Huong dan cham de thi chon HSG cap tinh 12 hai duong

Câu I ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Nội dung CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M Ý 3  a2 M  (C )  M  a;  y '(a)   , a  1 y '  ( x  1) (a  1)  a 1  a2 ( ) Tiếp tuyến (C) M có pt y  ( x  a )  (a  1)2 a 1 Tiệm cận đứng 1 có phương trình x  1 Tiệm cận ngang  có phương trình y   I (1;1) a 5    1  A  A  1;  ,   2  B  B  2a  1;1 a 1   1 a 5 S IAB  IA.IB   2a   a   (không phụ 2 a 1 a 1 Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 thuộc vào a, đpcm) Tìm m để hàm số y  x  m x  có cực đại 2 TXĐ: , y'   mx x2  , y ''  1,00 9m ( x  9) x  y '   x   mx   x   mx  mx  mx  (I)    2 2 81( x  9)  m x ( m  81) x  81.9   0,25 TH m  81  9  m   m x  x  x  9(x) nên y'  x   mx x 9  0, x suy hàm số đồng biến 0,25 trị TH m   ( I )  x1  y ''( x1 )  9m ( x  9) x  , cực 27 m2  81   x1 điểm cực tiểu  m  loại TH m  9  ( I )  x2  27 m2  81 0,25 y ''( x2 )  9m 0,25   x2 điểm cực đại ( x22  9) x22  Vậy hàm số có cực đại  m  9 II Giải phương trình sin 2012 Đặt t  sin x, t 0;1 (1) có dạng: t Xét hàm số f (t )  t 1006 x  cos 2012 x  1006  (1  t )1006   (1  t )1006 , t 0;1 f '(t )  1006[t1005  (1  t )1005 ] ; f '(t )   t  1005 (1) 21005 (2) 1 1 f (0)  f (1)  1, f    1005  f (t )  1005 Vậy (2)  t  0;1 2 2   hay (1)  sin x   cos x   x   k ( k  Z )  x  x   y  y  (1) Giải hệ phương trình  2 (2)  x  y  xy  ĐK: y  (1)  x  y  1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 y   x2   x  xy  y  y   x   ( y  1)( x  1)  xy  ( y  1)( x  1)  x y  x y  y  x   x  y  1 2  x   x  y  1 Kết hợp với (2) ta   x  xy    y  2x 2    x  y  xy  x  & (2)  y   y  1 1 y  x & (2)  3x   x   x    y 3 Thử lại ta có x  0, y  x  thỏa mãn hệ pt ,y 3 Vậy hệ có nghiệm III   x  (   ), x   0;  2  2   Xét hàm số f ( x )  tan x  sin x  x  0;   2 Chứng minh tan x  sin x  0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 f '( x)  2cos3 x  9cos2 x  (2cos x  1)(cos x  4cos x  2)  cos x    cos2 x 2cos2 x 2cos x      cosx