bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ

Nguyễn Minh Tuấn Lớp 11A – Trường THPT Bình Minh Chuyên đề Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ Fanpage: Tạp chí Olympic Blog: kinhnghiemhoctoan.wordpress.com Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ LỜI GIỚI THIỆU Phương trình - Bất đẳng thức hai lĩnh vưc có mối quan hệ chặt chẽ với Đây phần quan trọng chương trình toán THPT nhiều học sinh đam mê toán yêu thích Không vấn đề thường xuyên xuất kì thi THPT Quốc gia hay kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh hay chí VMO Các toán phương trình không tắc thường thiết kế sáng tạo ý tưởng bất đẳng thức đồng thời phối hợp nhiều luồng kiến thức khác yêu cầu người làm toán phải có tư linh hoạt, tìm tòi củng cố kiến thức, liên hệ kiến thức đồng thời tập cho nghiên cứu để khám phá vẻ đẹp sử dụng thành thạo phương pháp Là học sinh THPT nhận thấy cần phải tổng hợp chuyên đề vấn đề số người bạn viết chuyên đề “Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ" Trong chuyên đề gồm phần: PHẦN 1: Các bất đẳng thức cần nhớ PHẦN 2: Các toán PHÂN 3: Hướng dẫn giải Các toán viết chủ yếu sưu tầm diễn đàn toán học như: VMF – Diễn đàn toán học Việt Nam Diễn đàn toán học K2pi Diễn đàn toán học Mathscope Wedsite học online: Vted.vn Đồng thời tham khảo số chuyên đề viết khác Internet, bên cạnh có số toán sáng tác thêm dựa số bất đẳng thức khác Cuối xin cảm ơn bạn đóng góp giúp đỡ hoàn thiện chuyên đề mà tiêu biểu là: Bạn Đinh Xuân Hùng – Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình Facebook: https://www.facebook.com/dxh2002 Bạn Lê Trọng Khương – THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100015588304898 Nói chung viết thiếu xót, mong bạn đọc bỏ qua, có mong người đóng góp cho qua địa chỉ: NGUYỄN MINH TUẤN + Facebook: https://www.facebook.com/minhtuanblog + Fanpage: Tạp chí Olympic: https://www.facebook.com/tapchiolympic.vn/ Blog Toán học – Kinh Nghiệm học toán: https://www.facebook.com/toanmathematical/ Mathematics Books: https://www.facebook.com/mathematicbooks/ + Emai: tuangenk@gmail.com + Blog: https://kinhnghiemhoctoan.wordpress.com/ Page Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ I CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ Bất đẳng thức Cauchy – AM – GM Cho n số thực dương a , a , , a n ta có a  a   a n  n a a a n n2 Bất đẳng thức AM – GM dạng cộng mẫu số cho n số thực dương a , a , , a n :   n i 1  a1 n i 1 Dấu “=” xảy a  a   a n Bất đẳng thức Bunhiacopxki – Cauchy – Schwarz (BCS)  n  n   n  Cho số  a1 , a2 , , an   b1 , b2 , , bn  Khi ta có:      bi     bi   i 1   i    i 1  Ngoài cần phải ý đến bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu Engel:  n   n a i  i 1   n  i  bi  bi 2 i 1 Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Svacxơ a a a Dấu “=” xảy     n Riêng dạng cộng mẫu cần thêm điều kiến b1 b bn b , b , , b n  Bất đẳng thức Minkowski Tổng quát: Cho số thực r  số dương a , a , , a n , b1 , b , , b n ta có: 1 n  n r r  n r r r r a  b    i  i    a i     bi   i 1   i 1   i 1  Ở xét trường hợp cho số  a1 , a2 , , an   b1 , b2 , , bn  Khi ta có: n a i n  i 1 n b i  