bai tap so phuc toan 12 co ban bai tap so phuc toan 12

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn BÀI TẬP SỐ PHỨC Định nghĩa Số phức z biểu thức có dạng z = a + bi, a b số thực, i số thỏa mãn i² = –1 a phần thực; b phần ảo; i đơn vị ảo Tập hợp số phức có kí hiệu C Số phức z = a có phần ảo coi số thực Số phức z = bi có phần thực gọi số ảo Số phức z = vừa số thực, vừa số ảo a  a ' Hai số phức nhau: a + bi = a’ + b’i  b  b ' Số phức z = x + yi biểu diễn M(x; y) mặt phẳng Oxy Mô đun số phức z = a + bi |z| = a  b Số phức liên hợp z = a + bi z = a – bi Cộng, trừ, nhân, chia số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Cộng hai số phức: (a + bi) + (a’ + b’i) = (a + a’) + (b + b’)i Trừ hai số phức: (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i Nhân hai số phức: (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i a  bi aa ' bb ' ab ' a 'b   i Chia hai số phức: a ' b 'i a '2  b '2 a '2  b '2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = với hệ số thực a, b, c a ≠  b  i Δ Khi Δ < phương trình có hai nghiệm phức 2a Dạng lượng giác số phức z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) dạng lượng giác số phức z = a + bi, z ≠ Trong r = a  b mô đun z; φ acgumen z thỏa cos φ = a/r; sin φ = b/r Nếu z = r(cos φ + i sin φ), z’ = r’(cos φ’ + i sin φ’) z r  [cos(φ  φ ')  i sin(φ  φ ')] z.z’ = r.r’[cos (φ + φ’) + i sin (φ + φ’)] z' r' Công thức Moivre: Với n nguyên dương [r(cos φ + i sin φ)]n = rn (cos nφ + i sin nφ) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác φ φ Căn bậc hai số phức z = r(cos φ + i sin φ) (r > 0) w =  r (cos  i sin ) 2 BÀI TẬP Bài 1: Tính mô đun số phức z = + 4i + (1 – i)³ Bài 2: Cho hai số phức z1 = – 5i z2 = – i Tính w = z1/z2 |w| Bài 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: z² + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức sau: A = |z1|² + |z2|² Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện |z – (2 + i)|² = 10 z z = 25 z  z2 Bài 5: Cho số phức z = – 3i Tìm z Bài 6: Giải phương trình: z + z = (1 + 5i)² Bài 7: Tìm bậc hai số phức z = –1 + i Bài 8: Tìm bậc hai số phức: z = 21 – 20i Bài 9: Giải phương trình: z² – 2(2 + i)z + (7 + 4i) = Bài 10: Giải phương trình tập số phức C: z³ – 2z² + = Bài 11: Giải phương trình tập số phức C: z² + 2z + = Bài 12: Giải phương trình tập số phức C: z² + 2(1 + i)z + 2i = Bài 13: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z – (3 – 4i)| = Bài 14: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 2|z – i| = |z +2i – z | Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – (5i – 2)| = (  i)9 Bài 16: Xác định phần thực phần ảo số phức z = (1  i)5 Bài 17: Viết dạng lượng giác số phức z = – i Bài 18: Viết dạng lượng giác tính A = (1 + i)2016 1 i Bài 19: Tìm dạng lượng giác số phức sau z = i (  i) 2016 (1  i 3)2015 Bài 21: Cho số phức z = a + bi, (a, b số thực) Các số sau số thực hay số ảo a z² – z ² b z² + z ² c z z Bài 22: Tìm phần thực phần ảo số phức z = 2016i2015 + 2015i2016 Bài 23: Giải phương trình sau tập hợp số phức C: z² – 2(1 + 2i)z + 8i = Bài 24: Tính z + z z z biết z = + 3i Bài 25: Tìm phần thực phần ảo số phức sau (1  i)9 i i a) (1 + i)² – (1 – i)² b) (2 + i)³ – (3 – i)³ c) d  (1  i) 1 i i Bài 20: Tìm phần thực phần ảo số phức z = Bài 26 Tính z = (1  i) n (với n số nguyên dương) (1  i) n  i 3 i 3 Bài 27 Tính z = (  )(  ) 2 2 Bài 28 Cho z =   i , tính A = + 2z² + z³ 2 Bài 29: Giải hệ phương trình sau với x, y số phức (3  i)x  (4  2i)y   6i (2  i)x  (2  i)y  a  b  (4  2i)x  (2  3i) y   4i (3  2i)x  (3  2i)y  Bài 30: Tìm phức z cho số liên hợp với z a z² b z³ Bài 31: Cho số phức z = – 2i Tìm phần thực phần ảo w = z i iz  Bài 32: Giải phương trình sau 2i 1  3i z a) b) [(2  i)z   i](iz  )  1 i 2i 2i Bài 33: Giả sử zk = i2k + i2k+1 với k số nguyên dương Tính zk + zk+1 (2  i)3  (2  i)3 Bài 34: Thực phép tính z = (2  i)3  (2  i)3 Bài 35: Cho hai số phức z = x + (x² + 1)i z’ = x² – + (4x – 6)i Tìm x cho z + z’ số thực? số ảo? Bài 36: Cho z = a + bi, với điều kiện a b z³ số thực? số ảo? Bài 37: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a) z = a + ai, a số thực b) số ảo zi Bài 38: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn a z² số thực âm b |z – i + 2| + |z + i| = Bài 39: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R thỏa mãn a ≤ |z| ≤ b x + y ≤ đồng thời x ≥ y ≥ Bài 40: Chứng minh a) Bình phương hai số phức liên hợp liên hợp Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b) Lập phương hai số phức liên hợp liên hợp c) Lũy thừa bậc n số phức liên hợp liên hợp Bài 41: Cho z = a + bi Chứng minh |z| ≥ |a| + |b| Đẳng thức xảy Bài 42: Biết số phức biểu diễn ba đỉnh hình bình hành mặt phẳng phức, tìm số biểu diễn đỉnh lại Bài 43: Xác định tập hợp điểm M mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z² + z² = Bài 44: Cho A, B, C, D điểm biểu diễn số: + 2i, + + i, + – i, – 2i Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn Hỏi tâm đường tròn biểu diễn số phức nào? Bài 45: Tìm bậc hai a + 4i b 2i c –8 + 6i d –8 – 6i e –5 + 12i g – 24i Bài 46: Gọi z bậc hai + i, z’ bậc hai – i Tính z + z’ Bài 47: Tìm số phức z cho z³ = –i Bài 48: Tìm số phức z cho z4 = –1 Bài 49: Giải phương trình bậc hai sau tập số phức C a z² – z + = b 2z² – 5z + = c z² + z + = d 2z² – z + = e z² + 3iz + = g z² = – z h (z² + z)² + 4(z² + z) – 12 = Bài 50: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm z1 = – 3i z2 = i Bài 51: Giải phương trình tập số phức a z4 – 3z² + = b z4 + 289 = 30z² c x³ + = Bài 52 Cho phương trình tập số phức: z³ – 3z² + 4z – = Chứng tỏ + i nghiệm phương trình Tìm hai nghiệm lại Bài 53: Giải phương trình sau C: z4 + = biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng phức Bài 54: Viết dạng đại số số phức z a z = cos (π/4) + i sin(π/4) b z = 2[cos (3π/4) + i sin (3π/4)] Bài 55: Biểu diễn số phức sau dạng lượng giác a –1 + i b   i c 2i 2 Bài 56: Tìm số phức z thỏa: (1 – z)(1 + 2i) + (1 – iz)(3 – 4i) = + 7i Viết số phức z dạng lượng giác Bài 57: Tìm acgumen số phức a z = –sin(π/8) – i cos(π/8) b z = – sin φ + i cos φ (với < φ < π/2) c – i tan (π/5) d z = – cos φ – i sin φ (φ ≠ k2π, k số nguyên) z Bài 58: Viết số phức z1 z2 dạng lượng giác tính z1z2 biết z2 a z1 = + i z2 = + i b z1 = + i; z2 = – i Bài 59: Tìm vị trí điểm biểu diễn số phức có agumen π/6 Bài 60: Tìm phần thực phần ảo số phức z, biết a z = [cos(π/15) + i sin (π/15)]5 b z = (  i )12 2 Bài 61: Tính 1 (1  i)10 a A = b B = z 2000  2000 biết z   z z (  i) Bài 62: Viết dạng lượng giác bậc hai số phức i a b + 2i c – – i 7i n ) số thực, số ảo Bài 63: Tìm số nguyên dương n cho (  3i Bài 64: Cho hai số phức z1 = – 4i z2 = – 6i Tính giá trị A = |z1|² + 2|z1||z2| + |z2|² Bài 65: Phân tích thừa số phức biểu thức sau a a² + b 4a² + 9b² Bài 66: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a |z + + 2i| ≤ b (1 – i) z – (1 + i)z = c log |z + i| ≤ d |z – 2|² + |z + 2|² = 26 Bài 67: Cho số phức z = a + bi Một hình vuông tâm gốc tọa độ O, cạnh song song với trục tọa độ có độ dài Hãy xác định điều kiện a b để điểm biểu diễn z: a Nằm hình vuông b Nằm đường chéo hình vuông Bài 68: Xác định tập hợp điểm M mphẳng phức biểu diễn số phức (1 + i )z + mà |z – 1| ≤ Bài 69: Xác định tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a |2i – z z | = |2z – 1| b |2iz – 1| = 2|z + 3| Bài 70: Giải phương trình a z² – (3 – i)z + (4 – 3i) = b 3iz² – 2z – + i = Bài 71: Tìm số phức w để phương trình z² + wz + 3i = có tổng bình phương hai nghiệm Bài 72: Định a để phương trình z³ – az² + 3az + 37 = có nghiệm –1 Tính nghiệm z1 z2 lại tập số phức Vẽ điểm A, M, N biểu diễn cho –1, z1, z2 Xác định tính chất tam giác AMN  ti Bài 73: Chứng minh số phức z ≠ –1 có mô đun 1, đặt dạng: z = , t  ti số thực Bài 74: Xác định mô đun số phức z, biết: z = (5 + i)² – (3 – 2i)³  (1  i)3 Bài 75: Xác định mô đun số phức z, biết z   (1  i) Bài 76: Tính |z| biết 16 20 ) ( ) a z = ( b z = (  i) 1 i 1 i 2 Bài 77: Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² – 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = 2|z1|² + 3|z2|² (2  3i)  (1  i) Bài 78: Tính mô đun số phức z , biết z  (1  2i)  i  i  i3  i  i 2020 ) 1 Bài 79: Chứng minh ( i  i5 BÀI TẬP SỐ PHỨC THEO DẠNG VẤN ĐỀ 1: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC Bài 1: Tìm phần ảo số phức z, biết z  (  i)(1  i 2) Bài 2: Cho số phức z thỏa (2 – 3i)z + (4 + i) z = –(1 + 3i)² Tìm phần thực phần ảo z Bài 3: Cho số phức z thỏa (1 + i)² (2 – i) z = + i + (1 + 2i)z Tìm phần thực phần ảo z (1  i)30 Bài 4: Tìm phần thực phần ảo số phức z = (1  i 3)15 Bài 5: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: z = + (1 + i) + (1 + i)² + … + (1 + i)20 (1  i 3)3 Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm môđun số phức z + iz 1 i (1  i)(2  i) Bài 7: Tìm môđun số phức z =  2i Bài 8: Tìm môđun số phức z = x  y  i 2xy (x  y)  2i xy Bài 9: Tính giá trị biểu thức: A =  i   i Bài 10: Tính giá trị biểu thức: i  i   i 2016 i5  i   i 2015 a P = b Q = i  i   i 2015 i  i5   i 2016 Bài 11: Tìm phần thực phần ảo số phức z = + i + i² + + i2016 Bài 12: Tính: S = i105 + i23 + i20 – i34 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bài 13: Tìm số phức z thỏa mãn: z² = – 3i Bài 14: Tìm số phức z thỏa |z|² = z² số ảo Bài 15: Tìm số phức z thỏa z² + |z| = Bài 16: Tính số phức sau: z = (1 + i)15  i 16  i ) ( ) Bài 17: Tính số phức sau: z = ( 1 i 1 i VẤN ĐỀ 2: Căn Bậc Hai – Căn Bậc Ba – Phương Trình Bài Chứng minh rằng: Nếu x + yi bậc hai hai số phức a + bi x – yi bậc hai số phức a – bi Bài Tìm bậc z = Chứng minh ba điểm biểu diễn bậc z tạo thành