Nghiên cứu dao động đàn hồi của thanh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG - NGUYỄN QUANG DOANH NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG ĐÀN HỒI CỦA THANH Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS ĐOÀN VĂN DUẨN Hải Phòng, 2017 -2MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài: Những năm gần đây, kinh tế phát triển, ngày xuất nhiều công trình cao tầng, công trình có độ lớn, công trình đặc biệt Trong công trình ngƣời ta thƣờng dùng có chiều dài lớn, - vỏ chịu nén điều kiện ổn định miền đàn hồi có tầm quan trọng đặc biệt, đòi hỏi phải nghiên cứu đầy đủ mặt lý thuyết thực nghiệm Bài toán dao động kết cấu đƣợc giải theo nhiều hƣớng khác nhau, phần lớn xuất phát từ nguyên lý lƣợng mà theo kết phụ thuộc nhiều vào cách chọn dạng hệ trạng thái lệch khỏi dạng cân ban đầu Phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss GS.TSKH Hà Huy Cƣơng đề xuất phƣơng pháp cho phép áp dụng nguyên lý cực trị Gauss - vốn đƣợc phát biểu cho hệ chất điểm - để giải toán học vật rắn biến dạng nói riêng toán học môi trƣờng liên tục nói chung Đặc điểm phƣơng pháp nhìn đơn giản cho phép tìm đƣợc kết xác toán dù toán tĩnh hay toán động, toán tuyến tính hay toán phi tuyến Đối tƣợng, phƣơng pháp phạm vi nghiên cứu luận án Trong luận văn này, tác giả sử dụng phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss nói phƣơng pháp chuyển vị cƣỡng để giải toán dao động đàn hồi thanh, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Mục đích nghiên cứu luận án “Nghiên cứu dao động đàn hồi hệ thanh” Nội dung nghiên cứu đề tài: - Trình bày phƣơng pháp giải toán động lực học biết - Trình bày phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss - Sử dụng phƣơng pháp cho toán dao động -3- CHƢƠNG PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH 1.1 Khái niệm Thuật ngữ "động‖ đƣợc hiểu đơn giản nhƣ biến đổi theo thời gian [19, tr.l] Vậy tải trọng động tải trọng mà độ lớn, hƣớng vị trí thay đổi theo thời gian Trong trình đó, khối lƣợng công trình đƣợc truyền gia tốc nên phát sinh lực quán tính đặt khối lƣợng Lực quán tính tác dụng lên công trình gây tƣợng dao động Dao động đƣợc biểu thị dƣới dạng chuyển vị kết cấu Việc tính toán công trình có xét đến lực quán tính xuất trình dao động đƣợc gọi giải toán dao động công trình [10, tr.7] Phản ứng kết cấu tải trọng động, nghĩa ứng suất độ võng xuất đó, động (biến thiên theo thời gian) Nói chung, phản ứng kết cấu tải trọng động đƣợc biểu diễn thông qua chuyển vị kết cấu Các đại lƣợng phản ứng khác có liên quan nhƣ nội lực, ứng suất, biến dạng đƣợc xác định sau có phân bố chuyển vị hệ Đôi khi, việc giải toán động lực học công trình đƣợc tiến hành việc đƣa vào hệ số động Khi đó, nội lực, chuyển vị tham số hệ đƣợc tính toán thông qua hệ số động với kết tính toán tĩnh Tất đại lƣợng giá trị cực đại ứng với thời điểm xác định, hàm theo biến thời gian 1.2 Đặc trƣng toán động lực học: Tải trọng thay đổi theo thời gian nên trạng thái ứng suất - biến dạng hệ thay đổi theo thời gian Do đó, toán động nghiệm chung nhƣ toán tĩnh Vì vậy, toán động phức tạp khó khăn nhiều so với toán tĩnh Sự cần thiết phải kể đến lực quán tính điểm khác biệt toán động lực học so với toán tĩnh Ngoài ra, việc xét đến ảnh hƣởng lực cản đặc trƣng phân biệt hai toán -4- 1.2.1 Lực cản: Trong tính toán, không xét đến ảnh hƣởng lực cản nhƣng lực cản luôn có mặt tham gia vào trình chuyển động hệ Lực cản xuất nhiều nguyên nhân khác ảnh hƣởng chúng đến trình dao động phức tạp Trong tính toán, đƣa giả thiết khác lực cản, phù hợp với điều kiện thực tế định Trong đa số toán dao động công trình, ta thƣờng sử dụng mô hình vật liệu biến dạng đàn nhớt (ma sát nhớt) nhà học ngƣời Đức W.Voigt kiến nghị: xem lực cản tỷ lệ bậc với vận