De thi hsg tp 2013 2014 ha noi 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 12 Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán Ngày thi: – 10 – 2013 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (5 điểm) Cho hàm số: y  x3  3x  có đồ thị (C)     a) Tìm điểm M, N nằm (C) cho điểm I   ;  trung điểm đoạn thẳng MN b) Cho ba điểm phân biệt A, B, C thuộc (C) Các tiếp tuyến (C) A, B, C cắt (C) điểm thứ hai A’, B’, C’ Chứng minh rằng: Nếu A, B, C thẳng hàng A’, B’, C’ thẳng hàng Bài II (5 điểm) a) Giải phương trình: x  x    x  1 x  3   x  y  3x  x  y   b) Giải hệ phương trình:  2  2  x  3  y  y  x   Bài III (2 điểm) Cho số thực a, b, c cho a  0, b  0,  c  a  b2  c  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: P  2ab  3bc  3ac  abc Bài IV (5 điểm) Trong không gian cho ba tia 0x, 0y, 0z không đồng phẳng Đặt xOy   , yOz   , z Ox   Lấy điểm A, B, C tia Ox, Oy, Oz cho OA  OB  OC  a với a  a) Gọi M điểm nằm đoạn BC cho BM  2MC I trung điểm đoạn AM Tính độ dài đoạn thẳng OI theo a trường hợp     600 ,   900 b) Chứng minh rằng: cos +cos +cos >- Bài V (3 điểm) Cho dãy số  un  thoả mãn điều kiện: u1    un2 2013 u   un , n  1,  n1 2014 2014  a) Chứng minh  un  dãy số tăng un b) Với n  1, n  N , đặt  Chứng minh rằng: un 1  v1  v2    2014 với n  - HẾT -Họ tên thí sinh:……………………………………… Phòng thi:……………………………