i 1  a i  bi  i 1 a1 a a     n b1 b bn Bất đẳng thức Holder Cho số dương x i , j i  1, m , j  1, n Dấu “=” xảy   j m m   n   Khi với số 1 , 2 , , n  thỏa mãn  i  ta có:    x i , j      xi ,jj  i 1 j1  i  i 1  j   n n Ở ta xét trường hợp đơn giản cho dãy số gồm  a, b, c  ;  m, n, p  ;  x, y,z  Ta có: a  b3  c3  x  y  z  m  n  p    axm  byn  czp  Dấu “=” xảy dãy tương ứng tỷ lệ Page Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ II ĐỀ BÀI Bài 1: Giải phương trình: 13 x2  x  x  x  16 Bài 2: Giải phương trình: x  3x  8x  40  4x   32 Bài 3: Giải phương trình: x x   3x  x x Bài 4: Giải phương trình: x  x   x  x   x  x  2  x2  1  1x 3 Bài 6: Giải phương trình: x  12x  38x  12x  67  x    x  Bài 5: Giải phương trình: Bài 7: Giải phương trình: x   x x 32 2  x1  x2 x1  x2    24 Bài 8: Giải phương trình: 12x2  16x   24x3  12x2  6x  x  x  8x  9x2  x    Bài 9: Giải phương trình:  x   x   x  x   2   x  x  2x  Bài 10: Giải phương trình: x  x2   x  x2   2x Bài 11: Giải phương trình: x  4x  6x  3x   2x   2x  Bài 12: Giải phương trình: x   3x  x   x   x  4x x Bài 13: Giải phương trình: x   2x   5  x  1 2x    8x   x  4x   Bài 14: Giải phương trình:  x    3x  3x  10  10  6x   3x  Bài 15: Giải phương trình:  x   x  2x     3x   3x x    2x  1 2x  1  3x  Bài 16: Giải phương trình: 2x  49 x  11x    x2 2x  Bài 17: Giải phương trình: 3x   x  x  x x   Bài 18: Giải phương trình: 3x   x  x    x  1  1  x 7x  x    32 x  Bài 19: Giải phương trình: 3x  x  2x    x  x  1 Bài 20: Giải phương trình: x6  x3  2x   x6  x  2x   2x Bài 21: Giải phương trình: x  x  1  1 x x Bài 22: Giải phương trình: x  x    x7  x  x      Bài 23: Giải phương trình: 4x  x   x   x   x   5x  2 Bài 24: Giải phương trình:  x    x    x  3x   Page x5 0 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ  3x 1x    x      x x1 x  x      x  2x  1  x  2x   Bài 25: Giải phương trình: x  4x   Bài 26: Giải phương trình:   x   1 x11 2x   3x   Bài 27: Giải phương trình: Bài 28: Giải phương trình: x 1 x2  x  x  x1  x Bài 29: Giải phương trình: x  2x   x2  x    x2  x2  x   x  x3  3  x  2x   85  60x     Bài 30: Giải phương trình:  3x  1  x   5x   15x  35x  10x Bài 31: Giải phương trình: x x  x   3x x   x   3x7  2x  x   Bài 32: Giải phương trình:  x    x   x   x   7x  Bài 33: Giải phương trình:  2x  x   2x  x   x    2x  4x  1 Bài 34: Giải phương trình: x2  x1  Bài 35: Chứng minh rằng: a b a b   2a, b  a  3b b  3a Bài 36: Giải phương trình: 3x  13 4 1x 2x   3 x 1x Bài 37: Giải phương trình: 6 2x   6  x  7  2x    x   Bài 38: Giải phương trình: 2x  2x   2x     x   2x    1 x1  3x  x3    x x 1 Bài 40: Giải phương trình:   2  x  3x  1  x  3x  x 1 Bài 39: Giải phương trình:  x  4x    Bài 41: Giải phương trình: x  x3  6x   x6  x   Bài 42: Giải phương trình: Bài 43: Giải phương trình: x9  2x   x8  x     x   x  2x  2x     2 x      2x   2x   2x  x 2x  x  Page  Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ  28x     Bài 44: Giải phương trình:  x         256 x   28x       2x 1 x1    4 4  2 2x 2x x1  x1 Bài 45: Giải phương trình: Bài 46: Giải phương trình:   x1  3x x1  3x   1 x1  3x  x  1  x  Bài 47: Giải phương trình:  1 3x  2   1    1 x2 