một số lỗi sai học sinh thường gặp khi học toán trung học phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN – TIN HỌC BỘ MÔN GIÁO DỤC TOÁN HỌC MÔN PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TỐI ƯU TIỂU LUẬN MỘT SỐ LỖI SAI HỌC SINH THƯỜNG GẶP KHI HỌC TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Giảng viên hướng dẫn: ThS Phan Nguyễn Ái Nhi Sinh viên thực hiện: Ngô Thanh Trà Nguyễn Thị Huế Tháng năm 2014 MỤC LỤC ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………………………… NỘI DUNG CHÍNH…………………………………………………………………… ĐẠI SỐ 10………………………………………………………………………… HÌNH HỌC 10…………………………………………………………………… ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11……………………………………………………… GIẢI TÍCH 12…………………………………………………………………… 12 TỔNG KẾT……………………………………………………………………………… 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………… 15 ĐẶT VẤN ĐỀ Toán học môn học quan trọng gắn liền với hầu hết môn học khác có tính ứng dụng cao đời sống xã hội Việc học Toán lớp Phổ thông tảng cho trình học, làm việc sau cá nhân tiến bộ, phát triển ngành, lĩnh vực khác Vì vậy, việc học Toán hiệu mối quan tâm hàng đầu ngành Giáo dục Tuy nhiên, trình học Toán, nhận thấy từ kinh nghiệm học tập từ học sinh dạy kèm, từ số kinh nghiệm tiếp thu qua người thầy chúng tôi, có lỗi sai thường gặp học sinh giải Toán Trung học Phổ thông làm ảnh hưởng nhiều đến khả tư duy, kết học tập, thi cử em Để hỗ trợ học sinh giải Toán tốt, tránh lỗi sai làm công cụ hỗ trợ cho trình giảng dạy sau này, trình bày số tập rõ lỗi sai thường gặp theo cách hệ thống Do thời gian hoàn thành tiểu luận gấp gáp nên không đào sâu, mở rộng đề tài phần Toán Trung học Phổ thông mà hệ thống lại lỗi sai biết chương trình cấp III Với điều kiện thời gian chuẩn bị thế, biết tiểu luận tránh khỏi nhiều thiếu sót Vì vậy, cần góp ý chân thành từ quí giảng viên bạn đọc Chân thành cám ơn! NỘI DUNG CHÍNH Phương pháp tổ chức giảng dạy gợi ý tạo vấn đề từ tình tập giải có lỗi sai ĐẠI SỐ 10 BÀI (Hệ phương trình) Đề thi Đại học khối A năm 2003 có câu sau Giải hệ phương trình sau: { Bài giải có lỗi sai: Điều kiện: x.y ≠ ( ) [ Thế (*) vào (**) ta có (1) Vô nghiệm Vậy hệ phương trình vô nghiệm Một lời giải khác có lỗi sai: Điều kiện: x.y ≠ Trong phương trình (1) xét hàm số: Hàm số f(t) tăng (-∞,0) U (0,+∞) (1) f(x) = f(y) x = y vào (2) tìm nghiệm x y Phân tích lỗi sai cách khắc phục: Ở lời giải sai thứ nhất, nhiều học sinh thường (*) vào (**), sai lầm lớn nhầm lẫn ý nghĩa ngoặc nhọn ngoặc vuông Khi làm toán, ngoặc nhọn Còn gặp ngoặc vuông, phương trình trường hợp khác nhau, dùng phương trình cho phương trình Ở lời giải sai thứ hai, sau lập bảng biến thiên, học sinh theo thói quen dùng kí hiệu hợp phần lớn tập giải dùng kí hiệu Nhưng trường hợp toán này, kí hiệu hợp sai Người đề gài bẫy học sinh, quan sát kĩ f(t) tăng hai khoảng hoàn toàn khác Kết luận phải hàm số f(t) tăng (-∞,0); (0,+∞) Để giải tập này, học sinh việc thay (*) (**) vào (2) tìm nghiệm Trường hợp 1: Thay x = y vào (2) ta có x  x   Giải phương trình bậc ba ta nghiệm so điều kiện, nhận tất x = y ≠ x1  y1  1; x2  y2  1  1  ; x3  y3  2 Trường hợp 2: Ta có  1   x y  1  y  x y x Thay y  1 2  x3  vào (2) ta có x x Biến đổi tương đương ta thấy phương trình vô nghiệm Như vậy, toán có nghiệm Hệ phương trình biến hóa muôn màu muôn vẻ xoay quanh phương pháp biến đổi là: phương pháp thế, phương pháp phân tích phương trình hệ thành thừa số, phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu hàm số Học sinh cần nắm vững phương pháp để sử dụng cho phù hợp HÌNH HỌC 10 BÀI (Hai vectơ nhau) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2;-1); B(1;5); C(3;9) Tìm điểm D để ABCD hình bình hành Bài giải có lỗi sai: ABCD hình bình hành  AB  DC Mà AB  (3;6) DC  ( xD  3; yD  9)  xD    xD    D(6;15) AB  DC    yD    yD  15 Vậy D có tọa độ D(6;15) ABCD hình bình hành Phân tích lỗi sai cách khắc phục: Học sinh làm theo thói quen giải đến kết không kiểm tra lại Nếu để ý thấy giải điểm A, B, C, D thẳng Do không tìm điểm D thỏa yêu cầu toán Để khắc phục lỗi này, giáo viên hướng dẫn học sinh gặp dạng toán cần kiểm tra điểm cho có thẳng hàng hay không Xét toán ta có: AB  (1  (2);5  (1))  (3;6) AC  (3  (2);9  (1))  (5;10) AC  AB A, B, C thẳng hàng Như không cần tìm D không tồn D để ABCD hình bình hành Giáo viên giới thiệu cho học sinh công thức đầy đủ để nhanh chóng giải tập tương tự cách xác   AB  k AC Ta có ABCD hình bình hành     AB  DC BÀI (Hệ thức lượng tam giác) (Tổ Toán – Tin 2005, tr.4) Cho ABC có đường cao AH = 12cm, HB = 4cm, HC = 6cm Tính số đo góc A Bài giải có lỗi sai: Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABH tam giác vuông ACH Ta AB = 10 AC = Mà BC = BH + CH = 10 Theo định lý cosin ta có: BC  AB  AC  AB AC cos A  100  160  180  2.4 10.6 cos A  cos A   A  450 Phân tích lỗi sai cách khắc phục: Do tư chưa sâu sắc nên học sinh ngộ nhận điểm H nằm B C (Hình a), sót trường hợp H nằm B C (Hình b) Hình a Hình b Để khắc phục lỗi này, giáo viên yêu cầu học sinh xét tất trường hợp xảy gặp tập tương tự Như tập cần giải thêm trường hợp Hình b Giải tương tự trường hợp Hình a (bài giải bị lỗi), ta có BC =  cos A  7  A  807 ' 48'' ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 BÀI (Quy tắc đếm) Cho Hỏi: a) n có tất ước số dương? b) n có tất ước số dương chia hết cho 6? Bài giải có lỗi sai: Nếu m ước số dương n m phải có dạng , với k chạy từ đến 5, l chạy từ đến 4, s chạy từ đến a) Như để chọn k có cách, chọn l có cách chọn s có cách Số cách chọn (k,l,s) để tạo thành m 5×4×2 = 40 cách, tức n có tất 40 ước số dương b) Ta có 2×3 chia hết cho 6, bội số 2×3 chia hết cho Bội số 2×3 có dạng dương chia hết cho 5×4 = 20 , ta thấy để chọn p có cách, chọn q có cách nên số ước số Phân tích lỗi sai cách khắc phục: Bài giải có lỗi sai dẫn đến kết chưa xác Lỗi sai thứ nhất: “chọn k có cách, chọn l có cách chọn s có cách” Lý dẫn đến lỗi sai dòng đặt dạng tổng quát, học sinh chủ quan không đổi thành kí hiệu, thói quen dùng kí hiệu gây nhầm lẫn đếm, không nên viết “với k chạy từ đến 5, l chạy từ đến 4, s chạy từ đến 2”  Cách khắc phục: Đổi thành kí hiệu, tức “với ≤ k ≤ 5, ≤ l ≤ 4, ≤ s ≤ 