tốc dao động Công thức lực cản: Pc = Cy‘ với C hệ số tắt dần Ngoài đƣa số giả thiết sau: - Lực cản theo giả thiết Xôrôkin: giả thiết lực cản phi đàn hồi Lực cản phi đàn hồi lực cản tính đến tiêu hao lƣợng hệ, đƣợc biểu thị việc làm tổn thất trễ lƣợng biến dạng trình dao động Nó không phụ thuộc vào tốc độ biến dạng mà phụ thuộc vào giá trị biến dạng.Trong đó, quan hệ biến dạng chung (độ võng, góc xoay) với tải trọng quan hệ phi tuyến Công thức lực cản: Pc= i  Pđ 2 Pđ lực đàn hồi;  hệ số tiêu hao lƣợng [Lực đàn hồi (hay lực phục hồi) xuất tách hệ khỏi vị trí cân có xu hƣớng đƣa hệ vị trí cân ban đầu, tƣơng ứng phụ thuộc vào chuyển vị động hệ: Pđ = P(y) Ở hệ đàn hồi tuyến tính: Pđ = ky với k hệ số cứng (lực gây chuyển vị đơn vị)] - Lực cản ma sát khô Coulomb (Fms): tỷ lệ với áp lực vuông góc N có phƣơng ngƣợc với chiều chuyển động Công thức lực cản: Fms =  N (với  hệ số ma sát) -5Lực cản làm cho chu kỳ dao dộng dài Trong thực tế, có công trình bị cộng hƣởng nhƣng chƣa bị phá hoại có hệ số cản khác không Do ảnh hƣởng lực cản nên cộng hƣởng, nội lực, chuyển vị động hệ  mà có trị số lớn hữu hạn 1.2.2 Đặc trƣng động hệ dao động tuyến tính: Dao động tuyến tính dao động mà phƣơng trình vi phân mô tả dao động phƣơng trình vi phân tuyến tính Đặc trƣng động hệ dao động tuyến tính bao gồm: khối lƣợng hệ, tính chất đàn hồi hệ (độ cứng, độ mềm), nguồn kích động, tần số dao động (tần số dao động riêng, dạng dao động riêng), hệ số tắt dần Bậc tự hệ đàn hồi số thông số hình học độc lập cần thiết để xác định vị trí hệ thời điểm có chuyển động Vấn đề xác định tần số dao động riêng dạng dao động riêng toán dao động hệ hữu hạn bậc tự tƣơng ứng với toán xác định trị riêng vecto riêng đại số tuyến tính Thông thƣờng, để đánh giá công trình chịu tải trọng động, thƣờng đánh giá sơ thông qua tần số dao động riêng thứ dạng đao động riêng thứ (tần số dao động dạng dao động bản) 1.3 Dao động tuần hoàn - Dao động điều hòa: Hầu nhƣ hệ kết cấu chịu dạng tải trọng động suốt trình sống (tải trọng tĩnh đƣợc xem nhƣ dạng đặc biệt tải trọng động) Các tải trọng đƣợc phân thành: tải trọng tuần hoàn tải trọng không tuần hoàn Các tải trọng không tuần hoàn tải trọng xung ngắn hạn tải trọng tổng quát dài hạn, dạng đơn giản hoá dùng đƣợc Một tải trọng tuần hoàn thể biến thiên theo thời gian giống liên tiếp số lƣợng lớn chu kỳ Tải trọng tuần hoàn đơn giản có dạng hình sin (hoặc cosin) đƣợc gọi điều hoà đơn giản Nhờ có phân tích Fourier mà tải trọng tuần hoàn đƣợc biễu diễn nhƣ -6một chuỗi thành phần điều hoà đơn giản Tải trọng tuần hoàn gây dao động tuần hoàn kết cấu 1.3.1 Dao động tuần hoàn: Là dao động đƣợc lặp lại sau khoảng thời gian  định Nếu dao động đƣợc biểu diễn hàm số thời gian y(t) dao động tuần hoàn phải thỏa mãn: y(t) = y(t+) Thời gian lặp lại dao động  đƣợc gọi chu kỳ dao động nghịch đảo f = 1/ đƣợc gọi tần số Dạng đơn giản dao động tuần hoàn dao động điều hòa 1.3.2 Dao động điều hòa: Thƣờng đƣợc mô tả hình chiếu đƣờng thẳng điểm di chuyển vòng tròn với vận tốc góc  Do chuyển vị y đƣợc viết: y = Asin  t Bởi dao động lặp lại khoảng thời gian  nên có mối liên hệ:   2 /   2f Vận tốc gia tốc điều hòa với tần số dao động nhƣng lệch với độ dịch chuyển lần lƣợt  /2  : y‘=  Asin(  t+  /2 ) y‖= -  2Asin  t=  2Asin(  t+  ) Vậy: y‖= -  2y => gia tốc tỷ lệ với độ dịch chuyển 1.4 Các phƣơng pháp để xây dựng phƣơng trình chuyển động: Phƣơng trình chuyển động hệ xây dựng dựa sở phƣơng pháp tĩnh nguyên lý biến phân lƣợng Các biểu thức toán học để xác định chuyển vị động đƣợc gọi phƣơng trình chuyển động hệ, đƣợc biểu thị dƣới dạng phƣơng trình vi phân 1.4.1 Phƣơng pháp tĩnh động học: [Nội dung nguyên lý D‘Alembert hệ: chuyển động hệ, lực thực tác dụng lên chất điểm hệ gồm nội lực ngoại lực với lực