Đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 cấp huyện

UBND HUYỆN YÊN DŨNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm có 01 trang) Câu (4 điểm) Tính giá trị biểu thức sau 2    0,4- + 11 + 0,875 − 0, ÷ 2) B = 2014:  7 ÷ 1 − + ÷ + 0, 25 −   11 1 1 + + + 15 35 63 99 1) A = + Câu (4 điểm) 1) Tim tất cặp số nguyên ( x; y ) thoả man: x +1.3 y = 12 x 2) Cho hai biểu thức M = Chứng minh rằng: 1 1 1 + + + + + + N = 1.2 3.4 37.38 20.38 21.37 38.20 M số nguyên N Câu (4 điểm) 1) Cho số x,y,z thoả man x y z = = 2013 2014 2015 Chứng minh 4( x – y )(y - z) = ( z – x )2 2) Tim giá trị nhỏ biểu thức: P = 2013 − x + 2014 − x Câu (6 điểm) µ 1) Cho hinh vẽ, biết ·ABC = µA + C x A Chứng minh rằng: Ax // Cy B y C 2) Cho tam giác ABC Kẻ AH vuông góc với BC H Gọi M trung điểm BC · · · µ = 2C µ Tính góc tam giác ABC Biết BAH B = HAM = MAC Câu (2 điểm) Cho ba số x, y, z ≠ thỏa man xy + 2013x + 2013 ≠ ; yz + y + 2013 ≠ ; xz + z + ≠ xyz = 2013 Chứng minh rằng: 2013 x y z + + = xy + 2013 x + 2013 yz + y + 2013 xz + z + Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: UBND HUYÊN YÊN DŨNG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN, LỚP ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (Đáp án - thang điểm gồm trang) Ý Nội Dung 1 1 1 1 1 A= + + + + + + + = + 15 35 63 99 1.3 3.5 5.7 7.9 9.11 1 1 3 1 11 2A = − + − + + − a 2A = - 11 b a Vậy B = 2014 x Ta có x +1.3 y = ( 4.3) 0,5diểm 0,5diểm x +1.3 y = 22 x.3x 0,5diểm 0,5diểm 1diểm Suy x + = 2x x = y 0,5diểm Vậy (x,y) = (1;1) 0,5diểm 1 1 1 − 37 38  1 1   1 M =  + + + + ÷−  + + + + ÷ 37   38     1 1  1 M =  + + + + ÷− 1 + + + + ÷ 38   19   1 + + + 20 21 38 1 1 1 + + + + + + Lại có 58N = 20 38 21 37 38 20 1 + + + 29N = 20 21 38 M= b 0,5diểm 0,5diểm Ta có M = − + − + + 0,5diểm 11  2 7  + − ÷  - + B = 2014:  11 10 ÷  7−7+ 1+1−1 ÷  11  2 7 B = 2014:  ÷ 7 2 Vậy A = Điểm 0,5diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,25diểm Suy Vậy a Ta có 0,25diểm M = 29 N M = 29 số nguyên N 0,25diểm x y z x− y y−z z−x = = = = = 2013 2014 2015 −1 −1 diểm 0,5diểm  x-y  y − z   z − x  Nên  ÷ ÷=  ÷  -1  −1    b Hay 4(x – y)(y – z) = (z – x)2 Áp dụng BĐT a + b ≥ a + b Dấu “ =” xảy a,b dấu Ta có P = x − 2013 + 2014 − x 0,5diểm 0,5diểm 0,25diểm 0,5diểm P = x − 2013 + 2014 − x = = Dấu “ =” xảy 2013 ≤ x ≤ 2014 Vậy minP = 2013 ≤ x ≤ 2014 A x z B a y 0,5diểm 0,25diểm C Kẻ tia Bz nằm hai tia BA BC cho tia Bz //Ax (1) Suy ·ABz = µA ( Cặp góc so le trong) · µ Mặt khác hay ·ABz + CBz = µA + C · µ Do CBz =C · µ hai góc so le Mà CBz C Do Bz //Cy (2) Từ (1) (2) suy Ax // Cy (đpcm) 0,5diểm 0,5diểm 0,5diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,5diểm 0,5diểm µ + BAC · = 900 Xét tam giác AHC vuông tai H ta có C 0,5diểm 0,25diểm µ = 900 − BAC · Suy C b µ = 2C µ nên Mặt khác B 4· µ = 2(900 − BAC · B ) = 1800 − BAC 3 0,5diểm · µ +C µ = 1800 ( tổng góc tam 0,25diểm Xét tam giác ABC ta co BAC +B giác) 4· 2· 0,5diểm · + 1800 − BAC + 900 − BAC = 1800 Do BAC 3 ·BAC = 900 µ = 600 C µ = 300 Suy B 2013 x y z + + = Đặt A = xy + 2013 x + 2013 yz + y + 2013 xz + z + 2013 2013 Vi xyz = 2013 suy xy = y = z xz 2013 x y z + + = Do A = 2013 + 2013 x + 2013 yz + 2013 + 2013 xz + z + z xz xz z + + A= + xz + z z + + xz xz + z + xz + z + =1 A= xz + z + Vậy A = ( đpcm) Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,5diểm 0,5diểm 0,5diểm 0,5diểm 0,5diểm 0,25diểm 0,25diểm ...UBND HUYÊN YÊN DŨNG ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN, LỚP ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (Đáp án - thang điểm gồm trang) Ý Nội... M= b 0,5diểm 0,5diểm Ta có M = − + − + + 0,5diểm 11  2 7  + − ÷  - + B = 2014:  11 10 ÷  7 7+ 1+1−1 ÷  11  2 7 B = 2014:  ÷ 7 2 Vậy A = Điểm 0,5diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,25diểm 0,25diểm... 1 − 37 38  1 1   1 M =  + + + + ÷−  + + + + ÷ 37   38     1 1  1 M =  + + + + ÷− 1 + + + + ÷ 38   19   1 + + + 20 21 38 1 1 1 + + + + + + Lại có 58N = 20 38 21 37 38