tam giác Bài Tìm bậc số phức z = –7 + 24i Bài Tìm bậc hai số phức sau: a + 6i b –3 + 4i c –5 + 12i Bài 5: (CĐ 2010) Giải phương trình z² – (1 + i)z + + 3i = tập hợp số phức Bài 6: (A 2009) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: z² + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A = |z1|² + |z2|² 4z   7i  z  2i Bài 7: (CĐ 2009) Giải phương trình sau tập hợp số phức: z i Bài Giải phương trình tập số phức: z² + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = Bài 9: Cho phương trình: z³ + (2 – 2i)z² + (5 – 4i)z – 10i = (1) Chứng minh (1) nhận nghiệm ảo Giải phương trình (1) Bài 10: Tìm nghiệm phương trình: z³ = 18 + 26i, z = x + yi; x, y số nguyên Bài 11: Giải phương trình: z³ + 3z² + 3z – 63 = tập số phức Bài 12: Giải phương trình tập số phức: z4 – 4z³ + 7z² – 16z + 12 = Bài 13: Giải phương trình tập số phức: z5 + z4 + z³ + z² + z + = Bài 14: Giải phương trình z³ + (1 – 2i)z² + (1 – i)z – 2i = 0, biết phương trình có nghiệm ảo Bài 15: Giải phương trình z³ – (5 + i)z² + 4(i – 1)z – 12 + 12i = 0, biết phương trình có nghiệm thực Bài 16: Giải phương trình tập số phức: (z² + z)² + 4(z² + z) –12 = Bài 17: Giải phương trình tập số phức: (z² + 3z + 6)² + 2z(z² + 3z + 6) – 3z² = Bài 18: Giải phương trình tập số phức: z4 – 2z³ – z² – 2z + = zi ) 1 Bài 19: Giải phương trình: ( iz Bài 20: Tìm tất số phức cho số liên hợp với lập phương VẤN ĐỀ 3: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Bài 1: (D 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: |z – (3 – 4i)| = Bài 2: (B 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: |z – i| = |(1 + i)z| Bài 3: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện a |2 + z| = |1 – i| b |2 + z| > |z – 2| c |z – 4i| + |z + 4i| = 10 Bài 4: Xác định điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: |z + z + 3| = Bài 5: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện: 2|z – + 3i| = Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài 6: Cho hai số phức z1 = + i; z2 = –1 – i Tìm số phức z3 cho điểm biểu diễn z1, z2, z3 tạo thành tam giác Bài 7: Cho điểm A, B, C, A’, B’, C’ biểu diễn số phức – i; + 3i; + i; 3i; – 2i; + 2i Chứng minh ΔABC ∆A’B’C’ có trọng tâm G Tìm số phức biểu diễn G Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M điểm biểu diễn cho số phức z = – 4i; M’ điểm biểu diễn 1 i z Tính diện tích tam giác OMM’ cho số phức z’ = SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI Bài Tìm phần ảo số phức z, biết: z  (  i)2 (1  2i) (A 2010 – CB) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn (1  3i)3 Tìm môđun w = z + iz (A 2010 – NC) 1 i Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z – i| = |(1 + i)z| (B 2010 – CB) Bài Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện |z| = z² số ảo (D 2010) Bài Cho số phức z thỏa (2 – 3i)z + (4 + i) z = –(1 + 3i)² Tìm phần thực phần ảo z (CĐ2010 – CB) Bài Giải phương trình z² – (1 + i)z + + 3i = tập số phức (CĐ2010 – NC) Bài Tìm số phức liên hợp tính mô dun số phức z, biết z = + 4i + 2i(1 – 3i) (TN GDTX 2011) Bài Giải phương trình (1 – i)z + (2 – i) = – 5i tập số phức (TN THPT 2011 – CB) Bài Giải phương trình (z – i)² + = tập số phức (TN THPT 2011 – NC) Bài 10 Tìm phần thực phần ảo mô dun số phức z = (2 + 3i)(1 – i) – 4i (TN GDTX 2012) 25i Bài 11 Tìm số phức 2z + z , biết z = – 4i (TN THPT 2012 – CB) z  9i  5i (TN THPT 2012 – NC) Bài 12 Tìm bậc hai số phức z = 1 i Bài 13 Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)²z + z = 4i – 20 Tìm modun số phức z (CĐ 2011 – CB) Bài 14 Cho số phức z thỏa z² – 2(1 + i)z + 2i = Tìm phần thực phần ảo w = 1/z (CĐ 2011 – NC) 5i Bài 15 Tìm số phức z biết z    (DH B 2011 – CB) z 1 i 3 Bài 16 Tìm phần thực phần ảo số phức z = ( ) (DH B 2011 – NC) 1 i Bài 17 Tìm số phức z biết z – (2 + 3i) z = – 9i (DH D 2011 – CB) Bài 18 Tìm tất số phức z biết z² = |z|² + z (DH A 2011 – CB) Bài 19 Tính modun số phức z biết (1 + i)(2z – 1) + ( z + 1)(1 – i) = – 2i (DH A 2011 – NC) 2i Bài 20 Cho số phức z thỏa mãn (1 – 2i)z – = (3 – i)z Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z mặt 1 i phẳng Oxy (CĐ 2012 – CB) Bài 21 Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² – 2z + + 2i = Tính |z1| + |z2| (CĐ 2012 – NC) 5(z  i) Bài 22 Cho số phức z thỏa mãn = – i Tính modun số phức w = + z + z² (AA1 2012 – NC) z 1 Bài 23 Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z² – 2i z – = Viết dạng lượng giác z1 z2 (B 2012 – NC) 2(1  2i) Bài 24 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + = + 8i Tìm |w| biết w = z + + i (D2012 – CB) 1 i Bài 25 Giải phương trình z² + 3(1 + i)z + 5i = tập số phức (D 2012 – NC) Bài 26 Tìm số phức liên hợp số phức z biết z = 5i(1 – 2i) + – i (TN GDTX 2013) Bài 27 Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)z – – 4i = Tìm số phức liên hợp z (TN THPT 2013 – CB) Bài 28 Giải phương trình z² – (2 + 3i)z + + 3i = tập số phức (TN THPT 2013 – NC) Bài 29 Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 – i)² = + i Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1 + z) z (CĐ13 – CB) Bài 30 Giải phương trình z² + (2 – 3i)z – – 3i = tập số phức C (CĐ13 – NC) Bài 31 Cho số phức z = + i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1 + i)z5 (AA1 2013 – NC) z  2z  Bài 32 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: (1 + i)(z – i) + 2z = 2i Tính modun số phức w = z2 (DH D 2013 – CB) Bài 33 (AA1 14) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = + 5i Tìm phần thực phần ảo z Bài 34 (B 14) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 – i) z = – 9i Tìm modun z Bài 35 (D 14) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z – z )(1 + i) – 5z = 8i – Tìm modun z Bài 36 (CĐ 14) Cho số phức z thỏa mãn 2z – i z = + 5i Tìm phần thực phần ảo z Bài Cho số phức z thỏa mãn: z  ... số phức z = (2 + 3i)(1 – i) – 4i (TN GDTX 2 012) 25i Bài 11 Tìm số phức 2z + z , biết z = – 4i (TN THPT 2 012 – CB) z  9i  5i (TN THPT 2 012 – NC) Bài 12 Tìm bậc hai số phức z = 1 i Bài 13 Cho... phương trình z³ – (5 + i)z² + 4(i – 1)z – 12 + 12i = 0, biết phương trình có nghiệm thực Bài 16: Giải phương trình tập số phức: (z² + z)² + 4(z² + z) 12 = Bài 17: Giải phương trình tập số phức:... lượng giác Bài 57: Tìm acgumen số phức a z = –sin(π/8) – i cos(π/8) b z = – sin φ + i cos φ (với < φ < π/2) c – i tan (π/5) d z = – cos φ – i sin φ (φ ≠ k2π, k số nguyên) z Bài 58: Viết số phức