Đề thi học sinh giỏi toán 7

phòng GD ĐT phù yên Trờng THCS Võ Thị Sáu Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- năm học 2010- 2011 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể Đề dự bị thời gian giao đề) Bài 1: Thực phép tính: 1 1 0,125 + + 0, + A= 3 3 0,375 + + 0,5 10 1 1 + + + + 100 B = 992 98 97 + + + + 99 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau x thay đổi: B = x + x Bài 3: Chứng minh rằng: a) 106 - 57 chia hết cho 59 b) 3135 229 - 3136 36 chia hết cho Bài 4: Tìm số hữu tỉ dơng x, y, z biết: x+ 1 y+ z = 1 2+ Bài 5: Cho tam giác cân ABC có AB = AC Trên tia đối tia BA CA lấy hai điểm D E, cho BD = CE a) Chứng minh DE // BC b) Từ D kẻ DM vuông góc với BC, từ E kẻ EN vuông góc với BC Chứng minh DM = EN c) Chứng minh tam giác AMN tam giác cân d) Từ B C kẻ đờng vuông góc với AM AN chúng cắt I Chứng minh AI tia phân giác chung góc BAC MAN phòng GD ĐT phù yên Trờng THCS Võ Thị Sáu kì thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- năm học 2010- 2011 Môn: Toán Đáp án thang điểm B ài Cách giải A= = = = 1 1 0,125 + + 0, + 3 3 0,375 + + 0,5 10 1 1 1 + + + 3 3 3 + + 10 1 1 + ữ + + 10 1 1 + ữ + ữ 10 + =1 3 1 1 + + + + 100 B = 992 98 97 + + + + 99 1 1 + + + + 100 = 100 100 100 100 99 + + + + 99 1 1 + + + + 100 = 100 100 100 100 99 + + + + ữ + + + + ữ 99 99 1 1 + + + + 100 = 1 100 + 100 ì + + + ữ 99 99 1 1 + + + + 100 = 1 + 100 ì + + + ữ 99 Điểm TP Điểm toàn 1 0,25 1 0,5 0,5 0,5 1 1 + + + + 100 = 1 1 100 ì + + + + ữ 99 100 = 100 Ta xét trờng hợp: + Nếu x < x - < ; - x > Do đó: x = ( x 2) ; x = x B = - (x - 2) + - x = -2x + Vì x < nên -x > -2 Do đó: B = -2x + > (-2).2 +5 Hay B > B nhỏ + Nếu x x - ; - x B = x - + - x = Vậy B = + Nếu x > x - > ; - x < B = x - - (3 - x) = 2x - Vì x > nên B = 2x - > - Hay B > Vậy B nhỏ Từ trờng hợp ta đợc B đạt giá trị nhỏ x a) 106 - 57 = (2.5)6 - 57 = 26.56 - 57 = 56.(26 - 5) = 56 59 M59 b) 3135 229 - 3136 36 = 3135 229 - 3136 (1 + 35) = 3135 229 - 3136 - 3136 35 = 3135 (229 - 313) - 3136 35 = 3135 (-14) - 3136 35 = (-2 3135 - 3136 5) M7 Biến đổi vế phải thành dạng tơng tự vế trái: 0,25 1 2+ = ABC: AB = AC; BD = CE A GT (Dtia đối BA; Etia đối CA) a) DE // BC b) DMBC; ENBC Chứng minh: DM = EN K KL c)AMN cân C d) N BHAM; CKAN; BH CK = I Chứng minh: AI tia phân giác chung 0,75 2,5 0,75 0,25 0,5 1,5 0,75 1 1 = = = = = 7 1+ 1+ 1+ 4 1+ 3 Suy x = ; y = ; z = 0,75 0,25 H M B 0,5 I D E 0,5 Chứng minh: a) Ta có: AB = AC (gt) BD = CE (gt) AD = AE ADE có AD = AE nên tam giác cân Hai tam giác cân ABC ADE có chung góc đỉnh A nên góc đáy nhau: ãABC = ãADE mà ãABC ; ãADE góc đồng vị DE // BC b) ABC cân A: ãABC = ãACB ã Mà MBD = ãABC (đối đỉnh) ã NCE = ãACB (đối đỉnh) ã ã MBD = NCE Xét tam giác vuông DMB ENC có: ã ã (CM trên) MBD = NCE BD = CE (gt) Nên DMB = ENC (Cạnh huyền- góc nhọn) DM = EN (2 cạnh tơng ứng) c) Xét AMD ANE có: AD = AE (CM câu a)) ãADM = ãAEN (Do DMB = ENC : CM câu b)) DM = EN (CM câu b)) Vậy AMD = ANE (c - g - c) Suy ra: AM = AN Tam giác AMN cân A ã ã d) AMD = ANE (CM câu c)) nên HAB = KAC Xét tam giác vuông: HAB KAC có: 0,5 0,25 0,5 0,25 ã ã HAB = KAC AB = AC (gt) Nên HAB = KAC (Cạnh huyền- góc nhọn) AH = AK Mặt khác: Xét tam giác vuông AIH AIK có: AI: Cạnh chung AH = AK (CM trên) AHI = AKI (Cạnh huyền- cạnh góc vuông) ã ã Do đó: IAH = IAK ã ã ã ã Lại có: HAB nên IAB = KAC = IAC ã ã Vậy AI tia phân giác chung BAC MAN 0,5 0,5 0,5 ... yên Trờng THCS Võ Thị Sáu kì thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 7- năm học 2010- 2011 Môn: Toán Đáp án thang điểm B ài Cách giải A= = = = 1 1 0,125 + + 0, + 3 3 0, 375 + + 0,5 10 1 1 1 + +... CKAN; BH CK = I Chứng minh: AI tia phân giác chung 0 ,75 2,5 0 ,75 0,25 0,5 1,5 0 ,75 1 1 = = = = = 7 1+ 1+ 1+ 4 1+ 3 Suy x = ; y = ; z = 0 ,75 0,25 H M B 0,5 I D E 0,5 Chứng minh: a) Ta có: AB =... B = 2x - > - Hay B > Vậy B nhỏ Từ trờng hợp ta đợc B đạt giá trị nhỏ x a) 106 - 57 = (2.5)6 - 57 = 26.56 - 57 = 56.(26 - 5) = 56 59 M59 b) 3135 229 - 3136 36 = 3135 229 - 3136 (1 + 35) = 3135