x2    1 Bài 48: Giải phương trình:   x 2x  x  2x   Bài 51: Giải phương trình:   x  x  2x Bài 49: Giải phương trình: 4x   8x  Bài 50: Giải phương trình:     1    17  2 3x    64   4x   x x 2x   0     2x   2x   x   2x  2x  x x2  x  1  x  x2  x  x   x2  Bài 52: Giải phương trình: x  4x    2  2x     x 16x Bài 53: Giải phương trình: x   x    x    2x  Bài 54: Giải phương trình: 2  x  x9 x1 Bài 55: Giải phương trình: 2x   1 3 3 x3 2 Bài 56: Giải phương trình: 27x  24x  Bài 57: Giải phương trình:  x   x   8x   28 27  1 x6 x  x   x  x   4x   32 x  2x   Bài 58: Giải phương trình: x   x   x  Bài 59: Giải phương trình: Bài 60: Giải phương trình: x  x  19  7x  8x  13  13x  17x   3  x   11 25  1 x  x  2  x 10 y 10  16 Bài 61: Giải phương trình:     x  y16    x y   10 x  y Bài 62: Giải phương trình:   4x y  16x y   x y  2y   x    x   x   Page  Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ III HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Giải phương trình: 13 x2  x  x  x  16 Tiến sĩ Trần Nam Dũng – Đại học khoa học tự nhiên – ĐHQG TP.HCM Đề nghị Olympic 30/4/2011 – THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TH.HCM Giải Với  ,   Ta sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 2 2 13 13  x    x  13     x  13 2 13 x  x   x 1  x       2 2 2 13 2  x    x     x  9 x2  x4   x   x2       2 2  13    1      13  x2   13 x  x  x  x     2 2  2 2   Dấu “=” xảy      x   2   x      2       VT  16  VP Chọn  ,   thỏa mãn  13      2     0    2 2   Dấu “=” xảy x  Ngoài ta dùng đạo hàm giải Đặt f  x   13 x  x  x  x hàm f  x  liên tục  0;1 Ta có: f '  x   13  2x  x   2x  x  x2  x4 13  2x  1 x    2x  1  x 13  2x  x   2x  x  f ' x   0  x   L  x2  x x2  x4    ; 1 x        5x   200x  160x  22     Dễ thấy với x   ; 1 200x  160x  22  108  , nên f '  x    x    Do hàm f '  x  đổi dấu từ        qua nên đạt cực đại 2 5  f  x   f  x   16  VP   Bài toán giải quyết! x2  x4  Page Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ Bài 2: Giải phương trình: x  3x  8x  40  4x   Trích đề thi HSG Quốc Gia – Bảng A – 1995 Đề nghị Olympic 30/4/2014 – THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Ninh Thuận Giải Ta dễ dàng thấy phương trình có nghiệm x  nên ta dùng bất đẳng thức Cauchy để khử Ta Cauchy  4x   16.16.16  x  13 VT  x  3x  8x  40   x  13    x    x    0x  1 Vậy dấu “=” xảy có: 4x   Khi x3 Bài 3: Giải phương trình: x x  32  3x  x x Giải Nhìn vào phương trình ta thấy VT  nên điều kiện có nghiệm x  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: x x  32 AM  GM 32 x x x x     x 2 x x x x Khi ta cần chứng minh : x  3x   x x  3x    x 2   x   Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  x  x   x  x   x  x  Giải ab Cách 1: Dùng bất đẳng thức dạng ab  Cauchy  x x  x  x    x  x    Ta có:  Cauchy  x  x    x  x    x  x   2  x  x    VT  x  Dấu “=” xảy   x    x  x   Bài 4: Giải phương trình: Lại có VP  x  2x   x    x     x    x  Dấu “=” xảy x  Nên VT  VP Dấu “=” xảy x  nên x  nghiệm phương trình Cách 2: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki Bunhiacopxki  2 VT  x  x    x  x    12  12  x2  x   x  x2  1  x  Ta có:   VP  x  x  x   x  x  2x   x  