Huong dan cham de thi chon HSG cap tinh 12 quang binh

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: Toán - Vòng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn có trang) yªu cÇu chung * Đáp án trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm toàn tổng (không làm tròn số) điểm tất Nội dung Câu Điểm 2,5 điểm Phương trì nh : x  x  2012  2012 (n  N*) Đặt t = x2n  0, phương trì nh (1) trở thành: t  t  2012  2012 4n  t2  t  2n (1) 0,25 1  t  2012  t  2012  4 1  1    t     t  2012   2  2  0,5 0,5  t   t  2012 0,25  t  t  2011  Giải phương trình (2) ta được: t  Phương trì nh có nghiệm : x1  2n (2) 1  8045 thỏa mãn điều kiện 1  8045 1  8045 x   2n , n  * 2 0,25 0,25 0,5 2,5 điểm Theo công thức xác đị nh dãy (un ) , ta có un  0; n  Áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có: * 0,5 1  1 3 un1   2un     un  un    un2  3 ; n  3 un   un  un Do đó: un  3 ; n  * *    un3  1 Mặt khác: un1  un  un   un    un      un  un   un  Vậy (un ) là dãy số giảm và bị chặn dưới nên nó có giới hạn Giả sử, lim un  a Ta có: a  a   a   a  3 a a Vậy: lim un  3 0,5 0,5 0,5 0,5 1.5 điểm 1 36    2 x y z  x y  y z  z x2 1 1  (9  x2 y  y z  z x )      36 x y z  xy  yz + zx  Ta có:  xyz    xy  yz  zx       0,25 0,25 Do đó:  1   xy  yz+zx  27  xy  yz+zx         xyz  xy  yz+zx  x y z   2 27  xy  yz+zx 0,25 Mặt khác:  x y  y z  z x    x y  1   y z  1   z x  1    xy  yz  zx    1   (9  x y  y z  z x )       x y z   27  3   xy  yz+zx   xy  yz+zx 0,25    108     xy  yz  zx   xy  yz  zx     108    xy  yz  zx    1296 xy  yz  zx   1 1 Suy ra: (9  x y  y z  z x2 )      36 x y z Dấu “=” xảy và khi: x = y = z = 0,25 0,25 2.0 điểm A 0,25 y Q B N P M C O x Chọn hệ trục tọa độ Nxy cho A, N nằm trục hoành Vì AB không song song với trục tọa độ nên phương trình có  b  dạng : y = ax + b (a  0) Khi đó : A    ;0  , P  (0; b)  a  AC qua A và đối xứng với AB qua trục hoành nên có phương trình : y = -ax – b PO qua P, vuông góc với AB nên có phương trình : y   x  b a O là giao điểm PO trục hoành nên O  (ab,0) BC qua gốc tọa độ nên : +) Nếu BC không nằm trục tung thì phương trình BC có dạng y = cx với c  0,c   a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không song song với AB AC) 0,25 0,25 0,25 0,25 B là giao điểm BC AB nên tọa độ B nghiệm hệ :  y  ax  b bc   b B ;   y  cx c  a c  a    C là giao điểm BC AC nên tọa độ C nghiệm hệ :  y  ax  b b bc   C   ;   y  cx c  a c  a    0,25 abc  bc  ab Do đó : M   , suy : AM  ; c; a  2  2  a (c  a ) c a c a  a2 ab Từ đó ta có phương trình AM : y  x  c c Q là giao điểm AM với trục tung nên  ab   1 Q   0;   QO  ab 1;    c   c Do đó QO vectơ pháp tuyến BC nên QO vuông góc BC +) Nếu BC nằm trục tung tam giác ABC cân tại A nên M  N, đó O thuộc AN nên QO vuông góc BC Giả sử  x, y, z  là nghiệm nguyên dương phương trình Ta có: 0,25 0,25 1,5 điểm x+2  y  z  yz  x  ( y  z )  yz    x  ( y  z )   yz  yz  12 0,25  yz   x  ( y  z )   12   x  ( y  z )    x  ( y  z )   12  yz  x  ( y  z )  yz  12 Nếu x  ( y  z )   x  ( y  z) 0,25 (vô lý) 0,25 0,5  y 1  z   x  Nếu x  y  z yz     y     z  Thử lại, ta thấy: (4; 3; 1) (4; 1; 3) là nghiệm phương trình Vậy: nghiệm nguyên dương PT đã cho là (4; 3; 1) (4; 1; 3) 0,25 ...  yz    x  ( y  z )   yz  yz  12 0,25  yz   x  ( y  z )   12   x  ( y  z )    x  ( y  z )   12  yz  x  ( y  z )  yz  12 Nếu x  ( y  z )   x  ( y  z) 0,25... giao điểm PO trục hoành nên O  (ab,0) BC qua gốc tọa độ nên : +) Nếu BC không nằm trục tung thi phương trình BC có dạng y = cx với c  0,c   a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không... yz+zx 0,25    108     xy  yz  zx   xy  yz  zx     108    xy  yz  zx    129 6 xy  yz  zx   1 1 Suy ra: (9  x y  y z  z x2 )      36 x y z Dấu “=” xảy