quán tính lập thành hệ lực cân bằng] -7Dựa sở nguyên tắc cân tĩnh học có bổ sung thêm lực quán tính viết theo nguyên lý D‘Alembert, điều kiện cân (tĩnh động) lực tổng quát viết cho hệ n bậc tự do: Q k  J k* k 1 n  đó: Qk - lực tổng quát lực cho theo so luc  x y z  Qk     X i i  Yi i  Z i i  i 1 qk qk   qk J*k - lực tổng quát lực quán tính khối lƣợng, tƣơng ứng với chuyển vị tổng quát qk J k*   theo so khoi luong  i 1  x y z mi  xi i  yi i  zi i qk qk  qk    xi, yi, zi - chuyển vị khối lƣợng mi theo phƣơng trục toạ độ, biểu diễn thông qua toạ độ tổng quát qk xi = xi (q1, q2, .,qn) yi = yi (q1, q2, .,qn) zi = zi (q1, q2, .,qn) Cũng viết: J*k = -Mkqk, với Mk khối lƣợng quy đổi, tƣơng ứng với chuyển vị tổng quát qk 1.4.2 Phƣơng pháp lƣợng: Dựa định luật bảo toàn lƣợng, trƣờng hợp bỏ qua lực ngăn cản chuyển động, ta có: K + U = const đó: K - động hệ: K=  v mi vi2    m( z ) dz ( z ) 2 U - hệ, đƣợc biểu thông qua công ngoại lực công nội lực (trƣờng hợp hệ phẳng): U= 1  Pi  cos(Pi i )    dP. cos(dP, ) 2 -8Hoặc:  M ds N ds Q ds  U =         2 EJ EF GF  1.4.3 Phƣơng pháp ứng dụng nguyên lý công ảo: [Nội dung nguyên lý: điều kiện cần đủ để hệ liên kết lý tƣởng giữ dừng đƣợc cân vị trí cho tổng công ảo tất lực hoạt động tác dụng lên hệ không di chuyển ảo từ vị trí cho][3, tr.33] Nguyên lý đƣợc áp dụng nhƣ sau: U i  Ti  đó: (i=1  n ) U i - công nội lực Ti - công ngoại lực (gồm lực kích thích, lực cản, lực quán tính) Trong ba phƣơng pháp giới thiệu trên, phƣơng pháp tĩnh động đƣa cách giải đơn giản cho hệ số bậc tự Sự cần thiết phải xem xét lực liên kết biểu đồ vật thể tự phƣơng pháp dẫn đến khó khăn đại số hệ có bậc tự cao Phƣơng pháp lƣợng khắc phục đƣợc khó khăn phƣơng pháp tĩnh động Tuy nhiên, nguyên lý lƣợng toạ độ vật lý đƣa đƣợc phƣơng trình mà điều giới hạn sử dụng cho hệ bậc tự Nguyên lý công ảo khắc phục đƣợc hạn chế hai phƣơng pháp công cụ mạnh hệ nhiều bậc tự Tuy nhiên, thủ tục hoàn toàn có tính vô hƣớng, việc xem xét vectơ lực cần thiết việc xác định công ảo [20, tr.215] 1.4.4 Phƣơng trình Lagrange (phƣơng trình Lagrange loại 2): Phƣơng trình Lagrange thủ tục hoàn toàn có tính vô hƣớng, xuất phát từ đại lƣợng vô hƣớng động năng, công đƣợc biểu diễn thông qua toạ độ suy rộng Ƣu điểm bật phƣơng trình Lagrange dạng số lƣợng chúng không phụ thuộc vào số vật thể thuộc hệ chuyển động vật thể Hơn nữa, liên kết lý tƣởng -9thì phƣơng trình Lagrange mặt phản lực liên kết chƣa biết Giả sử hệ có n bậc tự toạ độ suy rộng hệ q1, q2, , qn Phƣơng trình chuyển động Lagrange đƣợc viết nhƣ sau: d T T U ( )   Qi dt qi qi qi Trong đó: + T U lần lƣợt động hệ + Qi lực suy rộng tƣơng ứng với lực không Phƣơng trình chuyển động Lagrange đƣợc áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật, đƣợc áp dụng với tất hệ tuyến tính phi tuyến 1.4.5 Phƣơng pháp ứng dụng nguyên lý Hamilton: [Nguyên lý Hamilton có nội dung nhƣ sau: hệ học chịu tác động lực biết có chuyển động (trong tất chuyển động điều kiện hai đầu khoảng thời gian) cho biến thiên động năng, công học lực không bảo toàn khoảng thời gian xét không] t2 Nội dung nguyên lý đƣợc biểu thị:  (T U  R )dt  t1 đó: T , U - biến phân động hệ R - biến phân công lực không bảo toàn (lực kích thích, lực cản) tác dụng lên hệ Từ phƣơng trình chuyển động Lagrange xây dựng nguyên lý biến phân động học Hamilton ngƣợc lại Vì dùng nguyên lý Hamilton để làm sở cho động lực học hệ holonom [Theo ngôn ngữ G.Hertz: hệ học có liên kết đƣợc biểu diễn dƣới dạng hữu hạn (liên kết hình học) gọi hệ holonom; hệ chịu liên kết biểu diễn phƣơng trình vi phân không khả tích gọi hệ không holonom] -101.5 Dao động hệ hữu hạn bậc tự do: 1.5.1 Dao động tự do: Khi hệ chuyển động tự do, vị trí khối lƣợng xác định dạng hệ thời điểm Đối với hệ n bậc tự do, khối lƣợng