2” Nếu đếm chọn k phải có cách, chọn l phải có cách chọn s phải có cách (quên đếm số 0) Vì đáp số câu a) phải 6×5×3 = 90 ước số dương Lỗi sai thứ hai: “Ta có 2×3 chia hết cho 6, bội số 2×3 chia hết cho 6” Bình thường nhận xét trường hợp , nhận xét không xác, học sinh không tư sâu xa vấn đề nên bị thiếu trường hợp, tích số nhân với số chia hết cho chia hết cho  Cách khắc phục: Để xác phải nhận xét “Ta có 2×3 chia hết cho 6, bội số 2×3 chia hết cho tích số nhân với 2×3 chia hết cho 6” Lỗi sai thứ ba: “chọn p có cách, chọn q có cách”, tương tự lỗi sai thứ nhất, việc chọn số cách p q ngẫu nhiên lấy kết từ cách đặt câu a), việc đặt p, q không cần thiết, sử dụng cách đặt ban đầu  Cách khắc phục: “Nếu m ước số dương n chia hết cho m phải có dạng , với < k ≤ 5, < l ≤ 4, ≤ s ≤ 2” Vậy số ước số dương n chia hết cho 5×4×3 = 60 BÀI (Giới hạn dãy số) Tính giới hạn sau: lim(n  n3  n  n  1) Bài giải có lỗi sai: Vì giới hạn tổng tổng giới hạn nên: lim(n  n3  n  n  1)  lim n  lim n3  lim n  lim n  lim1  ()  ()  ()  ()    Một lời giải khác có lỗi sai: lim(n  n3  n  n  1)   1 1   lim  n 1       n n    n n  1 1   lim n lim 1       n n n n   ().1   Phân tích lỗi sai cách khắc phục: Do học sinh lạm dụng quy tắc tính giới hạn nên giải sai hoàn toàn, quy tắc giới hạn tổng tổng giới hạn giới hạn sau tách hữu hạn vô hạn (có dạng ∞) Tương tự lời giải sai thứ hai, học sinh lạm dụng định lý giới hạn hữu hạn: giới hạn tích tích giới hạn Bài giải sau:   1 1  Ta có lim(n  n3  n  n  1)  lim  n 1       n n    n n lim n   Mà  1 1  lim         n n   n n Theo định lý giới hạn vô cực, ta có: lim(n  n3  n  n  1)   Đây lỗi sai nguy hiểm, tính toán bị sai vô tình kết lại đúng, học sinh cần đặc biệt lưu ý lỗi BÀI (Giới hạn hàm số) Tính giới hạn sau: lim x  x10  x5  Bài giải có lỗi sai: x 4 x10 Ta có  6x  6 x 10 1  10 x10  x 1 Suy lim  lim x  x  x  6 x Phân tích lỗi sai cách khắc phục: Học sinh thiếu cẩn thận việc đưa x10 khỏi thức tử số, số mũ chẵn nên khai dương âm Trường hợp học sinh áp đặt kết khai dương, lỗi sai phổ biến Nếu làm chậm hơn, ta thấy rằng:   x10 1  10  x5  x 4  x  x10   2 2 x5    x5    x5    x  x    10 Vì vậy:   4     (  x )  10 10 x10  x10  x x  lim  lim  lim  lim  x  x  x  x  2  x  2  6 x5    x    x x  x    x5  10 GIẢI TÍCH 12 BÀI (Tích phân) Tính tích phân I =   x dx Bài giải có lỗi sai: Đặt x = sint  dx = costdt   cos 2t t sin 2t 1  sin t cos tdt   cos tdt   dt  (  )   sin 2 4 0 1 Phân tích lỗi sai cách khắc phục: Học sinh đổi biến quên đổi cận, lỗi phổ biến mà học sinh thiếu cẩn thận hay mắc phải Để khắc phục lỗi này, giáo viên yêu cầu học sinh thực bước tính tích phân theo b phương pháp đổi biến số Khi gặp tích phân dạng  c  x dx ta đặt x = c.sint, đổi cận, a tính tích phân bình thường Như tập này, ta phải tính sau: Đặt x = sint  dx = costdt  Đổi cận x =  t = 0; x =  t =        cos 2t t sin 2t   sin t cos tdt   cos tdt   dt  (  )  2 4 0 2 BÀI (Logarit) Giải bất phương trình logarit sau: log (9 x  3)  log (6 x  2) Bài giải có lỗi sai: Bất phương trình tương đương 11 log (9 x  3)  log (6 x  2) 2  log