Đề thi và đáp án thi học sinh giỏi toán 7 2015

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài:120 phút Câu (1,5 điểm) 2 1   − 0, 25 +  0, − + 11 ÷: 2014 −  ÷ 7  1, − + − 0,875 + 0,7 ÷ 2015 11  1) M =  2) Tìm x, biết: x2 + x −1 = x2 + Câu (2,5 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: Hãy tính giá trị biểu thức  b  a  c  B = 1 + 1 + 1 +   a  c  b  a + b− c b+ c − a c + a− b = = c a b 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + + x − 2013 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình với x số nguyên x + y + z = xyz Câu (3,0 điểm) Cho · xAy =600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vuông góc với Ay H, kẻ BK vuông góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vuông góc với Ay M Chứng minh : a ) K trung điểm AC b) ∆ KMC tam giác c) Cho BK = 2cm Tính cạnh ∆ AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c chứng minh rằng: ≤ ≤ ≤ ≤ a b c + + ≤2 bc + ac + ab + Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung 1) Ta có: Điểm 2 1   − 0, 25 +  0, − + 11 ÷: 2014 M = − ÷ 7  1, − + − 0,875 + 0,7 ÷ 2015 11   2 2  − + =  11 − 7  − +  11 1  − + ÷: 2014 7 ÷ 2015 − + ÷ 10   1 1    − + 11 ÷ − =  1  7 − +    11 ÷    Câu (1,5 điểm) 0.25đ 1 1   − + ÷ ÷ 2014   ÷:  1  ÷ 2015  − + ÷ 3 5÷  0.25đ 0.25đ  2  2014 =  − ÷: =0  7  2015 2) x2 + x −1 > +) Nếu x ≥ nên (1) => x2 + x − = x2 + hay (*) = > x -1 = => x = Câu +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 1) +Nếu a+b+c (2,5 điểm) Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: x −1 = 0.25đ 0.25đ 0.25đ ≠ a + b− c b+ c − a c + a− b = = c a b mà => = a +b −c +b +c −a +c + a −b a+b+c a+b−c b+c−a c+ a −b +1 = +1 = +1 c a b a+b b+c c+a = = c a b =2 =1 0.25đ 0.25đ =2 0.25đ Vậy B =  b  a   c  b + a c + a b + c )( )( ) 1 + ÷ + ÷1 + ÷ = ( a c b  a  c   b  =8 +Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a + b− c b+ c − a c + a− b = = c a b mà => = a +b −c +b +c −a +c + a −b a+b+c a+b−c b+c−a c+ a −b +1 = +1 = +1 c a b a+b b+c c+a = = c a b Vậy B = 0.25đ =0 0.25đ =1 0.25đ =1  b  a   c  b + a c + a b + c )( )( ) 1 + ÷ + ÷1 + ÷ = ( a c b  a  c   b  =1 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c Ta có: (1) a b c a +b+c x 5x 6x x 7x = = = = ⇒ a = ;b = = ;c = 18 18 18 18 18 Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a , b, c , a , + b , + c , x 4x 5x x , x = = = = ⇒ a , = ; b, = = ;c = 15 15 15 15 15 (2) So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu Vây: c’ – c = hay 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 6x 7x x − =4⇒ = ⇒ x = 360 15 18 90 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói Câu (2,0 điểm) 1) Ta có: 0,25đ A = x + + x − 2013 = x + + 2013 − x 0,25đ ≥ x + + 2013 − x = 2015 0,25đ Dấu “=” xảy (2 x + 2)(2013 − x ) ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ 2013 0,25đ Vậy MaxA= 2015 x=-1 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử Theo = + + ≤ 1 x2 yz yx zx => x => x = ≤ + ≤ x2 x y z ≤ ≤ + x2 = 0,25đ x2 0,25đ Thay vào đầu ta có + y + z = yz => y – yz + + z = 0,25đ => y(1-z) - ( 1- z) + =0 => (y-1) (z - 1) = 0,25đ TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) Câu V ẽ h ình , GT _ KL (3,0 điểm) 0,25đ a, ∆ ABC cân B · · CAB = ·ACB(= MAC ) BK ðýờng cao ⇒ BK 0,5đ 0,25đ ðýờng trung tuyến K trung ðiểm AC ⇒ b, BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) ∆ BH = AK ( hai cạnh t ý ) mà AK = AC ⇒ BH = AC ⇒ Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = ∆ ABH = MKC tam giác cân ( ) ⇒ ∆ Mặt khác : = 900 = 300 · ·ACB MCB = 60 (2) ⇒ MCK · Từ (1) (2) MKC tam giác ðều ⇒ ∆ 0,25đ 0,25đ AC ⇒ CM = CK 0,25đ 0,25đ c) Vì Vì Câu (1 điểm) ∆ ABK vuông K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm ∆ ABK vuông K nên theo Pitago ta có: AK = AB − BK = 16 − = 12 Mà KC = AC => KC = AK = 12 KCM => KC = KM = ∆ 12 Theo phần b) AB = BC = AH = BK = HM = BC ( HBCM hình chữ nhật) => AM = AH + HM = Vì nên: 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ≤ a ≤ b ≤ c ≤1 (1) 1 c c (a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ ab + ≥ a + b ⇔ ≤ ⇔ ≤ ab + a + b ab + a + b Tương tự: (2) ; (3) a a b b ≤ ≤ bc + b + c ac + a + c Do đó: (4) a b c a b c + + ≤ + + bc + ac + ab + b + c a + c a + b Mà a b c 2a 2b 2c 2(a + b + c ) + + ≤ + + = =2 b+c a+c a+b a+b+c a +b+c a+b+c a+b+c (5) Từ (4) (5) suy ra: (đpcm) a b c + + ≤2 bc + ac + ab + Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình hình vẽ không chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ... Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 -2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm... − + 11 ÷: 2014 M = − ÷ 7  1, − + − 0, 875 + 0 ,7 ÷ 2015 11   2 2  − + =  11 − 7  − +  11 1  − + ÷: 2014 7 ÷ 2015 − + ÷ 10   1 1    − + 11 ÷ − =  1  7 − +    11 ÷    Câu... x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c Ta có: (1) a b c a +b+c x 5x 6x x 7x = = = = ⇒ a = ;b = = ;c = 18 18 18 18 18 Số gói tăm sau chia