có chuyển động phức tạp, gồm n dao động với n tần số i khác Nói chung, tỉ số chuyển vị khối lƣợng riêng biệt liên tục thay đổi Nhƣng chọn điều kiện ban đầu cho khối lƣợng dao động với tần số i chọn từ phổ tần số Những dạng dao động nhƣ gọi dạng dao động riêng (hay dạng đao động chính) Số dạng số bậc tự hệ Trong dạng dao động chính, quan hệ chuyển vị khối lƣợng số thời gian Nếu cho trƣớc dạng dao động ta xác định đƣợc tần số Việc xác định dạng dao động riêng tần số dao động riêng đóng vai trò quan trọng toán dao động hệ hữu hạn bậc tự 1.5.1.1 Các tần số riêng dạng dao động riêng: Phƣơng trình vi phân dao động tự không cản khối lƣợng: MY‖(t) + KY(t) = (1.1) với M K ma trận vuông cấp n, thƣờng ma trận đối xứng Nghiệm (1.1) đƣợc tìm dƣối dạng: Y(t) = A sin( t +  ) (1.2) Thay (1.2) vào (1.1) nhận đƣợc: [K-  M ]A = (1.3) Để hệ (1.3) có nghiệm không tầm thƣờng (tức tồn dao động) thì: K  2M = (1.4) (1.4) phƣơng trình đại số bậc n  , đƣợc gọi phƣơng trình tần số (hay phƣơng trình đặc trƣng) Các nghiệm i (với i =  n ) (1.4) tần số riêng Vectơ bao gồm tất tần số dao động riêng xếp theo thứ tự tăng dần (1  2   n đƣợc gọi vectơ tần số dao động riêng (hay phổ tần số: -50l1     (  x1 )dx   EJk12  f loxo1  ( y1 )dx   ( g k k )  0; (i  : 9)  ai ai ai k 1 0  l2 l2     vi   M x  (  x )dx   EJk12  f loxo2  ( y1 )dx   ( g k k )  0; ci (i  : 9)  ci ci ci k 1 0    ( g k k )  0; k  :  k  hi   M x1  l1 (e) Từ điều kiện cực trị (e) phiếm hàm mở rộng F ta nhận đƣợc 25 phƣơng trình đại số tuyến tính để xác định 25 ẩn số Có thể giải toán cách sử dụng phần mềm Symbolic Matlab Khi giải phƣơng trình xong thấy thông số a1, a2, a3, , a9, b0, b1, b2, , b9, 1, 2, 6 hàm k1 Lƣu ý 1 có thứ nguyên lực lực giữ để có chuyển vị cƣỡng y đầu Lực giữ phải không giải phƣơng trình k1 Từ k1  1 (k1) =0 cho ta m ta tìm đƣợc tần số dao động riêng i cần tìm Có thể nói 1 EJ (k1) =0 đa thức đặc trƣng toán Giải phƣơng trình 1(k1)=0 theo k1 ta nhận đƣợc 25 nghiệm k1 từ xác định đƣợc 25 tần số dao động riêng 1  k11 EJ EJ  15,418 m ml 2  k12 EJ EJ  49,964 m ml 3  k13 EJ EJ  104,253 m ml hệ, đƣa tần số dao động riêng là: Khi giải hệ phƣơng trình (m) ta nhận đƣợc thông số (i=1:9) chúng hàm k1 Đƣa trị k1 tìm đƣợc vào thông số sử dụng biểu thức (a) ta có dạng dao động y(x) (hình 3.9) Hình 3.9 Dạng dao động -51- 3.2.6 Thanh hai đầu tự riêng hai đầu tự Thanh có l Xác định tần số dạng dao động x khối lƣợng phân bố đều, tiết diện không đổi có độ cứng uốn EJ, hình 3.10 Xây dựng toán hoàn toàn tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp đầu khớp đầu tự ta y Hình 3.10 Thanh hai đầu tự có Lƣợng cƣỡng theo (3.8) nhƣ sau:   0 0  l1 l2 l1 l2   M x1  x dx   M x  x dx   EJk12  f loxo1 y1dx   EJk12  f loxo2 y dx  min  0 0 Z   M x1  x dx   M x  l1 l2 x dx    f m1  l1 f loxo1 y1dx    f m  f loxo2 y dx l2 (a) với điều kiện ràng buộc: g1  y1 x l1 g  y1 x l  y       0   d y1   d y2   y ; g  EJ    ; g  EJ    ;    dx  x 0  dx  x l2 x 0  dy   dy  ; g    x l1    x 0 ; g  Q2  dx   dx  x  l2 (b) Ta đƣa toán tìm cực trị (a) có điều kiện ràng buộc (b) toán cực trị ràng buộc cách đƣa thừa số Lagrange vào phiếm hàm mở rộng nhƣ sau: F  Z   gk k  (d) k 1 Giải tƣơng tự nhƣ toán ta tìm đƣợc tần số dao động riêng hai đầu tự do, đƣa 1  k11 EJ EJ  22,373 m ml 2  k12 EJ EJ  61,672 m ml 3  k13 EJ EJ  120,942 m ml tần số dao động riêng là: -52Dạng dao động riêng đƣờng đàn hồi (véc tơ riêng), hình 3.11a dạng biểu đồ lực cắt tƣơng ứng với tần số dao động riêng (3 trị riêng xác) nhƣ hình 3.11b Hình 3.11 Dạng dao động tự hai đầu tự 3.3 Dao động có lực dọc trục P= const đặt đầu Giống mục trên, ta xét thẳng, chiều dài l, có tiết diện không đổi, có độ cứng uốn EJ khối lƣợng phân bố m chiều dài thanh, chịu lực nén P đặt đầu Trạng thái cân ban đầu