x    x    x    Do dấu “=” xảy x  Cách 3: Phân tích tổng bình phương SOS Ta có: 2 1 x2  x   x2  x   x2  x    x2  x    x2  x     x  1  2   Page     Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ  x2  x     Dễ dàng nhận thấy VP  VT  Nên dấu “=” xảy   x  x    x  x     x2  1  1x 3 Giải Bài áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Ta có: Bài 5: Giải phương trình: x x  1x  x Dấu “=” xảy x  x x  x2  1    VT  x  1  x    x   1  x x   x   x3  x2  x   3 x1  3x  3x  3x     x    2x  x  1 Vậy toán giải quyết! Bài 6: Giải phương trình: x  12x  38x  12x  67  x    x  Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016 – Lần – Chuyên Vĩnh Phúc Giải Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cauchy 1  x  11  x  Ta có: x    x  x    x     2 2 2    Khi VT   x   x  6x    x    x   x     x   Dấu “=” xảy  x3   x  Cách 2: Phân tích tổng bình phương: Ta có: x  12x  38x  12x  67  x    x  2 1 x1 2   x    x    x    x   4 Không khó để nhận với x   1;7  VT  Do dấu “=” xảy x       Vậy x  nghiệm phương trình Bài 7: Giải phương trình: x   32 2  x1  x2 x1  x2    24 Giải Ý tưởng toán toán khác, ta đánh giá VT  24 Nhưng nhiên để nguyên chưa làm ăn gì, ta liên hợp tử phân thức Ta có: Page Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ x2  6  32   x1  x2 x1  x2    24  x2     x2  x1 3 x1  x2     x1  x2  x2  x1 96  x1  x2  x2  x1 3 x2  x1 ; b  x1  x2 2 96 96  ta được: ab x2  x1 x1  x2 Khi áp dụng Cauchy cho số: 6a  3 b  x1  x2 ; 2 96         24  24   3 96 Cauchy 6.3.3.96.a.b.b 6a  b  b   4  24  VP 2 ab ab2  6a  b Vậy dấu “=” xảy   b  4a  x  6a  96  ab Bài 8: Giải phương trình: 12x2  16x   24x3  12x2  6x  x2  x  8x3  9x2  x  Giải Ta có: 12x  16x   24x  12x  6x  x  x  8x  9x  x   12x  16x   6x  4x  2x     x  x    x  x   8x    6x  4x  2x   1 Phương trình có nghiệm x  Nên ta áp dụng bất đẳng thức  4  x2  x    8x    x  x  2 6x  4x  2x    4x  8x    AM – GM ta được: 2  x  x    x  x    2  x  x   8x    4x  4x  8x   1 Khi VT  Dấu “=” xảy x  Ngoài không thích ta sử dụng cách ghép đẳng thức sau: 12x  16x   24x  12x  6x  x  x  8x  9x  x   6x  6x  4x  2x    4x  2x    4x  4x  4x  4x 4x      4x  4x   8x    8x   6x  4x  2x       4x  4x   Đến toán giải quyết! Page 4x  4x  8x   0 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ + Khi f x  x1 x  6 2 0 Cách 6: Bất đẳng thức a  2x   a 4b 3  Đặt   a  2b  Phương trình trở thành:  b   x b a  b2   Ta có: AMGM a4 a4 a4 a2 a     27a   3a 2 2 a b b b a  b  b  b 27 27 AMGM 16b4 16b4 16b   3  2b2  a2  a2  b2  b2    2b2 a2  b2 a  b2            16b2 a  b2   108b  4b  3.2b2 a b Cộng lại ta VT  3  VP Dấu “=” xảy a  b   x 3 Bài 37: Giải phương trình: 6 2x   6  x  7  2x  1  x   Giải Do phương trình có nghiệm kép nên ta dùng phương pháp đánh giá Ta có: f  x   6 2x    6  x   7  2x    x   AM  GM 6 2x    7 2x  AM  GM 6  x   7  x Do ta được: f  x   7 2x   7  x  7  2x    x    7    2x   1   x  14  x    i 0 i    2x   2x    x   2x    x   2x j  j  2x   Mà  , nên f  x   Dấu “=” xảy x    x  Bài 38: Giải phương trình: 2x  2x   2x     x   2x    1 x1  Giải   Nhìn dạng ta dùng bất đẳng thức vectơ Cho vectơ v  x; y  u  a; b  , ta có:     2 u  v  u  v  x2  y  a2  