Chung minh dang thuc ttrong hinh hoc

Trong chơng trình Toán THCS có nhiều dạng toán, nhng một dạng toán mà khó và thờng gặp trong giải toán là chứng minh đẳng thức.. Nói chung việc chứng minh một đẳng thức số thì không khó

Hớng dẫn học sinh chứng minh đẳng thức tích

trong hình học.

Trong chơng trình Toán THCS có nhiều dạng toán, nhng một dạng toán mà khó và thờng gặp trong giải toán là chứng minh đẳng thức Việc chứng minh một

đẳng thức A = B hay đẳng thức a.d = b.c trong số học không khó và có thể áp dụng một số phơng pháp nh sau:

+ Chứng minh VT - VP = 0

+ Biến đổi VT về kết quả bằng VP hoặc ngợc lại

+ Biến đổi đồng thời VT, VP về có cùng một kết quả chung

Nói chung việc chứng minh một đẳng thức số thì không khó đối với học sinh, nhng việc chứng minh một đẳng thức tích trong hình học THCS thì vẫn còn là một câu hỏi Liệu có thể sử dụng các phơng pháp chứng minh đẳng thức trong số học vào để chứng minh một đẳng thức tích trong hình học hay không , nếu đ ợc thì cần áp dụng nh thế nào?

Qua thời gian giảng dạy toán THCS và kiến thức vốn có bản thân, học hỏi kinh nghiệm của những ngời thầy đi trớc tôi rút ra một kinh nghiệm để giải các bài toán dạng chứng minh đẳng thức tích trong hình học

Nh ta đã biết đẳng thức a.d = c.b có thể viết dới dạng các tỉ lệ thức nh sau

a = ; = ; = ; =c a d b c b d

d b c b d a c a mà trong hình học thì khi nói đến các tỉ lệ thức thì ta liên tởng đến ngay các kiến thức: Đoạn thẳng tỉ lệ; Tam giác đồng dạng; Định lý đờng phân giác trong tam giác; Định lý Talét

Vậy để làm đợc các bài toán nh trên đã đặt ra thì giáo viên phải nắm các kiến thức trên một cách chắc chắn, và phải truyền đạt cho học sinh hiểu một cách tờng minh các kiến thức: Đoạn thẳng tỉ lệ; Tam giác đồng dạng; Định lý đờng phân giác trong tam giác; Định lý Talét

Sau đây tôi xin minh hoạ bằng cách hớng dẫn học sinh giải một số bài toán dạng trên trong chơng trình Toán Hình học 8, 9

Ví dụ 1: (Bài 39 SGK T8_2 tr 79) Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi O giao

điểm của hai đờng chéo AC và BD

Chứng minh OA.OD = OB.OC

- Yêu cầu học sinh vẽ hình

- GV vẽ hình bảng

O D

C

! Để chứng minh đẳng thức tích ta sử dụng

các khái niệm: đoạn thẳng tỉ lệ, định lý ta

lét, tam giác đồng dạng

! Để chứng minh OA.OD = OB.OCta cần

chứng minh gì?

- HS vẽ hình

- HS nêu đợc chứng minh OA OC

OB OD

OA.OD = OB.OC

OA OC

OB OD





! Để có tỉ lệ thức thì ta cần có hai tam giác

đồng dạng

! GV hớng dẫn cách lấy hai tam giác đồng

dạng từ tỉ lệ thức OA OC

=

OB OD nh sau:

- Nếu lấy trên tử ta phải có

ΔOACΔOBDOAC ΔOACΔOBDOBD

- Nếu lấy trong một tỉ số ta phải có

ΔOACΔOBDOAB ΔOACΔOBDOCD

! Cho HS phát hiện các yếu tố đã bằng nhau

của hai tam giác và yêu cầu học sinh chọn

một trong hai cặp tam giác trên

! GV yêu cầu học sinh chứng minh hai tam

giác đồng dạng

! Từ đó yêu cầu học sinh rút ra tỉ lệ thức và

suy ra điều cần chứng minh

- HS phát hiện các yếu tố bằng nhau

và chọn một trong hai cặp

- HS chỉ chọn đợc ΔOACΔOBDOAB ΔOACΔOBDOCD

- HS chứng minh ΔOACΔOBDOAB ΔOACΔOBDOCD

AOB = COD(đối đỉnh)

ABO = CDO(so le trong) ΔOACΔOBDOAB ΔOACΔOBDOCD

Ví dụ 2 (Bài 48 SBT T8_2 tr 75) Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH

Chứng minh AH2 = BH.CH

- Yêu cầu học sinh vẽ hình

- GV vẽ hình bảng

! Hớng dẫn học sinh phân tích chứng minh

2

AH = BH.CH AH.AH = BH.CH

BH AH

?