đƣợc xem trạng thái đứng yên, không xét độ co ngắn do lực P gây Khi bị lệch khỏi vị trí cân ban đầu lực P gây momen uốn Mp: M p  PW ( x, t )  W (l , t ) (3.17) W(l,t) chuyển vị ngang đầu Trƣờng hợp đầu cố định W(l,t) =0 Lực quán tính xác định theo (3.1), biến dạng trƣợt, góc xoay momen uốn gây ra, biến dạng uốn nội lực momen uốn tính theo (3.3) Khác với toán dao động tự mục trên, cần xét thêm lực momen uốn lực P gây tính theo biểu thức (3.17) Tìm nghiệm theo dạng (3.5) Bài toán dao động có lực nén P đặt đầu đƣợc viết cho thời điểm t tƣơng tự biểu thức (3.9) l l  2 y  Z   ( M  M p )  dx   f m  y dx  0  x  (3.18) -53Trong (3.18) momen Mp xác định theo (3.17) ngoại lực P gây nên có dấu trừ, ngƣợc với dấu nội lực M Các đại lƣợng ngoặc vuông đại lƣợng biến phân (không phụ thuộc thời gian) từ (3.18) ta có phƣơng trình cân lực sau (hai phƣơng trình Euler)  2 M  M p   f m  x (3.19) Thay M tính theo (3.3) Mp tính theo (3.17) vào (3.19) ta có   4W ( x, t )   2W ( x, t )  2W ( x, t ) EJ   P  m 0   x t  x  (3.20) Phƣơng trình (3.20) hai phƣơng trình vi phân tuyến tính Khi dùng phƣơng pháp chuyển vị cƣỡng ta viết toán dao động có lực nén dọc trục P đặt đầu nhƣ sau Z   M x  M px  x dx   f x  y dx  l l 0 Với ràng buộc (3.22) g1  y ( x1 )  y  (3.23) Bài toán (3.22) với ràng buộc (3.23) khác toán dao động tự (3.11) (3.13) chỗ xét thêm momen M px lực dọc trục gây Khi dùng thừa số Lagrange  giải trực tiếp phiếm hàm mở rộng từ điều kiện   tìm đƣợc tần số dao động Những tính toán chi tiết trình bày qua ví dụ sau 3.3.1 Thanh ngàm-tự Xét thẳng có liên kết đầu P= P P= ngàm, đầu tự do, tiết diện không đổi, chiều dài l, độ cứng uốn EJ, hình 3.12 Ta tìm hàm độ võng hàm lực cắt dƣới dạng đa thức: y ( x, t )  y ( x ) cos( t ) Hỡnh 3.12 Thanh ngàm-tự -54y  a1 x  a2 x  a3 x  a4 x  a5 x  a6 x  a7 x  a8 x  a9 x (a) Các hệ số (i=1:9), hệ số cần tìm Dựa vào biểu thức (3.1) tính lực quán tính  2W ( x, t ) m 2 fm  m  m y ( x )   EJ y ( x )   EJ k12 y ( x ) t EJ k12  m EJ   k1 EJ m (b) (c) Sau thay cho tần số  ta dùng k1 để tính lực quán tính (biểu thức (b)) Biết đƣợc trị số k1 tính đƣợc tần số  theo biểu thức (c) Biến dạng trƣợt, góc xoay momen uốn, biến dạng uốn nội lực momen uốn xác định theo biểu thức (3.8),momen uốn Mp lực P gây xác định theo (3.17) Theo biểu thức (3.22) ta xây dựng toán dao động ngang có lực nén P đặt đầu nhƣ sau l l  d2y Z   ( M x  M xp )  dx   f m  y dx  0  dx  (d) Bài toán tìm cực trị (d) phải thỏa mãn điều kiện sau - Góc xoay (do momen uốn) ngàm (x=0) không g1  subs( , x,0)  subs( dy( x ) , x,0)  dx (e) - Momen uốn (hoặc biến dạng uốn) đầu tự (x=l) không d y( x) g  subs(  , x, l )  dx (f) - Ta cho đầu tự (x=l) có chuyểnvị cƣỡng y0 g  subs ( y ( x ), x, l )  y  (h) Bài toán (d) với ràng buộc (e), (f), (g) (h) đƣợc đƣa toán cực trị không ràng buộc cách viết phiếm hàm Lagrange mở rộng F  Z  Z1  (i) Z1  1 g1  2 g  3 g Các hệ số 1 , 2 , 3 , đƣợc gọi thừa số Lagrange ẩn toán.Tổng ẩn toán bao gồm (i=1:9), thừa số Lagrange 13 ẩn đƣợc đặt -55trong vectơ ẩn S(i), i=1:13 Bài toán (i) toán tối ƣu thông số điều kiện cực trị (3.9) đƣợc viết nhƣ sau l F   M  si l  d y( x)   y( x)dx   Z1  dx   fm   dx  si si  ( i  : 23 ) (j) Hàm y (j) xác định theo (a) M theo (3.3) Thực phép tính (j) nhận đƣợc 13 phƣơng trình đại số bậc để tìm đƣợc 13 thông số toán Thông số 3 liên quan đến chuyển vị cƣỡng y0 tùy thuộc vào trị số P (đƣợc tính theo lực tới hạn Euler ) tỉ lệ h/l Lực tới hạn Euler đầu ngàm, đầu tự do, từ kết tính chƣơng 2, Pe   EJ 4l (k) Để không bị ổn định, lực P phải nằm khỏang  P  Pe (l) Ta xét hai trƣờng hợp h/l=0.001 h/l=0.333 h/l=1/1000: P=0.Pe (dao động tự do), k1 = 3.5160/l2; 22.0344/l2; 61.6968/l2; 121.1579/l2; 201.31424/l2 P=0.2Pe , k1 = 3.1682l2; 21.6679l2; 61.3869/l2; 