b2   x  a    y  b  Page 32  Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ  x y  Ngoài mở rộng cho vectơ, thêm a  m; n  : a b       2 u  v  a  u  v  a  x2  y  a  b2  m  n   x  a  m    y  b  n  Dấu “=” xảy Bây vấn đề phân tích biểu thức thành tổng bình phương để áp dụng bất đẳng thức Ta có: 2x  2x   x  x  2x   x   x  1 2x   2  1 1    1 x1  x   x x   x    x   2 2      1  3  2x   x   x  x   x  x   x     x       Đến áp dụng bất đẳng thức ta được:  2  2 2 1  VT   x  x   x     x   x  x   18x  2 2  Dễ thấy 18x2  chưa phải lớn 3, để ý điểm rơi bất đẳng thức x  nên ta đánh giá sai Để đánh giá để ý ta áp dụng cho sau điểm rơi x  , nên ta xử đằng sau trước, ta được: 2 2  1  1  3   2  x  x    x    4x  4x   x  4x   x   x       2  2       3 Chú ý: Nếu ban đầu ta viết  x   điểm rơi lúc x  nên để điểm    2    3 rơi x  ta phải đổi  x   x          Còn lại để xuất ta cần phải biến đổi lại, ta được: 2 2x  2x   x  x  2x   x   x    x    x    x Vậy VT  x    x   VP Dấu “=” xảy x  Bài 40: Giải phương trình:  x  4x    3x  x3    x x Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:  x  4x    AM  GM  2x    x    x3    3x  x3     x    x x x x   2x 1   x3      x x x x Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  Page 33 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ Bài 41: Giải phương trình:   x  3x  1  2  x  3x  x 1 Diễn đàn k2pi.net Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 1  x  3x     x  3x  2  x  3x   x  3x  x  3x   x  3x    2x    x  x2    x2   x2   x2   x2    x2  x 1  x 11  0 Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  Bài 42: Giải phương trình: x  x  6x   x6  x   Bùi Thế Việt – Vted.vn Giải Đầu tiên ta dùng tiếp tuyến tìm đánh giá là: x  x   5x  - Nếu x  bất đẳng thức - Nếu x  x6  x   5x    x    4x  8x  12x  16x    Dễ thấy bất đẳng thức cuối nên ta : x  x  6x   x6  x   x  x  6x   5x    x    x  x    VP Vậy toán giải quyết! Bài 43: Giải phương trình: x  2x   x8  x     x   x  2x  2x   Nguyễn Minh Tuấn Giải   x  2x   x  Phương trình có nghiệm x  nên ta có đánh giá:   x8  x   x   2 Nếu x  đánh giá Nếu x  ta được: 7 x  x   x    x    4x  8x  12x  16x  20x  24x  21   2 2 x  2x   x    x    4x7  8x6  12x  16x  20x  24x  28x  17   2 Page 34 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ Dễ thấy với x  đương nhiên bất đẳng thức vì:  20x  24x  21    24x  28x  17  Vậy VT  VP   x    x    Dấu “=” xảy x    2 x      2x   2x   2x  x 2x  Bài 44: Giải phương trình: x  Giải a  x b    a b   Đặt  phương trình trở thành: 2  a  a  1  b3  b  2x   Ta có bổ đề:  a   b   c     abc  - Đã chứng minh Áp dụng ta có:   a   a   b     a b    1  1  a  1    a    1   b   b     b  3 3 3 3 Nhân vế theo vế ta được: 3 3   a    b3     a b    a    b2  3 1  a b 1  a 1  b   1  a  1  b  3 3   a b    a    b      a b   b   8  a  1 b  1  a  a  1 b  1 2 3 2 Vậy toán giải quyết!  