ED



C Giá của véctơ ED



D Độ dài của véctơ ED



Bài tập 25: Cho trước véctơ MN



0

 thì số véctơ cùng phương với véctơ

đã cho là:

A 1 B 2 C 3 D Vô số

Bài tập 26: Cho trước véctơ MN



khác véctơ không thì số véctơ cùng hướng với véctơ đã cho là:

A 1 B 2 C 3 D Vô số

Bài tập 27: Cho trước véctơ MN



khác véctơ -không thì số véctơ bằng véctơ đã cho là:

A 1 B 2 C 3 D Vô số

Bài tập 28:Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Số véctơ khác 0

cùng phương với véctơ OA

có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác là:

A 4 B 6 C 7 D 8

Bài tập 29: Hai véctơ ngược hướng thì phải:

A Bằng nhau B Cùng phương C) Cùng độ dài D) Cùng điểm đầu

Bài tập 30: Nếu hai véctơ cùng ngược hướng với một véctơ thứ ba (và cả

ba véctơ đều khác véctơ không) thì hai véctơ đó:

A Bằng nhau B Cùng độ dài

C Cùng hướng D Ngược hướng

Bài tập 31: Nếu 3 điểm A, B, C thẳng hàng thì các véctơ AB



và AC



chỉ

có thể xảy ra khả năng:

A Bằng nhau B Cùng phương

Bài tập 32: Hai véctơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi:

A Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau

B Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành

C Chúng trùng với một trong các cặp cạnh của một tam giác đều

D Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau

Bài tập 33: Phát biểu nào sau đây là đúng ?

A Hai véctơ không bằng nhau thì có độ dài không bằng nhau

B Hiệu của hai véctơ có độ dài bằng nhau là véctơ – không

C Tổng của hai véctơ khác véctơ – không là một véctơ khác véctơ –

không

D Hai véctơ cùng phương với 1 véctơ ( 0)  thì hai véctơ đó cùng phương

với nhau

Bài tập 34: Cho lục giác đều ABCDEF, gọi O là giao điểm các đường

chéo, khi đó cặp véctơ bằng véctơ AB



là:

A OC



và DE



B FO



và CO



C OF



và ED





và ED



Bài tập 35: Nếu có AB AC thì:

A Tam giác ABC là tam giác cân B Tam giác ABC là tam giác đều

C A là trung điểm của đoạn BC D Điểm B trùng với điểm C

Bài tập 36:Cho hình bình hành ABCD Mệnh đề nào trong các mệnh đề

sau là đúng ?

A AB DC B AD CB C CADB D CA BD

Bài tập 37: Cho tứ giác ABCD có AD BC Mệnh đề nào trong các mệnh

đề sau là sai ?

A ABCD là hình bình hành B DABC

C ACBD D ABDC

Bài tập 38: Cho tứ giác ABCD có  ADBC

.Tứ giác ABCD là : A.Hình chữ nhật B.Hình thoi

C Hình bình hành D Hình vuông

Bài tập 39: Khẳng định nào sau đây SAI ?

a) Vectơ–không là vectơ có nhiều giá

b) Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác 0thì cùng phương

c) Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba thì cùng phương

d) Điều kiện cần để 2 vectơ bằng nhau là chúng có độ dài bằng nhau

Bài tập 40: Cho hbh ABCD tâm O Khi đó OB OA 

= a)O C  O B

b) B A

c) OC  OD

d) C D

Bài tập 41: Cho tứ giác ABCD Có thể xác định được bao nhiêu vectơ

(khác 0

) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D

A 4 B 8 C.10 D 12

Bài tập 42: Khẳng định nào sau đây đúng

A Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba thì cùng phương

B Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác 0thì cùng phương

C Vectơ không là vectơ không có giá

Bài tập 43: Cho hình bình hành ABCD tâm O Khi đó OA OB 

=

A OC OB

B.AB

C.OC OD 

D CD

Bài tập 44: Cho tam giác đều ABC, cạnh a Mệnh đề nào sau đây đúng:

A  ABAC

B ACa

C AC BC

D AB a

Bài tập 45: Cho hình bình hành ABCD,với giao điểm hai đường chéo là

I Khi đó:

A AB IA BI   

B AB AD BD   

C   AB CD 0

D   AB BD 0 Bài tập 46: Cho 4 điểm bất kỳ A, B, C, O Đẳng thức nào sau đây là

đúng:

A OA CA CO   

B   AB AC BC 

C   AB OB OA 

D OA OB BA    Bài tập 47: Cho hình bình hành tâm O Hãy chọn phát biểu sai

A OC OA

B  ABDC

C  ADBC

D  BOOD

Bài tập 48: Cho ba điểm A, B, O ta có

A OA AO0

B OA OB    AB

C OA  AO0

D OA  ABBO

Bài tập 49: Cho M là trung điểm AB Ta có

A MA  MB

B MA MB  0

C AB 2MA

D AB 2 AM

Bài tập 50: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là trung điểm AB

Chọn phát biểu sai

A GA GB GC     0

B MA MB   MC3MG

C GA GB GM     0

D MC3MG