! GV hớng dẫn học sinh cách lấy hai tam

giác đồng dạng từ tỉ lệ thức AH CH=

sau:

- Nếu lấy trên tử ta phải có AHC BHA

- Nếu lấy trong một tỉ số ta phải có

  

! Yêu cầu học sinh chứng minh

B

A

C H

- Học sinh rút ra tỉ số AH CH=

BH AH

- Học sinh chứng minh

Ví dụ 3 Tam giác ABC, phân giác AD Qua B kẻ tia Bx sao cho CBx = BAD Tia Bx cắt tia AD ở E

Chứng minh BE2 = DE.AE

x

E

D B

A

C

2

BE = DE.AE BE.BE = AE.DE

ΔOACΔOBDABE ΔOACΔOBDBDE 







! Hãy chứng minh ABE BDE

+ BE.BE = AE.DE + BE DE

=

AE BE

+ ABE BDE

Xét ABE, BDE có

BAEDBE(gt)

E chung

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC, phân giác AD Gọi E,F lần lợt là hình chiếu của B và C

lên AD

Chứng minh AE.DF = AF.DE

F

E

B A

! Viết đẳng thức AE.DF = AF.DE dới dạng tỉ lệ

thức

? Muốn có tỉ lệ thức AE DE=

AF DF thì phải có hai tam giác nào đồng dạng

? Em có nhận xét nh thế nào về hai cặp tam giác

trên

! Vậy không thể chứng minh đợc tỉ lệ thức trên dựa

vào hai cặp tam giác trên

+ AE DE=

+ AEF DEF

Hoặc AED AFD

+ Không tạo thành tam giác (Ba điểm thẳng hàng)

! Hớng dẫn học sinh chứng minh.

+ AD phân giác cho ta tỉ số nào?

+ Để chứng minh đợc AE DE=

AF DF ta cần chứng minh AB AE=

AC AFvà BD EDBC DF

! Yêu cầu học sinh chứng minh hai tỉ lệ thức trên

- Học sinh trả lời: AB BD=

AC DC

- Học sinh chứng minh hai tỉ

lệ thức trên

* Qua các ví dụ trên ta có thể rút ra nhận xét cho học sinh nh sau:

- Để chứng minh đẳng thức a.b = c.d hoặc a2 = bc ta áp dụng khái niệm hai tam giác đồng dạng, đờng phân giác trong tam giác

- Nếu đẳng thức dạng a.b = c.d thì ta có thể lập đợc 2 cặp tam giác đồng dạng; đẳng thức a2 = b.c thì chỉ có một cặp tam giác đồng dạng

*áp dụng phơng pháp trên ta có thể chứng minh tơng tự các bài sau

(Các bạn tự giải để tìm ra đợc phơng pháp hay hơn và trao đổi lẫn nhau trong quá trình giảng dạy.)

Ví dụ 5 (Bài 54 SBT T8_2 tr 76) Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC và BD

cắt nhau tại O, ABDACD. Gọi E là giao điểm của hai đờng thẳng AD và BC Chứng minh EA.ED = EB.EC

Ví dụ 6 (Bài 55 SBT T8_2 tr 77) Tam giác ABC có ba đờng cao AD, BE, CF đồng

quy tại H Chứng minh AH.DH = BH.EH = CH.FH

Ví dụ 7 Cho hình bình hành ABCD, F trên cạnh BC Tia AF cắt BD và DC lần l ợt

ở E và G Chứng minh AE2 = EF.EG

Ví dụ 8 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH, phân giác BD Gọi I giao

điểm của AH, BD

Chứng minh AB.BI = BD.HB

Ví dụ 9 Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH Gọi M,N lần lợt hình chiếu

của H trên AB, AC

Chứng minh AM.AB = AN.AC

Ví dụ 10 Cho hình chữ nhật ABCD, E trung điểm AB tia DE cắt AC tại F cắt CB

tại G Chứng minh FD2 = FE.FG

Ví dụ 11 Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc A = 600 Một đờng thẳng bất kỳ đi qua

C cắt tia đối của tia BA, DA tơng ứng ở M,N

Chứng minh BM.DN = a2

* Các bài toán dạng này cũng có trong chơng trình Hình học 9.

Ví dụ 12 Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến AB và cát

tuyến ACD Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác của góc BAC, dây này cắt CD tại E Chứng minh MD2 = ME.MB

Ví dụ 13 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Trên đờng thẳng AB

lấy một điểm M (M không thuộc đoạn AB) Vẽ tiếp tuyến MT của đờng tròn (O) cà cát tuyến MCD của đờng tròn (O’)

Chứng minh MT2 = MC.MD

ví dụ 14 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Vẽ dây cung BC của

đờng tròn (O) tiếp xúc với (O’) Vẽ dây cung BD của đờng tròn (O’) tiếp xúc với (O) Chứng minh AB2 = AC.AD

Ví dụ 15 (Bài 41 SGK Toán 9 _ 1 tr 128 c) Cho đờng tròn (O) có đờng kính BC ,

dây cung AD vuông góc với BC tại H Gọi E,F theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF

Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC

Ví dụ 16 (Bài 43 SGK Toán 9 _ 1 tr 128 b Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc

ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B  (O), C  (O’) Tiếp tuyến trong tại

A cắt BC tại M Gọi E giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC Chứng minh đẳng thức ME.MO = MF.MO’