28x     Bài 45: Giải phương trình:  x    1     256  x    28x      Nguyễn Minh Tuấn Giải Cách 1: Bất đẳng thức Holder a  x  Nhìn thấy dạng tích lại nghĩ đến bất đẳng thức Holder Đặt  , phương trình trở thành: b  28x  b     a        256 a  b  Áp dụng hệ bất đẳng thức Holder cho dãy số:   a   b   c   d     abcd  4 b     b 9   Ta được:   a       1  1 a     256  VP   a  a b b  b  b    Dấu “=” xảy a  3; b   x  Cách 2: Bất đẳng thức AM – GM Theo AM – GM ta có: Page 35 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ   a     2 b    b   1    a  b         b b1 a  a  b  b  2    1   b   2  b  1  b   2       b  1  b     b   10    256     b  b b     Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  Cách 3: Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz  b   Cauchy Schwarz   Ta có:   a        b  1    256 a  b b   Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  Cách 4: Chú ý ta có đẳng thức sau:     2   b        b    a        256  32   b     b     a     a  b b   b   b   a   Áp dụng vào ta được:  28x     1 x  1 1    256  x    28x      2   3      28x    32   28x      28x      x   1  0   28x    28x    28x    x6   Dấu “=” xảy x  Bài 46: Giải phương trình:  2x 1 x1    4 4  2 2x 2x x1  x1 Nguyễn Minh Tuấn Giải a   x 1  a b  a  b2  , phương trình trở thành:     Đặt   2  a b  b a  b  x  1  a b 1 a b       2     22  a b  b a  a b b a  a  b  2ab  2ab  2  a  b   a  b    a  b        a  b   a  b  1  Do a  b    a  b   1;  Vậy bất đẳng thức cuối Dấu “=” xảy a  b  x  Bài 47: Giải phương trình:   x1  3x x1  3x   1 x1  3x  x    x  Nguyễn Minh Tuấn Giải Page 36 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ Ta có: 1    x1  3x  x1  3x  x    x   x   x    x    x    x   x    x  x1  3x    1 x1    x1  3x  x1  3x  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:  x1  3x    x1  3x   x1  3x    x  1  x  2   x1  3x   4  x    x   2 x1  3x  2  4 x1  3x   x  1  x  Cộng vế ta VT  VP Dấu “=” xảy x   Bài 48: Giải phương trình:   x    1    1 x2 x2     2   1    17  2 3x   Nguyễn Minh Tuấn Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 1   3x Cauchy  Schwarz   1    1 x2 x2       1   3x   1        x  1     x 1    2 x2   x    Cách 1: Phân tích nhân tử     1       x  1     x 1      17  12 2 x2   x                 x 1     x  1     34  24 x2   x           3x x2    3x  x2      34  24 x2 x2 3x  3x    x 2 x 11 3x x2   3x     x2     23 2 4 x2 x2 3x  3x   34  24 2  3x  2 3x 4  x2  2 x  2    3x x2         2 3x x2 x2 3x    34  24      Page 37  Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ  3x  x2 Bài toán giải ta chứng minh được:       34  24 3x  x2  Thật không may là:  3x  3x x  AM GM x2   2  23 2  43 x2 3x 3x  x2  Vậy toán giải quyết!  Dấu “=” xảy x    34  24  VP Cách 2: Bất đẳng thức 1 1 a   x    2  a  b  , ta chứng minh   a  1      b  1     VP Đặt  2  b  a  b  x   1      a    b     b    a          1  1  a  b     b a2     1 a b a b 2 2        2              2 a b b a  ab  b a       b2 a2 3 3a  3b   AM  GM 4   a  b   2   b a  ab        2 2   2   a b  ab     AM  GM   4        6  2      17  12 ab  16 ab   6 a2  b2     16      Vậy toán giải quyết!  