120.8658/l2; 201.0311/l2 P=0.4Pe , k1 = 2.76524/l2; 21.2945/l2; 61.0754/l2; 120.5729/l2; 200.7475/l2 P= 0.6Pe , k1 = 2.2764/l2; 20.9138/l2; 60.7623/l2; 120.2793/l2; 200.4636/l2 P=0.8 Pe , k1 = 1.6236/l2; 20.5255/l2; 60.4476/l2; 119.9850/l2; 200.1793/l2 P=Pe , k1 = 43917e-6*i/l2; 20.1293/l2 ; 60.1312/l2; 119.6899/l2; 199.8946/l2 Từ kết đƣa nhận xét sau Lực nén P lớn trị riêng k1 giảm, nghĩa tần số dao động giảm Lấy ví dụ, giảm tần số (tần số thứ nhất) theo P đƣợc trình bày đồ thị, hình 3.13 -56- Trục tung đồ thị đại lƣợng ( p / 0 ) ,  p tần số (trị riêng k1 thứ nhất) P=[ 0.2 0.4 0.6 0.8 1]Pe  tần số dao động tự (khi P=0) Đồ thị không đƣờng thẳng mà cung lồi Khi P=Pe Thật vậy, tần số dao động không, đứng yên Nhƣng P lực tới hạn Euler nên ổn định tĩnh Ta đến kết luận ( p / 0 ) Hình 3.13 Thanh hai đầu khớp trạng thái đứng yên (không dao động) trạng thái ổn định hệ động lực học h/l=1/3 P=0 (dao động tự do); k1 = 3.3463/l2 16.7909/l2 37.9463/l2 60.4789/l2 83.5571/l2 P=0.2Pe , k1 = 3.0277/l2 16.4852/l2 37.7356/l2 60.3081/l2 83.4174/l2 P=0.4Pe , k1 = 2.6540/l2 16.1720/l2 37.5235/l2 60.1366/l2 83.2774/l2 P=0.6 Pe ,k1 = 2.1948/l^2 15.8512/l2 37.3101/l2 59.9646/l2 83.1371/l2 P=0.8Pe , k1 = 1.5729/l2 15.5226/l2 37.0954/l2 59.7919/l2 82.9965/l2 P=Pe k1 = 2625e-4*i/l2 15.1859/l2 36.8794/l2 59.6187/l2 82.8556/l2 -57Bảng 3.1 Tần số dao động riêng đầu ngàm - đầu tự lực P0 giá trị so với Pe tác dụng đầu Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 0*Pe 1 2 3 EJ EJ 22,027 ml ml 3,515 EJ ml 61,649 120,980 5 EJ ml Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 0,2*Pe 2 3 4 1 EJ ml 3,168 4 21,661 EJ ml 61,339 EJ ml 120,69 EJ ml 200,854 EJ ml 5 200,57 EJ ml Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 0,5*Pe 1 2,534 2 EJ ml 21,098 3 EJ ml 60,872 4 EJ ml 120,25 5 EJ ml 200,138 EJ ml Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 0,6*Pe 1 2,276 2 EJ ml 20,907 3 EJ ml 60,718 4 EJ ml 120,09 5 EJ ml 200,02 EJ ml Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 0,8*Pe 1 1,623 2 EJ ml 20,519 3 EJ ml 60,402 4 EJ ml 119,81 5 EJ ml 199,73 EJ ml -58- Khi lực tác dụng đầu thanh: P0= 1,0*Pe 1 2 20,129 3 EJ ml 60,132 4 EJ ml 119,69 5 EJ ml 199,89 EJ ml Các hệ số ai, bi, phụ thuộc vào  Do vậy, có tần số dao động riêng i ta thay giá trị vào thông số ai(), bi() ta nhận đƣợc trị số thật dạng dao động đƣợc xác định theo (a) Dạng dao động riêng đƣờng đàn hồi (véc tơ riêng), tần số dao động riêng (3 trị riêng xác) nhƣ (Hình 3.14) Hình 3.14 Ba tần số dao động hai đầu khớp -59KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN Qua kết nghiên cứu từ chƣơng, chƣơng đến chƣơng toán dao động Tác giả rút kết luận sau: - Sử dụng thành công phƣơng pháp nguyên lý cực trị Gauss toán dao động tự - Đã xác định đƣợc kết toán dao động tự có liên kết khác trƣờng hợp liên kết Kết trùng khớp với kết nhận đƣợc giải phƣơng pháp khác - Xây dựng đƣợc toán dao động thanh chịu lực dọc trục thay đổi theo thời gian đặt đầu kiến nghị Qua kết nghiên cứu thấy rằng, với việc sử dụng phƣơng pháp Nguyên lý cực trị Gauss xây dựng toán dao động cách dễ dàng Vì sử dụng phƣơng pháp để nghiên cứu học tập lĩnh vực kết cấu công trình -60Danh mục tài liệu tham khảo I TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Cƣơng (2005), Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, IV/ Tr 112 118 [2] Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phƣơng Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang [3] Nguyễn Phƣơng Thành (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất – biến dạng nhiều lớp chịu tải trọng động có xét lực ma sát mặt tiếp xúc, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [4] Vƣơng Ngọc Lƣu (2002), Nghiên cứu trạng thái ứng suất – biến dạng sàn Sandwich