x   log x  2  x2   x   x    6x    x    x   1   x  x   1   x  x    x  x 1  27 x  24 x    x 1  x 3 Phân tích lỗi sai cách khắc phục: Trước hết, giải chưa xác thiếu điều kiện để logarit có nghĩa, dẫn tới kết bị sai chưa so với điều kiện Nguyên nhân nhiều học sinh giữ thói quen gặp giải mà quên cần giới hạn điều kiện có nghĩa toán Tiếp theo, toán bị sai khử logarit số 1 Hàm số nghịch biến tập xác định, phải đổi chiều bất phương trình Có thể thói quen thiếu cẩn thận quan sát nên số học sinh mắc phải lỗi Bài giải sau: Điều kiện:  x  3 x  20  x Từ bất phương trình ta có log (9 x  3)  log (6 x  2) 2 12  log x   log x  2  x2   x      x   0  x2    x  2  V  x   0  9 x Giải tương đương ta kết x  3  1 Kết hợp điều kiện, suy toán vô nghiệm BÀI (Số phức) (Bài tập quan sát thực tế trường Trung học Phổ thông Lê Thị Hồng Gấm) Cho z = - 3i; w = -1 + 2i Tính z - w = ? Bài giải có lỗi sai: z - w = - 3i - (-1) + 2i = - i Phân tích lỗi sai cách khắc phục: Khi trừ cho vế phải trừ cho phần tử vế trừ cho phần tử Đây lỗi sai phổ biến cách tính nhẩm thiếu cẩn thận, lỗi gặp đối tượng học sinh lớp Chỉ cần trình bày chi tiết cẩn thận tính toán, học sinh dễ dàng tránh lỗi sai tương tự Cho z = a + bi; w = c + di (a, b, c, d R) Ta có z – w = a + bi – (c + di) = (a – c) + (b – d)i Vì z - w = - 3i - (-1+ 2i) = - 5i 13 TỔNG KẾT Có nhiều lỗi sai mà học sinh Trung học Phổ thông thường gặp phải học Toán Tuy nhiên, điều kiện thời gian không cho phép, trình bày số lỗi đặc trưng Sau tiểu luận này, dành thêm nhiều thời gian để tìm hiểu đề tài, làm công cụ hỗ trợ cho việc giảng dạy sau nguồn tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp Với mong muốn tìm tất lỗi mà học sinh mắc phải, nhằm kịp thời nắm bắt điều chỉnh cho em khắc phục lỗi sai, giúp học sinh học tập tốt hơn, tư sâu sắc giải vấn đề, đồng thời tạo cho em thói quen tích cực cẩn thận tính toán, kiểm tra lại kết quả, bước trình bày tự thuyết phục sở chắn,… Thiết nghĩ đề tài mang tính cấp thiết, không học sinh lỗi sai làm Vì vậy, nghĩ đề tài cần phổ biến cách sâu rộng, cần có chiến lược phát triển đề tài cách hợp lí để nhân rộng toàn quốc gia Các bạn bè, đồng nghiệp, giáo viên tương lai cần bổ sung cho kiến thức để thuận lợi việc giảng dạy Chúng hi vọng sản phẩm thật hữu ích dành cho người! 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tổ Toán – Tin 2005, ‘Những sai sót thường gặp giảng dạy hình học lớp 10’, Trung học Phổ thông Nguyễn Hiền, Duy Xuyên, Quảng Nam 15 ... chúng tôi, có lỗi sai thường gặp học sinh giải Toán Trung học Phổ thông làm ảnh hưởng nhiều đến khả tư duy, kết học tập, thi cử em Để hỗ trợ học sinh giải Toán tốt, tránh lỗi sai làm công cụ hỗ... (-1+ 2i) = - 5i 13 TỔNG KẾT Có nhiều lỗi sai mà học sinh Trung học Phổ thông thường gặp phải học Toán Tuy nhiên, điều kiện thời gian không cho phép, trình bày số lỗi đặc trưng Sau tiểu luận này,... trình bày số tập rõ lỗi sai thường gặp theo cách hệ thống Do thời gian hoàn thành tiểu luận gấp gáp nên không đào sâu, mở rộng đề tài phần Toán Trung học Phổ thông mà hệ thống lại lỗi sai biết