1 Bài 49: Giải phương trình:   x 2x  x  2x   x  2x  64   0 Nguyễn Minh Tuấn Giải 1 Ta có:   x 2x  x  2x   x  2x  64  0   x  Page 38 2x  2 64  x  2x  0 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ  Lại có: 2  x    x   2x  2   x  2x   32   2  x     x    x  2x 4  2   x  2x  x  2x    4 x    x        x    x   x     x    x    x   x    2x 2 2 2 2 2 2 2x    Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:   2x    x    x    x   x    2 2 2  x  x   x    x    x   x      2 2  x  2x 2 x 2x         2 2 x 2x  x  2x                 x  x  2x 2x  2x    2 2x     x     Ta chứng minh:  2  x     x  2x 2x  2 2x     x     2x x  2x x      x      64 x 2  x     x    x  2x  x  2x 2   2  x  x 2  x  x   x  2x 32                0 Vậy VT  VP Dấu “=” xảy x  Bài 50: Giải phương trình: 4x   8x    4x   x   x   8x    Nguyễn Minh Tuấn Giải Ta có:  4x   8x   4x   x     x   1 8x   1  8x    8x  3      x        x      x     4  4  2    Chú ý rằng: Page 39 8x     2 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ 1   x1 2 0     x1  8x    8x       2      x1   x1  8x  8x    x1  4  2   8x   8x  8x     x1       x    4  4    8x   Do VT   x     Mà theo AM – GM ta có:  2    8x     x      8x    8x        x1     VT  x        4    8x   4 Dấu “=” xảy x   Bài 51: Giải phương trình: x x   x  2x     2x   2x   x  x  2x  2x  Nguyễn Minh Tuấn Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 11   x  2x    Cộng lại ta được: VT     Vậy dấu “=” xảy x  Bài 52: Giải phương trình: 3 x ;  x  2x      2x  1; 11  3 x 2x  x  2x   x 2x   1 x x   2x      2x   VP x 2x  x 2x   2x    x   x2  x  1  x  x  x  x   x2  Diễn đàn k2pi.net.vn Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM phát Ta có: 3 VT   x  x     x    x  x    x     x2  x  1    x     x2  x  1   x  1  Dấu “=” xảy x  Page 40  x2  Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ  x2  4x  1 Bài 52: Giải phương trình:  2x     x 16x Đề nghị 30/4/2014 – THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Vũng Tàu Giải   2x   x   6  6  ĐKXĐ: x    ; ;  Theo AM – GM ta có:   Từ suy ra:      3  2 x x  x VP  VT   4x   16x 4  x  1  x6  14x5  87x  116x3  87x  14x  1 x  3  x 16x6 Lại có: x  14x  87x  116x  87x  14x    6  6 58  2813   x  x  14x  16   71x  x    x  14x   0x    ; ;   71  71      Vậy VP  VT Dấu “=” xảy x  1 Bài 53: Giải phương trình: x   x    x    2x  Giải   u u  x  3; x      x  3  x  Đặt   Theo bất đẳng thức vecto ta có:     v   1;  v         u.v  u v  x    x     x    2x    Vậy VT  VP Đẳng thức xảy hai vecto u, v phương với Tức x  Bài 54: Giải phương trình: 2  x  x9 x1 Giải Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2  2   x   x    2  x    x1 x    x1   x    x  9     x   x   VP x  x     Đẳng thức xảy 2  x1  x1 x1 8 x x x x1 Page 41 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ Bài 55: Giải phương trình: 2x   1 3 3 x3 2 Đinh Xuân Hùng Giải  3a 2x   1  Đặt a  3 x  Khi ta có hệ phương trình:  2 2a    x  Giả sử x  a  2x  2a   1 3a  3  x Mà f  t     t hàm đồng 2 biến  0;   nên suy a  x  a  x  2x   Đặt b  x  ta có hệ phương trình x3 2x   b  2b   x x  Giả sử x  b   b   x  b  x  b  x Hay 2x  x     x    KTM   Vậy phương trình có nghiệm x  Bài 56: Giải phương trình: 27x  24x  28 27  1 x6 Giải Phương trình tương đương:  9x    9x       9x   28 27x  24x   1  24 3 Đặt 9x   y  y   Khi phương trình trở thành: y2 3y y2 3y   1 2   1  6y 3 Theo AM – GM ta có:  y2  6y y2  y  6  6y  4   2y        y    3   Vậy đẳng thức xảy y   x  Page 42 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ x  x   x  x   4x   Bài 57: Giải phương trình: 32 x  2x   2 Giải Ta có: 4x  32 x  2x     1 64  4x   2x     2x    3  x  2x    32 Theo AM – GM ta có: 4x  Từ suy 4x  x  2x   32 x  2x   2  1 64 2  4x  2x   2 2 x  2x     3    4  54  Xét bất phương trình: x  x   x  x    x  x    x  x   2x   x  x  1 Bất phương trình  Nếu 2x    x   Nếu 2x   , bất phương trình lúc tương đương với : 4x  4x    x  x     Vậy VT   VP phương trình vô nghiệm! Bài 58: Giải phương trình: x   x   x  Giải Theo AM – GM ta có: x   4x Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:   x   x    x     x    4x Từ suy phương trình vô nghiệm! Bài 59: Giải phương trình: x  x  19  7x  8x  13  13x  17x   3  x   Giải Ta có: 1 3  x  x  19   x    18  18 4   2 7x  8x  13   2x     x     x   Page 43 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ 13x  2x    17x    4x    4x     4 Thế vào phương trình đầu ta VT  VP Dấu “=” xảy x  Bài 60: Giải phương trình: 11 25  1 x  x  2 Giải Đặt x   y  y   ta có x   y    y  10y  25 Phương trình trở thành:   625  25  y  10y  39y  250y  625    y    10  y    38    y  y    Đặt z  y  25 25  z  y  10 Phương trình   trở thành: z  10z  11   z  11 y y Thay z  11  y  25  21  11  x  y  x 10 y 10  Bài 61: Giải phương trình:     x 16  y16    x y   10 x  y Giải Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có:  x 10 y 10  x10 y 10 x10 y10 2 2      x y       8x y 2 2 y x x y y x   x 16  y16    4 x 16 y 16  x y  x10 y 10        x 16  y 16   4x y  8x y x y  10 10 x y       x16  y 16    x y   10 x  y Đẳng thức xảy x  y   x  y  Bài 62: Giải phương trình:   4x y  16x y   x y  2y   x    x   x   Giải Với y  phương trình vô nghiệm Page 44 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ Với y  ĐK: x  ;   x y  Khi phương trình tương đương với: 2   25   2x y    y  x     x   x   Theo AM – GM ta có: x2 3x     1;  x    x2    x x      25  2x y     Nên phương trình có nghiệm  Để ý thấy  x  2;y   y  x2     Page 45 Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ TÀI LIỆU THAM KHẢO Tuyển chon 410 hệ phương trình – Nguyễn Minh Tuấn Tư sáng tạo, tìm tòi lời giải PT – HPT – BPT – Lê Văn Đoàn Tuyển tập phương trình – hệ phương trình – Diễn đàn Boxmath Tuyển tập phương trình – hệ phương trình – Diễn đàn K2pi.net Những viên kim cương bất đẳng thức toán học – Trần Phương Sáng tạo phương trình bất phương trình, hệ phương trình – Nguyễn Tài Chung Phương pháp sử dụng máy tính CASIO giải toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình – Đoàn Trí Dũng, Bùi Thế Việt Page 46 ... Page Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ I CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ Bất đẳng thức Cauchy – AM – GM Cho n số thực dương a , a , , a n ta có a  a   a n  n a a a n n2 Bất đẳng thức. .. ứng tỷ lệ Page Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ II ĐỀ BÀI Bài 1: Giải phương trình: 13 x2  x  x  x  16 Bài 2: Giải phương trình: x  3x  8x  40  4x   32 Bài 3: Giải phương trình: .. .Bất đẳng thức đánh giá phương trình vô tỷ LỜI GIỚI THIỆU Phương trình - Bất đẳng thức hai lĩnh vưc có mối quan hệ chặt chẽ với Đây phần quan trọng chương trình toán THPT nhiều