chịu tải trọng tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [5] Trần Hữu Hà (2006), Nghiên cứu toán tương tác cọc tác dụng tải trọng, Luận án tiến sỹ kỹ thuật [6] Phạm Văn Trung (2006), Phương pháp Tính toán hệ dây mái treo, Luận án Tiến sỹ kỹ thuật [7] Vũ Hoàng Hiệp (2007), Nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng dầm nhiều lớp chịu tải tĩnh động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Hà nội [8] Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 337 trang [9] Nguyễn Văn Đạo, Trần Kim Chi, Nguyễn Dũng (2005), Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [10] Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình(2006), Giáo trình ổn định công trình, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [11] Vũ Hoàng Hiệp (2008), Tính kết cấu có xét biến dạng trượt, Tạp chí xây dựng số [12] Đoàn Văn Duẩn, Nguyễn Phƣơng Thành (2007), Phương pháp tính toán ổn định thanh, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr41-Tr44) -61[13] Đoàn Văn Duẩn (2008), Phương pháp tính toán ổn định khung, Tạp chí Xây dựng số 01 (Tr35-Tr37) [14] Đoàn Văn Duẩn (2008), Nghiên cứu ổn định uốn dọc có xét biến dạng trượt, Tạp chí Xây dựng số 12 (Tr33-Tr37) [15] Đoàn Văn Duẩn (2009), Phương pháp nghiên cứu ổn định tổng thể dàn, Tạp chí Xây dựng số 03 (Tr86-Tr89) [16] Đoàn Văn Duẩn (2007), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán ổn định công trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [17] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [18] Nguyễn Thị Liên (2006), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss toán động lực học công trình, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật [19] Vũ Thanh Thủy (2009), Xây dựng toán dầm xét đầy đủ hai thành phần nội lực momen lực cắt Tạp chí Xây dựng số [20] Vũ Thanh Thủy (2009), Dao động tự dầm xét ảnh hưởng lực cắt Tạp chí Xây dựng, số [21] Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Ngƣời dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội II TIẾNG PHÁP [22] Robert L‘Hermite (1974), Flambage et Stabilité – Le flambage élastique des pièces droites, édition Eyrolles, Paris III TIẾNG ANH [23] Stephen P.Timoshenko-Jame M.Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill Book Company, Inc, New york – Toronto – London, 541 Tr [24] William T.Thomson (1998), Theory of Vibration with Applications (Tái lần thứ 5) Stanley Thornes (Publishers) Ltd, 546 trang -62[25] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part one, Prentice – Hall International, Inc, 484 trang [26] Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang [27] Ray W.Clough, Joseph Penzien(1993), Dynamics of Structures (Tái lần thứ 2), McGraw-Hill Book Company, Inc, 738 trang [28] O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method (four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang [29] G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964) [30] Stephen P.Timoshenko-J Goodier (1970), Theory of elasticity, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, G Shapiro chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1979), 560 trang [31] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Lt [32] Lars Olovsson, Kjell Simonsson, Mattias Unosson (2006), Shear locking reduction in eight-node tri-linear solid finite elements, J ‗Computers @ Structures‘,84, trg 476-484 [33] C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987) [34] Chopra Anil K (1995) Dynamics of structures Prentice Hall, Englewood Cliffs, New – Jersey 07632 [35] Wilson Edward L Professor Emeritus of structural Engineering University of California at Berkeley (2002) Three – Dimensional Static and Dynamic Analysis of structures, Inc Berkeley, California, USA