2 Cho tam giác ABC.. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.. Gọi M là trung điểm của BC.. Tính các góc của tam giác ABC.
Trang 1UBND HUYỆN YÊN DŨNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014 Môn: Toán lớp 7 Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (4 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau
1) A 1 1 1 1 1
3 15 35 63 99
= + + + + 2)
0,4- 1 0,875 0,7
9 11 6
Câu 2 (4 điểm)
1) Tim tất cả các cặp số nguyên ( ; )x y thoả man: 2 3x+ 1 y =12 x
2) Cho hai biểu thức M 1 1 1
1.2 3.4 37.38
= + + + vàN 1 1 1
20.38 21.37 38.20
Chứng minh rằng: M
N là một số nguyên
Câu 3 (4 điểm)
1) Cho các số x,y,z thoả man
2013 2014 2015
Chứng minh rằng 4( x – y )(y - z) = ( z – x )2
2) Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 2013− +x 2014−x.
Câu 4 (6 điểm)
1) Cho hinh vẽ, biết ·ABC= +µA Cµ
Chứng minh rằng: Ax // Cy
2) Cho tam giác ABC Kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi M là trung điểm của BC Biết BAH· =·HAM =MAC· và Bµ =2Cµ Tính các góc của tam giác ABC
Câu 5 (2 điểm)
Cho ba số x y z, , ≠0 thỏa man xy+2013x+2013 0≠ ; yz y+ +2013 0≠ ; xz z+ + ≠ 1 0 và 2013
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
y
x
C B
A
Trang 2UBND HUYÊN YÊN DŨNG
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN, LỚP 7 (Đáp án - thang điểm gồm 3 trang)
1
a
A
3 15 35 63 99
1.3 3.5 5.7 7.9 9.11+ + + + 0,5diểm
2A = 1 1 1 1 1 1
2A = 1 - 1
11
0,5diểm
Vậy A = 5
11
0,5diểm
b
2 2 2 7 7 7
-5 9 11 6 8 10
B = 2014:
7 7 7 1 1 1
5 9 11 3 4 5
0,5diểm
B = 2014: 2 7
7 2
1diểm
2
2 3x+ 1 y =2 32x x 0,5diểm
b
Ta có M = 1 1 1 1 1 1
M = 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + − + + + +
0,25diểm
M = 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + − + + + +
0,25diểm
M = 1 1 1
Lại có 58N = 1 1 1 1 1 1
20 38 21 37+ + + + +38 20+ 0,25diểm 29N = 1 1 1
Trang 3Suy ra M 29
VậyM 29
a Ta có
2013 2014 2015 1 1 2
1 diểm Nên
2 x-y
y z− z x−
=
÷ − ÷ ÷
0,5diểm
Hay 4(x – y)(y – z) = (z – x)2 0,5diểm
b Áp dụng BĐT a + ≥ +b a b
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng dấu
0,5diểm
Ta có P = x−2013+ 2014−x 0,25diểm
P = x−2013 2014+ − = =x 1 1 0,5diểm Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi 2013 ≤ x ≤ 2014 0,5diểm Vậy minP = 1 khi và chỉ khi 2013 ≤ x ≤ 2014 0,25diểm
4
a
Kẻ tia Bz nằm giữa hai tia BA và BC sao cho tia Bz //Ax (1) 0,5diểm Suy ra ·ABz= µA ( Cặp góc so le trong) 0,5diểm Mặt khác hay ·ABz CBz+· = +µA Cµ 0,5diểm
Mà ·CBz và µClà hai góc so le trong 0,25diểm
Từ (1) và (2) suy ra Ax // Cy (đpcm) 0,5diểm
Xét tam giác AHC vuông tai H ta cóµ 2· 0
90 3
B
C y
z
Trang 4Suy ra µ 0 2·
90 3
Mặt khác Bµ =2Cµ nên µ 0 2· 0 4·
2(90 ) 180
Xét tam giác ABC ta co ·BAC B C+ + =µ µ 1800( tổng 3 góc của một tam giác)
0,25diểm
Do đó · 0 4· 0 2· 0
Suy ra µB=600và Cµ =300 0,5diểm
5
Vi xyz = 2013 suy ra xy = 2013
z và y = 2013
xz
0,5diểm
Do đó A =
2013
1
xz z
+ +
0,5diểm
A = 1
xz z+ z xz+ xz z
0,5diểm
A = 1 1
1
xz z
xz z+ + = + +
0,25diểm
Học sinh làm cách khác vẫn cho điểm tối đa