Third edition, Reprint January -63[36] Wilson, E L., R L Taylor, W P Doherty and J Ghaboussi (1971) “Incompatible Displacement Models”, Proceedings, ORN Symposium on ―Numerical and Computer Method in Structural Mechanics‖ University of Illinois, Urbana September Academic Press [37] Strang, G (1972) “Variational Crimes in the Finite Element Method” in ―The Mathematical Foundations of the Finite Element Method‖ P.689 -710 (ed A.K Aziz) Academic Press [38] Irons, B M and O C Zienkiewicz (1968) “The isoparametric Finite Element System – A New Concept in Finite Element Analysis”, Proc Conf ―Recent Advances in Stress Analysis‖ Royal Aeronautical Society London [39] Kolousek Vladimir, DSC Professor, Technical University, Pargue (1973) Dynamics in engineering structutes Butter worths London [40] Felippa Carlos A (2004) Introduction of finite element methods Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Aerospace Structures University of Colorado Boulder, Colorado 80309-0429, USA, Last updated Fall [41] Wang C.M, Reddy J.N, Lee K.H.( 2000), Shear deformable beems and plates – Relationships with Classical Solutions ELSEVIER, Amsterdam – Lausanne- New York – Oxford –Shannon – Singapore – Tokyo [42] Barbero Ever J, Department of Mechanica & Aerospace Engineering, West Virgina University, USA (1999), Introduction to Composite Materials Design Taylor and Francis [43] Decolon C (2002) Analysis of Composite Structures Hermes Penton, Ltd, UK [44] Fu-le Li, ZHI-zhong Sun, Corresponding author, Department of Mathematics, Shoutheast University, Nanjing 210096, PR China (2007) A finite difference scheme for solving the Timoshenko beem equations with boundary feedback Journal of Computational and applied Mathematics 200, 606 – 627, Elsevier press Avaiable online at www.sciencedirect.com -64[45] Khaji N., Corresponding author, Shafiei M., Civil Engineering DepartmentTarbiat Modares University, P O Box 14155-4838, Tehran, Tran ((2009)) Closed - form solutions for crack detection problem of Timoshenko beems with various boundary conditions International Journal of Mechanical Sciences 51, 667-681 Contents lists available at Science Direct journal hompage: www.elsevier.com/locate/ijmecsci [46] Antes H Institute of Applied Mechanics, University Carolo Wilhelmina, D38023Braunschweig, Germany (2003) Fundamental solution and integralequations for Timoshenko beems Computers and Structures 81, 383-396 Pergamon press Available online at www.sciencedirect.com [47] Nguyen Dinh Kien (2007) Free Vibration of prestress Timoshenko beems resting on elastic foundation Viet nam Journal of Mechanics, VAST, Vol.29, No 1,pp 1-12 [48] Grawford F (1974) Waves, Berkeley physics course, volume McGraw – hill Book Company IV TIẾNG NGA [49]  йзepmaн (1980), КлaссuҸeckaя механика, Москва [50] Киселев В А (1969) Строительная механика - Специальный курс Стройздат, Москва [51]  C oлak (1959), Вapuaцuoнныe прuнцuпы механикu, Москва [52] Киселев В А (1980) Строительная механика - Специальный курс Стройздат, Москва [53] A A Ҹupac (1989), Cтpouтeлbнaя механика, Стройздат, Москва [54] Г КАУДЕРЕР (1961), НЕЛИНЕЙНАЯ МЕХАНИКА, МОСКВА ... toán dao động đàn hồi thanh, chịu tác dụng tải trọng tĩnh Mục đích nghiên cứu luận án Nghiên cứu dao động đàn hồi hệ thanh Nội dung nghiên cứu đề tài: - Trình bày phƣơng pháp giải toán động. .. hạn 1.2.2 Đặc trƣng động hệ dao động tuyến tính: Dao động tuyến tính dao động mà phƣơng trình vi phân mô tả dao động phƣơng trình vi phân tuyến tính Đặc trƣng động hệ dao động tuyến tính bao... trình chịu tải trọng động, thƣờng đánh giá sơ thông qua tần số dao động riêng thứ dạng đao động riêng thứ (tần số dao động dạng dao động bản) 1.3 Dao động tuần hoàn - Dao động điều hòa: Hầu nhƣ